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【期末满分攻略】2022-2023学年北师大版八年级数学下册讲学案-专题04 勾股定理之图形折叠模型
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这是一份【期末满分攻略】2022-2023学年北师大版八年级数学下册讲学案-专题04 勾股定理之图形折叠模型,共25页。学案主要包含了新方法解读,典例分析,变式1-1,变式1-2,变式1-3,夯实基础,能力提升等内容,欢迎下载使用。
专题04 勾股定理之图形折叠模型
初中数学中,有关折叠的问题也是相对比较难的问题,主要涉及求角的度数、求线段的 长度、求周长、面积等,其中求线段的长度的问题必然用到勾股定理.
【新方法解读】
图形折叠问题核心实质是轴对称性质,即先找出对称轴,再观察元素不变量与变量,然 后运用所学知识合理、有序、全面解决问题。图形折叠对象主要是三角形、矩形、梯形等, 考查问题涉及点坐标、角度、线段、周长、面积、图形规律、最值、三角函数、比例、解析 式等等,折叠问题中,“折”是过程,“叠”是结果,此题型灵活多变,能考查学生的自主探索 能力与空间想象能力以及推理能力,解决折叠问题,首先要对图形折叠有一定准确定位,把 握折叠实质,从点、线、面三个方面发现图形中的位置关系和数量关系,抓住图形的变量和 不变量,其次探索折叠变化规律,充分挖掘图形隐含的几何性质,运用所学知识合理、有序、 全面解决问题.
折叠性质:①对应线段相等(能够重合的线段)②对应角相等(能够重合的角) 性质记忆:折叠必有角相等、边相等。
处理策略:求什么设什么,找直角三角形,用勾股定理
【典例分析】
【典例1】(秋•高青县期末)如图,长方形ABCD沿AE折叠,使点D落在BC边上的F点处,若AD=5,AB=3,求EF的长度.
【变式1-1】(2022秋•槐荫区校级期末)已知,如图长方形ABCD中,AB=3cm,AD=9cm,将此长方形折叠,使点B与点D重合,折痕为EF,则△ABE的面积为( )
A.3cm2 B.4cm2 C.6cm2 D.12cm2
【变式1-2】(荆州)如图,将边长为8cm的正方形ABCD折叠,使点D落在BC边的中点E处,点A落在F处,折痕为MN,则线段CN长是( )
A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm
【变式1-3】(衡阳)如图,矩形纸片ABCD中,AB=4,AD=3,折叠纸片使AD边与对角线BD重合,折痕为DG,则AG的长为( )
A.1 B. C. D.2
【夯实基础】
1.(2021春•莆田期中)如图所示,把矩形纸条ABCD沿EF,GH同时折叠,B,C两点恰好落在AD边的P点处,若∠FPH的度数恰好为90°,PF=4,PH=3,则矩形ABCD的边BC的长为( )
A.10 B.11 C.12 D.15
2.(2021春•中山市期中)把一张矩形纸片ABCD按如图所示的方式进行折叠,使点B恰好与点D重合,折痕为EF,其中AB=3,BC=3.则△DEF的面积是( )
A.6 B.6 C.3 D.4
3.(2020春•红旗区校级月考)如图,将长方形纸片ABCD折叠,使点D与点B重合,折痕为EF.已知AB=4cm,BC=8cm,则△BEF的面积为( )
A.12cm2 B.10cm2 C.8.6cm2 D.8cm2
4.(2022春•通城县期末)如图,矩形ABCD中,AB=8,BC=4,将矩形沿AC折叠,点D落在点D′处,则重叠部分△AFC的面积为 .
5.(2022春•夏津县期末)如图所示,折叠长方形的一边AD,使点D落在边BC的点F处,已知AB=8cm,BC=10cm,则EC的长为 cm.
6.(2021秋•金牛区校级月考)如图,长方形纸片ABCD,沿折痕AE折叠边AD,使点D落在BC边上的点F处,已知AB=8,S△ABF=24,则EC的长为 .
7.(包头)如图,已知Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AC=6.沿DE折叠,使得点A与点B重合,则折痕DE的长为 .
8.(2021秋•鼓楼区校级期末)如图,在△ABC中,∠C=90°,AB的垂直平分线交AB、AC于点D、E,若AC=8,BD=5,则CE的长度是 .
9.(2021秋•景德镇期中)如图,△ABC的三边分别为AC=5,BC=12,AB=13,将△ABC沿AD折叠,使AC落在AB上.
