【期末满分攻略】2022-2023学年浙教版八年级数学下册讲学案-专题08 平行四边形的性质（3大类型）

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 专题08 平行四边形的性质（3大类型）
真题演练


1. 利用平行四边形的性质求边、角
1．（2022春•抚顺期中）如图，▱ABCD的周长为20cm，AC与BD相交于点O，OE⊥AC交AD于E，则△CDE的周长为（　　）

A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm
【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，AD＝BC，OA＝OC，
∵▱ABCD的周长为20cm，
∴AD+DC＝10cm，
又∵OE⊥AC，
∴AE＝CE，
∴△CDE的周长＝DE+CE+DC＝DE+AE+DC＝AD+DC＝10cm；
故选：C．
2．（2022春•南宁期末）如图，▱ABCD中，AB＝4，BC＝6，AC的垂直平分线交AD于点E，则△CDE的周长是（　　）

A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC＝AB＝4，AD＝BC＝6，
∵AC的垂直平分线交AD于点E，
∴AE＝CE，
∴△CDE的周长＝DE+CE+DC＝DE+AE+DC＝AD+DC＝6+4＝10；
故选：C．
3．（2022春•洪山区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD中，顶点A（﹣3，2），D（2，3），B（﹣4，﹣3），则顶点C的坐标为（　　）

A．（1，﹣2） B．（﹣1，2） C．（1，﹣1） D．（2，﹣1）
【答案】A
【解答】解：设直线AD的解析式为y＝k1x+b1、直线BC的解析式为y＝k2x+b2，把点A（﹣3，2）、D（2，3）代入上式得，，解得，
∴直线AD的解析式为y＝x+；∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴k2＝k1＝，∴直线BC的解析式为y＝x+b2，把B（﹣4，﹣3）代入上式得，b2＝﹣，∴
直线BC的解析式为y＝x﹣，
同理求得直线CD的解析式为y＝5x﹣7，
将直线BC与直线CD的解析式联立得，
，
解得，
∴点C的坐标为（1，﹣2）．
故选：A．
4．（2022春•南平期末）如图，在平面直角坐标系中，▱AOBC的顶点B在x轴上，OA＝2，∠AOB＝60°，OP平分∠AOB交AC边于点P，则点P的坐标是（　　）

A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：如图，延长CA交y轴于Q，
则AQ⊥y轴，
∴∠AQO＝90°，
∵∠AOB＝60°，
∴∠AOQ＝90°﹣∠AOB＝30°，
∴AQ＝OA＝1，
∴OQ＝＝＝，
∵OP平分∠AOB，
∴∠AOP＝∠BOP，
∵四边形AOBC是平行四边形，
∴AC∥OB，
∴∠APO＝∠POB，
∴∠AOP＝∠APO，
∴AP＝OA＝2，
∴PQ＝AQ+AP＝1+2＝3，
∴P（3，），
故选：D．

5．（2022春•吴兴区校级期中）如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，AB＝BC，连接OE．下列结论：①AE＝CE；②S▱ABCD＝AB•AC；③S△ABE＝S△AOE； ④OE＝BC，成立的个数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC＝60°，∠BAD＝120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠EAD＝60°
∴△ABE是等边三角形，
∴AE＝AB＝BE，∠AEB＝60°，
∵AB＝BC，
∴AE＝BE＝BC，
∴AE＝CE，故①正确；
∴∠EAC＝∠ACE＝30°
∴∠BAC＝90°，
∴AC⊥AB，
∴S▱ABCD＝AB•AC，故②正确；
∵BE＝EC，
∴E为BC中点，
∴S△ABE＝S△ACE，故③错误；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，
∵AE＝CE，
∴EO⊥AC，
∵∠ACE＝30°，
∴EO＝EC，
∵EC＝AB，
∴OE＝BC，故④正确；
正确的个数为3个，
故选：C．
6．（2022•信阳一模）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．根据学习平行四边形性质的经验，有同学得出如下筝形的性质，你认为其中不正确的是（　　）

A．两组邻边分别相等
B．有一组对角相等
C．两条对角线相互垂直平分
D．一条对角线被另一条对角线垂直平分
【答案】C
【解答】解：A．两组邻边分别相等；正确；
B．有一组对角相等；正确；
C．两条对角线相互垂直平分；不正确；
D．一条对角线被另一条对角线垂直平分；正确；
故选：C．
7．（2022春•荣昌区校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝10，AB＝8，点P在边AD上，且BP＝BC，点M在线段BP上，点N在线段BC的延长线上，且PM＝CN，连接MN交CP于点F，过点M作ME⊥CP于E，则EF＝　 　．

