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【期末满分攻略】2022-2023学年浙教版七年级数学下册讲学案-专题05 平行线中三角板综合应用
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这是一份【期末满分攻略】2022-2023学年浙教版七年级数学下册讲学案-专题05 平行线中三角板综合应用，共27页。
专题05 平行线中三角板综合应用
真题再现
1．（2022春•莱西市期中）将一块直角三角板ABC按如图方式放置，其中∠ABC＝30°，A、B两点分别落在直线m、n上，∠1＝20°，添加下列哪一个条件可使直线m∥n（ ）
A．∠2＝20° B．∠2＝30° C．∠2＝45° D．∠2＝50°
2．（2022春•玄武区期末）将两个形状相同，大小不同的三角板按如图所示方式放置，C是公共顶点，且∠ACB＝∠A'CB'＝90°，∠B＝∠B'＝60°．对于下列三个结论，其中正确的结论有（ ）
①∠1+∠ACB'＝180°；②∠B'DA﹣∠1＝90°；③如果∠1＝30°，那么AB∥CB'．
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
3．（2022•湖北模拟）如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1＝32°，那么∠2的度数是（ ）
A．32° B．58° C．68° D．60°
4．（2022•阳高县校级一模）如图所示，将含有30°角的三角板的直角顶点放在相互平行的两条直线其中一条上，若∠1＝35°，则∠2的度数为（ ）
A．10° B．20° C．25° D．30°
5．（2022春•龙亭区校级期中）如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点叠放在矩形的两条对边上，如果∠1＝27°，那么∠2的度数为（ ）
A．53° B．55° C．57° D．60°
6．（2022•湘潭县校级模拟）如图，已知a∥b，小华把三角板的直角顶点放在直线a上．若∠1＝40°，则∠2的度数为（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
7．（2022春•泰安期中）一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，则∠DBC的度数为（ ）
A．10° B．15° C．18° D．30°
8．（2022•东昌府区二模）如图，已知a∥b，直角三角板的直角顶点在直线a上，若∠1＝30°，则∠2等于（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
9．（2022•莘县一模）把一副三角板放在同一水平桌面上，摆放成如图所示的形状，使两个直角顶点重合，两条斜边平行，则∠1的度数是（ ）
A．45° B．60° C．75° D．82.5°
10．（2022春•丰县月考）如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是（ ）
A．15° B．22.5° C．30° D．45°
11．（2022春•吉安期中）已知直线a∥b，将一副三角板按如图所示放置在两条平行线之间，则∠1的度数是（ ）
A．45° B．60° C．75° D．80°
12．（2021秋•盐湖区期末）如图，直线a∥b，将三角板的直角顶点放在直线b上，如果∠1＝40°，则∠2的度数是（ ）
A．30° B．40° C．45° D．50°
13．（2022•柳南区二模）将一副直角三角板按如图方式摆放，若直线a∥b，则∠1的大小为（ ）
A．45° B．60° C．75° D．105°
14．（2022春•永定区期末）一把直尺与一块直角三角板按如图方式摆放，若∠1＝47°，则∠2＝（ ）
A．40° B．43° C．45° D．47°
15．（2022•长春模拟）将一个含30°角的直角三角板ABC如图所示放置，∠B＝90°，点E为AC延长线上的点，若射线CD与直角边BC垂直，则∠DCE的度数是（ ）
A．10° B．20° C．30° D．50°
16．（2022春•思明区校级期末）如图是利用直尺和三角板过直线l外一点P作直线l的平行线的方法，这样做的依据是 ．
17．（2021春•东至县期末）如图，将一副三角板按如图放置，则下列结论：①∠1＝∠3；②如果∠2＝30°，则有AC∥DE；③如果∠2＝30°，则有BC∥AD；④如果∠2＝30°，必有∠4＝∠C．其中正确的有 ．（填序号）
18．（2021秋•晋安区校级期末）如图，小明利用两块相同的三角板，分别在三角板的边缘画直线AB和CD，并由此判定AB∥CD，这是根据 ，两直线平行．
19．（2022春•信丰县校级期末）将一副三角板（∠A＝30°）按如图所示方式摆放，使得AB∥EF，则∠1等于 度．
20．（2022春•榕城区期末）一副三角板按如图所示（共顶点A）叠放在一起，若固定三角板ABC，改变三角板ADE的位置（其中A点位置始终不变），当∠BAD＝ ． °时，DE∥AB．
21．（2022春•晋安区校级月考）两块不同的三角板按如图所示摆放，两个直角顶点C重合，∠A＝60°，∠D＝45°．接着保持三角板ABC不动，将三角板CDE绕着点C旋转，但保证点D在直线AC的上方，若三角板CDE有一条边与斜边AB平行，则∠ACD＝ ．
