【期末满分攻略】2022-2023学年北师大版八年级数学下册讲学案-专题09 不等式应用综合（4大类型）

这是一份【期末满分攻略】2022-2023学年北师大版八年级数学下册讲学案-专题09 不等式应用综合（4大类型），共29页。学案主要包含了考点1 盈利问题，变式1-1，变式1-2，变式1-3，考点2 行程问题，变式2-1，变式2-2，变式2-3等内容，欢迎下载使用。

类型一：盈利问题
类型二：行程问题
类型三：经济问题
类型四：方案问题
典例分析
【考点1 盈利问题】
【典例1】（2020•富阳区一模）为了治理环境，九年级部分同学去植树，若每人平均植树7棵，还剩9棵；若每人平均植树9棵．则有1名同学植树的棵树小于8棵．若设同学人数为x人，下列各项能准确的求出同学人数与种植的树木的数量的是（ ）
A．7x+9﹣9（x﹣1）＞0 B．7x+9﹣9（x﹣1）＜8
C． D．
【变式1-1】我市某学校有住宿生若干名，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还有19人无宿舍住；若每间住7人，则有一间宿舍不空但所住的人数不足5人．若设宿舍间数为x，根据题意x应满足的不等式（组）为（ ）
A．4x+19﹣7（x﹣1）＞0 B．4x+19﹣7（x﹣1）＜5
C． D．
【变式1-2】（2022春•高明区校级期末）现在有住宿生若干名，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还有19人无宿舍住；若每间住6人，则有一间宿舍不空也不满．若设宿舍间数为x，则可以列得不等式组为 ．
【变式1-3】（2022春•西区期中）将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友能分到不足5个苹果．这一箱苹果的个数是 ，小朋友的人数是 ．
【考点2 行程问题】
【典例2】（2022春•沈阳期末）某人要完成2.1千米的路程，并要在18分钟内到达，已知他每分钟走90米．若跑步每分钟可跑210米，问这人完成这段路程，至少要跑多少分钟？设要跑x分钟，则列出的不等式为（ ）
A．210x+90（18﹣x）≥2100B．90x+210（18﹣x）≤2100
C．210x+90（18﹣x）≥2.1D．210x+90（18﹣x）＞2.1
【变式2-1】（2022春•濮阳期末）爆破员要爆破一座旧桥，根据爆破情况，安全距离是70米（人员要撤到70米或70米以外），下面是已知的一些数据，人员撤离速度是7米/秒，导火索的燃烧速度是10.3厘米/秒，请问这次爆破的导火索至少多长才能确保安全？（ ）
A．100厘米B．101厘米C．102厘米D．103厘米
【变式2-2】（2022春•思明区校级月考）在四川抗震救灾中，某抢险地段需实行爆破．操作人员点燃导火线后，要在炸药爆炸前跑到450米以外的安全区域．已知导火线的燃烧速度是1.3厘米/秒，操作人员跑步的速度是5米/秒．为了保证操作人员的安全，导火线的长度要超过（ ）
A．87厘米B．97厘米C．107厘米D．117厘米
【变式2-3】（2022秋•高新区期末）如图，甲乙两人同时沿着边长为30米的等边三角形，按逆时针的方向行走，甲从A以65米/分的速度，乙从B以71米/分的速度行走，当乙第一次追上甲时在等边三角形的（ ）
A．AB边上B．点B处C．BC边上D．AC边上
【典例3】（2022•岳麓区校级二模）李明同学早上骑自行车上学，中途因道路施工需步行一段路，到学校共用时18分钟他骑自行车的平均速度是300米/分钟，步行的平均速度是120米/分钟，他家离学校的距离是4500米．
（1）李明上学时骑自行车的路程和步行的路程分别为多少米？
（2）放学后李明从5：40开始离校回家，但此时道路施工的地段增长了600米，如果按照上学时的速度，问李明能否在6：00之前到家？请通过计算说明．
【变式3-1】（2022•永吉县模拟）张翔从学校出发骑自行车去县城，中途因道路施工步行一段距离，1.5h后到达县城．他骑车的平均速度是15km/h，步行的平均速度是5km/h，路程长20km，他骑车与步行各用多少时间？
【变式3-2】（2022•市北区二模）小颖和小华进行百米赛跑，小颖的平均速度是7m/s，小华的平均速度是6m/s，小颖让小华先跑10米．
（1）求小颖何时追上小华；
（2）求从什么时间开始，小颖到终点的距离不超过16米；
（3）求小颖何时和小华相距5米．
【考点3 经济问题】
【典例4】（2022•金水区校级开学）某商品进价是400元，标价是500元，商店要求利润不低于10%，需按标价打折出售，最多可以打（ ）
A．8折B．7折C．7.5折D．8.8折
【变式4-1】（2022秋•川汇区期末）一种新型笔记本售价2.3元/本，小华计划用班费230元购买这种笔记本100本供班级使用．购买时恰逢店家促销活动：如果一次买100本以上（不含100本），售价是2.25元/本．则小华最多可买多少本？（ ）
A．100B．101C．102D．103
