【期末满分攻略】2022-2023学年浙教版八年级数学下册讲学案-专题11 特殊平行四边形中的最小值问题（三大类型）

这是一份【期末满分攻略】2022-2023学年浙教版八年级数学下册讲学案-专题11 特殊平行四边形中的最小值问题（三大类型），文件包含期末满分攻略2022-2023学年浙教版八年级数学下册讲学案-专题11特殊平行四边形中的最小值问题三大类型解析版docx、期末满分攻略2022-2023学年浙教版八年级数学下册讲学案-专题11特殊平行四边形中的最小值问题三大类型原卷版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共42页， 欢迎下载使用。
模型归纳
专题11 特殊平行四边形中的最小值问题（三大类型）




类型一：矩形中最小值问题
类型二：菱形中最小值问题
解题思路
类型三：正方形中最小值问题

【类型一 利用几何基本事实确定最值】
【基本事实1 垂线段最短】
垂线线段最短：如图1：直线l外有一定点A，点P是l上一动点，当AP⊥l时，线段AP最短。

【基本事实2 两点间，线段最短】
两点间，线段最短
根据线段的基本事实可知：AB≤AC+BC
当A,C,B三点在一条直线上时，





【类型二 利用轴对称变换确定最值】
线段和最小：如图2，A、B时直线m同侧的两个定点，P时直线m上一动点，作点A关于直线m的对称点A′，直线BA′交直线m于点P，此时PA+PB最小，等于BA′


【典例分析】
【类型1 ：矩形中最小值问题】
【典例1】（2021•内江）如图，矩形ABCD，AB＝1，BC＝2，点A在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上．当点A在x轴上运动时，点D也随之在y轴上运动，在这个运动过程中，点C到原点O的最大距离为 　 　．

【答案】+1
【解答】解：如图，取AD的中点H，连接CH，OH，

∵矩形ABCD，AB＝1，BC＝2，
∴CD＝AB＝1，AD＝BC＝2，
∵点H是AD的中点，
∴AH＝DH＝1，
∴CH＝＝＝，
∵∠AOD＝90°，点H是AD的中点，
∴OH＝AD＝1，
在△OCH中，CO＜OH+CH，
当点H在OC上时，CO＝OH+CH，
∴CO的最大值为OH+CH＝+1，
故答案为：+1
【变式1-1】（2020•北碚区校级开学）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点P是矩形ABCD内一动点，且S△PAB＝S△PCD，则PC+PD的最小值是（　　）

A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：如图，作PM⊥AD于M，作点D关于直线PM的对称点E，连接PE，EC．设AM＝x．

∵四边形ABC都是矩形，
∴AB∥CD，AB＝CD＝4，BC＝AD＝6，
∵S△PAB＝S△PCD，
∴×4×x＝××4×（6﹣x），
∴x＝2，
∴AM＝2，DM＝EM＝4，
在Rt△ECD中，EC＝＝4，
∵PM垂直平分线段DE，
∴PD＝PE，
∴PC+PD＝PC+PE≥EC，
∴PD+PC≥4，
∴PD+PC的最小值为4．
故选：B．
【变式1-2】（秋•无为县期末）如图，在长方形ABCD的边AD上找一点P，使得点P到B、C两点的距离之和最短，则点P的位置应该在　 　．

【答案】AD的中点
【解答】解：作出B关于AD的对称点B'，连接CB'，如图；

∵长方形ABCD，
∴AB＝CD，∠B'AP＝∠PDC＝90°，
∵AB'＝AB，
∴AB'＝CD，
在△B'AP与△CDP中
，
∴△B'AP≌△CDP（AAS），
∴AP＝PD，
故答案为：AD的中点．
【类型2 ：菱形中最小值问题】
【典例2】如图，菱形ABCD的两条对角线长AC＝6，BD＝8，点E是BC边上的动点则AE长的最小值为（　　）