22．（2022春•相城区校级期末）如图所示，将含有30°角的三角板的直角顶点放在相互平行的两条直线其中一条上，若∠1＝35°，则∠2的度数为 ．
23．（2021秋•青神县期末）将含30°角的三角板如图摆放，AB∥CD，若∠1＝20°，则∠2的度数是 ．
24．（2022春•宁安市期末）三角板是学习数学的重要工具，将一副三角板中的两块直角三角板的直角顶点C按如图所示的方式叠放在一起，当0˚＜∠ACE＜90˚，且点E在直线AC的上方时，解决下列问题：（友情提示∠A＝60˚，∠D＝30˚，∠B＝∠E＝45˚）．
（1）①若∠DCE＝40˚，则∠ACB的度数为 ；
②若∠ACB＝135˚，则∠DCE的度数为 ；
（2）由（1）猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，请说明理由；
（3）这两块三角板是否存在一组边互相平行的情况？若存在，请直接写出∠ACE的度数的所有可能的值；若不存在，请说明理由．
35．（2022春•汉阳区期中）如图1，将三角板ABC与三角板ADE摆放在一起；如图2，其中∠ACB＝30°，∠DAE＝45°，∠BAC＝∠D＝90°．固定三角板ABC，将三角板ADE绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角∠CAE＝α（0°＜α＜180°）．
（1）当α为 度时，AD∥BC，并在图3中画出相应的图形；
（2）在旋转过程中，试探究∠CAD与∠BAE之间的关系；
（3）当△ADE旋转速度为5°/秒时，且它的一边与△ABC的某一边平行（不共线）时，直接写出时间t的所有值．
专题05 平行线中三角板综合应用
真题再现
1．（2022春•莱西市期中）将一块直角三角板ABC按如图方式放置，其中∠ABC＝30°，A、B两点分别落在直线m、n上，∠1＝20°，添加下列哪一个条件可使直线m∥n（ ）
A．∠2＝20° B．∠2＝30° C．∠2＝45° D．∠2＝50°
【答案】D
【解答】解：∵直线m∥n，
∴∠2＝∠ABC+∠1＝30°+20°＝50°，
故选：D．
2．（2022春•玄武区期末）将两个形状相同，大小不同的三角板按如图所示方式放置，C是公共顶点，且∠ACB＝∠A'CB'＝90°，∠B＝∠B'＝60°．对于下列三个结论，其中正确的结论有（ ）
①∠1+∠ACB'＝180°；②∠B'DA﹣∠1＝90°；③如果∠1＝30°，那么AB∥CB'．
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】D
【解答】解：如图，延长AC到点F，
根据邻补角的定义得：∠FCB′+∠ACB'＝108°．
根据同角的余角相等得：∠FCB＝∠1，
所以有∠1+∠ACB'＝180°，
故①正确．
由“8”字形可得：∠A′DA+∠A′＝∠A+∠A′CA，
∴180°﹣∠B'DA+30°＝90°﹣∠1+30°，
∴∠B'DA﹣∠1＝90°，
故②正确．
如果∠1＝30°，则∠BCB′＝60°＝∠B．
∴AB∥CB'．
故③正确．
故选：D．
3．（2022•湖北模拟）如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1＝32°，那么∠2的度数是（ ）
A．32° B．58° C．68° D．60°
【答案】B
【解答】解：根据题意可知，∠2＝∠3，
∵∠1+∠3＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
∴∠2＝90°﹣∠1＝58°．
故选：B．
4．（2022•阳高县校级一模）如图所示，将含有30°角的三角板的直角顶点放在相互平行的两条直线其中一条上，若∠1＝35°，则∠2的度数为（ ）
A．10° B．20° C．25° D．30°
【答案】C
【解答】解：如图，延长AB交CF于E，
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∵∠1＝35°，
∴∠AEC＝∠ABC﹣∠1＝25°，
∵GH∥EF，
∴∠2＝∠AEC＝25°，
故选：C．
5．（2022春•龙亭区校级期中）如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点叠放在矩形的两条对边上，如果∠1＝27°，那么∠2的度数为（ ）
A．53° B．55° C．57° D．60°
【答案】C
【解答】解：由三角形的外角性质，
∠3＝30°+∠1＝30°+27°＝57°，
∵矩形的对边平行，
∴∠2＝∠3＝57°．
故选：C．
6．（2022•湘潭县校级模拟）如图，已知a∥b，小华把三角板的直角顶点放在直线a上．若∠1＝40°，则∠2的度数为（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
【答案】D
【解答】解：∵∠1+∠3＝90°，
∴∠3＝90°﹣40°＝50°，
∵a∥b，
∴∠2+∠3＝180°．
∴∠2＝180°﹣50°＝130°．
故选：D．
7．（2022春•泰安期中）一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，则∠DBC的度数为（ ）