【答案】2
【解答】解：如图，过点M作MH∥BC交CP于H，
则∠MHP＝∠BCP，∠NCF＝∠MHF，
∵BP＝BC，
∴∠BCP＝∠BPC，
∴∠BPC＝∠MHP，
∴PM＝MH，
∵PM＝CN，
∴CN＝MH，
∵ME⊥CP，
∴PE＝EH，
在△NCF和△MHF中，
，
∴△NCF≌△MHF（AAS），
∴CF＝FH，
∴EF＝EH+FH＝CP，
∵矩形ABCD中，AD＝10，
∴BC＝AD＝10，
∴BP＝BC＝10，
在Rt△ABP中，AP＝＝＝6，
∴PD＝AD﹣AP＝10﹣6＝4，
在Rt△CPD中，CP＝＝＝4，
∴EF＝CP＝×4＝2．
故答案为：2．

8．（2022春•鄞州区期中）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形ABCD是平行四边形，点A，B，C的坐标分别为A（0，2），B（﹣1，0），C（4，0），点E是BC的中点，点P为线段AD上的动点，若△BEP是等腰三角形，则点P的坐标为　 　．

【答案】（0，2）或（3，2）或（，2）或（，2）
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，A（0，2），B（﹣1，0），C（4，0），
∴D（5，2），
∵E是BC的中点，
∴E（1.5，0），BE＝2.5，
设P（m，2），则0≤m≤5，
∴BP＝，
PE＝，
∵△BEP是等腰三角形，
∴①当BE＝BP时，有2.5＝，
解得，m＝﹣＜0（舍去），或m＝，
此时P（，2）；
②当PB＝PE时，有＝，
解得，m＝，
此时P（，2）；
③当EP＝EB时，有2.5＝，
解得，m＝0或3，
此时P（0，2）或（3，2），
综上，P（0，2）或（3，2）或（，2）或（，2）．
故答案为：（0，2）或（3，2）或（，2）或（，2）．
9．（2022春•洮北区期末）如图，在▱ABCD中，E为BC边上一点，且AB＝AE．
（1）求证：△ABC≌△EAD；
（2）若∠B＝65°，∠EAC＝25°，求∠AED的度数．

【解答】（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝AD，
∴∠EAD＝∠AEB，
又∵AB＝AE，
∴∠B＝∠AEB，
∴∠B＝∠EAD，
在△ABC和△EAD中，
，
∴△ABC≌△EAD（SAS）．
（2）解：∵AB＝AE，
∴∠B＝∠AEB，
∴∠BAE＝50°，
∴∠BAC＝∠BAE+∠EAC＝50°+25°＝75°，
∵△ABC≌△EAD，
∴∠AED＝∠BAC＝75°．
10．（2022春•江都区月考）如图，在平行四边形ABCD中，点E是BC上的一点，F在线段DE上，且∠AFE＝∠ADC．
（1）若∠AFE＝70°，∠DEC＝40°，求∠DAF的大小；
（2）若DE＝AD，求证：△AFD≌△DCE

【解答】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADF＝∠DEC＝40°．
∵∠AFD+∠AFE＝180°，
∴∠AFD＝180°﹣∠AFE＝110°，
∴∠DAF＝180°﹣∠ADF﹣∠AFD＝30°；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠ADC，AB∥CD，AD∥BC，
∴∠C+∠B＝180°，∠ADF＝∠DEC，
∵∠AFD+∠AFE＝180°，∠AFE＝∠ADC，
∴∠AFD＝∠C，
在△AFD和△DEC中，，
∴△AFD≌△DCE（AAS）．
∴DE＝BF．
11．（2022春•静安区校级期中）如图，在▱ABCD中，∠B＝60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为点E、F．
（1）求∠EAF的度数；
（2）如果AB＝6，CF＝2，求▱ABCD的面积．