【变式4-2】（2022秋•辛集市期末）右图是“大润发”超市中“飘柔”洗发水的价格标签，一服务员不小心将墨水滴在标签上，使得原价看不清楚，请你帮忙算一算，该洗发水的原价为（ ）
A．22元B．23元C．24元D．26元
【变式4-3】（2022春•佛山月考）若一件商品的进价为500元，标价为750元，商店要求以利润率不低于5%的售价打折出售，设打x折，那么列出的不等式为 ．
【典例5】（2022春•衡阳期末）超市购进一批A、B两种品牌的饮料共320箱，其中A品牌比B品牌多80箱．此两种饮料每箱的进价和售价如下表所示：
（1）问销售一箱B品牌的饮料获得的利润是多少元？（注：利润＝售价﹣进价）
（2）问该商场购进A、B两种品牌的饮料各多少箱？
（3）受市场经济影响，该商场调整销售策略，A品牌的饮料每箱打折销售，B品牌的饮料每箱售价改为38元．为使新购进的A、B两种品牌的饮料全部售出且利润不少于700元，问A种品牌的饮料每箱最低打几折出售？
【变式5-1】（2022•松北区开学）某商店购进甲、乙两种商品，若购进甲种商品3件和乙种商品4件需270元；若购进甲种商品6件和乙种商品5件需450元．
（1）求甲、乙两种商品每件的进价分别为多少元？
（2）该商店购进甲、乙两种商品共80件，其中甲种商品以每件70元出售，乙种商品以每件40元出售，甲、乙两种商品全部销售完，该商店所获利润不少于1300元，求至少购进甲种商品多少件？
【变式5-2】（2022•历下区一模）某商场计划购进A、B两种新型台灯共80盏，它们的进价与售价如表所示：
（1）若商场预计进货款为2900元，则这两种台灯各购进多少盏？
（2）将两种台灯全部售出，若总利润不低于1500元，则该商场最多购进多少盏A型台灯？
【考点4 方案问题】
【典例6】（2022春•龙亭区校级月考）2022年开封市中招体育考试项目为：长跑、1分钟跳绳为必考项目；足球运球、篮球运球（可任选一项）；双手正面掷实心球、立定跳远（可任选一项）．我校为了备考练习，准备重新购买新的足球和跳绳若干根，若购买12个足球和10根跳绳，共需1400元；若购买10个足球和12根跳绳，共需1240元．
（1）求足球和跳绳的单价分别是多少元？
（2）学校决定购买足球和跳绳共60个，且跳绳的数量不多于足球数量的，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
【变式6-1】（2019春•郾城区期末）星光厨具店购进电饭煲和电压锅两种电器进行销售其进价与售价如表
（1）一季度，厨具店购进这两种电器共30台，用去了5600元，并且全部售完，问厨具店在该买卖中赚了多少钱？
（2）为了满足市场需求，二季度厨具店决定采购电饭煲和电压锅共50台，且电饭煲的数量不大于电压锅的，请你通过计算判断，如何进货厨具店赚钱最多？最大利润是多少？
【变式6-2】（2021•黔东南州）去冬今春，我市部分地区遭受了罕见的旱灾，“旱灾无情人有情”．某单位给某乡中小学捐献一批饮用水和蔬菜共320件，其中饮用水比蔬菜多80件．
（1）求饮用水和蔬菜各有多少件？
（2）现计划租用甲、乙两种货车共8辆，一次性将这批饮用水和蔬菜全部运往该乡中小学．已知每辆甲种货车最多可装饮用水40件和蔬菜10件，每辆乙种货车最多可装饮用水和蔬菜各20件．则运输部门安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来；
（3）在（2）的条件下，如果甲种货车每辆需付运费400元，乙种货车每辆需付运费360元．运输部门应选择哪种方案可使运费最少？最少运费是多少元？
【变式6-3】（2021·梁河月考）实施乡村振兴战略，打造乡村美丽家园．为解决某镇乡村灌溉问题，县政府部门招标一工程队，负责完成在某村山脚下修建一座水库的土方施工任务．该工程队有 A ， B 两种型号的挖掘机，已知4台 A 型和2台 B 型挖掘机同时施工一小时挖土150立方米；3台 A 型和7台 B 型挖掘机同时施工一小时挖土195立方米．每台 A 型挖掘机一小时的施工费用为300元，每台 B 型挖掘机一小时的施工费用为180元．
（1）分别求每台 A 型， B 型挖掘机一小时挖土多少立方米？
（2）若不同数量的 A 型和 B 型挖掘机共12台同时施工4小时，至少完成1080立方米的挖土量，且总费用不超过12960元，问施工时有哪几种调配方案？
夯实基础
1．（2022春•容县期末）某汽车厂改进生产工艺后，每天生产的汽车比原来每天生产的汽车多6辆，那么现在15天的产量就超过了原来20天的产量．若设原来每天最多能生产x辆，则关于x的不等式为（ ）
A．15x＞20（x+6）B．15（x+6）≥20x
C．15x＞20（x﹣6）D．15（x+6）＞20x
2．（2021•朝阳区一模）小明拿40元钱购买雪糕和矿泉水，已知每瓶矿泉水2元，每支雪糕1.5元，他买了5瓶矿泉水，x支雪糕，则所列关于x的不等式正确的是（ ）
A．2x+1.5×5＜40B．2x+1.5×5≤40
C．2×5+1.5x≥40D．2×5+1.5x≤40