A．10° B．15° C．18° D．30°
【答案】B
【解答】解：由题意可得：∠EDF＝45°，∠ABC＝30°，
∵AB∥CF，
∴∠ABD＝∠EDF＝45°，
∴∠DBC＝45°﹣30°＝15°．
故选：B．
8．（2022•东昌府区二模）如图，已知a∥b，直角三角板的直角顶点在直线a上，若∠1＝30°，则∠2等于（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】D
【解答】解：∵直角三角板的直角顶点在直线a上，∠1＝30°，
∴∠3＝60°，
∵a∥b，
∴∠2＝∠3＝60°，
故选：D．
9．（2022•莘县一模）把一副三角板放在同一水平桌面上，摆放成如图所示的形状，使两个直角顶点重合，两条斜边平行，则∠1的度数是（ ）
A．45° B．60° C．75° D．82.5°
【答案】C
【解答】解：作直线l平行于直角三角板的斜边，
可得：∠2＝∠3＝45°，∠5＝∠4＝30°，
故∠1的度数是：45°+30°＝75°．
故选：C．
10．（2022春•丰县月考）如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是（ ）
A．15° B．22.5° C．30° D．45°
【答案】A
【解答】解：如图，过A点作AB∥a，
∴∠1＝∠2，
∵a∥b，
∴AB∥b，
∴∠3＝∠4＝30°，
而∠2+∠3＝45°，
∴∠2＝15°，
∴∠1＝15°．
故选：A．
11．（2022春•吉安期中）已知直线a∥b，将一副三角板按如图所示放置在两条平行线之间，则∠1的度数是（ ）
A．45° B．60° C．75° D．80°
【答案】C
【解答】解：延长AB交直线a于C．
∵a∥b，
∴∠1＝∠2，
∵∠2＝∠CDB+∠CBD，∠CDB＝30°，∠CBD＝45°，
∴∠1＝∠2＝75°，
故选：C．
12．（2021秋•盐湖区期末）如图，直线a∥b，将三角板的直角顶点放在直线b上，如果∠1＝40°，则∠2的度数是（ ）
A．30° B．40° C．45° D．50°
【答案】D
【解答】解：∵直线a∥b，
∴∠1＝∠3，
∵∠1＝40°，
∴∠3＝40°，
∵三角板的直角顶点放在直线b上，
∴∠3+∠2＝90°，
∴∠2＝50°，
故选：D．
13．（2022•柳南区二模）将一副直角三角板按如图方式摆放，若直线a∥b，则∠1的大小为（ ）
A．45° B．60° C．75° D．105°
【答案】C
【解答】解：由题意知，∠ABC＝45°+60°＝105°，
∵a∥b，
∴∠1+∠ABC＝180°，
∴∠1＝180°﹣∠ABC＝180°﹣105°＝75°，
故选：C．
14．（2022春•永定区期末）一把直尺与一块直角三角板按如图方式摆放，若∠1＝47°，则∠2＝（ ）
A．40° B．43° C．45° D．47°
【答案】B
【解答】解：方法1：如图，∵∠1＝47°，∠4＝45°，
∴∠3＝∠1+∠4＝92°，
∵矩形对边平行，
∴∠5＝∠3＝92°，
∵∠6＝45°，
∴∠2＝180°﹣45°﹣92°＝43°．
方法2：如图，作矩形两边的平行线，
∵矩形对边平行，
∴∠3＝∠1＝47°，
∵∠3+∠4＝90°，
∴∠4＝90°﹣47°＝43°
∴∠2＝∠4＝43°．
故选：B．
15．（2022•长春模拟）将一个含30°角的直角三角板ABC如图所示放置，∠B＝90°，点E为AC延长线上的点，若射线CD与直角边BC垂直，则∠DCE的度数是（ ）
A．10° B．20° C．30° D．50°
【答案】C
【解答】解：∵CD⊥BC，
∴∠BCD＝90°，
∵∠B＝90°，
∴∠B＝∠BCD，
∴CD∥AB，
∴∠DCE＝∠A，
∵∠A＝30°，
∴∠DCE＝30°，
故选：C．
16．（2022春•思明区校级期末）如图是利用直尺和三角板过直线l外一点P作直线l的平行线的方法，这样做的依据是 ．
【答案】同位角相等，两直线平行
【解答】解：由图形得，有两个相等的同位角存在，
这样做的依据是：同位角相等，两直线平行．
故答案为：同位角相等，两直线平行．
17．（2021春•东至县期末）如图，将一副三角板按如图放置，则下列结论：①∠1＝∠3；②如果∠2＝30°，则有AC∥DE；③如果∠2＝30°，则有BC∥AD；④如果∠2＝30°，必有∠4＝∠C．其中正确的有 ．（填序号）
【答案】①②④
【解答】解：①∵∠CAB＝∠EAD＝90°，
∴∠1＝∠CAB﹣∠2，∠3＝∠EAD﹣∠2，
∴∠1＝∠3．
∴①正确．
②∵∠2＝30°，
∴∠1＝90°﹣30°＝60°，
∵∠E＝60°，
∴∠1＝∠E，
∴AC∥DE．
∴②正确．
③∵∠2＝30°，
∴∠3＝90°﹣30°＝60°，
∵∠B＝45°，
∴BC不平行于AD．
∴③错误．
④由②得AC∥DE．
∴∠4＝∠C．
∴④正确．
故答案为：①②④．
18．（2021秋•晋安区校级期末）如图，小明利用两块相同的三角板，分别在三角板的边缘画直线AB和CD，并由此判定AB∥CD，这是根据 ，两直线平行．
【答案】内错角相等
【解答】解：如图，利用两块相同的三角板，分别在三角板的边缘画直线AB和CD，
直线BC把AB和CD所截，
此时两块相同的三角板的最小两个角的位置关系正好是内错角，
所以这是根据内错角相等，来判定两直线平行的．
故答案为：内错角相等．
19．（2022春•信丰县校级期末）将一副三角板（∠A＝30°）按如图所示方式摆放，使得AB∥EF，则∠1等于 度．