【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠B+∠C＝180°，
∵∠B＝60°，
∴∠C＝120°，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEC＝∠AFC＝90°，
在四边形AECF中，∠EAF+∠AEC+∠C+∠AFC＝360°，
∴∠EAF＝60°；
（2）在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，AB＝6，
∵∠B＝60°，
∴∠BAE＝30°，
∴BE＝AB＝3，
由勾股定理，得AE＝＝3，
∵CD＝AB＝6，CF＝2，
∴DF＝CD﹣CF＝4，
∵∠D＝∠B＝60°，
∴AD＝2DF＝8，
∴BC＝AD＝8，
∴▱ABCD的面积＝BC•AE＝8×3＝24．
12．（2022春•崇义县期中）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠DAB，已知CE＝6，BE＝8，DE＝10．
（1）求BC的长；
（2）若∠CBE＝36°，求∠ADC．

【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，DC∥AB，
∴∠DEA＝∠EAB，
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE＝∠EAB，
∴∠DAE＝∠DEA，
∴AD＝DE＝10，
∴BC＝10；

（2）∵CE＝6，BE＝8，BC＝10，
∴CE2+BE2＝62+82＝100＝BC2，
∴△BCE是直角三角形，且∠BEC＝90°，
∴∠C＝90°﹣∠CBE＝90°﹣36°＝54°，
∵AD∥BC，
∴∠D＝180°﹣∠C＝180°﹣54°＝126°
2. 利用平行线的性质证明边、角关系
13．（2021秋•雨花区校级期末）如图，在▱ABCD中，E是BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F．
（1）求证：AB＝CF；
（2）连接DE，若AD＝2AB，求证：DE⊥AF．

【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DF，
∴∠ABE＝∠FCE，
∵E为BC中点，
∴BE＝CE，
在△ABE与△FCE中，
，
∴△ABE≌△FCE（ASA），
∴AB＝CF；

（2）∵AD＝2AB，AB＝FC＝CD，
∴AD＝DF，
∵△ABE≌△FCE，
∴AE＝EF，
∴DE⊥AF．
14．（2022春•坪山区期末）如图1，在平行四边形ABCD中，AE、DE分别平分∠BAD、∠ADC，点E在BC上．

（1）求证：BC＝2AB；
（2）如图2，若AB＝4，∠B＝60°，过点C作CF∥AE，CF交DE于G，连接AG，求线段AG的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB＝CD，AD∥BC，
∴∠EAD＝∠BEA，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠EAD，
∴∠BEA＝∠BAE，
∴AB＝BE，
同理：CD＝EC，
∴BC＝BE+CE＝AB+CD＝2AB；
（2）解：由（1）知：AB＝BE，
∵∠B＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE＝AB＝BE＝4，∠AEB＝60°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD+∠ADC＝180°，
∵AE，DE分别平分∠BAD，∠ADC，
∴∠EAD+∠EDA＝×180°＝90°，
∴∠AEG＝90°，
∴∠GEC＝180°﹣60°﹣90°＝30°，
∵CF∥AE，
∴∠GCE＝∠AEB＝60°，
∴∠EGC＝90°，
由（1）得：BC＝2AB＝2×4＝8，
∴CE＝BE＝4，
∴CG＝CE＝×4＝2．
在Rt△EGC中，由勾股定理得：EG＝＝＝2，
在Rt△AEG中，由勾股定理得：AG＝＝＝2．
15．（2022春•温江区期末）如图，在平行四边形ABCD中，AF平分∠BAD交CD点F，BG平分∠ABC交CD点G，AF与BG交于点E．
（1）求证：DG＝CF；
（2）若AB＝10．AD＝6．AF＝8，求FG和BG的长度．

【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，AD＝BC，
∴∠DFA＝∠BAF，
∵AF平分∠BAD，
∴∠DAF＝∠FAB，
∴∠DAF＝∠DFA，
∴AD＝DF，
同理可得CG＝BC，
∴DF＝CG，
∴DG＝CF；
（2）解：过点G作GM∥AF，交BA的延长线于M，

∵AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC＝180°，
∵AF平分∠BAD交CD点F，BG平分∠ABC交CD点G，
∴∠BAF+∠ABE＝90°，
∴∠AEB＝90°，
∴∠BGM＝90°，
∵GM∥AF，GF∥AM，
∴四边形AMGF是平行四边形，
∴FG＝AM＝6+6﹣10＝2，GM＝AF＝8，
∴MB＝12，
在Rt△BMG中，由勾股定理得，
BG＝＝＝4．
16．（2022•无锡）如图，在▱ABCD中，点O为对角线BD的中点，EF过点O且分别交AB、DC于点E、F，连接DE、BF．
求证：（1）△DOF≌△BOE；
（2）DE＝BF．

