【期末满分攻略】2022-2023学年北师大版七年级数学下册讲学案-专题18 角平分线四大模型在三角形中的应用（原卷版+解析版）

      专题18  角平分线四大模型在三角形中的应用

模型1 角平分线上的点向两边作垂线

    如图，P是∠MON的平分线上一点，过点P作PA⊥OM于点A，PB⊥ON于点B。

    结论：PB=PA。

【模型分析】

    利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口。

模型2 截取构造对称全等

   如图，P是∠MON的平分线上一点，点A是射线OM上任意一点，在ON上截取OB=OA，连接PB。

    结论：△OPB≌△OPA。

【模型分析】

利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等。利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。

模型3 角平分线+垂线构造等腰三角形

    如图，P是∠MO的平分线上一点，AP⊥OP于P点，延长AP于点B。

    结论：△AOB是等腰三角形。

【模型分析】

构造此模型可以利用等腰三角形的“三线合一”，也可以得到两个全等的直角三角形，进而得到对应边、对应角相等。这个模型巧妙地把角平分线和三线合一联系了起来。

模型4 角平分线+平行线

如图，P是∠MO的平分线上一点，过点P作PQ∥ON，交OM于点Q。

    结论：△POQ是等腰三角形。

【模型分析】

有角平分线时，常过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形，为证明结论提供更多的条件，体现了角平分线与等腰三角形之间的密切关系。

【典例分析】

【模型1 角平分线上的点向两边作垂线】

【典例1】（2019秋•江北区期末）如图，D是∠EAF平分线上的一点，若∠ACD+∠ABD＝180°，请说明CD＝DB的理由．

【变式1-1】（2020秋•西城区校级期中）如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD＝CD，BD平分∠ABC，

求证：∠A+∠C＝180°．

【变式1-2】已知，如图，∠A＝∠B＝90°，M是AB的中点，DM平分∠ADC，求证：CM平分∠BCD．（提示：需过点M作CD的垂线段）

【典例2】如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，求∠CAB和∠CAP的度数．

【变式2】如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝（　　）

A．40° B．45° C．50° D．60°

【模型2 截取构造对称全等】

【典例3】在△ABC中，AD是∠BAC的外角平分线，P是AD上的任意一点，试比较PB+PC与AB+AC的大小，并说明理由．

【变式3-1】已知：如图，在△ABC中，∠A＝2∠B，CD平分∠ACB，且AC＝6，AD＝2．求BC的长．

【变式3-2】已知，如图AB＝AC，∠A＝108°，BD平分∠ABC交AC于D，求证：BC＝AB+CD．

【变式3-3】如图，在△ABC中，∠A＝100°，∠ABC＝40°，BD是△ABC的角平分线．延长BD至E，使DE＝AD，连接EC

（1）直接写出∠CDE的度数：∠CDE＝　   　；

（2）猜想线段BC与AB+CE的数量关系为　     　，并给出证明．

【模型3 角平分线+垂线构造等腰三角形】

【典例4】如图所示，已知等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD，垂足为点E，求证：BD＝2CE．

【变式4-2】如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BD平分∠ABC，AE⊥BD，垂足为E．

（1）求∠EAC的度数；

（2）用等式表示线段AE与BD的数量关系，并证明．

【变式4-3】如图．在△ABC中，BE是角平分线，AD⊥BE，垂足为D，求证：∠2＝∠1+∠C．

【模型4 角平分线+平行线】

【典例5】如图1，△ABC中，AB＝AC，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F．

（1）猜想：EF与BE、CF之间有怎样的关系．

（2）如图2，若AB≠AC，其他条件不变，在第（1）问中EF与BE、CF间的关系还存在吗？并说明理由．

（3）如图3，若△ABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F．这时图中还有等腰三角形吗？EF与BE、CF关系又如何？说明你的理由．

【变式5-1】如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于点M，交AC于点N．若BM+CN＝7，则MN的长为（　　）