【答案】105
【解答】解：∵将一副三角板（∠A＝30°）按如图所示方式摆放，使得AB∥EF，
∴∠E＝∠EDB＝45°，∠B＝60°，
∴∠1＝45°+60°＝105°．
故答案为：105．
20．（2022春•榕城区期末）一副三角板按如图所示（共顶点A）叠放在一起，若固定三角板ABC，改变三角板ADE的位置（其中A点位置始终不变），当∠BAD＝ ． °时，DE∥AB．
【答案】30或150
【解答】解：由题意得∠ADE＝30°，∠ACB＝∠DAE＝90°，
①如图，
当∠BAD＝∠ADE＝30°时，可得AB∥DE；
②如图，
当∠BAD+∠D＝180°时，可得AB∥DE，
则∠BAD＝180°﹣∠D＝150°．
故答案为：30或150．
21．（2022春•晋安区校级月考）两块不同的三角板按如图所示摆放，两个直角顶点C重合，∠A＝60°，∠D＝45°．接着保持三角板ABC不动，将三角板CDE绕着点C旋转，但保证点D在直线AC的上方，若三角板CDE有一条边与斜边AB平行，则∠ACD＝ ．
【答案】30°或120°或165°
【解答】解：如图，CD∥AB，∠BCD＝∠B＝30°，
∠ACD＝∠ACB+∠BCD＝90°+30°＝120°；
如图2，DE∥AB时，延长EC交AB于F，
则∠AFC＝∠E＝45°，
在△ACF中，∠ACF＝180°﹣∠A﹣∠AFC，
＝180°﹣60°﹣45°＝75°，
则∠BCF＝90°﹣∠ACF＝90°﹣75°＝15°．
∴∠ACD＝180°﹣∠BCF＝180°﹣15°＝165°；
如图3，
CD∥CE∥AB时，∠ACD＝30°，
故答案为：30°或120°或165°．
22．（2022春•相城区校级期末）如图所示，将含有30°角的三角板的直角顶点放在相互平行的两条直线其中一条上，若∠1＝35°，则∠2的度数为 ．
【答案】25°
【解答】解：过A作AE∥NM，
∵NM∥GH，
∴AE∥GH，
∴∠3＝∠1＝35°，
∵∠BAC＝60°，
∴∠4＝60°﹣35°＝25°，
∵NM∥AE，
∴∠2＝∠4＝25°，
故答案为：25°．
23．（2021秋•青神县期末）将含30°角的三角板如图摆放，AB∥CD，若∠1＝20°，则∠2的度数是 ．
【答案】50°
【解答】解：如图：
∵∠1＝20°，∠3＝∠1+30°，
∴∠3＝∠1+30°＝20°+30°＝50°，
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠3＝50°．
故答案为：50°．
24．（2022春•宁安市期末）三角板是学习数学的重要工具，将一副三角板中的两块直角三角板的直角顶点C按如图所示的方式叠放在一起，当0˚＜∠ACE＜90˚，且点E在直线AC的上方时，解决下列问题：（友情提示∠A＝60˚，∠D＝30˚，∠B＝∠E＝45˚）．
（1）①若∠DCE＝40˚，则∠ACB的度数为 ；
②若∠ACB＝135˚，则∠DCE的度数为 ；
（2）由（1）猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，请说明理由；
（3）这两块三角板是否存在一组边互相平行的情况？若存在，请直接写出∠ACE的度数的所有可能的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）①∵∠ACD＝90°，∠DCE＝40°，
∴∠ACE＝50°，
∴∠ACB＝∠BCE+∠ACE＝90°+50°＝140°，
故答案为：140°；
②∵∠ACB＝135°，∠ACD＝∠ECB＝90°，
∴∠ACE＝135°﹣90°＝45°，
∴∠DCE＝∠DCA﹣∠ACE＝90°﹣45°＝45°，
故答案为：45°；
（2）∠ACB与∠DCE互补，理由如下：
∵∠ACD＝90°，
∴∠ACE＝90°﹣∠DCE，
又∵∠BCE＝90°，
∴∠ACB＝90°+90°﹣∠DCE，
∴∠ACB+∠DCE＝90°+90°﹣∠DCE+∠DCE＝180°，
即∠ACB与∠DCE互补；
（3）存在一组边互相平行，
当∠ACE＝45°时，∠ACE＝∠E＝45°，此时AC∥BE；
当∠ACE＝30°时，∠ACB＝120°，此时∠A+∠ACB＝180°，故AD∥BC．
35．（2022春•汉阳区期中）如图1，将三角板ABC与三角板ADE摆放在一起；如图2，其中∠ACB＝30°，∠DAE＝45°，∠BAC＝∠D＝90°．固定三角板ABC，将三角板ADE绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角∠CAE＝α（0°＜α＜180°）．
（1）当α为 度时，AD∥BC，并在图3中画出相应的图形；
（2）在旋转过程中，试探究∠CAD与∠BAE之间的关系；
（3）当△ADE旋转速度为5°/秒时，且它的一边与△ABC的某一边平行（不共线）时，直接写出时间t的所有值．
【解答】解：（1）当α＝15°时，AD∥BC，
图形如下：
故答案为15；
（2）设：∠CAD＝γ，∠BAE＝β，
①如上图，当0°＜α≤45°时，
α+β＝90°，α+γ＝45°，
故β﹣γ＝45°；
②当45°＜α≤90°时，
同理可得：γ+β＝45°，
③当90°＜α＜180°时，
同理可得：γ﹣β＝45°；
（3）①当AD∥BC时，α＝15°，t＝3；
②当DE∥AB时，α＝45°，t＝9；