【解答】证明：（1）∵点O为对角线BD的中点，
∴OD＝OB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DF∥EB，
∴∠DFE＝∠BEF，
在△DOF和△BOE中，
，
∴△DOF≌△BOE（AAS）．
（2）∵△DOF≌△BOE，
∴DF＝EB，
∵DF∥EB，
∴四边形DFBE是平行四边形，
17．（2022春•重庆月考）已知，平行四边形ABCD中，连接AC，AC＝AB．过点B作BE⊥AC，垂足为E．延长BE与CD相交于点F：
（1）如图1，若AE＝2．CE＝1，求线段AD的长．
（2）如图2，若∠BAC＝45°，过点F作FG⊥AD于点G，连接AF、EG，求证：BE+EC＝EG．

【解答】（1）解：∵BE⊥AC，
∴∠AEB＝∠BEC＝90°，
∵AE＝2，CE＝1，
∴AC＝AB＝3，
∴BE＝＝＝，
∴BC＝＝＝，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝；
（2）证明：∵BE⊥AC，
∴∠AEB＝∠BEC＝90°，
∵∠BAC＝45°，
∴△AEB是等腰直角三角形，
∴∠ABE＝45°，AE＝BE，
∵AB∥CD，
∴∠ACF＝45°，∠ABC+∠DCB＝180°，
设∠CBE＝x，
∴∠ABC＝45°+x，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°+x，
∵∠EBC+∠ECB＝90°，
∴x+45°+x＝90°，
∴x＝22.5°，
∴∠EBC＝22.5°，∠ACB＝67.5°，
∵∠ABF＝∠ACF＝45°，
∴A、B、C、F四点共圆，
∴∠CAF＝∠EBC＝22.5°，
∵FG⊥AD，
∴∠AGF＝∠AEF＝90°，
∴A、E、F、G四点共圆，
∴∠EGF＝∠EAF＝22.5°，
∴∠AGE＝67.5°，
∵∠CAD＝∠ACB＝67.5°，
∴∠EAG＝∠AGE，
∴AE＝GE，
∵AC＝AB＝AE，
∴BE+EC＝AE+EC＝AC＝EG．
18．（2022秋•江津区校级期中）如图，平行四边形ABCD中，分别过A，C两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，连接CE，AF．
（1）求证：BE＝DF；
（2）若AB＝4，EF＝，∠AFE＝45°，求△ABD的面积．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
又∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB＝∠CFD＝90°，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴BE＝DF；
（2）解：∵AE⊥BD，∠AFE＝45°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴AE＝EF＝，
∴BE＝＝＝，
由（1）得：DF＝BE＝，
∴BD＝BE+EF+DF＝2+，
∴△ABD的面积＝BD×AE＝×（2+）×＝+．
19．（2021秋•鲤城区校级期末）如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E．
（1）求证：BE＝CD；
（2）连接BF，若BF⊥AE，∠BEA＝60°，AB＝2，求平行四边形ABCD的面积．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，
∴∠AEB＝∠DAE，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝BE，
∴BE＝CD；
（2）解：∵AB＝BE，∠BEA＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE＝AB＝2，
∵BF⊥AE，
∴AF＝EF＝1，
∴BF＝＝＝，
∵AD∥BC，
∴∠D＝∠ECF，∠DAF＝∠E，
在△ADF和△ECF中，，
∴△ADF≌△ECF（AAS），
∴△ADF的面积＝△ECF的面积，
∴平行四边形ABCD的面积＝△ABE的面积＝AE•BF＝×2×＝
3.平行线的性质定理在等积变形中的应用
20．（2022春•龙岗区校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，点F是BC上一点，BF＝6，CF＝2，点E是CD的中点，AE平分∠DAF，EF＝，则△AEF的面积是（　　）

