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【期末满分攻略】2022-2023学年浙教版七年级数学下册讲学案-专题04 平行线常考解答题必刷
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这是一份【期末满分攻略】2022-2023学年浙教版七年级数学下册讲学案-专题04 平行线常考解答题必刷，共38页。
专题04 平行线常考解答题必刷
真题再现
1．（2022春•弥勒市校级月考）如图所示，∠1＝∠2，CF⊥AB，DE⊥AB，垂足分别为点F、E，求证：FG∥BC．
证明：∵CF⊥AB、DE⊥AB（已知）
∴∠BED＝90°、∠BFC＝90°
∴∠BED＝∠BFC
∴（ ）∥（ ）
（ ）
∴∠1＝∠BCF（ ）
又∵∠1＝∠2（已知）
∴∠2＝∠BCF（ ）
∴FG∥BC（ ）
2．（2022春•双流区校级期中）如图，点G在CD上，已知∠BAG+∠AGD＝180°，EA平分∠BAG，FG平分∠AGC，请说明AE∥GF的理由．
解：因为∠BAG+∠AGD＝180°（ ），
∠AGC+∠AGD＝180°（ ），
所以∠BAG＝∠AGC（ ）．
因为EA平分∠BAG，
所以∠1＝ （ ）．
因为FG平分∠AGC，
所以∠2＝ ，
得∠1＝∠2（ ），
所以AE∥GF（ ）．
3．（2022春•汝南县月考）如图，直线AE、CF分别被直线EF、AC所截，已知，∠1＝∠2，AB平分∠EAC，CD平分∠ACG．将下列证明AB∥CD的过程及理由填写完整．
证明：因为∠1＝∠2，所以 ∥ ，（ ）
所以∠EAC＝∠ACG，（ ）
因为AB平分∠EAC，CD平分∠ACG，
所以 ＝， ＝，
所以 ＝ ，
所以AB∥CD（ ）．
4．（2021•齐河县校级开学）填写理由：如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠4＝∠BAE，试说明AD∥BE．
解：∵∠1＝∠2（已知）
∴∠1+∠CAF＝∠2+∠CAF（ ）
即∠BAF＝∠
∵∠3＝∠4，∠4＝∠BAE（已知）
∴∠3＝∠ （ ）
∴∠3＝∠
∴AD∥BE（ ）
5．（2022春•岱岳区期末）AB⊥BC，∠1+∠2＝90°，∠2＝∠3．BE与DF平行吗？为什么？
解：BE∥DF．
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝ °，
即∠3+∠4＝ °．
又∵∠1+∠2＝90°，
且∠2＝∠3，
∴ ＝ ．
理由是： ．
∴BE∥DF．
理由是： ．
6．（2022•南谯区开学）完成下面的证明：
如图，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠α+∠β＝90°，求证：AB∥CD．
证明：∵BE平分∠ABD （ ）
∴∠ABD＝2∠α （ ）
∵DE平分∠BDC（已知）
∵∠BDC＝ （ ）
∴∠ABD+∠BDC＝2∠α+2∠β＝2（∠α+∠β） （ ）
∵∠α+∠β＝90°（已知）
∴∠ABD+∠BDC＝180°（ ）
∴AB∥CD （ ）
7．（2022春•秀山县期末）如图，已知CD⊥DA，DA⊥AB，∠1＝∠2．试说明DF∥AE．请你完成下列填空，把证明过程补充完整．
证明：∵ ，
∴∠CDA＝90°，∠DAB＝90°（ ）．
∴∠1+∠3＝90°，∠2+∠4＝90°．
又∵∠1＝∠2，
∴ （ ），
∴DF∥AE（ ）．
8．（2022春•渑池县期中）已知：如图，AB∥CD，AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，求∠APC的度数；请补全下列解法中的空缺部分．
解：过点P作PG∥AB交AC于点G．
∵AB∥CD（ ），
∴ +∠ACD＝180°（ ），
∵PG∥AB（ ），
∴∠BAP＝ （ ），
且PG∥ （平行于同一直线的两直线也互相平行），
∴∠GPC＝ （两直线平行，内错角相等），
∵AP平分∠BAC，CP平分∠ACD．
∴∠BAP＝∠ ，∠PCD＝∠ ．（ ），
∴∠BAP+∠PCD＝∠BAC+∠ACD＝90°（ ），
∴∠APC＝∠APG+∠CPG＝∠BAP+∠CDP＝90°．
总结：两直线平行时，同旁内角的角平分线 ．
9．（2022春•玄武区校级期中）补充完成下列证明过程，并填上推理的依据．
已知：如图，∠BEC＝∠B+∠C．求证：AB∥CD．
证明：延长BE交CD于点F，则∠BEC＝∠EFC+∠C．（ ）
又∵∠BEC＝∠B+∠C，
∴∠B＝ ，（等量代换）
∴AB∥CD． （ ）
10．（2022春•罗湖区校级期末）如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠6．求证：ED∥FB．在下面的括号中填上推理依据．
证明：∵∠3＝∠4（已知）
∴CF∥BD
∴∠5+∠CAB＝180°
∵∠5＝∠6（已知）
∴∠6+∠CAB＝180°（等式的性质）
∴AB∥CD
∴∠2＝∠EGA
∵∠1＝∠2（已知）
∴∠1＝∠EGA（等量代换）
∴ED∥FB ．
11．（2022春•莱芜区校级期中）已知，如图，∠1＝∠ABC＝∠ADC，∠3＝∠5，∠2＝∠4，∠ABC+∠BCD＝180°，将下列推理过程补充完整：
（1）∵∠1＝∠ABC（已知）
∴AD∥BC（ ）
（2）∵∠3＝∠5（已知）
∴ ∥ （内错角相等，两直线平行）
（3）∵∠ABC+∠BCD＝180°（已知）
∴ ∥ ，（ ）
12．（2022春•长安区校级月考）已知，如图，∠ABC＝∠ADC，BF，DE分别平分∠ABC与∠ADC，且∠1＝∠3．求证：AB∥DC，请根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由．
证明：
∵BF，DE分别平分∠ABC与∠ADC（已知），
∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ADC（ ）．
∵∠ABC＝∠ADC（ ），
∴∠ ＝∠ （等量代换）．
∵∠1＝∠3（ ），
∴∠2＝∠ （ ）．
∴AB∥DC（ ）．
13．（2022春•洪泽区月考）如图，填推理过程的理由：
已知：∠1+∠2＝180°，求证：a∥b
证明：∵∠1＝∠3 （ ）
∠1+∠2＝180° （ ）
∴∠3+∠2＝180° （ ）
∴a∥b （ ）．
14．（2022春•南川区期中）如图，∠BAP+∠APD＝180°，∠1＝∠2，∠E＝40°，试求∠F的度数．
证明：∵∠BAP+∠APD＝180°，
∴AB∥CD．
∴∠BAP＝ ．
又∵∠1＝∠2，
∴∠FPA＝ ，
∴AE∥ ．
∴∠F＝ ，
∴∠F＝40°．
15．（2022春•合江县期末）已知：如图，∠A＝∠ADE，∠C＝∠E．
（1）若∠EDC＝3∠C，求∠C的度数；
（2）求证：BE∥CD．
16．（2022春•泰山区校级月考）已知：如图，∠A＝∠F，∠C＝∠D．求证：BD∥CE．
17．（2022春•凤庆县期末）如图，已知∠A＝∠AGE，∠D＝∠DGC．
（1）求证：AB∥CD；
（2）若∠2+∠1＝180°，且∠BEC＝2∠B+30°，求∠C的度数．
18．（2022春•江阴市校级月考）已知：如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，E是AC上一点且∠1+∠2＝90°．求证：DE∥BC．
19．（2022春•建阳区期中）如图，已知∠AED＝60°，∠2＝30°，EF平分∠AED，可以判断EF∥BD吗？为什么？
20．（2022春•魏县期末）已知：如图，∠A＝∠ADE，∠C＝∠E．
（1）若∠EDC＝3∠C，求∠C的度数．
（2）求证：BE∥CD．
21．（2022春•青龙县期中）如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，点E在BC上，EF⊥AB，垂足为F．
（1）CD与EF平行吗？为什么？