3．（2022春•禅城区期末）某次知识竞赛共有30道题，每一题答对得5分，答错或不答都扣3分，小亮得分要超过70分，他至少要答对多少道题？如果设小亮答对了x道题，根据题意列式得（ ）
A．5x﹣3（30+x）≥70B．5x+3（30﹣x）≤70
C．5x+3（30﹣x）＞70D．5x﹣3（30﹣x）＞70
4．（玉林模拟）某种商品的进价为400元，出售时标价为600元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但在保证利润率不低于5%，则至少可打（ ）
A．6折B．7折C．8折D．9折
5．（2022春•江汉区期末）把一些书分给几名同学，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人就分不到3本，那么这些书共有 本．
6．在四川抗震救灾中，某抢险地段需实行爆破．操作人员点燃导火线后，要在炸药爆炸前跑到400米以外的安全区域．已知导火线的燃烧速度是1.2厘米/秒，操作人员跑步的速度是5米/秒．为了保证操作人员的安全，导火线的长度要超过 厘米．
7．（2022•长垣市一模）书法是中华民族的文化瑰宝，是人类文明的宝贵财富，是我国基础教育的重要内容．某学校准备为学生的书法课购买一批毛笔和宣纸，已知购买40支毛笔和100张宣纸需要280元；购买30支毛笔和200张宣纸需要260元．
（1）求毛笔和宣纸的单价；
（2）某超市给出以下两种优惠方案：
方案A：购买一支毛笔，赠送一张宣纸；
方案B：购买200张宣纸以上，超出的部分按原价打八折，毛笔不打折．
学校准备购买毛笔50支，宣纸若干张（超过200张）．选择哪种方案更划算？请说明理由．
8．（2022•南岗区模拟）哈尔滨地铁“三号线”正在进行修建，现有大量的残土需要运输．某车队有载重量为8吨、10吨的卡车共12辆，全部车辆运输一次可以运输110吨残土．
（1）求该车队有载重量8吨、10吨的卡车各多少辆？
（2）随着工程的进展，该车队需要一次运输残土不低于166吨，为了完成任务，该车队准备新购进这两种卡车共6辆，则最多购进载重量为8吨的卡车多少辆？
能力提升
9．有甲、乙两种客车，2辆甲种客车与3辆乙种客车的总载客量为170人，1辆甲种客车与2辆乙种客车的总载客量为100人．
（1）请问1辆甲种客车与1辆乙种客车的载客量分别为多少人？
（2）某单位组织180名员工到某革命家传统教育基地开展“纪念建党100周年”活动，拟租用甲、乙两种客车共5辆，总费用在1950元的限额内，一次将全部员工送到指定地点．若每辆甲种客车的租金为400元，每辆乙种客车的租金为320元，有哪几种租车方案，最少租车费用是多少？
10．（2022·长沙开学考）为加强校园阳光体育活动，某中学计划购进一批篮球和排球，经过调查得知每个篮球的价格比每个排球的价格贵40元，买5个篮球和10个排球共用1100元.
（1）求每个篮球和排球的价格分别是多少？
（2）某学校需购进篮球和排球共120个，总费用不超过9000元，但不低于8900元，问有几种购买方案？最低费用是多少？
专题0解答题技巧
9 不等式应用综合（4大类型）
类型一：盈利问题
类型二：行程问题
类型三：经济问题
类型四：方案问题
典例分析
【考点1 盈利问题】
【典例1】（2020•富阳区一模）为了治理环境，九年级部分同学去植树，若每人平均植树7棵，还剩9棵；若每人平均植树9棵．则有1名同学植树的棵树小于8棵．若设同学人数为x人，下列各项能准确的求出同学人数与种植的树木的数量的是（ ）
A．7x+9﹣9（x﹣1）＞0 B．7x+9﹣9（x﹣1）＜8
C． D．
【答案】C
【解答】解：设同学人数为x人，则种植的树木的数量为（7x+9）棵，由题意得：
，
故选：C．
【变式1-1】我市某学校有住宿生若干名，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还有19人无宿舍住；若每间住7人，则有一间宿舍不空但所住的人数不足5人．若设宿舍间数为x，根据题意x应满足的不等式（组）为（ ）
A．4x+19﹣7（x﹣1）＞0 B．4x+19﹣7（x﹣1）＜5
C． D．
【答案】C
【解答】解：∵若每间住4人，则还有19人无宿舍住，
∴学生总人数为（4x+19）人，
由题意得：，
故选：C．
【变式1-2】（2022春•高明区校级期末）现在有住宿生若干名，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还有19人无宿舍住；若每间住6人，则有一间宿舍不空也不满．若设宿舍间数为x，则可以列得不等式组为 ．
【答案】
【解答】解：∵若每间住4人，则还有19人无宿舍住，
∴学生总人数为（4x+19）人，
∵一间宿舍不空也不满，
∴学生总人数﹣（x﹣1）间宿舍的人数在1和5之间，
∴列的不等式组为：，
故答案为：．
【变式1-3】（2022春•西区期中）将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友能分到不足5个苹果．这一箱苹果的个数是 ，小朋友的人数是 ．