A．4 B． C．5 D．
【答案】B
【解答】解：∵点E是BC边上的一动点，
∴AE⊥BC时，AE有最小值，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝CO＝AC＝3，BO＝DO＝BD＝4，
∴BC＝＝＝5，
∵S菱形ABCD＝×AC×BD＝BC×AE，
∴AE＝，
故AE长的最小值为，
故选：B．
【变式2-1】如图，菱形ABCD的两条对角线长分别为AC＝6，BD＝8，点P是BC边上的一动点，则AP的最小值为（　　）

A．4 B．4.8 C．5 D．5.5
【答案】B
【解答】解：设AC与BD的交点为O，

∵点P是BC边上的一动点，
∴AP⊥BC时，AP有最小值，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝CO＝AC＝3，BO＝DO＝BD＝4，
∴BC＝＝＝5，
∵S菱形ABCD＝×AC×BD＝BC×AP，
∴AP＝＝4.8，
故选：B．
【变式2-2】如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边CD，BC上的动点，连结AE，EF，G，H分别为AE，EF的中点，连结GH．若∠B＝45°，BC＝2，则GH的最小值为（　　）

A．. B． C．2 D．3
【答案】A
【解答】解：连接AF，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝2，
∵G，H分别为AE，EF的中点，
∴GH是△AEF的中位线，
∴GH＝AF，
当AF⊥BC时，AF最小，GH得到最小值，
则∠AFB＝90°，
∵∠B＝45°，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴AF＝AB＝×2＝2，
∴GH＝，
即GH的最小值为，
故选：A．

【变式2-3】如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC＝8，BD＝6，点P为边AB上一点，且点P不与点A，B重合．过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，连接EF，则EF的最小值为（　　）

A．2 B．2.4 C．2.5 D．3
【答案】B
【解答】解：连接OP，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，AC＝8，BD＝6，
∴AC⊥BD，BO＝BD＝3，OC＝AC＝4，
∴BC＝5，
∵PE⊥AC，PF⊥BD，AC⊥BD，
∴四边形OEPF是矩形，
∴FE＝OP，
∵当OP⊥BC时，OP有最小值，
此时S△OBC＝OB×OC＝BC×OP，
∴OP＝2.4，
∴EF的最小值为2.4，
故选：B．

【考点2 两定点，一动点】
【典例3】（2021春•海口期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝8，BD＝6，点E，F分别是边AB，BC的中点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在PE+PF的最小值，则这个最小值是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解答】解：设AC交BD于O，作E关于AC的对称点N，连接NF，交AC于P，则此时EP+FP的值最小，
∴PN＝PE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠DAB＝∠BCD，AD＝AB＝BC＝CD，OA＝OC，OB＝OD，AD∥BC，
∵E为AB的中点，
∴N在AD上，且N为AD的中点，
∵AD∥CB，
∴∠ANP＝∠CFP，∠NAP＝∠FCP，
∵AD＝BC，N为AD中点，F为BC中点，
∴AN＝CF，
在△ANP和△CFP中
∵，
∴△ANP≌△CFP（ASA），
∴AP＝CP，
即P为AC中点，
∵O为AC中点，
∴P、O重合，
即NF过O点，
∵AN∥BF，AN＝BF，
∴四边形ANFB是平行四边形，
∴NF＝AB，
∵菱形ABCD，
∴AC⊥BD，OA＝AC＝4，BO＝BD＝3，
由勾股定理得：AB＝＝5，
故选：C．

【变式3-1】（2020春•庐江县期末）如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB＝4，BD＝4，E为AB的中点，点P为线段AC上的动点，则EP+BP的最小值为（　　）

A．4 B．2 C．2 D．8
【答案】C
【解答】解：如图，设AC，BD相交于O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝AC，BO＝BD＝2，
∵AB＝4，
∴AO＝2，
连接DE交AC于点P，连接BP，作EM⊥BD于点M，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，且DO＝BO，即AO是BD的垂直平分线，
∴PD＝PB，
∴PE+PB＝PE+PD＝DE且值最小，
∵E是AB的中点，EM⊥BD，
∴EM＝AO＝1，BM＝BO＝，
∴DM＝DO+OM＝BO＝3，
∴DE＝＝＝2，
故选：C．