（2）如果∠1＝∠2，DG∥BC吗？为什么？
22．（2022春•商河县期末）如图，B，F，E，C在同一条直线上，∠A＝∠D．
（1）若∠A＝78°，∠C＝47°，求∠BFD的度数．
（2）若∠AEB+∠BFD＝180°，求证：AB∥CD．
23．（2022春•临渭区期末）如图，∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B．求证：DE∥BC．
24．（2022春•东台市期中）已知：如图，∠1＝∠2，∠3＝∠E．求证：AD∥BE．
25.（2022春•盐都区月考）已知：DE⊥AO于E，BO⊥AO，∠CFB＝∠EDO，试说明：CF∥DO．
26．（2022春•金川区校级期末）如图，已知∠1＝∠2，∠B＝∠C，求证：AB∥CD．
27．（2021秋•峄城区期末）如图，已知点E在BD上，AE⊥CE且EC平分∠DEF．
（1）求证：EA平分∠BEF；
（2）若∠1＝∠A，∠4＝∠C，求证：AB∥CD．
28．（2022春•晋安区校级月考）如图所示，AB∥CD，∠CEA＝3∠A，∠BFD＝3∠D，试说明：CE∥BF．
29．（2022春•汉阳区期中）如图，已知：∠1与∠2互补，∠A＝∠D，求证：AB∥CD．
30．（2022春•滨州期末）如图，已知∠1+∠2＝180°，∠A＝∠C，证明：AF∥CE．
31．（2022秋•长安区校级期末）如图，直线CD、EF交于点O，OA，OB分别平分∠COE和∠DOE，已知∠1+∠2＝90°，且∠2：∠3＝2：5．
（1）求∠BOF的度数；
（2）试说明AB∥CD的理由．
32．（2022春•云阳县期中）（1）如图①，若∠B+∠D＝∠BED，试猜想AB与CD的位置关系，并说明理由．
（2）如图②，要想得到AB∥CD，则∠1、∠2、∠3之间应满足怎样的位置关系？并说明理由．
专题04 平行线常考解答题必刷
真题再现
1．（2022春•弥勒市校级月考）如图所示，∠1＝∠2，CF⊥AB，DE⊥AB，垂足分别为点F、E，求证：FG∥BC．
证明：∵CF⊥AB、DE⊥AB（已知）
∴∠BED＝90°、∠BFC＝90°
∴∠BED＝∠BFC
∴（ ）∥（ ）
（ ）
∴∠1＝∠BCF（ ）
又∵∠1＝∠2（已知）
∴∠2＝∠BCF（ ）
∴FG∥BC（ ）
【解答】证明：∵CF⊥AB、DE⊥AB（已知），
∴∠BED＝90°，∠BFG＝90°，
∴∠BED＝∠BFC，
∴（ED）∥（FC）（同位角相等，两直线平行），
∴∠1＝∠BCF（两直线平行，同位角相等），
∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠BCF（等量代换），
∴FG∥BC（内错角相等，两直线平行），
故答案为：ED，FC，同位角相等，两直线平行，两直线平行，同位角相等，等量代换，内错角相等，两直线平行．
2．（2022春•双流区校级期中）如图，点G在CD上，已知∠BAG+∠AGD＝180°，EA平分∠BAG，FG平分∠AGC，请说明AE∥GF的理由．
解：因为∠BAG+∠AGD＝180°（ ），
∠AGC+∠AGD＝180°（ ），
所以∠BAG＝∠AGC（ ）．
因为EA平分∠BAG，
所以∠1＝ （ ）．
因为FG平分∠AGC，
所以∠2＝ ，
得∠1＝∠2（ ），
所以AE∥GF（ ）．
【解答】解：因为∠BAG+∠AGD＝180°（已知），
∠AGC+∠AGD＝180°（邻补角的定义），
所以∠BAG＝∠AGC（同角的补角相等），
因为EA平分∠BAG，
所以∠1＝∠BAG（角平分线的定义），
因为FG平分∠AGC，
所以∠2＝∠AGC，
得∠1＝∠2（等量代换），
所以AE∥GF（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：已知；邻补角的定义；同角的补角相等；∠BAG；角平分线的定义；∠AGC；等量代换；内错角相等，两直线平行．
3．（2022春•汝南县月考）如图，直线AE、CF分别被直线EF、AC所截，已知，∠1＝∠2，AB平分∠EAC，CD平分∠ACG．将下列证明AB∥CD的过程及理由填写完整．
证明：因为∠1＝∠2，所以 ∥ ，（ ）
所以∠EAC＝∠ACG，（ ）
因为AB平分∠EAC，CD平分∠ACG，
所以 ＝， ＝，
所以 ＝ ，
所以AB∥CD（ ）．
【解答】证明：因为∠1＝∠2，所以AE∥CF（同位角相等，两直线平行），
所以∠EAC＝∠ACG（两直线平行，内错角相等），
因为AB平分∠EAC，CD平分∠ACG，
所以∠3＝，∠4＝，
所以∠3＝∠4，
所以AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
4．（2021•齐河县校级开学）填写理由：如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠4＝∠BAE，试说明AD∥BE．
解：∵∠1＝∠2（已知）
∴∠1+∠CAF＝∠2+∠CAF（ ）
即∠BAF＝∠
∵∠3＝∠4，∠4＝∠BAE（已知）
∴∠3＝∠ （ ）
∴∠3＝∠
∴AD∥BE（ ）
【解答】解：∵∠1＝∠2（已知），
∴∠1+∠CAF＝∠2+∠CAF（等式的性质），
即∠BAF＝∠DAC，
∵∠3＝∠4，∠4＝∠BAE（已知），
∴∠3＝∠BAE（等量代换），
∴∠3＝∠DAC，
∴AD∥BE（内错角相等，两直线平行），
故答案为：等式的性质；DAC；BAE，等量代换；DAC；内错角相等，两直线平行．
5．（2022春•岱岳区期末）AB⊥BC，∠1+∠2＝90°，∠2＝∠3．BE与DF平行吗？为什么？
解：BE∥DF．
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝ °，
即∠3+∠4＝ °．
又∵∠1+∠2＝90°，
且∠2＝∠3，
∴ ＝ ．
理由是： ．
∴BE∥DF．
理由是： ．
【解答】解：BE∥DF，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
即∠3+∠4＝90°．
又∵∠1+∠2＝90°，
且∠2＝∠3，
∴∠1＝∠4，
理由是：等角的余角相等，
∴BE∥DF．
理由是：同位角相等，两直线平行．
故答案为：90；90；∠1，∠4；等角的余角相等；同位角相等，两直线平行．
6．（2022•南谯区开学）完成下面的证明：
如图，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠α+∠β＝90°，求证：AB∥CD．
证明：∵BE平分∠ABD （ ）
∴∠ABD＝2∠α （ ）
∵DE平分∠BDC（已知）
∵∠BDC＝ （ ）
∴∠ABD+∠BDC＝2∠α+2∠β＝2（∠α+∠β） （ ）
∵∠α+∠β＝90°（已知）
∴∠ABD+∠BDC＝180°（ ）
∴AB∥CD （ ）
【解答】证明：BE平分∠ABD（已知），
∴∠ABD＝2∠α（角平分线的定义）．
∵DE平分∠BDC（已知），
∴∠BDC＝2∠β （角平分线的定义）
∴∠ABD+∠BDC＝2∠α+2∠β＝2（∠α+∠β）（等量代换）
∵∠α+∠β＝90°（已知），
∴∠ABD+∠BDC＝180°（等量代换）．
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．
故答案为：已知，角平分线的定义，2∠β，角平分线的定义，等量代换，等量代换，同旁内角互补两直线平行．
7．（2022春•秀山县期末）如图，已知CD⊥DA，DA⊥AB，∠1＝∠2．试说明DF∥AE．请你完成下列填空，把证明过程补充完整．
证明：∵ ，
∴∠CDA＝90°，∠DAB＝90°（ ）．
∴∠1+∠3＝90°，∠2+∠4＝90°．
又∵∠1＝∠2，
∴ （ ），
∴DF∥AE（ ）．
【解答】证明：∵CD⊥DA，DA⊥AB，
∴∠CDA＝90°，∠DAB＝90°，（垂直定义）
∴∠1+∠3＝90°，∠2+∠4＝90°．
又∵∠1＝∠2，
∴∠3＝∠4，（等角的余角相等）