【答案】42,6
【解答】解：设有x位小朋友，则苹果为（5x+12）个，
依题意得：0＜5x+12﹣8（x﹣1）＜5，
可化为：，
解得：5＜x＜，
∵x是正整数，
∴x＝6，
当x＝6时，5x+12＝42；
∴这一箱苹果有42个，小朋友有6位，
故答案为：42，6．
【考点2 行程问题】
【典例2】（2022春•沈阳期末）某人要完成2.1千米的路程，并要在18分钟内到达，已知他每分钟走90米．若跑步每分钟可跑210米，问这人完成这段路程，至少要跑多少分钟？设要跑x分钟，则列出的不等式为（ ）
A．210x+90（18﹣x）≥2100B．90x+210（18﹣x）≤2100
C．210x+90（18﹣x）≥2.1D．210x+90（18﹣x）＞2.1
【答案】A
【解答】解：由题意得：210x+90（18﹣x）≥2100，
故选：A．
【变式2-1】（2022春•濮阳期末）爆破员要爆破一座旧桥，根据爆破情况，安全距离是70米（人员要撤到70米或70米以外），下面是已知的一些数据，人员撤离速度是7米/秒，导火索的燃烧速度是10.3厘米/秒，请问这次爆破的导火索至少多长才能确保安全？（ ）
A．100厘米B．101厘米C．102厘米D．103厘米
【答案】D
【解答】解：设这次爆破的导火索需要xcm才能确保安全，
•7≥70
x≥103．
这次爆破的导火索至少103cm才能确保安全．
故选：D．
【变式2-2】（2022春•思明区校级月考）在四川抗震救灾中，某抢险地段需实行爆破．操作人员点燃导火线后，要在炸药爆炸前跑到450米以外的安全区域．已知导火线的燃烧速度是1.3厘米/秒，操作人员跑步的速度是5米/秒．为了保证操作人员的安全，导火线的长度要超过（ ）
A．87厘米B．97厘米C．107厘米D．117厘米
【答案】D
【解答】解：设导火线的长度为x厘米，可列不等式：
450÷5＜x÷1.3，
解得：x＞117，
即导火线的长度要超过117厘米．
故选：D．
【变式2-3】（2022秋•高新区期末）如图，甲乙两人同时沿着边长为30米的等边三角形，按逆时针的方向行走，甲从A以65米/分的速度，乙从B以71米/分的速度行走，当乙第一次追上甲时在等边三角形的（ ）
A．AB边上B．点B处C．BC边上D．AC边上
【答案】A
【解答】解：设乙第一次追上甲需要x分钟，根据题意得：（71﹣65）x＝60，
解得：x＝10，
故甲走的路程为650米，
∵650÷30＝21…20，
∴甲此时在AB边上．或者按照乙来考虑，乙走的路程为710米，710÷30＝23.667也说明此时乙在AB边上，
故选：A．
【典例3】（2022•岳麓区校级二模）李明同学早上骑自行车上学，中途因道路施工需步行一段路，到学校共用时18分钟他骑自行车的平均速度是300米/分钟，步行的平均速度是120米/分钟，他家离学校的距离是4500米．
（1）李明上学时骑自行车的路程和步行的路程分别为多少米？
（2）放学后李明从5：40开始离校回家，但此时道路施工的地段增长了600米，如果按照上学时的速度，问李明能否在6：00之前到家？请通过计算说明．
【答案】（1）骑自行车的路程为：3900（米） 步行的路程为：600（米）
（2）不能
【解答】解：（1）设李明上学时骑自行车x分钟，则他步行时间为（18﹣x）分钟，根据题意得：
300x+120（18﹣x）＝4500
∴180x＝4500﹣2160
∴180x＝2340
∴x＝13，18﹣13＝5
∴李明上学时骑自行车的路程为：300×13＝3900（米）；
步行的路程为：4500﹣3900＝600（米）
答：李明上学时骑自行车的路程和步行的路程分别为3900米和600米．
（2）∵道路施工的地段增长了600米
∴需要步行的路程为600+600＝1200（米）
1200÷120＝10（分钟）
（4500﹣1200）÷300＝11（分钟）
11+10＝21（分钟）
∵放学后李明从5：40开始离校回家
∴李明到家时间为6：01
答：李明不能在6：00之前到家．
【变式3-1】（2022•永吉县模拟）张翔从学校出发骑自行车去县城，中途因道路施工步行一段距离，1.5h后到达县城．他骑车的平均速度是15km/h，步行的平均速度是5km/h，路程长20km，他骑车与步行各用多少时间？
【答案】骑车用了1.25小时，步行用了0.25小时
【解答】解：设他骑车所用时间为x小时，则他步行的时间为：（1.5﹣x）小时，
根据题意，得：15x+5（1.5﹣x）＝20，
解得：x＝1.25，
则他步行时间为：1.5﹣1.25＝0.25（小时）．
答：他骑车用了1.25小时，步行用了0.25小时．
【变式3-2】（2022•市北区二模）小颖和小华进行百米赛跑，小颖的平均速度是7m/s，小华的平均速度是6m/s，小颖让小华先跑10米．
（1）求小颖何时追上小华；
（2）求从什么时间开始，小颖到终点的距离不超过16米；
（3）求小颖何时和小华相距5米．