【变式3-2】（2021•埇桥区校级月考）如图，已知菱形ABCD的周长为16，面积为8，E为AB的中点，若P为对角线BD上一动点，则EP+AP的最小值为（　　）

A．2 B．2 C．4 D．4
【答案】B
【解答】解：如图，作CE′⊥AB于E′，交BD于P′，连接AC、AP′．

∵已知菱形ABCD的周长为16，面积为8，
∴AB＝BC＝4，AB•CE′＝8，
∴CE′＝2，
在Rt△BCE′中，BE′＝＝2，
∵BE＝EA＝2，
∴E与E′重合，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD垂直平分AC，
∴A、C关于BD对称，
∴当P与P′重合时，P′A+P′E的值最小，最小值为CE＝2，
故选：B
【考点2 一定点，两动点】
【典例4】如图，已知菱形ABCD的面积为20，边长为5，点P、Q分别是边BC、CD上的动点，且PC＝CQ，连接PD、AQ，则PD+AQ的最小值为（　　）

A． B． C．10 D．
【答案】B
【解答】解：如图，过点A作AM⊥BC于点M，延长AM到点A′，使A′M＝AM，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝AD＝5，∠ABC＝∠ADC，
∵菱形ABCD的面积为20，边长为5，
∴AM＝4，
在Rt△ABM中，根据勾股定理得：
BM＝＝3，
以点B为原点，BC为x轴，垂直于BC方向为y轴，建立平面直角坐标系，

∴B（0，0），A（3，4），C（5，0），D（8，4），A′（3，﹣4），
∵PC＝CQ，BC＝CD，
∴BP＝DQ，
在△ABP和△ADQ中，
，
∴△ABP≌△ADQ（SAS），
∴AP＝AQ＝A′P，
连接A′D，AP，A′P，
∵A′P+PD＞A′D，
∴A′，P，D三点共线时，PD+A′P取最小值，
∴PD+AQ的最小值＝PD+A′P的最小值＝A′D＝＝．
故选：B．
【变式4-1】（2021春•裕华区校级期末）如图，在菱形ABCD中，∠D＝135°，AD＝3，CE＝2，点P是线段AC上一动点，点F是线段AB上一动点，则PE+PF的最小值（　　）

A．2 B．3 C．2 D．
【答案】D
【解答】解：作点E关于AC的对称点点G，连接PG、PE，则PE＝PG，CE＝CG＝2，
连接BG，过点B作BH⊥CD于H，则∠BCH＝∠CBH＝45°，
∴Rt△BHC中，BH＝CH＝BC＝3，
∴HG＝3﹣2＝1，
∴Rt△BHG中，BG＝＝，
∵当点F与点B重合时，PE+PF＝PG+PB＝BG（最短），
∴PE+PF的最小值是．
故选：D．

【变式4-2】（2020春•碑林区校级期末）如图，在菱形ABCD中，AB＝5，对角线BD＝8．点P、点Q分别是AB、BD上动点，则AQ+PQ的最小值为（　　）

A． B． C．5 D．
【答案】B
【解答】解：连接AC交BD于O，过C作CP⊥AB于P，
则此时，AQ+PQ的值最小，且最小值为CP的长度，
∵在菱形ABCD中，AB＝5，对角线BD＝8，
∴AC⊥BD，BO＝BD＝4，
∴AO＝＝3，
∴AC＝6，
∵S菱形ABCD＝AC•BD＝AB•CP，
∴CP＝＝，
∴AQ+PQ的最小值为，
故选：B．


【考点3 三条线段和最小值】
【典例5】如图，已知菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝8，过线段BD上的一个动点P（不与B、D 重合）分别向直线AB、AD作垂线，垂足分别为E、F．
（1）BD的长是　 　；
（2）连接PC，当PE+PF+PC取得最小值时，此时PB的长是　 　．