∴DF∥AE．（内错角相等，两直线平行）
故答案为：CD⊥DA，DA⊥AB，垂直定义，∠3＝∠4，等角的余角相等，内错角相等，两直线平行．
8．（2022春•渑池县期中）已知：如图，AB∥CD，AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，求∠APC的度数；请补全下列解法中的空缺部分．
解：过点P作PG∥AB交AC于点G．
∵AB∥CD（ ），
∴ +∠ACD＝180°（ ），
∵PG∥AB（ ），
∴∠BAP＝ （ ），
且PG∥ （平行于同一直线的两直线也互相平行），
∴∠GPC＝ （两直线平行，内错角相等），
∵AP平分∠BAC，CP平分∠ACD．
∴∠BAP＝∠ ，∠PCD＝∠ ．（ ），
∴∠BAP+∠PCD＝∠BAC+∠ACD＝90°（ ），
∴∠APC＝∠APG+∠CPG＝∠BAP+∠CDP＝90°．
总结：两直线平行时，同旁内角的角平分线 ．
【解答】解：过点P作PG∥AB交AC于点G．
∵AB∥CD（已知），
∴∠CAB+∠ACD＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵PG∥AB（已知），
∴∠BAP＝∠APG（两直线平行，内错角相等），
且PG∥CD（平行于同一直线的两直线也互相平行），
∴∠GPC＝∠PCD（两直线平行，内错角相等），
∵AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，
∴，（角平分线定义），
∴（等量代换），
∴∠APC＝∠APG+∠CPG＝∠BAP+∠CDP＝90°．
总结：两直线平行时，同旁内角的角平分线互相垂直．
故答案为：已知；∠CAB；两直线平行，同旁内角互补；CD；∠PCD；BAC；ACD；角平分线定义；等量代换；互相垂直．
9．（2022春•玄武区校级期中）补充完成下列证明过程，并填上推理的依据．
已知：如图，∠BEC＝∠B+∠C．求证：AB∥CD．
证明：延长BE交CD于点F，则∠BEC＝∠EFC+∠C．（ ）
又∵∠BEC＝∠B+∠C，
∴∠B＝ ，（等量代换）
∴AB∥CD． （ ）
【解答】证明：延长BE交CD于点F．则∠BEC＝∠EFC+∠C．（三角形的外角等于与它不相邻的两内角的和）．
又∵∠BEC＝∠B+∠C，
∴∠B＝∠EFC，（等量代换）
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：三角形的外角等于与它不相邻的两内角的和，∠EFC，内错角相等，两直线平行．
10．（2022春•罗湖区校级期末）如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠6．求证：ED∥FB．在下面的括号中填上推理依据．
证明：∵∠3＝∠4（已知）
∴CF∥BD
∴∠5+∠CAB＝180°
∵∠5＝∠6（已知）
∴∠6+∠CAB＝180°（等式的性质）
∴AB∥CD
∴∠2＝∠EGA
∵∠1＝∠2（已知）
∴∠1＝∠EGA（等量代换）
∴ED∥FB ．
【解答】证明：∵∠3＝∠4（已知），
∴CF∥BD（内错角相等，两直线平行），
∴∠5+∠CAB＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∵∠5＝∠6（已知），
∴∠6+∠CAB＝180°（等式的性质），
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），
∴∠2＝∠EGA（两直线平行，同位角相等）．
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠1＝∠EGA（等量代换），
∴ED∥FB（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；同位角相等，两直线平行．
11．（2022春•莱芜区校级期中）已知，如图，∠1＝∠ABC＝∠ADC，∠3＝∠5，∠2＝∠4，∠ABC+∠BCD＝180°，将下列推理过程补充完整：
（1）∵∠1＝∠ABC（已知）
∴AD∥BC（ ）
（2）∵∠3＝∠5（已知）
∴ ∥ （内错角相等，两直线平行）
（3）∵∠ABC+∠BCD＝180°（已知）
∴ ∥ ，（ ）
【解答】解：（1））∵∠1＝∠ABC（已知）
∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：同位角相等，两直线平行；
（2）∵∠3＝∠5，
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：AB，CD；
（3））∵∠ABC+∠BCD＝180°（已知）
∴AB∥CD，（同旁内角互补，两直线平行）．
故答案为：AB，CD，同旁内角互补，两直线平行．
12．（2022春•长安区校级月考）已知，如图，∠ABC＝∠ADC，BF，DE分别平分∠ABC与∠ADC，且∠1＝∠3．求证：AB∥DC，请根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由．
证明：
∵BF，DE分别平分∠ABC与∠ADC（已知），
∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ADC（ ）．
∵∠ABC＝∠ADC（ ），
∴∠ ＝∠ （等量代换）．
∵∠1＝∠3（ ），
∴∠2＝∠ （ ）．
∴AB∥DC（ ）．
【解答】证明：∵BF，DE分别平分∠ABC与∠ADC（已知），
∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ADC（角平分线的定义），
∵∠ABC＝∠ADC（已知），
∴∠1＝∠2（等量代换），
∵∠1＝∠3（已知），
∴∠2＝∠3（等量代换），
∴AB∥DC（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：角平分线的定义；已知；1，2；已知；3，等量代换；内错角相等，两直线平行．
13．（2022春•洪泽区月考）如图，填推理过程的理由：
已知：∠1+∠2＝180°，求证：a∥b
证明：∵∠1＝∠3 （ ）
∠1+∠2＝180° （ ）
∴∠3+∠2＝180° （ ）
∴a∥b （ ）．
【解答】证明：∵∠1＝∠3，（对顶角相等）
∠1+∠2＝180°，（已知）
∴∠3+∠2＝180°，（等量代换）
∴a∥b （同旁内角互补，两直线平行）．
故答案为：对顶角相等，已知，等量代换，同旁内角互补，两直线平行．
14．（2022春•南川区期中）如图，∠BAP+∠APD＝180°，∠1＝∠2，∠E＝40°，试求∠F的度数．
证明：∵∠BAP+∠APD＝180°，
∴AB∥CD．
∴∠BAP＝ ．
又∵∠1＝∠2，
∴∠FPA＝ ，
∴AE∥ ．
∴∠F＝ ，
∴∠F＝40°．
【解答】证明：∵∠BAP+∠APD＝180°，
∴AB∥CD．
∴∠BAP＝∠APC．
又∵∠1＝∠2，
∴∠FPA＝∠EAP，
∴AE∥FP．
∴∠F＝∠E，
∴∠F＝40°．
故答案是：∠APC；∠EAP；FP；∠E．
15．（2022春•合江县期末）已知：如图，∠A＝∠ADE，∠C＝∠E．
（1）若∠EDC＝3∠C，求∠C的度数；
（2）求证：BE∥CD．
【解答】解：（1）∵∠A＝∠ADE，
∴AC∥DE，
∴∠EDC+∠C＝180°，
又∵∠EDC＝3∠C，
∴4∠C＝180°，
即∠C＝45°；
（2）∵AC∥DE，
∴∠E＝∠ABE，
又∵∠C＝∠E，
∴∠C＝∠ABE，
∴BE∥CD．
16．（2022春•泰山区校级月考）已知：如图，∠A＝∠F，∠C＝∠D．求证：BD∥CE．
【解答】证明：∵∠A＝∠F，
∴AC∥DF，
∴∠C＝∠FEC，
∵∠C＝∠D，
∴∠D＝∠FEC，
∴BD∥CE．
17．（2022春•凤庆县期末）如图，已知∠A＝∠AGE，∠D＝∠DGC．
（1）求证：AB∥CD；
（2）若∠2+∠1＝180°，且∠BEC＝2∠B+30°，求∠C的度数．