【答案】（1）10秒 （2）12≤y≤14 （3）5秒
【解答】解：（1）设经过x秒小颖追上小华，由题意得
7x﹣6x＝10
解得：x＝10
答：经过10秒小颖追上小华．
（2）设经过y秒后，小颖到终点的距离不超过16米，由题意得
0≤100﹣7y≤16
解得：12≤y≤14
答：从12秒开始，小颖到终点的距离不超过16米．
（3）设小颖追上小华之前，经a秒小颖和小华相距5米，
7a﹣6a＝10﹣5
解得：a＝5
设小颖追上小华之后，经b秒小颖和小华相距5米，
7b﹣6b＝10+5
解得：b＝15（不合题意，舍去）
答：经5秒小颖和小华相距5米．
【考点3 经济问题】
【典例4】（2022•金水区校级开学）某商品进价是400元，标价是500元，商店要求利润不低于10%，需按标价打折出售，最多可以打（ ）
A．8折B．7折C．7.5折D．8.8折
【答案】D
【解答】解：设可以打x折，根据题意可得：
500×﹣400≥400×10%，
解得：x≥8.8，
故选：D．
【变式4-1】（2022秋•川汇区期末）一种新型笔记本售价2.3元/本，小华计划用班费230元购买这种笔记本100本供班级使用．购买时恰逢店家促销活动：如果一次买100本以上（不含100本），售价是2.25元/本．则小华最多可买多少本？（ ）
A．100B．101C．102D．103
【答案】C
【解答】解：设小华可买x本笔记本，
依题意得，2.25x≤230，
解得x≤102，
答：最多买笔记本102本．
故选：C．
【变式4-2】（2022秋•辛集市期末）右图是“大润发”超市中“飘柔”洗发水的价格标签，一服务员不小心将墨水滴在标签上，使得原价看不清楚，请你帮忙算一算，该洗发水的原价为（ ）
A．22元B．23元C．24元D．26元
【答案】C
【解答】解：设洗发水的原价为x元，由题意得：
0.8x＝19.2，
解得：x＝24．
故选：C．
【变式4-3】（2022春•佛山月考）若一件商品的进价为500元，标价为750元，商店要求以利润率不低于5%的售价打折出售，设打x折，那么列出的不等式为 ．
【答案】750•﹣500≥500×5%
【解答】解：设打x折，由题意得：
750•﹣500≥500×5%，
故答案为：750•﹣500≥500×5%．
【典例5】（2022春•衡阳期末）超市购进一批A、B两种品牌的饮料共320箱，其中A品牌比B品牌多80箱．此两种饮料每箱的进价和售价如下表所示：
（1）问销售一箱B品牌的饮料获得的利润是多少元？（注：利润＝售价﹣进价）
（2）问该商场购进A、B两种品牌的饮料各多少箱？
（3）受市场经济影响，该商场调整销售策略，A品牌的饮料每箱打折销售，B品牌的饮料每箱售价改为38元．为使新购进的A、B两种品牌的饮料全部售出且利润不少于700元，问A种品牌的饮料每箱最低打几折出售？
【答案】（1）5元（2） A品牌饮料200箱，B品牌饮料120箱 （3）9折
【解答】解：（1）40﹣35＝5（元）．
答：销售一箱B品牌的饮料获得的利润是5元．
（2）设该商场购进A品牌饮料x箱，B品牌饮料y箱，
依题意，得：，
解得：．
答：该商场购进A品牌饮料200箱，B品牌饮料120箱．
（3）设A种品牌的饮料每箱打m折出售，
依题意，得：（63×﹣55）×200+（38﹣35）×120≥700，
解得：m≥9．
答：A种品牌的饮料每箱最低打9折出售．
【变式5-1】（2022•松北区开学）某商店购进甲、乙两种商品，若购进甲种商品3件和乙种商品4件需270元；若购进甲种商品6件和乙种商品5件需450元．
（1）求甲、乙两种商品每件的进价分别为多少元？
（2）该商店购进甲、乙两种商品共80件，其中甲种商品以每件70元出售，乙种商品以每件40元出售，甲、乙两种商品全部销售完，该商店所获利润不少于1300元，求至少购进甲种商品多少件？
【答案】（1）甲种商品每件的进价为50元，乙种商品每件的进价为30元．
（2）50件
【解答】解：（1）设甲种商品每件的进价为x元，乙种商品每件的进价为y元，
依题意得：，
解得：．
答：甲种商品每件的进价为50元，乙种商品每件的进价为30元．
（2）设购进甲种商品m件，则购进乙种商品（80﹣m）件，
依题意得：（70﹣50）m+（40﹣30）（80﹣m）≥1300，
解得：m≥50．
答：至少购进甲种商品50件．
【变式5-2】（2022•历下区一模）某商场计划购进A、B两种新型台灯共80盏，它们的进价与售价如表所示：
（1）若商场预计进货款为2900元，则这两种台灯各购进多少盏？
（2）将两种台灯全部售出，若总利润不低于1500元，则该商场最多购进多少盏A型台灯？
【答案】（1）A型台灯55盏，B型台灯25盏； （2）20盏A型台灯
【解答】解：（1）设购进A型台灯x盏，B型台灯y盏，
根据题意得：，
解得，
答：购进A型台灯55盏，B型台灯25盏；
（2）设购进A型台灯a盏，B型台灯（80﹣a）盏，
根据题意得：（45﹣30）a+（70﹣50）（80﹣a）≥1500，
解得a≤20，
答：该商场最多购进20盏A型台灯．
【考点4 方案问题】