③当DE∥BC时，α＝105°，t＝21；
④当DE∥AC时，α＝135°，t＝27；
⑤当AE∥BC时，α＝150°，t＝30；
综上，t＝3或9或21或27或30．
专题05 平行线中三角板综合应用
真题再现
1．（2022春•莱西市期中）将一块直角三角板ABC按如图方式放置，其中∠ABC＝30°，A、B两点分别落在直线m、n上，∠1＝20°，添加下列哪一个条件可使直线m∥n（ ）
A．∠2＝20° B．∠2＝30° C．∠2＝45° D．∠2＝50°
2．（2022春•玄武区期末）将两个形状相同，大小不同的三角板按如图所示方式放置，C是公共顶点，且∠ACB＝∠A'CB'＝90°，∠B＝∠B'＝60°．对于下列三个结论，其中正确的结论有（ ）
①∠1+∠ACB'＝180°；②∠B'DA﹣∠1＝90°；③如果∠1＝30°，那么AB∥CB'．
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
3．（2022•湖北模拟）如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1＝32°，那么∠2的度数是（ ）
A．32° B．58° C．68° D．60°
4．（2022•阳高县校级一模）如图所示，将含有30°角的三角板的直角顶点放在相互平行的两条直线其中一条上，若∠1＝35°，则∠2的度数为（ ）
A．10° B．20° C．25° D．30°
5．（2022春•龙亭区校级期中）如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点叠放在矩形的两条对边上，如果∠1＝27°，那么∠2的度数为（ ）
A．53° B．55° C．57° D．60°
6．（2022•湘潭县校级模拟）如图，已知a∥b，小华把三角板的直角顶点放在直线a上．若∠1＝40°，则∠2的度数为（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
7．（2022春•泰安期中）一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，则∠DBC的度数为（ ）
A．10° B．15° C．18° D．30°
8．（2022•东昌府区二模）如图，已知a∥b，直角三角板的直角顶点在直线a上，若∠1＝30°，则∠2等于（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
9．（2022•莘县一模）把一副三角板放在同一水平桌面上，摆放成如图所示的形状，使两个直角顶点重合，两条斜边平行，则∠1的度数是（ ）
A．45° B．60° C．75° D．82.5°
10．（2022春•丰县月考）如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是（ ）
A．15° B．22.5° C．30° D．45°
11．（2022春•吉安期中）已知直线a∥b，将一副三角板按如图所示放置在两条平行线之间，则∠1的度数是（ ）
A．45° B．60° C．75° D．80°
12．（2021秋•盐湖区期末）如图，直线a∥b，将三角板的直角顶点放在直线b上，如果∠1＝40°，则∠2的度数是（ ）
A．30° B．40° C．45° D．50°
13．（2022•柳南区二模）将一副直角三角板按如图方式摆放，若直线a∥b，则∠1的大小为（ ）
A．45° B．60° C．75° D．105°
14．（2022春•永定区期末）一把直尺与一块直角三角板按如图方式摆放，若∠1＝47°，则∠2＝（ ）
A．40° B．43° C．45° D．47°
15．（2022•长春模拟）将一个含30°角的直角三角板ABC如图所示放置，∠B＝90°，点E为AC延长线上的点，若射线CD与直角边BC垂直，则∠DCE的度数是（ ）
A．10° B．20° C．30° D．50°
16．（2022春•思明区校级期末）如图是利用直尺和三角板过直线l外一点P作直线l的平行线的方法，这样做的依据是 ．
17．（2021春•东至县期末）如图，将一副三角板按如图放置，则下列结论：①∠1＝∠3；②如果∠2＝30°，则有AC∥DE；③如果∠2＝30°，则有BC∥AD；④如果∠2＝30°，必有∠4＝∠C．其中正确的有 ．（填序号）
18．（2021秋•晋安区校级期末）如图，小明利用两块相同的三角板，分别在三角板的边缘画直线AB和CD，并由此判定AB∥CD，这是根据 ，两直线平行．
19．（2022春•信丰县校级期末）将一副三角板（∠A＝30°）按如图所示方式摆放，使得AB∥EF，则∠1等于 度．
20．（2022春•榕城区期末）一副三角板按如图所示（共顶点A）叠放在一起，若固定三角板ABC，改变三角板ADE的位置（其中A点位置始终不变），当∠BAD＝ ． °时，DE∥AB．
21．（2022春•晋安区校级月考）两块不同的三角板按如图所示摆放，两个直角顶点C重合，∠A＝60°，∠D＝45°．接着保持三角板ABC不动，将三角板CDE绕着点C旋转，但保证点D在直线AC的上方，若三角板CDE有一条边与斜边AB平行，则∠ACD＝ ．
22．（2022春•相城区校级期末）如图所示，将含有30°角的三角板的直角顶点放在相互平行的两条直线其中一条上，若∠1＝35°，则∠2的度数为 ．