【答案】8；4．
【解答】解：（1）连接AC，交BD与点O，

∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴△ABC为等边三角形，AC＝AB＝8，
根据菱形性质得：AO＝CO＝AC＝4，OB＝OD，AC⊥BD，
根据勾股定理得：BD＝2OB＝2×＝8；

（2）延长FP交BC于点M，则FM⊥BC．

∵PM＝PE，
∴PE+PF＝PF+PM＝FM，
又∵S菱形ABCD＝AC•BD＝BC•FM，
∴×8×8＝8•FM，即FM＝4，
∴要使PE+PF+PC取最小值，只要PC取最小值．
当CP⊥BD，即点P与点O重合时，PE+PF+PC的值最小．
此时PB＝BO＝DO＝BD＝4．
故答案为：8；4．
【变式5-1】（2022•中山市二模）如图，菱形ABCD的对角线AC＝3，∠ADC＝120°，点E为对角线AC上的一动点，则EA+EB+ED的最小值为 　 　．

【答案】3
【解答】解：以点A为旋转中心，将△AED旋转60°到△AE'D'，连接EE'，作BH⊥D'A于H．
则D'E'＝DE，D'A＝DA，AE＝AE'，
∴△AEE'为等边三角形，
∴AE＝EE'，
∴EA+EB+ED＝EE'+EB+E'D'≥BD'，
即EA+EB+ED的最小值为BD'．
∵∠ADC＝120°，四边形ABCD为菱形，
∴∠DAB＝60°，∠DAC＝30°，
∴∠D'AE'＝30°，
∴∠D'＝30°，
∴∠DAC＝90°，
∴∠HAB＝60°，
∵AC＝3，
∴AD＝AC＝＝AB＝BC，
∴AH＝AB＝，
∴HB＝AH＝，
∴BD'＝2HB＝2×＝3，
即EA+EB+ED的最小值为3．
【变式5-2】如图，已知菱形ABCD的边长为6，点M是对角线AC上的一动点，且∠ABC＝120°，则MA+MB+MD的最小值是（　　）

A． B．3+3 C．6+ D．
【答案】D
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，连接BD，

∵菱形ABCD中，∠ABC＝120°，
∴∠DAB＝60°，AD＝AB＝DC＝BC，
∴△ADB是等边三角形，
∴∠MAE＝30°，
∴AM＝2ME，
∵MD＝MB，
∴MA+MB+MD＝2ME+2DM＝2DE，
根据垂线段最短，此时DE最短，即MA+MB+MD最小，
∵菱形ABCD的边长为6，
∴DE＝＝＝3，
∴2DE＝6．
∴MA+MB+MD的最小值是6．
故选：D．


【类型3 ：正方形中最小值问题】
【典例6】（2021春•龙口市期末）如图，在边长为6的正方形ABCD中，点P为对角线AC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，则EF的最小值为（　　）

A． B． C．4 D．3
【答案】B
【解答】解：连接BP，如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，AB＝BC＝6，
∵PE⊥AB，PF⊥BC，
∴四边形PEBF为矩形，
∴EF＝BP，
当BP⊥AC，BP最短，
在Rt△BPC中，BP＝PC，BC＝6，
根据勾股定理可解得BP＝3，
∴EF得最小值为3．
故选：B．
【变式6-1】（河西区一模）如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上的一点，BE＝1，F为AB的中点，P为AC上一个动点，则PF+PE的最小值为（　　）

A．2 B．4 C． D．2
【答案】C
【解答】解：作E关于直线AC的对称点E′，连接E′F，则E′F即为所求，

过F作FG⊥CD于G，
在Rt△E′FG中，
GE′＝CD﹣BE﹣BF＝4﹣1﹣2＝1，GF＝4，
所以E′F＝＝．
故选：C．
【变式6-2】（铜仁地区）以边长为2的正方形的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A、B两点，则线段AB的最小值　 　．