【典例6】（2022春•龙亭区校级月考）2022年开封市中招体育考试项目为：长跑、1分钟跳绳为必考项目；足球运球、篮球运球（可任选一项）；双手正面掷实心球、立定跳远（可任选一项）．我校为了备考练习，准备重新购买新的足球和跳绳若干根，若购买12个足球和10根跳绳，共需1400元；若购买10个足球和12根跳绳，共需1240元．
（1）求足球和跳绳的单价分别是多少元？
（2）学校决定购买足球和跳绳共60个，且跳绳的数量不多于足球数量的，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
【答案】（1）足球和跳绳的单价分别为100元、20元 （2）足球45个，跳绳15个时，最省钱．
【解答】解：（1）设足球和跳绳的单价分别为x元、y元，
由题意得：，
解得：，
答：足球和跳绳的单价分别为100元、20元；
（2）设购买足球m个，则跳绳有（60﹣m）个，设总利润为W，
则W＝100m+20（60﹣m）
＝80m+1200，
∵60﹣m≤m，
解得m≥45，
∵W随m的增大而增大，
∴当m＝45时，W取得最小值，
即购买足球45个，跳绳15个时，最省钱．
【变式6-1】（2019春•郾城区期末）星光厨具店购进电饭煲和电压锅两种电器进行销售其进价与售价如表
（1）一季度，厨具店购进这两种电器共30台，用去了5600元，并且全部售完，问厨具店在该买卖中赚了多少钱？
（2）为了满足市场需求，二季度厨具店决定采购电饭煲和电压锅共50台，且电饭煲的数量不大于电压锅的，请你通过计算判断，如何进货厨具店赚钱最多？最大利润是多少？
【答案】（1）赚了1400元 （2）采购18台电饭煲，32台电压锅时，进货厨具店赚钱最多，最大利润是2180元
【解答】解：（1）每件电饭锅的利润：250﹣200＝50（元）；每件电压锅的利润：200﹣160＝40（元）
设购进的电饭煲x台，则购进的电压锅（30﹣x）台．
由题意得：200x+160（30﹣x）＝5600
解得：x＝20
则电压锅：30﹣20＝10（台）
总利润＝50×20+40×10＝1400 （元）
答：橱具店在该买卖中赚了1400元．
（2）设采购的电饭煲有 n 台，则采购的电压锅有（50﹣n）台
由题意得：总利润z＝50n+40 （50﹣n）＝2000+10n
∵n≤（50﹣n），
∴n≤
当n＝18时，总利润z最大，则最大的利润为2000+10×18＝2180（元）
答：采购18台电饭煲，32台电压锅时，进货厨具店赚钱最多，最大利润是2180元．
【变式6-2】（2021•黔东南州）去冬今春，我市部分地区遭受了罕见的旱灾，“旱灾无情人有情”．某单位给某乡中小学捐献一批饮用水和蔬菜共320件，其中饮用水比蔬菜多80件．
（1）求饮用水和蔬菜各有多少件？
（2）现计划租用甲、乙两种货车共8辆，一次性将这批饮用水和蔬菜全部运往该乡中小学．已知每辆甲种货车最多可装饮用水40件和蔬菜10件，每辆乙种货车最多可装饮用水和蔬菜各20件．则运输部门安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来；
（3）在（2）的条件下，如果甲种货车每辆需付运费400元，乙种货车每辆需付运费360元．运输部门应选择哪种方案可使运费最少？最少运费是多少元？
【答案】（1）饮用水和蔬菜分别为200件和120件 （2） ①甲车2辆，乙车6辆；②甲车3辆，乙车5辆；③甲车4辆，乙车4辆 （3）甲车2辆，乙车6辆，可使运费最少，最少运费是2960元
【解答】解：（1）设饮用水有x件，则蔬菜有（x﹣80）件．
x+（x﹣80）＝320，
解这个方程，得x＝200．
∴x﹣80＝120．
答：饮用水和蔬菜分别为200件和120件；
（2）设租用甲种货车m辆，则租用乙种货车（8﹣m）辆．
得：
，
解这个不等式组，得2≤m≤4．
∵m为正整数，
∴m＝2或3或4，安排甲、乙两种货车时有3种方案．
设计方案分别为：
①甲车2辆，乙车6辆；②甲车3辆，乙车5辆；③甲车4辆，乙车4辆；
（3）3种方案的运费分别为：
①2×400+6×360＝2960（元）；
②3×400+5×360＝3000（元）；
③4×400+4×360＝3040（元）；
∴方案①运费最少，最少运费是2960元．
答：运输部门应选择甲车2辆，乙车6辆，可使运费最少，最少运费是2960元．
【变式6-3】（2021·梁河月考）实施乡村振兴战略，打造乡村美丽家园．为解决某镇乡村灌溉问题，县政府部门招标一工程队，负责完成在某村山脚下修建一座水库的土方施工任务．该工程队有 A ， B 两种型号的挖掘机，已知4台 A 型和2台 B 型挖掘机同时施工一小时挖土150立方米；3台 A 型和7台 B 型挖掘机同时施工一小时挖土195立方米．每台 A 型挖掘机一小时的施工费用为300元，每台 B 型挖掘机一小时的施工费用为180元．
（1）分别求每台 A 型， B 型挖掘机一小时挖土多少立方米？