23．（2021秋•青神县期末）将含30°角的三角板如图摆放，AB∥CD，若∠1＝20°，则∠2的度数是 ．
24．（2022春•宁安市期末）三角板是学习数学的重要工具，将一副三角板中的两块直角三角板的直角顶点C按如图所示的方式叠放在一起，当0˚＜∠ACE＜90˚，且点E在直线AC的上方时，解决下列问题：（友情提示∠A＝60˚，∠D＝30˚，∠B＝∠E＝45˚）．
（1）①若∠DCE＝40˚，则∠ACB的度数为 ；
②若∠ACB＝135˚，则∠DCE的度数为 ；
（2）由（1）猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，请说明理由；
（3）这两块三角板是否存在一组边互相平行的情况？若存在，请直接写出∠ACE的度数的所有可能的值；若不存在，请说明理由．
35．（2022春•汉阳区期中）如图1，将三角板ABC与三角板ADE摆放在一起；如图2，其中∠ACB＝30°，∠DAE＝45°，∠BAC＝∠D＝90°．固定三角板ABC，将三角板ADE绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角∠CAE＝α（0°＜α＜180°）．
（1）当α为 度时，AD∥BC，并在图3中画出相应的图形；
（2）在旋转过程中，试探究∠CAD与∠BAE之间的关系；
（3）当△ADE旋转速度为5°/秒时，且它的一边与△ABC的某一边平行（不共线）时，直接写出时间t的所有值．
专题05 平行线中三角板综合应用
真题再现
1．（2022春•莱西市期中）将一块直角三角板ABC按如图方式放置，其中∠ABC＝30°，A、B两点分别落在直线m、n上，∠1＝20°，添加下列哪一个条件可使直线m∥n（ ）
A．∠2＝20° B．∠2＝30° C．∠2＝45° D．∠2＝50°
【答案】D
【解答】解：∵直线m∥n，
∴∠2＝∠ABC+∠1＝30°+20°＝50°，
故选：D．
2．（2022春•玄武区期末）将两个形状相同，大小不同的三角板按如图所示方式放置，C是公共顶点，且∠ACB＝∠A'CB'＝90°，∠B＝∠B'＝60°．对于下列三个结论，其中正确的结论有（ ）
①∠1+∠ACB'＝180°；②∠B'DA﹣∠1＝90°；③如果∠1＝30°，那么AB∥CB'．
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】D
【解答】解：如图，延长AC到点F，
根据邻补角的定义得：∠FCB′+∠ACB'＝108°．
根据同角的余角相等得：∠FCB＝∠1，
所以有∠1+∠ACB'＝180°，
故①正确．
由“8”字形可得：∠A′DA+∠A′＝∠A+∠A′CA，
∴180°﹣∠B'DA+30°＝90°﹣∠1+30°，
∴∠B'DA﹣∠1＝90°，
故②正确．
如果∠1＝30°，则∠BCB′＝60°＝∠B．
∴AB∥CB'．
故③正确．
故选：D．
3．（2022•湖北模拟）如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1＝32°，那么∠2的度数是（ ）
A．32° B．58° C．68° D．60°
【答案】B
【解答】解：根据题意可知，∠2＝∠3，
∵∠1+∠3＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
∴∠2＝90°﹣∠1＝58°．
故选：B．
4．（2022•阳高县校级一模）如图所示，将含有30°角的三角板的直角顶点放在相互平行的两条直线其中一条上，若∠1＝35°，则∠2的度数为（ ）
A．10° B．20° C．25° D．30°
【答案】C
【解答】解：如图，延长AB交CF于E，
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∵∠1＝35°，
∴∠AEC＝∠ABC﹣∠1＝25°，
∵GH∥EF，
∴∠2＝∠AEC＝25°，
故选：C．
5．（2022春•龙亭区校级期中）如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点叠放在矩形的两条对边上，如果∠1＝27°，那么∠2的度数为（ ）
A．53° B．55° C．57° D．60°
【答案】C
【解答】解：由三角形的外角性质，
∠3＝30°+∠1＝30°+27°＝57°，
∵矩形的对边平行，
∴∠2＝∠3＝57°．
故选：C．
6．（2022•湘潭县校级模拟）如图，已知a∥b，小华把三角板的直角顶点放在直线a上．若∠1＝40°，则∠2的度数为（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
【答案】D
【解答】解：∵∠1+∠3＝90°，
∴∠3＝90°﹣40°＝50°，
∵a∥b，
∴∠2+∠3＝180°．
∴∠2＝180°﹣50°＝130°．
故选：D．
7．（2022春•泰安期中）一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，则∠DBC的度数为（ ）
A．10° B．15° C．18° D．30°
【答案】B
【解答】解：由题意可得：∠EDF＝45°，∠ABC＝30°，
∵AB∥CF，
∴∠ABD＝∠EDF＝45°，
∴∠DBC＝45°﹣30°＝15°．
故选：B．