(1)试判断△ABC的形状,并说明理由;
(2)求折痕AD的长.
10.(2021•福田区校级开学)如图,长方形纸片ABCD中,BC=,DC=1,将它沿对角线BD折叠,使点C落在点F处,则图中阴影部分的面积是多少?
11.(春•黔南州期末)长方形纸片ABCD中,AD=4cm,AB=10cm,按如图方式折叠,使点B与点D重合,折痕为EF,求DE的长.
12.(秋•秀峰区校级期末)如图,将矩形ABCD沿直线AE折叠,顶点D恰好落在BC边上F点处,已知CE=3cm,AB=8cm,求图中阴影部分的面积.
13.如图,在一张长方形ABCD纸张中,一边BC折叠后落在对角线BD上,点E为折痕与边CD的交点,若AB=5,BC=12,求图中阴影部分的面积.
14.(2020秋•临漳县期中)如图,Rt△ABC中,∠B=90°,AB=3,BC=4,将△ABC折叠,使点B恰好落在斜边AC上,与点B′重合,AD为折痕,求DB′的长.
15.(2022秋•绥德县期中)如图所示,折叠长方形一边AD,点D落在BC边的点F处,已知BC=10厘米,AB=8厘米.
(1)求BF与FC的长.
(2)求EC的长.
【能力提升】
16.(2022春•安乡县期中)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=12,BC=10,点D为BC的中点,点E为AC边上一动点,连接DE.将△CDE沿DE折叠,点C的对应点为点C'.若△AEC'为直角三角形,则AE的长为 .
17.(2020秋•海宁市期中)如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,D为BC上一点,将△ABD沿AD折叠至△AB′D,AB′交线段CD于点E.当△B′DE是直角三角形时,点D到AB的距离等于 .
18.(2022春•潼南区期中)如图,在矩形ABCD中,点M为矩形AD的中点,连接CM,沿着CM折叠,点D的对应点D',N为BC上一点,且BN<CN,沿MN折叠,恰好AM与D'M重合,此时点A的对应点为点D',若AB=6,BN=3.5,则A′到CM的距离为 .
专题04 勾股定理之图形折叠模型
初中数学中,有关折叠的问题也是相对比较难的问题,主要涉及求角的度数、求线段的 长度、求周长、面积等,其中求线段的长度的问题必然用到勾股定理.
【新方法解读】
图形折叠问题核心实质是轴对称性质,即先找出对称轴,再观察元素不变量与变量,然 后运用所学知识合理、有序、全面解决问题。图形折叠对象主要是三角形、矩形、梯形等, 考查问题涉及点坐标、角度、线段、周长、面积、图形规律、最值、三角函数、比例、解析 式等等,折叠问题中,“折”是过程,“叠”是结果,此题型灵活多变,能考查学生的自主探索 能力与空间想象能力以及推理能力,解决折叠问题,首先要对图形折叠有一定准确定位,把 握折叠实质,从点、线、面三个方面发现图形中的位置关系和数量关系,抓住图形的变量和 不变量,其次探索折叠变化规律,充分挖掘图形隐含的几何性质,运用所学知识合理、有序、 全面解决问题.
折叠性质:①对应线段相等(能够重合的线段)②对应角相等(能够重合的角) 性质记忆:折叠必有角相等、边相等。
处理策略:求什么设什么,找直角三角形,用勾股定理
【典例分析】
【典例1】(秋•高青县期末)如图,长方形ABCD沿AE折叠,使点D落在BC边上的F点处,若AD=5,AB=3,求EF的长度.
【解答】解:△AEF是△ADE通过折叠得到,∴△ADE≌△AFE,DE=EF
∵AB=3,AD=5,在Rt△ABF中,
利用勾股定理可得BF=4,
∴CF=1,设DE=EF=x,
则在Rt△CEF中,x2=(3﹣x)2+12
解得:x=.
答:EF的长为.
【变式1-1】(2022秋•槐荫区校级期末)已知,如图长方形ABCD中,AB=3cm,AD=9cm,将此长方形折叠,使点B与点D重合,折痕为EF,则△ABE的面积为( )
A.3cm2 B.4cm2 C.6cm2 D.12cm2
【答案】C
【解答】解:将此长方形折叠,使点B与点D重合,∴BE=ED.
∵AD=9cm=AE+DE=AE+BE.
∴BE=9﹣AE,
根据勾股定理可知AB2+AE2=BE2.
解得AE=4.
∴△ABE的面积为3×4÷2=6.故选:C.