【答案】
【解答】解：
∵四边形CDEF是正方形，
∴∠OCD＝∠ODB＝45°，∠COD＝90°，OC＝OD，
∵AO⊥OB，
∴∠AOB＝90°，
∴∠COA+∠AOD＝90°，∠AOD+∠DOB＝90°，
∴∠COA＝∠DOB，
∵在△COA和△DOB中
，
∴△COA≌△DOB（ASA），
∴OA＝OB，
∵∠AOB＝90°，
∴△AOB是等腰直角三角形，
由勾股定理得：AB＝＝OA，
要使AB最小，只要OA取最小值即可，
根据垂线段最短，OA⊥CD时，OA最小，
∵正方形CDEF，
∴FC⊥CD，OD＝OF，
∴CA＝DA，
∴OA＝CF＝1，
即AB＝，
故答案为：．
【变式6-3】（2021•威海）如图，在正方形ABCD中，AB＝2，E为边AB上一点，F为边BC上一点．连接DE和AF交于点G，连接BG．若AE＝BF，则BG的最小值为 　 　．

【答案】﹣1
【解答】解：如图，取AD的中点T，连接BT，GT，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB＝2，∠DAE＝∠ABF＝90°，
在△DAE和△ABF中，
，
∴△DAE≌△ABF（SAS），
∴∠ADE＝∠BAF，
∵∠BAF+∠DAF＝90°，
∴∠EDA+∠DAF＝90°，
∴∠AGD＝90°，
∵DT＝AT，
∴GT＝AD＝1，BT＝＝＝，
∴BG≥BT﹣GT，
∴BG≥﹣1，
∴BG的最小值为﹣1．
故答案为：﹣1．
【夯实基础】
1．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，点F是CD边上一点，且DF＝1，点E是BC边上的一个动点，M、N分别是线段AE、AF的中点，连接EF和MN，当点E在BC边上从点B向点C移动时，线段MN的最小值是（　　）

A．1 B．1.5 C．2 D．3
【答案】B
【解答】解：∵M、N分别是线段AE、AF的中点，
∴MN是△AEF的中位线，
∴MN＝EF，
∴EF取最小值时，MN最小，
∵E在BC上运动，
∴E与C重合时，EF最小，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝DC＝4，
∵DF＝1，
∴CF＝DC﹣DF＝3，
∴EF最小值为3，
∴MN的最小值为1.5，
故选：B．
2.如图，点P是Rt△ABC中斜边AC（不与A，C重合）上一动点，分别作PM⊥AB于点M，作PN⊥BC于点N，点O是MN的中点，若AB＝9，BC＝12，当点P在AC上运动时，则BO的最小值是（　　）

A．3 B．3.6 C．3.75 D．4
【答案】B
【解答】解：连接BP，如图所示：
∵∠ABC＝90°，PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，
∴四边形BMPN是矩形，AC＝＝＝15，
∴BP＝MN，BP与MN互相平分，
∵点O是MN的中点，
∴BO＝MN，
当BP⊥AC时，BP最小＝＝＝7.2，
∴MN＝7.2，
∴BO＝MN＝3.6，
故选：B．

3.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，P为边BC上一动点，过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，连接EF，则EF的最小值是（　　）

A．1.2 B．1.5 C．2 D．2.4
【答案】D
【解答】解：连接AP，如图：
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴∠AEP＝∠AFP＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴四边形AFPE是矩形，
∴EF＝AP，
要使EF最小，只要AP最小即可，
当AP⊥BC时，AP最短，
∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，
∴BC＝＝＝5，
∵△ABC的面积＝×4×3＝×5×AP，
∴AP＝2.4，
即EF＝2.4，
故选：D．

4．如图，在菱形ABCD中，P是对角线AC上一动点，过点P作PE⊥BC于点E．PF⊥AB于点F．若菱形ABCD的周长为24，面积为24，则PE+PF的值为（　　）