（2）若不同数量的 A 型和 B 型挖掘机共12台同时施工4小时，至少完成1080立方米的挖土量，且总费用不超过12960元，问施工时有哪几种调配方案？
【答案】（1）A型挖掘机一小时挖土30立方米，每台B型挖掘机一小时挖土15立方米 （2）4种调配方案
【解答】（1）解：设每台A型挖掘机一小时挖土x立方米，每台B型挖掘机一小时挖土y立方米，
依题意得：
4x+2y=1503x+7y=195 ，
解得： x=30y=15 ．
答：每台A型挖掘机一小时挖土30立方米，每台B型挖掘机一小时挖土15立方米；
（2）解：设调配m台A型挖掘机，则调配（12-m）台B型挖掘机，
依题意得：
4×30×m+4×15(12−m)≥10804×300×m+4×180(12−m)≤12960 ，
解得：6≤m≤9．
又∵m为正整数，
∴m可以为6，7，8，9，
∴施工时共有4种调配方案，
方案1：调配6台A型挖掘机，6台B型挖掘机；
方案2：调配7台A型挖掘机，5台B型挖掘机；
方案3：调配8台A型挖掘机，4台B型挖掘机；
方案4：调配9台A型挖掘机，3台B型挖掘机．
夯实基础
1．（2022春•容县期末）某汽车厂改进生产工艺后，每天生产的汽车比原来每天生产的汽车多6辆，那么现在15天的产量就超过了原来20天的产量．若设原来每天最多能生产x辆，则关于x的不等式为（ ）
A．15x＞20（x+6）B．15（x+6）≥20x
C．15x＞20（x﹣6）D．15（x+6）＞20x
【答案】D
【解答】解：设原来每天最多能生产x辆，由题意得：
15（x+6）＞20x，
故选：D．
2．（2021•朝阳区一模）小明拿40元钱购买雪糕和矿泉水，已知每瓶矿泉水2元，每支雪糕1.5元，他买了5瓶矿泉水，x支雪糕，则所列关于x的不等式正确的是（ ）
A．2x+1.5×5＜40B．2x+1.5×5≤40
C．2×5+1.5x≥40D．2×5+1.5x≤40
【答案】D
【解答】解：根据题意，可列不等式2×5+1.5x≤40，
故选：D．
3．（2022春•禅城区期末）某次知识竞赛共有30道题，每一题答对得5分，答错或不答都扣3分，小亮得分要超过70分，他至少要答对多少道题？如果设小亮答对了x道题，根据题意列式得（ ）
A．5x﹣3（30+x）≥70B．5x+3（30﹣x）≤70
C．5x+3（30﹣x）＞70D．5x﹣3（30﹣x）＞70
【答案】D
【解答】解：设小亮答对了x道题，根据题意列式得：
5x﹣3（30﹣x）＞70．
故选：D．
4．（玉林模拟）某种商品的进价为400元，出售时标价为600元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但在保证利润率不低于5%，则至少可打（ ）
A．6折B．7折C．8折D．9折
【答案】B
【解答】解：设打了x折，
由题意得，600×0.1x﹣400≥400×5%，
解得：x≥7．
答：至少打7折．
故选：B．
5．（2022春•江汉区期末）把一些书分给几名同学，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人就分不到3本，那么这些书共有 本．
【答案】26
【解答】解：设共有x名学生，则图书共有（3x+8）本，
由题意得：，
解得：5＜x≤6.5，
∵x为非负整数，
∴x＝6．
∴这些书共有：3×6+8＝26（本）．
故答案为：26．
6．在四川抗震救灾中，某抢险地段需实行爆破．操作人员点燃导火线后，要在炸药爆炸前跑到400米以外的安全区域．已知导火线的燃烧速度是1.2厘米/秒，操作人员跑步的速度是5米/秒．为了保证操作人员的安全，导火线的长度要超过 厘米．
【答案】96
【解答】解：设导火线的长度为x厘米，可列不等式：＞，
解得：x＞96，
所以为了保证工作人员的安全，导火线的长度必须超过96厘米．
7．（2022•长垣市一模）书法是中华民族的文化瑰宝，是人类文明的宝贵财富，是我国基础教育的重要内容．某学校准备为学生的书法课购买一批毛笔和宣纸，已知购买40支毛笔和100张宣纸需要280元；购买30支毛笔和200张宣纸需要260元．
（1）求毛笔和宣纸的单价；
（2）某超市给出以下两种优惠方案：
方案A：购买一支毛笔，赠送一张宣纸；
方案B：购买200张宣纸以上，超出的部分按原价打八折，毛笔不打折．
学校准备购买毛笔50支，宣纸若干张（超过200张）．选择哪种方案更划算？请说明理由．
【答案】（1）毛笔的单价为6元，宣纸的单价为0.4元．
（2） 略
【解答】解：（1）设毛笔的单价为x元，宣纸的单价为y元，
依题意得：，
解得：．
答：毛笔的单价为6元，宣纸的单价为0.4元．
（2）设购买宣纸m（m＞200）张．
选择方案A所需费用为50×6+0.4×（m﹣50）＝0.4m+280（元）；
选择方案B所需费用为50×6+0.4×200+0.4×0.8×（m﹣200）＝0.32m+316．
当0.4m+280＜0.32m+316时，解得：m＜450，
∴当200＜m＜450时，选择方案A更划算；
当0.4m+280＝0.32m+316时，解得：m＝450，