【解答】证明：（1）∵∠A＝∠AGE，∠D＝∠DGC，
又∵∠AGE＝∠DGC，
∴∠A＝∠D，
∴AB∥CD；
（2）∵∠1+∠2＝180°，
又∵∠CGD+∠2＝180°，
∴∠CGD＝∠1，
∴CE∥FB，
∴∠C＝∠BFD，∠CEB+∠B＝180°．
又∵∠BEC＝2∠B+30°，
∴2∠B+30°+∠B＝180°，
∴∠B＝50°．
又∵AB∥CD，
∴∠B＝∠BFD，
∴∠C＝∠BFD＝∠B＝50°．
18．（2022春•江阴市校级月考）已知：如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，E是AC上一点且∠1+∠2＝90°．求证：DE∥BC．
【解答】证明：∵CD⊥AB（已知），
∴∠1+∠3＝90°（垂直定义）．
∵∠1+∠2＝90°（已知），
∴∠3＝∠2（同角的余角相等）．
∴DE∥BC（内错角相等，两直线平行）．
19．（2022春•建阳区期中）如图，已知∠AED＝60°，∠2＝30°，EF平分∠AED，可以判断EF∥BD吗？为什么？
【解答】解：EF∥BD；理由如下：
∵∠AED＝60°，EF平分∠AED，
∴∠FED＝30°，
又∵∠FED＝∠2＝30°，
∴EF∥BD（内错角相等，两直线平行）．
20．（2022春•魏县期末）已知：如图，∠A＝∠ADE，∠C＝∠E．
（1）若∠EDC＝3∠C，求∠C的度数．
（2）求证：BE∥CD．
【解答】解：（1）∵∠A＝∠ADE，
∴AC∥DE，
∴∠EDC+∠C＝180°，
又∵∠EDC＝3∠C，
∴4∠C＝180°，
即∠C＝45°；
（2）∵AC∥DE，
∴∠E＝∠ABE，
又∵∠C＝∠E，
∴∠C＝∠ABE，
∴BE∥CD．
21．（2022春•青龙县期中）如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，点E在BC上，EF⊥AB，垂足为F．
（1）CD与EF平行吗？为什么？
（2）如果∠1＝∠2，DG∥BC吗？为什么？
【解答】解：（1）CD∥EF，
理由是：∵CD⊥AB，EF⊥AB，
∴∠CDF＝∠EFB＝90°，
∴CD∥EF．
（2）DG∥BC，
理由是：∵CD∥EF，
∴∠2＝∠BCD，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠BCD，
∴DG∥BC．
22．（2022春•商河县期末）如图，B，F，E，C在同一条直线上，∠A＝∠D．
（1）若∠A＝78°，∠C＝47°，求∠BFD的度数．
（2）若∠AEB+∠BFD＝180°，求证：AB∥CD．
【解答】（1）解：∵∠A＝78°，∠A＝∠D，
∴∠D＝78°，
∵∠C＝47°，
∴∠BFD＝∠D+∠C＝78°+47°＝125°；
（2）证明：∵∠AEB+∠BFD＝180°，∠CFD+∠BFD＝180°，
∴∠AEB＝∠CFD，
∵∠A＝∠D，
∴（180°﹣∠A﹣∠B）+（∠C+∠D）＝180°，
∴∠B＝∠C，
∴AB∥CD．
23．（2022春•临渭区期末）如图，∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B．求证：DE∥BC．
【解答】证明：∵∠1+∠2＝180°（已知），∠2+∠ADC＝180°（平角定义），
∴∠1＝∠ADC，
∴EF∥AB（同位角相等，两直线平行），
∴∠3＝∠ADE（两直线平行，内错角相等），
又∵∠3＝∠B（已知），
∴∠ADE＝∠B，
∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）．
24．（2022春•东台市期中）已知：如图，∠1＝∠2，∠3＝∠E．求证：AD∥BE．
【解答】证明：∵∠1＝∠2，∠3＝∠E，
∴∠1+∠3＝∠2+∠E．
∵∠2+∠E＝∠5，
∴∠1+∠3＝∠5，
∴∠ADC＝∠5，
∴AD∥BE．
解法二：∵∠1＝∠2，
∴BD∥EC，
∴∠4＝∠E，
∵∠3＝∠E，
∴∠3＝∠4，
∴AD∥BE．
25.（2022春•盐都区月考）已知：DE⊥AO于E，BO⊥AO，∠CFB＝∠EDO，试说明：CF∥DO．
【解答】解：∵DE⊥AO于E，BO⊥AO，
∴DE∥OB，
∴∠EDO＝∠DOF，
∵∠CFB＝∠EDO，
∴∠CFB＝∠DOF，
∴CF∥DO．
26．（2022春•金川区校级期末）如图，已知∠1＝∠2，∠B＝∠C，求证：AB∥CD．
【解答】证明：∵∠1＝∠2（已知），∠1＝∠4（对顶角相等），
∴∠2＝∠4（等量替换），
∴CE∥BF（同位角相等，两直线平行），
∴∠3＝∠C（两直线平行，同位角相等）．
又∵∠B＝∠C（已知），
∴∠3＝∠B（等量替换），
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
27．（2021秋•峄城区期末）如图，已知点E在BD上，AE⊥CE且EC平分∠DEF．
（1）求证：EA平分∠BEF；
（2）若∠1＝∠A，∠4＝∠C，求证：AB∥CD．
【解答】证明：（1）∵AE⊥CE，
∴∠AEC＝90°，
∴∠2+∠3＝90°且∠1+∠4＝90°，
又∵EC平分∠DEF，
∴∠3＝∠4，
∴∠1＝∠2，
∴EA平分∠BEF；
（2）∵∠1＝∠A，∠4＝∠C，
∴∠1+∠A+∠4+∠C＝2（∠1+∠4）＝180°，
∴∠B+∠D＝（180°﹣2∠1）+（180°﹣2∠4）＝360°﹣2（∠1+∠4）＝180°，
∴AB∥CD．
28．（2022春•晋安区校级月考）如图所示，AB∥CD，∠CEA＝3∠A，∠BFD＝3∠D，试说明：CE∥BF．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠A＝∠D，
∵∠CEA＝3∠A，∠BFD＝3∠D，
∴∠AEC＝∠BFD，
∵∠AEC+∠CED＝180°，∠BFD+∠BFA＝180°，
∴∠CED＝∠BFA，
∴CE∥BF．
29．（2022春•汉阳区期中）如图，已知：∠1与∠2互补，∠A＝∠D，求证：AB∥CD．
【解答】证明：∵∠1＝∠CGD，∠1与∠2互补，
∴∠CGD+∠2＝180°，
∴AF∥ED，
∴∠A+∠AED＝180°，
∵∠A＝∠D，
∴∠D+∠AED＝180°，
∴AB∥CD．
30．（2022春•滨州期末）如图，已知∠1+∠2＝180°，∠A＝∠C，证明：AF∥CE．
【解答】解：∵∠1＝∠CMN（对顶角相等），
又∵∠1+∠2＝180°（已知），
∴∠2+∠CMN＝180°（等量代换），
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），
∴∠A＝∠FDC（两直线平行，同位角相等），
∵∠A＝∠C（已知），
∴∠FDC＝∠C（等量代换），
∴AF∥CE（内错角相等，两直线平行）．
31．（2022秋•长安区校级期末）如图，直线CD、EF交于点O，OA，OB分别平分∠COE和∠DOE，已知∠1+∠2＝90°，且∠2：∠3＝2：5．
（1）求∠BOF的度数；
（2）试说明AB∥CD的理由．
【解答】解：（1）∵OA，OB分别平分∠COE和∠DOE，
∴，，
∵∠COE+∠DOE＝180°，
∴∠2+∠AOC＝90°，
∵∠COE＝∠3，
∴，
∴，
∵∠2：∠3＝2：5，
∴，
∴，
∴∠2＝40°，
∴∠3＝100°，
∴∠BOF＝∠2+∠3＝140°；
（2）∵∠1+∠2＝90°，∠2+∠AOC＝90°，
∴∠1＝∠AOC，
∴AB∥CD．
32．（2022春•云阳县期中）（1）如图①，若∠B+∠D＝∠BED，试猜想AB与CD的位置关系，并说明理由．
（2）如图②，要想得到AB∥CD，则∠1、∠2、∠3之间应满足怎样的位置关系？并说明理由．
【解答】解：（1）如图1，延长BE交CD于F．
∵∠BED＝∠B+∠D，
∠BED＝∠EFD+∠D，
∴∠B＝∠EFD，
∴AB∥CD；
（2）∠1＝∠2+∠3．
理由如下：如图②，延长BA交CE于F，
∵AB∥CD（已知），
