【期末满分攻略】2022-2023学年浙教版八年级数学下册讲学案-专题05 一元二次方程的根与系数关系（四大类型）

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专题05 一元二次方程的根与系数关系（四大类型）
专题说明


中学阶段涉及的一元二次内容有函数的二次函数，研究几何图形中的有二次曲线，一元二次方程的求根公式向我们揭示了两根与系数间的的密切关系，而韦达定理介绍的根与系数的关系是在求根公式的基础上，根与系数的进一步发现，这一发现在数学学科中具有较强的实用价值，学生在处理有关一元二次方程的问题时，就会多一些思想和方法，同时，也为今后进一步学习方程理论打下基础。
解题思路


根与系数的关系：即的两根为，则，。利用韦达定理可以求一些代数式的值（式子变形），如
解题锦囊：
当一元二次方程的题目中给出一个根让你求另外一个根或未知系数时，可以用韦达定理。
典例分析


【典例1】设a，b是方程x2﹣x﹣2021＝0的两个实数根，则a+b﹣ab的值为（　　）
A．2022 B．﹣2022 C．2020 D．﹣2020
【答案】A
【解答】解：根据题意，得a+b＝1，ab＝﹣2021，
∴a+b﹣ab＝1+2021＝2022，
故选：A．

【变式1-1】已知a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则a+b+2022的值是（　　）
A．2024 B．2023 C．2022 D．2021
【答案】D
【解答】解：∵a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，
∴a+b＝﹣1，
∴a+b+2022
＝﹣1+2022
＝2021．
故选：D．
【变式1-2】已知a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个不相等的实数根，则ab﹣2020a﹣2020b的值是（　　）
A．﹣2023 B．﹣2017 C．2017 D．2023
【答案】C
【解答】解：∵a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个不相等的实数根，
∴a+b＝﹣1，ab＝﹣3．
∴ab﹣2020a﹣2020b＝ab﹣2020（a+b）＝﹣3﹣2020×（﹣1）＝2017，
故选：C．
【变式1-3】已知x1、x2是一元二次方程x2﹣6x+3＝0的两个实数根，则的值为（　　）
A．4 B．﹣4 C． D．2
【答案】A
【解答】解：根据题意得x1+x2＝6，x1x2＝3，
则＝＝＝4，
故选：A．
【典例2】已知x1，x2是一元二次方程x2+3x﹣1＝0的两个实数根，则x22+2x2﹣x1的值为（　　）
A．4 B．1 C．﹣2 D．﹣1
【答案】A
【解答】解：∵x2是一元二次方程x2+3x﹣1＝0的根，
∴x22+3x2﹣1＝0，
∴x22＝﹣3x2+1，
∴原式＝﹣3x2+1+2x2﹣x1
＝﹣（x1+x2）+1，
∵x1，x2是一元二次方程x2+3x﹣1＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝﹣3，
∴原式＝﹣（﹣3）+1＝4．
故选：A．
【变式2-1】设a，b是方程x2﹣x﹣2021＝0的两个实数根，则a2+b的值为（　　）
A．2022 B．2021 C．2020 D．2019
【答案】A
【解答】解：∵a，b是方程x2﹣x﹣2021＝0的两个实数根，
∴a+b＝1，a2﹣a﹣2021＝0，
即a2＝a+2021，
∴a2+b＝a+b+2021＝1+2021＝2022．
故选：A．
【变式2-2】若m，n是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两个实根，则m2+4m+2n的值是（　　）
A．﹣4 B．﹣3 C．3 D．4
【答案】B
【解答】解：∵m是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的实根，
∴m2+2m﹣1＝0，
∴m2＝﹣2m+1，
∴m2+4m+2n＝﹣2m+1+4m+2n＝2（m+n）+1，
∵m，n是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两个实根，
∴m+n＝﹣2，
∴m2+4m+2n＝2×（﹣2）+1＝﹣3．
故选：B．
【变式2-3】若m，n是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则m3﹣4n2+17的值为（　　）
A．﹣2 B．6 C．﹣4 D．4
【答案】A
【解答】解：∵m，n是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，
∴m2+m﹣3＝0，n2+n﹣3＝0，m+n＝﹣1，
∴m2＝3﹣m，n2＝3﹣n，
∴m3＝3m﹣m2＝3m﹣3+m＝4m﹣3，4n2＝12﹣4n，
∴m3﹣4n2+17
＝4m﹣3﹣12+4n+17
＝4（m+n）+2
＝4×（﹣1）+2
＝﹣4+2
＝﹣2，
故选：A．
【典例3】关于x的一元二次方程x2+（m+4）x+2m＝0．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若x1、x2是方程的两个实根，且x1+x2+x1x2＝m2﹣4m，求m的值．
【解答】（1）证明：∵Δ＝（m+4）2﹣4×2m
＝m2+8m+16﹣8m
＝m2+16＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：根据题意得x1+x2＝﹣（m+4），x1x2＝2m，
∵x1+x2+x1x2＝m2﹣4m，
∴﹣（m+4）+2m＝m2﹣4m，
解得m＝1或4，
即m的值为1或4．
【变式3-1】已知关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣2＝0有实数根．
（1）求实数k的取值范围．
（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，若（x1+1）（x2+1）＝﹣1，求k的值．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣2＝0有实数根，
∴Δ＝32﹣4×1×（k﹣2）≥0，
解得k≤，
即k的取值范围是k≤；
（2）∵方程x2+3x+k﹣2＝0的两个实数根分别为x1，x2，
∴x1+x1＝﹣3，x1x2＝k﹣2，
∵（x1+1）（x2+1）＝﹣1，
∴x1x2+（x1+x2）+1＝﹣1，
∴k﹣2+（﹣3）+1＝﹣1，
解得k＝3，
即k的值是3．
【变式3-2】已知关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣9＝0．
（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；
（2）设此方程的两个根分别为x1，x2，若x1+x2＝6，求m的值．
【解答】（1）证明：∵Δ＝（﹣2m）2﹣4×（m2﹣9）＝4m2﹣4m2+36＝36＞0，
∴此方程有两个不相等的实数根．
（2）解：x2﹣2mx+m2﹣9＝0，即（x﹣m+3）（x﹣m﹣3）＝0，
解得：x1＝m+3，x2＝m﹣3．
∵x1+x2＝6，
∴2m＝6，
解得：m＝3．
【典例4】已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若两实数根分别为x1和x2，且，求m的值．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0有两个不相等的实数根．
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣m）＞0，
即m＞﹣1；