A．6 B．7 C．8 D．9

【变式5-2】如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，

（1）请判断△BME与△ECN的形状，并说明理由？

（2）若BM+CN＝9，求线段MN的长．

【变式5-3】如图，在△ABC，AD平分∠BAC，E、F分别在BD、AD上，且DE＝CD，EF＝AC，求证：EF∥AB．

【变式5-4】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，且AE、BE交CD于点E．试说明AD＝AB﹣BC的理由．

【夯实基础】

1．如图，△ABC中，∠B＝2∠A，∠ACB的平分线CD交AB于点D，已知AC＝16，BC＝9，则BD的长为（　　）

A．6 B．7 C．8 D．9

2．如图，△ABC中，∠ABC＝60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，AD、CE相交于点P．

（1）求∠APC的度数；

（2）若AE＝3，CD＝4，求线段AC的长．

3．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，∠BPC＝40°．

（1）求∠BAC；

（2）证明：点P到△ABC三边所在直线的距离相等；

（3）求∠CAP．

4．如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点E，过点E作EF∥BC，交AB于点M，交AC于点N．求证：MN＝MB+NC．

5．如图，已知AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E，求证：AB＝AC+BD．

6．已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E是边CD上一点，且AE平分∠BAD，BE平分∠ABC．

求证：

（1）AE⊥BE；

（2）E是线段CD的中点．

7．（1）如图①在△ABC，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BC＝6cm，BD＝4cm，那么点D到AB的距离是　　cm

（2）如图②，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AP平分∠BAC．

8．四边形ABCD中，DA＝DC，连接BD，∠ABD＝∠DBC．

（1）如图1，求证：∠BAD+∠BCD＝180°；

（2）如图2，连接AC，当∠DAC＝45°时，BC＝3AB，S△DBC＝27，求AB的长；

（3）如图3，在（2）的条件下，把△ADC沿AC翻折，点D的对应点是点E，AE交BC于点K，F是线段BC上一点，连接EF，∠BFE＝45°，求△EFC的面积．

9．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝α，∠BCD＝180°﹣α，BD平分∠ABC．

（1）如图1，若α＝90°，根据教材中一个重要性质直接可得DA＝CD，这个性质

是                             　

（2）问题解决：如图2，求证AD＝CD；

（3）问题拓展：如图3，在等腰△ABC中，∠BAC＝100°，BD平分∠ABC，求证：BD+AD＝BC．

10．阅读下面材料：

小聪遇到这样一个有关角平分线的问题：如图1，在△ABC中，∠A＝2∠B，CD平分∠ACB，AD＝2，AC＝3，求BC的长．

小聪思考：因为CD平分∠ACB，所以可在BC边上取点E，使EC＝AC，连接DE．这样很容易得到△DEC≌△DAC，经过推理能使问题得到解决（如图2）．

请完成：（1）求证：△BDE是等腰三角形；

（2）求BC的长为多少？

11．阅读材料：

小明遇到这样一个问题：如图1，在△AC中，∠A＝2∠B，CD平分∠ACB，AD＝2.2，AC＝3.6，求BC的长．

小明的想法：因为CD平分∠ACB，所以可利用“翻折”来解决该问题．即在BC边上取点E，使EC＝AC，并连接DE（如图2）．

（1）如图2，根据小明的想法，回答下面问题：

①△DEC和△DAC的关系是　         　，判断的依据是　   　；

②△BDE是　  　三角形；

③BC的长为　   　．

（2）参考小明的想法，解决下面问题：

已知：如图3，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，BD平分∠ABC，BD＝2.3，BC＝2，求AD的长．

12．如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，AD平分∠BAC，BE⊥AD于E，求证：BE＝（AC﹣AB）．（提示：延长BE交AC于点F）．

13．如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，BP⊥AD，垂足为P．已知AB＝5，BP＝2，AC＝9．试说明∠ABC＝3∠ACB．

14．如图，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点B作BE⊥AD，交AD延长线于点E，F为AB的中点，连接CF，交AD于点G，连接BG．

（1）线段BE与线段AD有何数量关系？并说明理由；

（2）判断△BEG的形状，并说明理由．