∴∠3＝∠EFA（两直线平行，同位角相等），
∵∠1＝∠2+∠EFA，
∴∠1＝∠2+∠3．
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真题再现
1．（2022春•弥勒市校级月考）如图所示，∠1＝∠2，CF⊥AB，DE⊥AB，垂足分别为点F、E，求证：FG∥BC．
证明：∵CF⊥AB、DE⊥AB（已知）
∴∠BED＝90°、∠BFC＝90°
∴∠BED＝∠BFC
∴（ ）∥（ ）
（ ）
∴∠1＝∠BCF（ ）
又∵∠1＝∠2（已知）
∴∠2＝∠BCF（ ）
∴FG∥BC（ ）
2．（2022春•双流区校级期中）如图，点G在CD上，已知∠BAG+∠AGD＝180°，EA平分∠BAG，FG平分∠AGC，请说明AE∥GF的理由．
解：因为∠BAG+∠AGD＝180°（ ），
∠AGC+∠AGD＝180°（ ），
所以∠BAG＝∠AGC（ ）．
因为EA平分∠BAG，
所以∠1＝ （ ）．
因为FG平分∠AGC，
所以∠2＝ ，
得∠1＝∠2（ ），
所以AE∥GF（ ）．
3．（2022春•汝南县月考）如图，直线AE、CF分别被直线EF、AC所截，已知，∠1＝∠2，AB平分∠EAC，CD平分∠ACG．将下列证明AB∥CD的过程及理由填写完整．
证明：因为∠1＝∠2，所以 ∥ ，（ ）
所以∠EAC＝∠ACG，（ ）
因为AB平分∠EAC，CD平分∠ACG，
所以 ＝， ＝，
所以 ＝ ，
所以AB∥CD（ ）．
4．（2021•齐河县校级开学）填写理由：如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠4＝∠BAE，试说明AD∥BE．
解：∵∠1＝∠2（已知）
∴∠1+∠CAF＝∠2+∠CAF（ ）
即∠BAF＝∠
∵∠3＝∠4，∠4＝∠BAE（已知）
∴∠3＝∠ （ ）
∴∠3＝∠
∴AD∥BE（ ）
5．（2022春•岱岳区期末）AB⊥BC，∠1+∠2＝90°，∠2＝∠3．BE与DF平行吗？为什么？
解：BE∥DF．
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝ °，
即∠3+∠4＝ °．
又∵∠1+∠2＝90°，
且∠2＝∠3，
∴ ＝ ．
理由是： ．
∴BE∥DF．
理由是： ．
6．（2022•南谯区开学）完成下面的证明：
如图，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠α+∠β＝90°，求证：AB∥CD．
证明：∵BE平分∠ABD （ ）
∴∠ABD＝2∠α （ ）
∵DE平分∠BDC（已知）
∵∠BDC＝ （ ）
∴∠ABD+∠BDC＝2∠α+2∠β＝2（∠α+∠β） （ ）
∵∠α+∠β＝90°（已知）
∴∠ABD+∠BDC＝180°（ ）
∴AB∥CD （ ）
7．（2022春•秀山县期末）如图，已知CD⊥DA，DA⊥AB，∠1＝∠2．试说明DF∥AE．请你完成下列填空，把证明过程补充完整．
证明：∵ ，
∴∠CDA＝90°，∠DAB＝90°（ ）．
∴∠1+∠3＝90°，∠2+∠4＝90°．
又∵∠1＝∠2，
∴ （ ），
∴DF∥AE（ ）．
8．（2022春•渑池县期中）已知：如图，AB∥CD，AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，求∠APC的度数；请补全下列解法中的空缺部分．
解：过点P作PG∥AB交AC于点G．
∵AB∥CD（ ），
∴ +∠ACD＝180°（ ），
∵PG∥AB（ ），
∴∠BAP＝ （ ），
且PG∥ （平行于同一直线的两直线也互相平行），
∴∠GPC＝ （两直线平行，内错角相等），
∵AP平分∠BAC，CP平分∠ACD．
∴∠BAP＝∠ ，∠PCD＝∠ ．（ ），
∴∠BAP+∠PCD＝∠BAC+∠ACD＝90°（ ），
∴∠APC＝∠APG+∠CPG＝∠BAP+∠CDP＝90°．
总结：两直线平行时，同旁内角的角平分线 ．
9．（2022春•玄武区校级期中）补充完成下列证明过程，并填上推理的依据．
已知：如图，∠BEC＝∠B+∠C．求证：AB∥CD．
证明：延长BE交CD于点F，则∠BEC＝∠EFC+∠C．（ ）
又∵∠BEC＝∠B+∠C，
∴∠B＝ ，（等量代换）
∴AB∥CD． （ ）
10．（2022春•罗湖区校级期末）如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠6．求证：ED∥FB．在下面的括号中填上推理依据．
证明：∵∠3＝∠4（已知）
∴CF∥BD
∴∠5+∠CAB＝180°
∵∠5＝∠6（已知）
∴∠6+∠CAB＝180°（等式的性质）
∴AB∥CD
∴∠2＝∠EGA
∵∠1＝∠2（已知）
∴∠1＝∠EGA（等量代换）
∴ED∥FB ．
11．（2022春•莱芜区校级期中）已知，如图，∠1＝∠ABC＝∠ADC，∠3＝∠5，∠2＝∠4，∠ABC+∠BCD＝180°，将下列推理过程补充完整：
（1）∵∠1＝∠ABC（已知）
∴AD∥BC（ ）
（2）∵∠3＝∠5（已知）
∴ ∥ （内错角相等，两直线平行）
（3）∵∠ABC+∠BCD＝180°（已知）
∴ ∥ ，（ ）
12．（2022春•长安区校级月考）已知，如图，∠ABC＝∠ADC，BF，DE分别平分∠ABC与∠ADC，且∠1＝∠3．求证：AB∥DC，请根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由．
证明：
∵BF，DE分别平分∠ABC与∠ADC（已知），
∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ADC（ ）．
∵∠ABC＝∠ADC（ ），
∴∠ ＝∠ （等量代换）．
∵∠1＝∠3（ ），
∴∠2＝∠ （ ）．
∴AB∥DC（ ）．
13．（2022春•洪泽区月考）如图，填推理过程的理由：
已知：∠1+∠2＝180°，求证：a∥b
证明：∵∠1＝∠3 （ ）
∠1+∠2＝180° （ ）
∴∠3+∠2＝180° （ ）
∴a∥b （ ）．
14．（2022春•南川区期中）如图，∠BAP+∠APD＝180°，∠1＝∠2，∠E＝40°，试求∠F的度数．
证明：∵∠BAP+∠APD＝180°，
∴AB∥CD．
∴∠BAP＝ ．
又∵∠1＝∠2，
∴∠FPA＝ ，
∴AE∥ ．
∴∠F＝ ，
∴∠F＝40°．
15．（2022春•合江县期末）已知：如图，∠A＝∠ADE，∠C＝∠E．
（1）若∠EDC＝3∠C，求∠C的度数；
（2）求证：BE∥CD．
16．（2022春•泰山区校级月考）已知：如图，∠A＝∠F，∠C＝∠D．求证：BD∥CE．
17．（2022春•凤庆县期末）如图，已知∠A＝∠AGE，∠D＝∠DGC．
（1）求证：AB∥CD；
（2）若∠2+∠1＝180°，且∠BEC＝2∠B+30°，求∠C的度数．
18．（2022春•江阴市校级月考）已知：如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，E是AC上一点且∠1+∠2＝90°．求证：DE∥BC．
19．（2022春•建阳区期中）如图，已知∠AED＝60°，∠2＝30°，EF平分∠AED，可以判断EF∥BD吗？为什么？
20．（2022春•魏县期末）已知：如图，∠A＝∠ADE，∠C＝∠E．
（1）若∠EDC＝3∠C，求∠C的度数．
（2）求证：BE∥CD．
21．（2022春•青龙县期中）如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，点E在BC上，EF⊥AB，垂足为F．
（1）CD与EF平行吗？为什么？
（2）如果∠1＝∠2，DG∥BC吗？为什么？
22．（2022春•商河县期末）如图，B，F，E，C在同一条直线上，∠A＝∠D．
（1）若∠A＝78°，∠C＝47°，求∠BFD的度数．
（2）若∠AEB+∠BFD＝180°，求证：AB∥CD．
