黑龙江省哈尔滨市2023届高三第二次模拟考试数学试卷（含解析）

黑龙江省哈尔滨市2023届高三第二次模拟考试数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

2．“，”是真命题，则a的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

3．已知为虚数单位，若复数为的共轭复数，则（    ）

A． B． C． D．

4．随机变量服从二项分布，且，则等于

A． B． C． D．

5．密位制是度量角的一种方法，把一周角等分为份，每一份叫作密位的角.在角的密位制中，单位可省去不写，采用四个数码表示角的大小，在百位数与十位数之间画一条短线，如密位写成“”，密位写成“”.若，则角可取的值用密位制表示正确的是（    ）

A． B． C． D．

6．已知，且恰能被14整除，则的取值可以是（    ）

A．1 B．3 C．7 D．13

7．已知双曲线C：的右焦点为F，关于原点对称的两点A、B分别在双曲线的左、右两支上，以AB为直径的圆恰好过右焦点F，，且点C在双曲线上，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

8．已知，，，则（    ）．

A． B． C． D．

二、多选题

9．已知直线l：＝0，则下列结论正确的是（    ）

A．直线l的倾斜角是

B．若直线m：＝0，则l⊥m

C．点到直线l的距离是2

D．过与直线l平行的直线方程是

10．如图，一只蚂蚁从正方形的顶点A出发，每一次行动顺时针或逆时针经过一条边到达另一顶点，其中顺时针的概率为，逆时针的概率为，设蚂蚁经过n步到达B，D两点的概率分别为．下列说法正确的有（    ）

A． B．

C． D．

11．函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ）

A．函数的最小正周期为 B．

C．函数在上不是单调函数 D．函数在上是增函数

12．数学中有许多形状优美，寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分.如图，在勒洛四面体中，正四面体ABCD的棱长为4，则下列结论正确的是（    ）

A．勒洛四面体最大的截面是正三角形

B．若P，Q是勒洛四面体ABCD表面上的任意两点，则PQ的最大值为4

C．勒洛四面体ABCD的体积是

D．勒洛四面体ABCD内切球的半径是

三、填空题

13．4与16的等比中项是________.

14．已知平面向量，，且，则向量在向量上的投影等于________.

15．一组数6，5，4，3，3，3，2，2，2，1的分位数为______．

16．如图所示，已知圆A：(x＋3)2＋y2＝100，圆A内一定点B(3，0)，圆P过B且与圆A内切，则圆心P的轨迹方程为_________．

四、解答题

17．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知．

(1)若，求C；

(2)证明：

18．已知数列中，，，数列的前项和为，且满足．

(1)求证：数列为等比数列，并求通项公式；

(2)若对于，恒成立，求实数的取值范围．

19．2022年2月22日，中央一号文件发布，提出大力推进数字乡村建设，推进智慧农业发展．某乡村合作社借助互联网直播平台，对本乡村的农产品进行销售，在众多的网红直播中，随机抽取了10名网红直播的观看人次和农产品销售量的数据，如下表所示：

参考数据：．

(1)已知观看人次与销售量线性相关，且计算得相关系数，求回归直线方程；

(2)规定：观看人次大于等于80（万次）为金牌主播，在金牌主播中销售量大于等于90（百件）为优秀，小于90（百件）为不优秀，对优秀赋分2，对不优秀赋分1．从金牌主㨨中随机抽取3名，若用表示这3名主播赋分的和，求随机变量的分布列和数学期望．

（附：，相关系数）

20．已知函数.

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)求在区间上的最值.

21．在直棱柱中，，，D，F分别为棱，的中点，E为棱上一点，且A，D，E，F四点共面．

(1)求的长；

(2)求三棱锥的体积．

22．已知椭圆：，设过点的直线交椭圆于，两点，交直线于点，点为直线上不同于点A的任意一点.

(1)若，求的取值范围；

(2)若，记直线，，的斜率分别为，，，问是否存在，，的某种排列，，（其中，使得，，成等差数列或等比数列？若存在，写出结论，并加以证明；若不存在，说明理由.

参考答案

1．C

【分析】求出集合，由并集的定义即可求出答案.

【详解】因为，则.

故选：C.

2．A

【分析】由题意确定，根据全称命题的真假，可得，即可求得答案.

【详解】由题意知，，

故“，”是真命题，则，则，

故选：A

3．B

【分析】求出复数和，然后代入中化简计算即可.

【详解】因为，

所以，

所以，

故选：B

4．B

【详解】因为,所以,解得.即等于.故选B.