A．4 B． C．6 D．
【答案】A
【解答】解：连接BP，如图，
∵四边形ABCD为菱形，菱形ABCD的周长为24，面积为24，
∴BA＝BC＝6，S△ABC＝S菱形ABCD＝12，
∵S△ABC＝S△PAB+S△PBC，
∴×6×PE+×6×PF＝12，
∴PE+PF＝4，
故选：A．

5．如图，菱形ABCD的边长为6，∠ABC＝60°，对角线BD上有两个动点E、F（点E在点F的左侧），若EF＝2，则AE+CF的最小值为（　　）

A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】A
【解答】解：如图，连接AC，作AM⊥AC，使得AM＝EF＝2，连接CM交BD于F，

∵AC，BD是菱形ABCD的对角线，
∴BD⊥AC，
∵AM⊥AC，
∴AM∥BD，
∴AM∥EF，
∵AM＝EF，AM∥EF，
∴四边形AEFM是平行四边形，
∴AE＝FM，
∴AE+CF＝FM+FC＝CM，
根据两点之间线段最短可知，此时AE+FC最短，
∵四边形ABCD是菱形，AB＝6，∠ABC＝60°
∴BC＝AB，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝6，
在Rt△CAM中，CM＝＝
∴AE+CF的最小值为2．
故选：A．
6．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则AM的最小值是（　　）

A．2.4 B．2 C．1.5 D．1.2
【答案】D
【解答】解：由题意知，四边形AFPE是矩形，
∵点M是矩形对角线EF的中点，则延长AM应过点P，
∴当AP为直角三角形ABC的斜边上的高时，即AP⊥BC时，AM有最小值，
此时AM＝AP，由勾股定理知BC＝＝5，
∵S△ABC＝AB•AC＝BC•AP，
∴AP＝，
∴AM＝AP＝＝1.2，
故选：D．
7．在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A、B、G共线，点C在BE上，∠DAB＝60°，AG＝8，点M，N分别是AC和EG的中点，则MN的最小值等于（　　）

A．2 B．4 C．2 D．6
【答案】A
【解答】解：连接BD、BF，延长AC交GE于H，连接BH，如图所示：
∵四边形ABCD和四边形BEFG是菱形，∠DAB＝60°，
∴AD∥BC∥GF，AC⊥BD，BF⊥GE，BE＝BG，AM＝CM，EN＝GN，
∴∠GAH＝30°，∠EBG＝∠DAB＝60°，
∴△BEG是等边三角形，
∴∠BGE＝60°，
∴∠AHG＝90°，
∴四边形BNHM是矩形，GH＝AG＝4，AH＝GH＝4，
∴MN＝BH，当BH⊥AG时，BH最小，
∵∠GAH＝30°，
∴BH＝AH＝2，
∴MN的最小值＝2；
故选：A．

8．如图，菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°，点E是AD边上一动点（不与A，D重合），点F是CD边上一动点，DE+DF＝2，则∠EBF＝　 　°，△BEF面积的最小值为 　 　．

【答案】60;．
【解答】解：如图，连接BD，

∵菱形ABCD边长为4，∠BAD＝60°；
∴△ABD与△BCD为正三角形，
∴∠FDB＝∠EAB＝60°，
∵AE+CF＝2，DF+CF＝2，
∴AE＝DF，
∵AB＝BD，
∴△BDF≌△BAE（SAS），
∴BE＝BF，
∠ABE＝∠DBF，
∴∠EBF＝∠ABD＝60°，
∴△BEF是等边三角形，
∴当BE⊥AD时，△BEF的面积最小，此时BE＝，
∴边BE上的高为，
△BEF面积的最小值为：．
故答案为：．
9．如图，菱形ABCD的边长为4，∠ADC＝120°，点E是AD上一动点（不与点A，D重合），点F是CD上一动点，且AE+CF＝4，则△BEF面积的最小值为 　 ．