23．（2022春•临渭区期末）如图，∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B．求证：DE∥BC．
24．（2022春•东台市期中）已知：如图，∠1＝∠2，∠3＝∠E．求证：AD∥BE．
25.（2022春•盐都区月考）已知：DE⊥AO于E，BO⊥AO，∠CFB＝∠EDO，试说明：CF∥DO．
26．（2022春•金川区校级期末）如图，已知∠1＝∠2，∠B＝∠C，求证：AB∥CD．
27．（2021秋•峄城区期末）如图，已知点E在BD上，AE⊥CE且EC平分∠DEF．
（1）求证：EA平分∠BEF；
（2）若∠1＝∠A，∠4＝∠C，求证：AB∥CD．
28．（2022春•晋安区校级月考）如图所示，AB∥CD，∠CEA＝3∠A，∠BFD＝3∠D，试说明：CE∥BF．
29．（2022春•汉阳区期中）如图，已知：∠1与∠2互补，∠A＝∠D，求证：AB∥CD．
30．（2022春•滨州期末）如图，已知∠1+∠2＝180°，∠A＝∠C，证明：AF∥CE．
31．（2022秋•长安区校级期末）如图，直线CD、EF交于点O，OA，OB分别平分∠COE和∠DOE，已知∠1+∠2＝90°，且∠2：∠3＝2：5．
（1）求∠BOF的度数；
（2）试说明AB∥CD的理由．
32．（2022春•云阳县期中）（1）如图①，若∠B+∠D＝∠BED，试猜想AB与CD的位置关系，并说明理由．
（2）如图②，要想得到AB∥CD，则∠1、∠2、∠3之间应满足怎样的位置关系？并说明理由．
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真题再现
1．（2022春•弥勒市校级月考）如图所示，∠1＝∠2，CF⊥AB，DE⊥AB，垂足分别为点F、E，求证：FG∥BC．
证明：∵CF⊥AB、DE⊥AB（已知）
∴∠BED＝90°、∠BFC＝90°
∴∠BED＝∠BFC
∴（ ）∥（ ）
（ ）
∴∠1＝∠BCF（ ）
又∵∠1＝∠2（已知）
∴∠2＝∠BCF（ ）
∴FG∥BC（ ）
【解答】证明：∵CF⊥AB、DE⊥AB（已知），
∴∠BED＝90°，∠BFG＝90°，
∴∠BED＝∠BFC，
∴（ED）∥（FC）（同位角相等，两直线平行），
∴∠1＝∠BCF（两直线平行，同位角相等），
∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠BCF（等量代换），
∴FG∥BC（内错角相等，两直线平行），
故答案为：ED，FC，同位角相等，两直线平行，两直线平行，同位角相等，等量代换，内错角相等，两直线平行．
2．（2022春•双流区校级期中）如图，点G在CD上，已知∠BAG+∠AGD＝180°，EA平分∠BAG，FG平分∠AGC，请说明AE∥GF的理由．
解：因为∠BAG+∠AGD＝180°（ ），
∠AGC+∠AGD＝180°（ ），
所以∠BAG＝∠AGC（ ）．
因为EA平分∠BAG，
所以∠1＝ （ ）．
因为FG平分∠AGC，
所以∠2＝ ，
得∠1＝∠2（ ），
所以AE∥GF（ ）．
【解答】解：因为∠BAG+∠AGD＝180°（已知），
∠AGC+∠AGD＝180°（邻补角的定义），
所以∠BAG＝∠AGC（同角的补角相等），
因为EA平分∠BAG，
所以∠1＝∠BAG（角平分线的定义），
因为FG平分∠AGC，
所以∠2＝∠AGC，
得∠1＝∠2（等量代换），
所以AE∥GF（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：已知；邻补角的定义；同角的补角相等；∠BAG；角平分线的定义；∠AGC；等量代换；内错角相等，两直线平行．
3．（2022春•汝南县月考）如图，直线AE、CF分别被直线EF、AC所截，已知，∠1＝∠2，AB平分∠EAC，CD平分∠ACG．将下列证明AB∥CD的过程及理由填写完整．
证明：因为∠1＝∠2，所以 ∥ ，（ ）
所以∠EAC＝∠ACG，（ ）
因为AB平分∠EAC，CD平分∠ACG，
所以 ＝， ＝，
所以 ＝ ，
所以AB∥CD（ ）．
【解答】证明：因为∠1＝∠2，所以AE∥CF（同位角相等，两直线平行），
所以∠EAC＝∠ACG（两直线平行，内错角相等），
因为AB平分∠EAC，CD平分∠ACG，
所以∠3＝，∠4＝，
所以∠3＝∠4，
所以AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
4．（2021•齐河县校级开学）填写理由：如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠4＝∠BAE，试说明AD∥BE．
解：∵∠1＝∠2（已知）
∴∠1+∠CAF＝∠2+∠CAF（ ）
即∠BAF＝∠
∵∠3＝∠4，∠4＝∠BAE（已知）
∴∠3＝∠ （ ）
∴∠3＝∠
∴AD∥BE（ ）
【解答】解：∵∠1＝∠2（已知），
∴∠1+∠CAF＝∠2+∠CAF（等式的性质），
即∠BAF＝∠DAC，
∵∠3＝∠4，∠4＝∠BAE（已知），
∴∠3＝∠BAE（等量代换），
∴∠3＝∠DAC，
∴AD∥BE（内错角相等，两直线平行），
故答案为：等式的性质；DAC；BAE，等量代换；DAC；内错角相等，两直线平行．
5．（2022春•岱岳区期末）AB⊥BC，∠1+∠2＝90°，∠2＝∠3．BE与DF平行吗？为什么？
解：BE∥DF．
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝ °，
即∠3+∠4＝ °．
又∵∠1+∠2＝90°，
且∠2＝∠3，
∴ ＝ ．
理由是： ．
∴BE∥DF．
理由是： ．
【解答】解：BE∥DF，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
即∠3+∠4＝90°．
又∵∠1+∠2＝90°，
且∠2＝∠3，
∴∠1＝∠4，
理由是：等角的余角相等，
∴BE∥DF．
理由是：同位角相等，两直线平行．
故答案为：90；90；∠1，∠4；等角的余角相等；同位角相等，两直线平行．
6．（2022•南谯区开学）完成下面的证明：
如图，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠α+∠β＝90°，求证：AB∥CD．
证明：∵BE平分∠ABD （ ）
∴∠ABD＝2∠α （ ）
∵DE平分∠BDC（已知）
∵∠BDC＝ （ ）
∴∠ABD+∠BDC＝2∠α+2∠β＝2（∠α+∠β） （ ）
∵∠α+∠β＝90°（已知）
∴∠ABD+∠BDC＝180°（ ）
∴AB∥CD （ ）
【解答】证明：BE平分∠ABD（已知），
∴∠ABD＝2∠α（角平分线的定义）．
∵DE平分∠BDC（已知），
∴∠BDC＝2∠β （角平分线的定义）
∴∠ABD+∠BDC＝2∠α+2∠β＝2（∠α+∠β）（等量代换）
∵∠α+∠β＝90°（已知），
∴∠ABD+∠BDC＝180°（等量代换）．
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．
故答案为：已知，角平分线的定义，2∠β，角平分线的定义，等量代换，等量代换，同旁内角互补两直线平行．
7．（2022春•秀山县期末）如图，已知CD⊥DA，DA⊥AB，∠1＝∠2．试说明DF∥AE．请你完成下列填空，把证明过程补充完整．
证明：∵ ，
∴∠CDA＝90°，∠DAB＝90°（ ）．
∴∠1+∠3＝90°，∠2+∠4＝90°．
又∵∠1＝∠2，
∴ （ ），
∴DF∥AE（ ）．
【解答】证明：∵CD⊥DA，DA⊥AB，
∴∠CDA＝90°，∠DAB＝90°，（垂直定义）
∴∠1+∠3＝90°，∠2+∠4＝90°．
又∵∠1＝∠2，
∴∠3＝∠4，（等角的余角相等）
∴DF∥AE．（内错角相等，两直线平行）
故答案为：CD⊥DA，DA⊥AB，垂直定义，∠3＝∠4，等角的余角相等，内错角相等，两直线平行．