8．（2022•东昌府区二模）如图，已知a∥b，直角三角板的直角顶点在直线a上，若∠1＝30°，则∠2等于（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】D
【解答】解：∵直角三角板的直角顶点在直线a上，∠1＝30°，
∴∠3＝60°，
∵a∥b，
∴∠2＝∠3＝60°，
故选：D．
9．（2022•莘县一模）把一副三角板放在同一水平桌面上，摆放成如图所示的形状，使两个直角顶点重合，两条斜边平行，则∠1的度数是（ ）
A．45° B．60° C．75° D．82.5°
【答案】C
【解答】解：作直线l平行于直角三角板的斜边，
可得：∠2＝∠3＝45°，∠5＝∠4＝30°，
故∠1的度数是：45°+30°＝75°．
故选：C．
10．（2022春•丰县月考）如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是（ ）
A．15° B．22.5° C．30° D．45°
【答案】A
【解答】解：如图，过A点作AB∥a，
∴∠1＝∠2，
∵a∥b，
∴AB∥b，
∴∠3＝∠4＝30°，
而∠2+∠3＝45°，
∴∠2＝15°，
∴∠1＝15°．
故选：A．
11．（2022春•吉安期中）已知直线a∥b，将一副三角板按如图所示放置在两条平行线之间，则∠1的度数是（ ）
A．45° B．60° C．75° D．80°
【答案】C
【解答】解：延长AB交直线a于C．
∵a∥b，
∴∠1＝∠2，
∵∠2＝∠CDB+∠CBD，∠CDB＝30°，∠CBD＝45°，
∴∠1＝∠2＝75°，
故选：C．
12．（2021秋•盐湖区期末）如图，直线a∥b，将三角板的直角顶点放在直线b上，如果∠1＝40°，则∠2的度数是（ ）
A．30° B．40° C．45° D．50°
【答案】D
【解答】解：∵直线a∥b，
∴∠1＝∠3，
∵∠1＝40°，
∴∠3＝40°，
∵三角板的直角顶点放在直线b上，
∴∠3+∠2＝90°，
∴∠2＝50°，
故选：D．
13．（2022•柳南区二模）将一副直角三角板按如图方式摆放，若直线a∥b，则∠1的大小为（ ）
A．45° B．60° C．75° D．105°
【答案】C
【解答】解：由题意知，∠ABC＝45°+60°＝105°，
∵a∥b，
∴∠1+∠ABC＝180°，
∴∠1＝180°﹣∠ABC＝180°﹣105°＝75°，
故选：C．
14．（2022春•永定区期末）一把直尺与一块直角三角板按如图方式摆放，若∠1＝47°，则∠2＝（ ）
A．40° B．43° C．45° D．47°
【答案】B
【解答】解：方法1：如图，∵∠1＝47°，∠4＝45°，
∴∠3＝∠1+∠4＝92°，
∵矩形对边平行，
∴∠5＝∠3＝92°，
∵∠6＝45°，
∴∠2＝180°﹣45°﹣92°＝43°．
方法2：如图，作矩形两边的平行线，
∵矩形对边平行，
∴∠3＝∠1＝47°，
∵∠3+∠4＝90°，
∴∠4＝90°﹣47°＝43°
∴∠2＝∠4＝43°．
故选：B．
15．（2022•长春模拟）将一个含30°角的直角三角板ABC如图所示放置，∠B＝90°，点E为AC延长线上的点，若射线CD与直角边BC垂直，则∠DCE的度数是（ ）
A．10° B．20° C．30° D．50°
【答案】C
【解答】解：∵CD⊥BC，
∴∠BCD＝90°，
∵∠B＝90°，
∴∠B＝∠BCD，
∴CD∥AB，
∴∠DCE＝∠A，
∵∠A＝30°，
∴∠DCE＝30°，
故选：C．
16．（2022春•思明区校级期末）如图是利用直尺和三角板过直线l外一点P作直线l的平行线的方法，这样做的依据是 ．
【答案】同位角相等，两直线平行
【解答】解：由图形得，有两个相等的同位角存在，
这样做的依据是：同位角相等，两直线平行．
故答案为：同位角相等，两直线平行．
17．（2021春•东至县期末）如图，将一副三角板按如图放置，则下列结论：①∠1＝∠3；②如果∠2＝30°，则有AC∥DE；③如果∠2＝30°，则有BC∥AD；④如果∠2＝30°，必有∠4＝∠C．其中正确的有 ．（填序号）
【答案】①②④
【解答】解：①∵∠CAB＝∠EAD＝90°，
∴∠1＝∠CAB﹣∠2，∠3＝∠EAD﹣∠2，
∴∠1＝∠3．
∴①正确．
②∵∠2＝30°，
∴∠1＝90°﹣30°＝60°，
∵∠E＝60°，
∴∠1＝∠E，
∴AC∥DE．
∴②正确．
③∵∠2＝30°，
∴∠3＝90°﹣30°＝60°，
∵∠B＝45°，
∴BC不平行于AD．
∴③错误．
④由②得AC∥DE．
∴∠4＝∠C．
∴④正确．
故答案为：①②④．
18．（2021秋•晋安区校级期末）如图，小明利用两块相同的三角板，分别在三角板的边缘画直线AB和CD，并由此判定AB∥CD，这是根据 ，两直线平行．
【答案】内错角相等
【解答】解：如图，利用两块相同的三角板，分别在三角板的边缘画直线AB和CD，
直线BC把AB和CD所截，
此时两块相同的三角板的最小两个角的位置关系正好是内错角，
所以这是根据内错角相等，来判定两直线平行的．
故答案为：内错角相等．
19．（2022春•信丰县校级期末）将一副三角板（∠A＝30°）按如图所示方式摆放，使得AB∥EF，则∠1等于 度．
【答案】105
【解答】解：∵将一副三角板（∠A＝30°）按如图所示方式摆放，使得AB∥EF，
∴∠E＝∠EDB＝45°，∠B＝60°，
∴∠1＝45°+60°＝105°．
故答案为：105．