【答案】3　
【解答】解：连接BD，

∵菱形ABCD边长为4，∠BAD＝60°；
∴△ABD与△BCD为正三角形，
∴∠FDB＝∠EAB＝60°，
∵AE+CF＝4，DF+CF＝4，
∴AE＝DF，
∵AB＝BD，
∴△BDF≌△BAE（SAS），
∴BE＝BF，
∠ABE＝∠DBF，
∴∠EBF＝∠ABD＝60°，
∴△BEF是等边三角形，
∴当BE⊥AD时，△BEF的面积最小，此时BE＝2，
∴边BE上的高为×2＝3，
∴△BEF面积的最小值＝3．
故答案为：3．
10．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，BC＝4，动点E，F分别在线段AB，AD上，且BE＝AF．则EF长度的最小值等于 　 ．

【答案】2　
【解答】解：如图，连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝4，AD∥BC，
∵∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠ACB＝60°，
∵AD∥BC，
∴∠CAF＝∠ACB＝60°，
∴∠B＝∠CAF，
在△BCE和△ACF中，
，
∴△BCE≌△ACF（SAS），
∴CE＝CF，∠BCE＝∠ACF，
∴∠ACF+∠ACE＝∠BCE+∠ACE＝∠ACB＝60°，
∴△CEF是等边三角形，
∴EF＝CE，
∴当CE最小时，EF也最小，
当CE⊥AB时，CE最小，
此时∠BCE＝90°﹣∠B＝30°，
∴BE＝BC＝2，
∴CE＝＝＝2，
∴EF的最小值为2，
故答案为：2．

11．综合与实践：
如图，在正方形ABCD中，点E是边AB上的一个动点（点E与点A，B不重合），连接CE，过点B作BF⊥CE于点G，交AD于点F．
（1）如图1，求证：△ABF≌△BCE；
（2）如图2，当点E运动到AB中点时，连接DG，求证：DC＝DG；
（3）如图3，若AB＝4，连接AG，当点E在边AB上运动的过程中．AG是否存在最小值，若存在，请直接写出AG最小值，及此时AE的值；若不存在，请说明理由．


【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠BAD＝∠CBA＝90°，
∴∠CEB+∠BCE＝90°，
∵BF⊥CE，
∴∠ABF+∠CEB＝90°，
∴∠ABF＝∠BCE，
在△ABF和△BCE中，
，
∴△ABF≌△BCE（ASA），

（2）证明：如图2，延长CD，BF交于点H，

∵点E是AB的中点，
∴BE＝AB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD∥AB，AD＝AB＝BC，∠BAD＝∠CBA＝90°，
∴∠CEB+∠BCE＝90°，
∵BF⊥CE，
∴∠ABF+∠CEB＝90°，
∴∠ABF＝∠BCE，
又∵AB＝BC，∠FAB＝∠EBC＝90°，
∴△ABF≌△BCE（ASA），
∴BE＝AF，
∴BE＝AF＝AB＝AD，
∴AF＝DF，
∵AB∥CD，
∴∠ABF＝∠H，
在△ABF和△DHF中，
，
∴△ABF≌△DHF（AAS）
∴AB＝DH，
∴DH＝CD，
又∵BF⊥CE，
∴∠BGH＝90°，
∴DC＝DH＝DG．
（3）解：AG存在最小值．
如图3，以BC为直径作⊙O，连接AO，OG，

∵BF⊥CE，
∴∠BGC＝90°，
∴点G在以BC为直径的⊙O上，
在△AGO中，AG≥AO﹣GO，
∴当点G在AO上时，AG有最小值，
此时：如图4，

∵BC＝AB＝4，点O是BC中点，
∴BO＝2＝CO，
∵AO＝＝＝2，
∴AG＝2﹣2，
∵OG＝OB，
∴∠OBG＝∠OGB，
∵AD∥BC，
∴∠AFG＝∠OBG，
∴∠AFG＝∠OBG＝∠OGB＝∠AGF，
∴AG＝AF＝2﹣2，
由（2）可得AF＝BE＝2﹣2，
∴AE＝AB﹣BE＝4﹣（2﹣2）＝6﹣2．