（2）由根与系数的关系可知：x1+x2＝2，x1•x2＝﹣m，
∵，
∴x12+x22+（x1x2）2＝（x1+x2）2﹣2x1x2+（x1x2）2＝7，
∴22﹣2×（﹣m）+（﹣m）2＝7，
即m2+2m﹣3＝0，
解得m＝﹣3或m＝1，
而m＞﹣1，
∴m的值为1．
【变式4-1】（2021秋•蓬溪县期末）已知关于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）求m的取值范围；
（2）当时，求m的值．
【答案】（1）m＞﹣1且m≠0； （2）4
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0且m≠0，
即（﹣2）2﹣4×m×（﹣1）＞0且m≠0，
解得：m＞﹣1且m≠0；
（2）∵关于的一元二次方程mx²﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根x1，x2，
∴x1+x2＝，x1x2＝﹣，
∵x12+x22＝x1x2+1，（x1+x2）2﹣2x1x2＝x1x2+1，
即（x1+x2）2＝3x1x2+1，
∴（）2＝﹣+1，即m2﹣3m﹣4＝0，
解得：m1＝4，m2＝﹣1，
经检验，m1，m2都是分式方程的解，
∵m＞﹣1且m≠0，
∴m的值为4．
【变式4-2】已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两实根为x1、x2，且x12+x22﹣x1x2＝13，求m的值．
【解答】（1）证明：关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m＝0，
∵（m﹣1）2≥0，
∴Δ＝（m﹣3）2﹣4×（﹣m）
＝m2﹣6m+9+4m
＝m2﹣2m+1+8
＝（m﹣1）2+8≥8＞0，
则方程有两个不相等的实数根；
（2）由根与系数的关系可得：x1+x2＝m﹣3，x1x2＝﹣m，
∵x12+x22﹣x1x2＝13，
∴（x1+x2）2﹣3x1x2＝13，即（m﹣3）2+3m＝13，
整理得：m2﹣3m﹣4＝0，即（m﹣4）（m+1）＝0，
所以m﹣4＝0或m+1＝0，
解得：m＝4或m＝﹣1．
夯实基础