【变式1-2】(荆州)如图,将边长为8cm的正方形ABCD折叠,使点D落在BC边的中点E处,点A落在F处,折痕为MN,则线段CN长是( )
A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm
【答案】A
【解答】解:设CN=xcm,则DN=(8﹣x)cm,由折叠的性质知EN=DN=(8﹣x)cm,
而EC=BC=4cm,在Rt△ECN中,由勾股定理可知EN2=EC2+CN2,即(8﹣x)2=16+x2,
整理得16x=48,所以x=3.
故选:A.
【变式1-3】(衡阳)如图,矩形纸片ABCD中,AB=4,AD=3,折叠纸片使AD边与对角线BD重合,折痕为DG,则AG的长为( )
A.1 B. C. D.2
【答案】C
【解答】解:由已知可得,△ADG≌△A′DG,BD=5
∴A′G=AG,A′D=AD=3,A′B=5﹣3=2,BG=4﹣A′G
在Rt△A′BG中,BG2=A′G2+A′B2可得,A′G=.
则AG=.
故选:C
【夯实基础】
1.(2021春•莆田期中)如图所示,把矩形纸条ABCD沿EF,GH同时折叠,B,C两点恰好落在AD边的P点处,若∠FPH的度数恰好为90°,PF=4,PH=3,则矩形ABCD的边BC的长为( )
A.10 B.11 C.12 D.15
【答案】C
【解答】解:∵矩形纸条ABCD沿EF,GH同时折叠,B,C两点恰好落在AD边的P点处,
∴BF=PF=4,CH=PH=3,
∵∠FPH=90°,
∴FH===5,
∴BC=BF+FH+CH=4+5+3=12,
故选:C.
2.(2021春•中山市期中)把一张矩形纸片ABCD按如图所示的方式进行折叠,使点B恰好与点D重合,折痕为EF,其中AB=3,BC=3.则△DEF的面积是( )
A.6 B.6 C.3 D.4
【答案】C
【解答】解:设DE=x,
∵AB=3,BC=3,
∴A′E=AE=3﹣x,A′D=AB=3,
∴A′D2+A′E2=DE2,即:
32+(3﹣x)2=x2,
解得:x=2,
∴DE=2,
S△DEF=×DE×CD=×2×3=3,
故选:C.
3.(2020春•红旗区校级月考)如图,将长方形纸片ABCD折叠,使点D与点B重合,折痕为EF.已知AB=4cm,BC=8cm,则△BEF的面积为( )
A.12cm2 B.10cm2 C.8.6cm2 D.8cm2
【答案】B
【解答】解:连接DF,
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD=BC=8cm,
∵将长方形纸片ABCD折叠,使点D与点B重合,
∴BE=DE,△BEF≌△DEF,
∵BE2=AB2+AE2,
∴DE2=16+(8﹣DE)2,
∴DE=5,
∴S△BEF=××4=10cm2=S△BEF,
故选:B
4.(2022春•通城县期末)如图,矩形ABCD中,AB=8,BC=4,将矩形沿AC折叠,点D落在点D′处,则重叠部分△AFC的面积为 .
【答案】10
【解答】解:易证△AFD′≌△CFB,
∴D′F=BF,
设D′F=x,则AF=8﹣x,
在Rt△AFD′中,(8﹣x)2=x2+42,
解之得:x=3,
∴AF=AB﹣FB=8﹣3=5,
∴S△AFC=•AF•BC=10.
故答案为:10.
5.(2022春•夏津县期末)如图所示,折叠长方形的一边AD,使点D落在边BC的点F处,已知AB=8cm,BC=10cm,则EC的长为 cm.
【答案】3
【解答】解:∵D,F关于AE对称,所以△AED和△AEF全等,
∴AF=AD=BC=10,DE=EF,
设EC=x,则DE=8﹣x.
∴EF=8﹣x,
在Rt△ABF中,BF==6,
∴FC=BC﹣BF=4.
在Rt△CEF中,由勾股定理得:CE2+FC2=EF2,
即:x2+42=(8﹣x)2,解得x=3.
∴EC的长为3cm.
6.(2021秋•金牛区校级月考)如图,长方形纸片ABCD,沿折痕AE折叠边AD,使点D落在BC边上的点F处,已知AB=8,S△ABF=24,则EC的长为 .
【答案】3
【解答】解:∵AB=8,S△ABF=24
∴BF=6
在Rt△ABF中,AF==10
∴AD=AF=BC=10
∴CF=10﹣6=4
设EC=x,则EF=DE=8﹣x
在Rt△ECF中,(8﹣x)2=x2+42
解之得,x=3;故应填3.