A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：如图，延长AE和BC交于点G，

在平行四边形ABCD中，
∵AD∥BC，AD＝BC，
∴∠D＝∠ECG，∠DAE＝∠G，
∵点E是CD的中点，
∴DE＝CE，
在△ADE和△GCE中，
，
∴△ADE≌△GCE（ASA），
∴AE＝EG，
∵AE平分∠DAF，
∴∠DAE＝∠FAE，
∴∠G＝∠FAE，
∴FA＝FG，
∴FE⊥AG，
∵BF＝6，CF＝2，
∴AD＝CG＝BC＝BF+FC＝6+2＝8，
∴FG＝FC+CG＝2+8＝10，
∵EF＝，
∴AE＝EG＝＝＝2，
∴△AEF的面积＝AE•EF＝2×2＝2．
故选：D．
21．（2022秋•宜都市期中）如图，A、P是直线m上的任意两个点，B、C是直线n上的两个定点，且直线m∥n；则下列说法正确的是（　　）

A．AB∥PC
B．△ABC的面积等于△BCP的面积
C．AC＝BP
D．△ABC的周长等于△BCP的周长
【答案】B
【解答】解：AB不一定平行于PC，A不正确；
∵平行线间的距离处处相等，∴△ABC的面积等于△BCP的面积，B正确；
AC不一定等于BP，C不正确；
△ABC的周长不一定等于△BCP的周长，D不正确，
故选：B．
22．（2022春•柯桥区期末）将6张宽为1的小长方形按如图摆放在平行四边形ABCD中，则平行四边形ABCD的面积为（　　）

A．24 B．16+4 C．32 D．16
【答案】C
【解答】解：过点A作AF⊥BC于F，过点C作CE⊥AD于E，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，
∴AF⊥AD，CE⊥BC，
∴四边形AFCE是矩形，
∴AE＝CF，
∴DE＝BF，
由图形可知：AE＝CF＝AF＝CE＝4，DE＝BF＝4，
∴BC＝BF+CF＝8，
∴平行四边形ABCD的面积＝BC•AF＝8×4＝32，
故选：C．

23．（2023春•高港区月考）如图，在▱ABCD中，E为边BC延长线上一点，连结AE、DE．若△ADE的面积为3，则▱ABCD的面积为 　 ．

【答案】　6
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，E为边BC延长线上一点，
∴AD∥BE，
设AD与BE之间的距离为h，
∵S△ADE＝AD•h＝3，
∴S▱ABCD＝AD•h＝6，
∴▱ABCD的面积为6，
故答案为：6．
24．（2022春•鼓楼区期末）如图，在▱ABCD中，点D是定点，点A、C是直线l1和l2上两动点，l1∥l2，且点D到直线l1和l2的距离分别是1和4，则对角线BD长度的最小值是 　　．

【答案】5
【解答】解：如图，过点D作DM⊥l1于点M，延长DM交l2于点H，过点B作BN⊥l2于点N，连接MN，设CD与l1交于点E，AB与l2交于点F，

∵DM⊥l1，l1∥l2，
∴DM⊥l2，∠AED＝∠DCF，
∵点D是定点，且点D到直线l1和l2的距离分别是1和4，
∴DM＝1，DH＝4，
∴MH＝DH﹣DM＝4﹣1＝3，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD＝BC，∠ADC＝∠CBA，
∴∠BFC＝∠DCF，
∴∠AED＝∠BFC，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（AAS），
∴BN＝DM＝1，
根据垂线段最短、两点之间线段最短可得，
当MN⊥l1时，BD的长度取最小值，最小值为DM+BN+MH的长，
∴对角线BD长度的最小值是1+3+1＝5，
故答案为：5．
25．（2022春•港北区期末）如图：AB∥CD，AD∥BC，AD＝5，BE＝8，△DCE的面积为6，则四边形ABCD的面积为　 　．

【答案】20
【解答】解：作DG⊥BC于G，AH⊥BC于H，
∵AD∥BC，∴AH＝DG，
又AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝5，又BE＝8，
∴CE＝3，又△DCE的面积为6，
∴DG＝4，
∴四边形ABCD的面积＝BC×AH＝20，
故答案为：20．

26．（2022春•安陆市期中）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB⊥AC，AH⊥BD于点H，若AB＝2，BC＝2，则AH的长为 　 　．

【答案】
【解答】解：如图，
∵AB⊥AC，AB＝2，BC＝2，
∴AC＝＝2，
在▱ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，
∴OA＝OC＝，
在Rt△OAB中，
OB＝＝，
又AH⊥BD，
∴OB•AH＝OA•AB，即＝，
解得AH＝．
故答案为：．