1．（2022秋•越秀区校级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的两实数根分别为x1，x2，则x1x2+x1+x2的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．5 D．﹣5
【答案】B
【解答】解：x2﹣3x﹣2＝0，
根据根与系数的关系得x1+x2＝3，x1x2＝﹣2，
所以x1x2+x1+x2＝﹣2+3＝1．
故选：B．
2．（2022秋•大渡口区校级期末）已知方程x2﹣5x+2＝0的两个根分别为x1、x2，则x1+x2﹣x1x2的值为（　　）
A． B． C．7 D．3
【答案】D
【解答】解：∵方程x2﹣3x﹣5＝0的两个解分别为x1、x2，
∴x1+x2＝5，x1x2＝2，
∴x1+x2﹣x1x2＝5﹣2＝3．
故选：D．
3．（2022秋•龙江县期末）关于x的一元二次方程x2+px+4＝0的一个解为x1＝2，则另一个解x2为（　　）
A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．2
【答案】D
【解答】∵x1、x2是关于x的一元二次方程x2+px+4＝0的两个根，
∴一元二次方程的根与系数的关系得，
∵x1＝2，
∴即方程的另一个解是2．
故选：D．
4．（2022秋•南开区校级期末）若方程x2﹣2x﹣1＝0的两根分别是x1，x2，则x12+x22的值为（　　）
A．4 B．6 C．18 D．16
【答案】B
【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两根，
∴x1+x2＝2，x1•x2＝﹣1，
∴x12+x22
＝（x1+x2）2﹣2x1•x2
＝22﹣2×（﹣1）
＝6，
故选：B．
5．（2021秋•淇滨区校级月考）若α、β是一元二次方程3x2+x﹣1＝0的两个实数根，则+＝（　　）
A．2 B．﹣1 C．﹣2 D．1
【答案】D
【解答】解：∵α、β是一元二次方程3x2+x﹣1＝0的两个实数根，
∴α+β＝﹣；αβ＝﹣，
∴+＝＝＝1．
故选：D．
6．（2022秋•顺昌县月考）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣6x+3＝0的两个实数根，则x1x2的值为（　　）
A．6 B．﹣6 C．﹣3 D．3
【答案】D
【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣6x+3＝0的两个实数根，
∴x1x2＝3，
故选：D．
7．（2022秋•花垣县月考）一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根为x1，x2，则x1+x2等于（　　）
A．﹣3 B．2 C．3 D．1或3
【答案】B
【解答】解：由一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根为x1，x2，可得：x1+x2＝2．
故选：B．
8．（2022秋•遵义月考）设m，n是方程x2+x﹣2022＝0的两个实数根，则m2+2m+n的值为（　　）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
【答案】B
【解答】解：∵m是方程x2+x﹣2022＝0的实数根，
∴m2+m﹣2022＝0，
∴m2＝﹣m+2022，
∴m2+2m+n＝﹣m+2022+2m+n＝m+n+2022，
∵m，n是方程x2+x﹣2022＝0的两个实数根，
∴m+n＝﹣1，
∴m2+2m+n＝﹣1+2022＝2021．
故选：B．
9．（2022秋•新田县期中）若x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两个实数根，则代数式x12﹣2x1+2x2的值等于（　　）
A．2026 B．2027 C．2028 D．2029
【答案】C
【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两个实数根，且a＝1，b＝﹣4，c＝﹣2020，
∴，，
∴x1＝4﹣x2，
∵，
∴x1（4﹣x2﹣2）+2x2＝2x1﹣x1x2+2x2＝2（x1+x2）﹣x1x2，
∴2（x1+x2）﹣x1x2＝2×4﹣（﹣2020）＝2028，