7.(包头)如图,已知Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AC=6.沿DE折叠,使得点A与点B重合,则折痕DE的长为 .
【答案】2
【解答】解:由题意可得,BE平分∠ABC,DE=CE
又∠A=30°,AC=6
可得DE=AE
∴DE=(6﹣DE)
则DE=2.
故答案为2.
8.(2021秋•鼓楼区校级期末)如图,在△ABC中,∠C=90°,AB的垂直平分线交AB、AC于点D、E,若AC=8,BD=5,则CE的长度是 .
【答案】
【解答】解:如图所示,连接BE,
∵AB的垂直平分线交AB、AC于点D、E,BD=5,
∴BE=AE,AD=BD=5,
∴AB=5+5=10,
在Rt△ABC中,由勾股定理得:BC===6,
设CE=x,则BE=AE=8﹣x,
在Rt△CBE中,由勾股定理得:BC2+CE2=BE2,
∴62+x2=(8﹣x)2,
解得:x=,
∴CE=,
故答案为:.
9.(2021秋•景德镇期中)如图,△ABC的三边分别为AC=5,BC=12,AB=13,将△ABC沿AD折叠,使AC落在AB上.
(1)试判断△ABC的形状,并说明理由;
(2)求折痕AD的长.
【解答】解:(1)△ABC是直角三角形;(1分)
∵AC2+BC2=52+122=169=AB2,(2分)
∴∠C=90°;
∴△ABC是直角三角形.(1分)
(2)设折叠后点C与AB上的点E重合.
设CD=x,则DE=x,AE=5,BE=8,BD=12﹣x;
∵∠AED=∠C=90°,
∴在Rt△EBD中,x2+82=(12﹣x)2,
解得:x=,(3分)
∴AD==.(3分)
10.(2021•福田区校级开学)如图,长方形纸片ABCD中,BC=,DC=1,将它沿对角线BD折叠,使点C落在点F处,则图中阴影部分的面积是多少?
【解答】解:∵四边形ABCD是矩形,
∴∠C=90°,AD∥BC,AD=BC=,
∴∠EDB=∠DBC,
由折叠的性质,可得BF=BC=AD=,∠EBD=∠DBC,
∴∠EBD=∠EDB,
∴BE=DE,
∴AE=EF,
设AE=x,则EF=x,DE=AD﹣AE=BC﹣AE=﹣x
∵ED2=DF2+EF2,即(﹣x)2=12+x2,
解得x=,
∴S△DEF=•EF•DF=.
11.(春•黔南州期末)长方形纸片ABCD中,AD=4cm,AB=10cm,按如图方式折叠,使点B与点D重合,折痕为EF,求DE的长.
【解答】解:设DE=xcm,则BE=DE=x,AE=AB﹣BE=10﹣x,
△ADE中,DE2=AE2+AD2,即x2=(10﹣x)2+16.
∴x=(cm).
12.(秋•秀峰区校级期末)如图,将矩形ABCD沿直线AE折叠,顶点D恰好落在BC边上F点处,已知CE=3cm,AB=8cm,求图中阴影部分的面积.
【解答】解:由折叠可知△ADE和△AFE关于AE成轴对称,
故AF=AD,EF=DE=DC﹣CE=8﹣3=5.
所以CF=4,
设BF=xcm,则AF=AD=BC=x+4.
在Rt△ABF中,由勾股定理,得82+x2=(x+4)2.
解得x=6,故BC=10.
所以阴影部分的面积为:10×8﹣2S△ADE=80﹣50=30(cm2).
13.如图,在一张长方形ABCD纸张中,一边BC折叠后落在对角线BD上,点E为折痕与边CD的交点,若AB=5,BC=12,求图中阴影部分的面积.
【解答】解:因为BC折叠后落在对角线BD上,设C的对应点是F,则EF⊥BD,
△DEF是直角三角形,∠DFE=90°
因为BD是长方形ABCD的对角线,
所以BD=,
DF=13﹣12=1,
设CE=x,则EF=CE=x,DE=5﹣x,
在△DEF中,x2+12=(5﹣x)2,
解得,
所以图中阴影部分的面积.
14.(2020秋•临漳县期中)如图,Rt△ABC中,∠B=90°,AB=3,BC=4,将△ABC折叠,使点B恰好落在斜边AC上,与点B′重合,AD为折痕,求DB′的长.