∴当m＝450时，选择方案A和方案B所需费用一样；
当0.4m+280＞0.32m+316时，解得：m＞450，
∴当m＞450时，选择方案B更划算．
答：当购买的宣纸数量超过200张不足450张时，选择方案A更划算；当购买的宣纸数量等于450张时，选择两方案所需费用相同；当购买的宣纸数量超过450张时，选择方案B更划算．
8．（2022•南岗区模拟）哈尔滨地铁“三号线”正在进行修建，现有大量的残土需要运输．某车队有载重量为8吨、10吨的卡车共12辆，全部车辆运输一次可以运输110吨残土．
（1）求该车队有载重量8吨、10吨的卡车各多少辆？
（2）随着工程的进展，该车队需要一次运输残土不低于166吨，为了完成任务，该车队准备新购进这两种卡车共6辆，则最多购进载重量为8吨的卡车多少辆？
【答案】（1） 8吨的卡车5辆，载重量10吨的卡车7辆．（2）2辆
【解答】解：（1）设该车队有载重量8吨的卡车x辆，载重量10吨的卡车y辆，
依题意，得：， 解得：，
答：该车队有载重量8吨的卡车5辆，载重量10吨的卡车7辆．
（2）设购进载重量8吨的卡车m辆，则购进载重量10吨的卡车（6﹣m）辆，
依题意，得：110+8m+10（6﹣m）≥166，
解得：m≤2，
∴m可取的最大值为2．
答：最多购进载重量8吨的卡车2辆．
能力提升
9．有甲、乙两种客车，2辆甲种客车与3辆乙种客车的总载客量为170人，1辆甲种客车与2辆乙种客车的总载客量为100人．
（1）请问1辆甲种客车与1辆乙种客车的载客量分别为多少人？
（2）某单位组织180名员工到某革命家传统教育基地开展“纪念建党100周年”活动，拟租用甲、乙两种客车共5辆，总费用在1950元的限额内，一次将全部员工送到指定地点．若每辆甲种客车的租金为400元，每辆乙种客车的租金为320元，有哪几种租车方案，最少租车费用是多少？
【答案】（1）1辆甲种客车的载客量为40人，1辆乙种客车的载客量为30人；
（2）2种租车方案，最少租车费用是1840元．
【解答】（1）解：设1辆甲种客车的载客量为x人，1辆乙种客车的载客量为y人，根据题意得：
2x+3y=170x+2y=100，
解得x=40y=30，
答：1辆甲种客车的载客量为40人，1辆乙种客车的载客量为30人；
（2）解：设租用甲种客车a辆，则租用乙种客车（5﹣a）辆，依题意有：
40a+30(5−a)≥180400a+320(5−a)≤1950，
解得3≤a≤358，
∵a为整数，
∴a＝3或4，
当a＝3时，租3辆甲车，2辆乙车，费用为：3×400+2×320＝1840（元），
当a＝4时，租4辆甲车，1辆乙车，费用为：4×400+1×320＝1920（元），
故有2种租车方案，最少租车费用是1840元．
10．（2022·长沙开学考）为加强校园阳光体育活动，某中学计划购进一批篮球和排球，经过调查得知每个篮球的价格比每个排球的价格贵40元，买5个篮球和10个排球共用1100元.
（1）求每个篮球和排球的价格分别是多少？
（2）某学校需购进篮球和排球共120个，总费用不超过9000元，但不低于8900元，问有几种购买方案？最低费用是多少？
【答案】（1）每个排球的价格为60元，则每个篮球的价格为100元
（2）3种购买方案：
方案一：学校购买篮球43个，排球77个；
方案二：学校购买篮球44个，排球76个；
方案三：学校购买篮球45个，排球75个；
其中方案一费用最低，最低费用为8920元.
【解答】（1）解：设每个排球的价格为x元，则每个篮球的价格为（x+40）元
根据题意有5(x+40)+10x=1100
解得x=60∴x+40=60+40=100
所以每个排球的价格为60元，则每个篮球的价格为100元.
（2）解：设购进篮球y个，则购进排球（120-y）个
根据题意有100y+60(120−y)≤9000100y+60(120−y)≥8900
解得42.5≤y≤45
∵y为整数∴y=43，44，45
当y=43时，120−y=77，则费用为100×43+60×77=4300+4620=8920（元）；
当y=44时，120−y=76，则费用为100×44+60×76=4400+4560=8960（元）；
当y=45时，120−y=75，则费用为100×45+60×75=4500+4500=9000（元）；
有3种购买方案：
方案一：学校购买篮球43个，排球77个；
方案二：学校购买篮球44个，排球76个；
方案三：学校购买篮球45个，排球75个；
其中方案一费用最低，最低费用为8920元品牌
A
B
进价（元/箱）
55
35
售价（元/箱）
63
40
类型价格
进价（元/盏）
售价（元/盏）
A型
30
45
B型
50
70
进价（元/台）
售价（元/台）
电饭煲
200
250
电压锅
160
200
品牌
A
B
进价（元/箱）
55
35
售价（元/箱）
63
40
类型价格
进价（元/盏）
售价（元/盏）
A型
30
45
B型
50
70
进价（元/台）
售价（元/台）
电饭煲
200
250
电压锅
160
200