故选：C．
10．（2022秋•无棣县期中）设a，b是方程x2+x﹣2022＝0的两个不相等的实数根，则a2+2a+b的值为（　　）
A．0 B．1 C．2022 D．2021
【答案】D
【解答】解：∵a，b是方程x2+x﹣2022＝0的两个不相等的实数根，
∴a+b＝﹣1，a2+a﹣2022＝0，
∴a2+a＝2022，
∴a2+2a+b＝a2+a+a+b＝2022+（﹣1）＝2021．
故选：D．
11．（2022秋•贵州月考）设一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两根为x1、x2，则的值为（　　）
A． B．﹣ C．3 D．﹣5
【答案】B
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两根为x1、x2，
∴x1+x2＝3，x1•x2＝﹣5，
∴＝＝＝﹣．
故选：B．
12．（2022秋•灵山县期中）已知2x2+x﹣1＝0的两根为x1，x2，则x1+x2的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C． D．﹣
【答案】D
【解答】解：∵2x2+x﹣1＝0的两根为x1、x2，
∴x1+x2＝﹣．
故选：D．
13．（2022秋•西城区期末）已知关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣9＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设此方程的两个根分别为x1，x2，且x1＞x2，若2x1＝x2+5，求m的值．
【解答】（1）证明：∵Δ＝（﹣2m）2﹣4×1×（m2﹣9）
＝4m2﹣4m2+36
＝36＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）解：解方程，得，
∵x1＞x2，
∴x1＝m+3，x2＝m﹣3，
∵2x1＝x2+5，
∴2（m+3）＝m﹣3+5，
∴m＝﹣4．
14．（2022秋•宁德期末）已知关于x的方程（x﹣3）（x﹣2）﹣p2＝0．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根．
（2）当p＝2时，x1，x2是该方程的根，求x12﹣4x1+x2的值．
【解答】（1）证明：方程可变形为x2﹣5x+6﹣p2＝0，
Δ＝（﹣5）2﹣4×1×（6﹣p2）＝1+4p2．
∵p2≥0，
∴4p2+1＞0，即Δ＞0，
∴这个方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：当p＝2时，原方程为x2﹣5x+2＝0，
∵x1，x2是该方程的根，
∴x12﹣5x1+2＝0，x1+x2＝5，
∴x12＝5x1﹣2，
∴x12﹣4x1+x2
＝5x1﹣2﹣4x1+x2
＝x1+x2﹣2
＝5﹣2
＝3．
15．（2022秋•平昌县期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+2m+1＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1x2+x1+x2＝20，求m的值．
【解答】解：（1）根据题意得Δ＝（﹣6）2﹣4（2m+1）≥0，
解得m≤4；
（2）根据题意得x1+x2＝6，x1x2＝2m+1，
∵2x1x2+x1+x2＝20，
∴2（2m+1）+6＝20，
解得m＝3，
∵m≤4，
∴m的值为3．
16.（2022•城西区校级开学）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0．
（1）若方程有两个实数根，求m的范围；
（2）若方程的两个实数根为x1、x2，且x1+x1x2+x2＝﹣2，求m的值．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×m≥0，
解得：m≤1，
∴m的取值范围为m≤1．
（2）∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的实数根，
∴x1+x2＝2，x1x2＝m，
又∵x1+x1x2+x2＝﹣2，
∴2+m＝﹣2，
解得：m＝﹣4，
∴m的值为﹣4．