8．（2022春•渑池县期中）已知：如图，AB∥CD，AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，求∠APC的度数；请补全下列解法中的空缺部分．
解：过点P作PG∥AB交AC于点G．
∵AB∥CD（ ），
∴ +∠ACD＝180°（ ），
∵PG∥AB（ ），
∴∠BAP＝ （ ），
且PG∥ （平行于同一直线的两直线也互相平行），
∴∠GPC＝ （两直线平行，内错角相等），
∵AP平分∠BAC，CP平分∠ACD．
∴∠BAP＝∠ ，∠PCD＝∠ ．（ ），
∴∠BAP+∠PCD＝∠BAC+∠ACD＝90°（ ），
∴∠APC＝∠APG+∠CPG＝∠BAP+∠CDP＝90°．
总结：两直线平行时，同旁内角的角平分线 ．
【解答】解：过点P作PG∥AB交AC于点G．
∵AB∥CD（已知），
∴∠CAB+∠ACD＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵PG∥AB（已知），
∴∠BAP＝∠APG（两直线平行，内错角相等），
且PG∥CD（平行于同一直线的两直线也互相平行），
∴∠GPC＝∠PCD（两直线平行，内错角相等），
∵AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，
∴，（角平分线定义），
∴（等量代换），
∴∠APC＝∠APG+∠CPG＝∠BAP+∠CDP＝90°．
总结：两直线平行时，同旁内角的角平分线互相垂直．
故答案为：已知；∠CAB；两直线平行，同旁内角互补；CD；∠PCD；BAC；ACD；角平分线定义；等量代换；互相垂直．
9．（2022春•玄武区校级期中）补充完成下列证明过程，并填上推理的依据．
已知：如图，∠BEC＝∠B+∠C．求证：AB∥CD．
证明：延长BE交CD于点F，则∠BEC＝∠EFC+∠C．（ ）
又∵∠BEC＝∠B+∠C，
∴∠B＝ ，（等量代换）
∴AB∥CD． （ ）
【解答】证明：延长BE交CD于点F．则∠BEC＝∠EFC+∠C．（三角形的外角等于与它不相邻的两内角的和）．
又∵∠BEC＝∠B+∠C，
∴∠B＝∠EFC，（等量代换）
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：三角形的外角等于与它不相邻的两内角的和，∠EFC，内错角相等，两直线平行．
10．（2022春•罗湖区校级期末）如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠6．求证：ED∥FB．在下面的括号中填上推理依据．
证明：∵∠3＝∠4（已知）
∴CF∥BD
∴∠5+∠CAB＝180°
∵∠5＝∠6（已知）
∴∠6+∠CAB＝180°（等式的性质）
∴AB∥CD
∴∠2＝∠EGA
∵∠1＝∠2（已知）
∴∠1＝∠EGA（等量代换）
∴ED∥FB ．
【解答】证明：∵∠3＝∠4（已知），
∴CF∥BD（内错角相等，两直线平行），
∴∠5+∠CAB＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∵∠5＝∠6（已知），
∴∠6+∠CAB＝180°（等式的性质），
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），
∴∠2＝∠EGA（两直线平行，同位角相等）．
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠1＝∠EGA（等量代换），
∴ED∥FB（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；同位角相等，两直线平行．
11．（2022春•莱芜区校级期中）已知，如图，∠1＝∠ABC＝∠ADC，∠3＝∠5，∠2＝∠4，∠ABC+∠BCD＝180°，将下列推理过程补充完整：
（1）∵∠1＝∠ABC（已知）
∴AD∥BC（ ）
（2）∵∠3＝∠5（已知）
∴ ∥ （内错角相等，两直线平行）
（3）∵∠ABC+∠BCD＝180°（已知）
∴ ∥ ，（ ）
【解答】解：（1））∵∠1＝∠ABC（已知）
∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：同位角相等，两直线平行；
（2）∵∠3＝∠5，
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：AB，CD；
（3））∵∠ABC+∠BCD＝180°（已知）
∴AB∥CD，（同旁内角互补，两直线平行）．
故答案为：AB，CD，同旁内角互补，两直线平行．
12．（2022春•长安区校级月考）已知，如图，∠ABC＝∠ADC，BF，DE分别平分∠ABC与∠ADC，且∠1＝∠3．求证：AB∥DC，请根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由．
证明：
∵BF，DE分别平分∠ABC与∠ADC（已知），
∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ADC（ ）．
∵∠ABC＝∠ADC（ ），
∴∠ ＝∠ （等量代换）．
∵∠1＝∠3（ ），
∴∠2＝∠ （ ）．
∴AB∥DC（ ）．
【解答】证明：∵BF，DE分别平分∠ABC与∠ADC（已知），
∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ADC（角平分线的定义），
∵∠ABC＝∠ADC（已知），
∴∠1＝∠2（等量代换），
∵∠1＝∠3（已知），
∴∠2＝∠3（等量代换），
∴AB∥DC（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：角平分线的定义；已知；1，2；已知；3，等量代换；内错角相等，两直线平行．
13．（2022春•洪泽区月考）如图，填推理过程的理由：
已知：∠1+∠2＝180°，求证：a∥b
证明：∵∠1＝∠3 （ ）
∠1+∠2＝180° （ ）
∴∠3+∠2＝180° （ ）
∴a∥b （ ）．
【解答】证明：∵∠1＝∠3，（对顶角相等）
∠1+∠2＝180°，（已知）
∴∠3+∠2＝180°，（等量代换）
∴a∥b （同旁内角互补，两直线平行）．
故答案为：对顶角相等，已知，等量代换，同旁内角互补，两直线平行．
14．（2022春•南川区期中）如图，∠BAP+∠APD＝180°，∠1＝∠2，∠E＝40°，试求∠F的度数．
证明：∵∠BAP+∠APD＝180°，
∴AB∥CD．
∴∠BAP＝ ．
又∵∠1＝∠2，
∴∠FPA＝ ，
∴AE∥ ．
∴∠F＝ ，
∴∠F＝40°．
【解答】证明：∵∠BAP+∠APD＝180°，
∴AB∥CD．
∴∠BAP＝∠APC．
又∵∠1＝∠2，
∴∠FPA＝∠EAP，
∴AE∥FP．
∴∠F＝∠E，
∴∠F＝40°．
故答案是：∠APC；∠EAP；FP；∠E．
15．（2022春•合江县期末）已知：如图，∠A＝∠ADE，∠C＝∠E．
（1）若∠EDC＝3∠C，求∠C的度数；
（2）求证：BE∥CD．
【解答】解：（1）∵∠A＝∠ADE，
∴AC∥DE，
∴∠EDC+∠C＝180°，
又∵∠EDC＝3∠C，
∴4∠C＝180°，
即∠C＝45°；
（2）∵AC∥DE，
∴∠E＝∠ABE，
又∵∠C＝∠E，
∴∠C＝∠ABE，
∴BE∥CD．
16．（2022春•泰山区校级月考）已知：如图，∠A＝∠F，∠C＝∠D．求证：BD∥CE．
【解答】证明：∵∠A＝∠F，
∴AC∥DF，
∴∠C＝∠FEC，
∵∠C＝∠D，
∴∠D＝∠FEC，
∴BD∥CE．
17．（2022春•凤庆县期末）如图，已知∠A＝∠AGE，∠D＝∠DGC．
（1）求证：AB∥CD；
（2）若∠2+∠1＝180°，且∠BEC＝2∠B+30°，求∠C的度数．
【解答】证明：（1）∵∠A＝∠AGE，∠D＝∠DGC，
又∵∠AGE＝∠DGC，
∴∠A＝∠D，
∴AB∥CD；
（2）∵∠1+∠2＝180°，