20．（2022春•榕城区期末）一副三角板按如图所示（共顶点A）叠放在一起，若固定三角板ABC，改变三角板ADE的位置（其中A点位置始终不变），当∠BAD＝ ． °时，DE∥AB．
【答案】30或150
【解答】解：由题意得∠ADE＝30°，∠ACB＝∠DAE＝90°，
①如图，
当∠BAD＝∠ADE＝30°时，可得AB∥DE；
②如图，
当∠BAD+∠D＝180°时，可得AB∥DE，
则∠BAD＝180°﹣∠D＝150°．
故答案为：30或150．
21．（2022春•晋安区校级月考）两块不同的三角板按如图所示摆放，两个直角顶点C重合，∠A＝60°，∠D＝45°．接着保持三角板ABC不动，将三角板CDE绕着点C旋转，但保证点D在直线AC的上方，若三角板CDE有一条边与斜边AB平行，则∠ACD＝ ．
【答案】30°或120°或165°
【解答】解：如图，CD∥AB，∠BCD＝∠B＝30°，
∠ACD＝∠ACB+∠BCD＝90°+30°＝120°；
如图2，DE∥AB时，延长EC交AB于F，
则∠AFC＝∠E＝45°，
在△ACF中，∠ACF＝180°﹣∠A﹣∠AFC，
＝180°﹣60°﹣45°＝75°，
则∠BCF＝90°﹣∠ACF＝90°﹣75°＝15°．
∴∠ACD＝180°﹣∠BCF＝180°﹣15°＝165°；
如图3，
CD∥CE∥AB时，∠ACD＝30°，
故答案为：30°或120°或165°．
22．（2022春•相城区校级期末）如图所示，将含有30°角的三角板的直角顶点放在相互平行的两条直线其中一条上，若∠1＝35°，则∠2的度数为 ．
【答案】25°
【解答】解：过A作AE∥NM，
∵NM∥GH，
∴AE∥GH，
∴∠3＝∠1＝35°，
∵∠BAC＝60°，
∴∠4＝60°﹣35°＝25°，
∵NM∥AE，
∴∠2＝∠4＝25°，
故答案为：25°．
23．（2021秋•青神县期末）将含30°角的三角板如图摆放，AB∥CD，若∠1＝20°，则∠2的度数是 ．
【答案】50°
【解答】解：如图：
∵∠1＝20°，∠3＝∠1+30°，
∴∠3＝∠1+30°＝20°+30°＝50°，
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠3＝50°．
故答案为：50°．
24．（2022春•宁安市期末）三角板是学习数学的重要工具，将一副三角板中的两块直角三角板的直角顶点C按如图所示的方式叠放在一起，当0˚＜∠ACE＜90˚，且点E在直线AC的上方时，解决下列问题：（友情提示∠A＝60˚，∠D＝30˚，∠B＝∠E＝45˚）．
（1）①若∠DCE＝40˚，则∠ACB的度数为 ；
②若∠ACB＝135˚，则∠DCE的度数为 ；
（2）由（1）猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，请说明理由；
（3）这两块三角板是否存在一组边互相平行的情况？若存在，请直接写出∠ACE的度数的所有可能的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）①∵∠ACD＝90°，∠DCE＝40°，
∴∠ACE＝50°，
∴∠ACB＝∠BCE+∠ACE＝90°+50°＝140°，
故答案为：140°；
②∵∠ACB＝135°，∠ACD＝∠ECB＝90°，
∴∠ACE＝135°﹣90°＝45°，
∴∠DCE＝∠DCA﹣∠ACE＝90°﹣45°＝45°，
故答案为：45°；
（2）∠ACB与∠DCE互补，理由如下：
∵∠ACD＝90°，
∴∠ACE＝90°﹣∠DCE，
又∵∠BCE＝90°，
∴∠ACB＝90°+90°﹣∠DCE，
∴∠ACB+∠DCE＝90°+90°﹣∠DCE+∠DCE＝180°，
即∠ACB与∠DCE互补；
（3）存在一组边互相平行，
当∠ACE＝45°时，∠ACE＝∠E＝45°，此时AC∥BE；
当∠ACE＝30°时，∠ACB＝120°，此时∠A+∠ACB＝180°，故AD∥BC．
35．（2022春•汉阳区期中）如图1，将三角板ABC与三角板ADE摆放在一起；如图2，其中∠ACB＝30°，∠DAE＝45°，∠BAC＝∠D＝90°．固定三角板ABC，将三角板ADE绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角∠CAE＝α（0°＜α＜180°）．
（1）当α为 度时，AD∥BC，并在图3中画出相应的图形；
（2）在旋转过程中，试探究∠CAD与∠BAE之间的关系；
（3）当△ADE旋转速度为5°/秒时，且它的一边与△ABC的某一边平行（不共线）时，直接写出时间t的所有值．
【解答】解：（1）当α＝15°时，AD∥BC，
图形如下：
故答案为15；
（2）设：∠CAD＝γ，∠BAE＝β，
①如上图，当0°＜α≤45°时，
α+β＝90°，α+γ＝45°，
故β﹣γ＝45°；
②当45°＜α≤90°时，
同理可得：γ+β＝45°，
③当90°＜α＜180°时，
同理可得：γ﹣β＝45°；
（3）①当AD∥BC时，α＝15°，t＝3；
②当DE∥AB时，α＝45°，t＝9；
③当DE∥BC时，α＝105°，t＝21；
④当DE∥AC时，α＝135°，t＝27；
⑤当AE∥BC时，α＝150°，t＝30；
综上，t＝3或9或21或27或30．
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