【解答】解:在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=3,BC=4,
∴AC==5,
∵将△ABC折叠,使点B恰好落在斜边AC上,与点B′重合,
∴AB′=AB=3,DB′=BD,∠AB′D=∠CB′D=90°,
∴CB′=2,
设B′D=BD=x,则CD=4﹣x,
∵DB′2+CB′2=CD2,
∴x2+22=(4﹣x)2,
解得x=,
∴DB′=.
15.(2022秋•绥德县期中)如图所示,折叠长方形一边AD,点D落在BC边的点F处,已知BC=10厘米,AB=8厘米.
(1)求BF与FC的长.
(2)求EC的长.
【解答】解:(1)∵△ADE折叠后的图形是△AFE,
∴AD=AF,∠D=∠AFE,DE=EF.
∵AD=BC=10cm,
∴AF=AD=10cm.
又∵AB=8cm,在Rt△ABF中,根据勾股定理,得AB2+BF2=AF2
∴82+BF2=102,
∴BF=6cm,
∴FC=BC﹣BF=10﹣6=4cm.
(2)设EC的长为xcm,则DE=(8﹣x)cm.
在Rt△EFC中,根据勾股定理,得:FC2+EC2=EF2,
∴42+x2=(8﹣x)2,
即16+x2=64﹣16x+x2,
化简,得16x=48,
∴x=3,
故EC的长为3cm.
【能力提升】
16.(2022春•安乡县期中)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=12,BC=10,点D为BC的中点,点E为AC边上一动点,连接DE.将△CDE沿DE折叠,点C的对应点为点C'.若△AEC'为直角三角形,则AE的长为 .
【答案】或7
【解答】解:如图,当∠AEC'=90°时,则∠CEC'=90°,
∴∠CED=∠C'ED=45°,
∴∠CDE=45°,
∴CE=CD=5,
∴AE=AC﹣CE=12﹣5=7;
如图,当∠AC'E=90°时,
∵∠AC'E+∠DC'E=90°+90°=180°,
∴点A,C',D共线,
∴AD==13,
∵C'E=CE=12﹣AE,AC'=AD﹣C'D=8,
∴AE2=(12﹣AE)2+82,
∴AE=;
当∠C'AE=90°时,不存在,
综上所述,若△AEC为直角三角形,则AE的长为或7,
故答案为:或7.
17.(2020秋•海宁市期中)如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,D为BC上一点,将△ABD沿AD折叠至△AB′D,AB′交线段CD于点E.当△B′DE是直角三角形时,点D到AB的距离等于 .
【答案】0.6或1.5
【解答】解:∵∠C=90°,AC=3,BC=4,
∴AB=,
由折叠的性质得,BD=B'D,
∵△B′DE是直角三角形,
∴∠BDB'=∠B'DE=90°,
∴△BDB'是等腰直角三角形,
如图所示,过D作DF⊥AB于F,连接BB',
∴∠ADC=45°,
∴DC=AC=3,
∴BD=BC﹣DC=4﹣3=1,
∴DF=,
点E与点C重合时,△B′DE是直角三角形,
∴∠B'ED=90°,
∴此时点D到AB的距离等于1.5,
故答案为:0.6或1.5.
18.(2022春•潼南区期中)如图,在矩形ABCD中,点M为矩形AD的中点,连接CM,沿着CM折叠,点D的对应点D',N为BC上一点,且BN<CN,沿MN折叠,恰好AM与D'M重合,此时点A的对应点为点D',若AB=6,BN=3.5,则A′到CM的距离为 .
【答案】9.6
【解答】解:如图,过点A′作A′E⊥CM,连接A′M,
∵四边形ABCD为矩形,AB=6,BN=3.5,
∴CD=6,∠A=∠B=∠D=90°,
∵△CDM沿CM折叠得到△CD′M,四边形ABNM沿MN折叠得到四边形D′A′NM,
∴A′N=BN=3.5,A′D′=AB=6,CD′=CD=6,∠NA′D′=∠B=90°,∠A′D′M=∠A=90°,∠CD′M=∠D=90°,
∴A′C=A′D′+CD′=12,
∴CN==12.5,
∴AD=BC=BN+CN=16,
∵点M为矩形AD的中点,
∴DM=8,
∴D′M=8,CM==10,
∵S△A′CM=×A′C×D′M=×CM×A′E,
∴A′E===9.6,
∴点A′到CM的距离为9.6,
故答案为:9.6.
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