又∵∠CGD+∠2＝180°，
∴∠CGD＝∠1，
∴CE∥FB，
∴∠C＝∠BFD，∠CEB+∠B＝180°．
又∵∠BEC＝2∠B+30°，
∴2∠B+30°+∠B＝180°，
∴∠B＝50°．
又∵AB∥CD，
∴∠B＝∠BFD，
∴∠C＝∠BFD＝∠B＝50°．
18．（2022春•江阴市校级月考）已知：如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，E是AC上一点且∠1+∠2＝90°．求证：DE∥BC．
【解答】证明：∵CD⊥AB（已知），
∴∠1+∠3＝90°（垂直定义）．
∵∠1+∠2＝90°（已知），
∴∠3＝∠2（同角的余角相等）．
∴DE∥BC（内错角相等，两直线平行）．
19．（2022春•建阳区期中）如图，已知∠AED＝60°，∠2＝30°，EF平分∠AED，可以判断EF∥BD吗？为什么？
【解答】解：EF∥BD；理由如下：
∵∠AED＝60°，EF平分∠AED，
∴∠FED＝30°，
又∵∠FED＝∠2＝30°，
∴EF∥BD（内错角相等，两直线平行）．
20．（2022春•魏县期末）已知：如图，∠A＝∠ADE，∠C＝∠E．
（1）若∠EDC＝3∠C，求∠C的度数．
（2）求证：BE∥CD．
【解答】解：（1）∵∠A＝∠ADE，
∴AC∥DE，
∴∠EDC+∠C＝180°，
又∵∠EDC＝3∠C，
∴4∠C＝180°，
即∠C＝45°；
（2）∵AC∥DE，
∴∠E＝∠ABE，
又∵∠C＝∠E，
∴∠C＝∠ABE，
∴BE∥CD．
21．（2022春•青龙县期中）如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，点E在BC上，EF⊥AB，垂足为F．
（1）CD与EF平行吗？为什么？
（2）如果∠1＝∠2，DG∥BC吗？为什么？
【解答】解：（1）CD∥EF，
理由是：∵CD⊥AB，EF⊥AB，
∴∠CDF＝∠EFB＝90°，
∴CD∥EF．
（2）DG∥BC，
理由是：∵CD∥EF，
∴∠2＝∠BCD，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠BCD，
∴DG∥BC．
22．（2022春•商河县期末）如图，B，F，E，C在同一条直线上，∠A＝∠D．
（1）若∠A＝78°，∠C＝47°，求∠BFD的度数．
（2）若∠AEB+∠BFD＝180°，求证：AB∥CD．
【解答】（1）解：∵∠A＝78°，∠A＝∠D，
∴∠D＝78°，
∵∠C＝47°，
∴∠BFD＝∠D+∠C＝78°+47°＝125°；
（2）证明：∵∠AEB+∠BFD＝180°，∠CFD+∠BFD＝180°，
∴∠AEB＝∠CFD，
∵∠A＝∠D，
∴（180°﹣∠A﹣∠B）+（∠C+∠D）＝180°，
∴∠B＝∠C，
∴AB∥CD．
23．（2022春•临渭区期末）如图，∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B．求证：DE∥BC．
【解答】证明：∵∠1+∠2＝180°（已知），∠2+∠ADC＝180°（平角定义），
∴∠1＝∠ADC，
∴EF∥AB（同位角相等，两直线平行），
∴∠3＝∠ADE（两直线平行，内错角相等），
又∵∠3＝∠B（已知），
∴∠ADE＝∠B，
∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）．
24．（2022春•东台市期中）已知：如图，∠1＝∠2，∠3＝∠E．求证：AD∥BE．
【解答】证明：∵∠1＝∠2，∠3＝∠E，
∴∠1+∠3＝∠2+∠E．
∵∠2+∠E＝∠5，
∴∠1+∠3＝∠5，
∴∠ADC＝∠5，
∴AD∥BE．
解法二：∵∠1＝∠2，
∴BD∥EC，
∴∠4＝∠E，
∵∠3＝∠E，
∴∠3＝∠4，
∴AD∥BE．
25.（2022春•盐都区月考）已知：DE⊥AO于E，BO⊥AO，∠CFB＝∠EDO，试说明：CF∥DO．
【解答】解：∵DE⊥AO于E，BO⊥AO，
∴DE∥OB，
∴∠EDO＝∠DOF，
∵∠CFB＝∠EDO，
∴∠CFB＝∠DOF，
∴CF∥DO．
26．（2022春•金川区校级期末）如图，已知∠1＝∠2，∠B＝∠C，求证：AB∥CD．
【解答】证明：∵∠1＝∠2（已知），∠1＝∠4（对顶角相等），
∴∠2＝∠4（等量替换），
∴CE∥BF（同位角相等，两直线平行），
∴∠3＝∠C（两直线平行，同位角相等）．
又∵∠B＝∠C（已知），
∴∠3＝∠B（等量替换），
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
27．（2021秋•峄城区期末）如图，已知点E在BD上，AE⊥CE且EC平分∠DEF．
（1）求证：EA平分∠BEF；
（2）若∠1＝∠A，∠4＝∠C，求证：AB∥CD．
【解答】证明：（1）∵AE⊥CE，
∴∠AEC＝90°，
∴∠2+∠3＝90°且∠1+∠4＝90°，
又∵EC平分∠DEF，
∴∠3＝∠4，
∴∠1＝∠2，
∴EA平分∠BEF；
（2）∵∠1＝∠A，∠4＝∠C，
∴∠1+∠A+∠4+∠C＝2（∠1+∠4）＝180°，
∴∠B+∠D＝（180°﹣2∠1）+（180°﹣2∠4）＝360°﹣2（∠1+∠4）＝180°，
∴AB∥CD．
28．（2022春•晋安区校级月考）如图所示，AB∥CD，∠CEA＝3∠A，∠BFD＝3∠D，试说明：CE∥BF．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠A＝∠D，
∵∠CEA＝3∠A，∠BFD＝3∠D，
∴∠AEC＝∠BFD，
∵∠AEC+∠CED＝180°，∠BFD+∠BFA＝180°，
∴∠CED＝∠BFA，
∴CE∥BF．
29．（2022春•汉阳区期中）如图，已知：∠1与∠2互补，∠A＝∠D，求证：AB∥CD．
【解答】证明：∵∠1＝∠CGD，∠1与∠2互补，
∴∠CGD+∠2＝180°，
∴AF∥ED，
∴∠A+∠AED＝180°，
∵∠A＝∠D，
∴∠D+∠AED＝180°，
∴AB∥CD．
30．（2022春•滨州期末）如图，已知∠1+∠2＝180°，∠A＝∠C，证明：AF∥CE．
【解答】解：∵∠1＝∠CMN（对顶角相等），
又∵∠1+∠2＝180°（已知），
∴∠2+∠CMN＝180°（等量代换），
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），
∴∠A＝∠FDC（两直线平行，同位角相等），
∵∠A＝∠C（已知），
∴∠FDC＝∠C（等量代换），
∴AF∥CE（内错角相等，两直线平行）．
31．（2022秋•长安区校级期末）如图，直线CD、EF交于点O，OA，OB分别平分∠COE和∠DOE，已知∠1+∠2＝90°，且∠2：∠3＝2：5．
（1）求∠BOF的度数；
（2）试说明AB∥CD的理由．
【解答】解：（1）∵OA，OB分别平分∠COE和∠DOE，
∴，，
∵∠COE+∠DOE＝180°，
∴∠2+∠AOC＝90°，
∵∠COE＝∠3，
∴，
∴，
∵∠2：∠3＝2：5，
∴，
∴，
∴∠2＝40°，
∴∠3＝100°，
∴∠BOF＝∠2+∠3＝140°；
（2）∵∠1+∠2＝90°，∠2+∠AOC＝90°，
∴∠1＝∠AOC，
∴AB∥CD．
32．（2022春•云阳县期中）（1）如图①，若∠B+∠D＝∠BED，试猜想AB与CD的位置关系，并说明理由．
（2）如图②，要想得到AB∥CD，则∠1、∠2、∠3之间应满足怎样的位置关系？并说明理由．
【解答】解：（1）如图1，延长BE交CD于F．
∵∠BED＝∠B+∠D，
∠BED＝∠EFD+∠D，
∴∠B＝∠EFD，
∴AB∥CD；
（2）∠1＝∠2+∠3．
理由如下：如图②，延长BA交CE于F，
∵AB∥CD（已知），
∴∠3＝∠EFA（两直线平行，同位角相等），
∵∠1＝∠2+∠EFA，
∴∠1＝∠2+∠3．
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