5．B

【分析】根据三角恒等变换求出的值，可得出角的取值，转化为密位制即可得解.

【详解】因为，

可得，所以，，

所以，或，则或，

所以，密位或密位，其中，

所以，角可取的值用密位制表示为.

故选：B.

6．D

【分析】由并展开，根据展开式的特征，结合题设条件可得，即可确定取值.

【详解】由，

∴要使恰能被14整除，只需能被14整除即可且，

∴，当k=1时，m=13满足题意.

故选：D

7．B

【分析】设双曲线的左焦点为，连接，，，由题意推得四边形为矩形，可设，则，分别在直角三角形和直角三角形中，运用勾股定理，结合离心率公式可得所求值．

【详解】设双曲线的左焦点为，连接，，，

由以AB为直径的圆恰好过右焦点F可得AF⊥BF，由双曲线的对称性得四边形为矩形，

可设，则，

在直角三角形中，可得，

即为，

解得，

又在直角三角形中，，

即为，

即为，

即有，

故选：B．

8．D

【分析】根据指数函数和对数函数单调性可分别求得的范围大小，即可比较得出结果.

【详解】由，可得；

由指数函数值域和单调性可知，即；

而，即，所以.

故选：D

9．BCD

【分析】对A，根据斜率判断即可；

对B，根据直线垂直斜率之积为-1求解即可；

对C，根据点到线的距离公式求解即可；

对D，先求得的斜率，再根据点斜式求解即可

【详解】对A，直线l：＝0，直线的斜率为：所以直线的倾斜角为：所以A不正确；

对B，直线m：＝0的斜率为：因为，故两条直线垂直，所以B正确；

对C，点到直线l的距离是：＝2，所以C正确；

对D，的斜率为，故过与直线l平行的直线方程是，化简得正确，所以D正确；

故选：BCD．

10．ACD

【分析】有四种情形：，求其概率可判断A；从顶点A出发经过2n步到达B、D两点为不可能事件，所以可判断B；对于C，当为偶数时，当为奇数时，先计算从点或点出发经过两步到达点的概率，再讨论从顶点出发经过步到达点的两种情形：①从顶点出发经过步到达点，再经过两步到达点的概率为，②从顶点出发经过步到达点，再经过两步到达点的概率为，可得可判断C；

利用可判断D；

【详解】对于A，有四种情形：，其所求的概率为，故A正确；

对于B，当为偶数时，从顶点出发，只能到达点或点，此时，

当为奇数时，从顶点出发，只能到达点或点，此时，即从顶点A出发经过2n步到达B、D两点为不可能事件，所以，故B错误；

对于C，当为偶数时，当为奇数时，先计算从点或点出发经过两步到达点的概率，分别为，，现讨论从顶点出发经过步到达点的两种情形：①从顶点出发经过步到达点，再经过两步到达点的概率为，②从顶点出发经过步到达点，再经过两步到达点的概率为，故，可得，又，所以，故C正确；

对于D，

，所以

，故D正确；

故选：ACD.

11．CD

【分析】对A选项由图得到两相邻最值之间的横坐标距离为半周期即可判定A，对B选项，利用图像所过的点，代入求解出三角函数解析式，再计算即可，对C选项利用复合函数的单调性即可判断，对D选项求解出其单调增区间，再赋值值，求出最接近的一个单调增区间，即可判断D.

【详解】对A选项，在同一周期内,函数在时取得最大值,时取得最小值,

函数的最小正周期满足,由此可得,故A错误；

对B选项，，解得,

得函数表达式为，又当时取得最大值2,,可得，

取,得，，则，故B错误；

对C选项，，则，

令，则原函数为，，由正弦函数单调性可知在上单调递减，在上单调递增，故C正确；

对D选项，；令，,

解得，,令，则其中一个单调增区间为，

而，故D正确.

故选：CD.

【点睛】【点睛】

12．BD

【分析】由勒洛四面体的定义判断选项A；由勒洛四面体的定义求解判断B;根据对称性, 由勒洛四面体内切球的球心是正四面体ABCD外接球的球心求解判断C;结合C由棱长减去外接球的半径求得内切球的半径求解判断.

【详解】由勒洛四面体的定义可知勒洛四面体最大的截面即经过四面体ABCD表面的截面，如图1所示，故A不正确；

根据勒洛四面体的性质,它能在两个平行平面间自由转动,并且始终保持与两平面都接触，所以勒洛四面体表面上任意两点间的距离的最大值即为内接正四面体的边长,所以勒洛四面体表面上任意两点间的距离的最大值为4，故B正确;

如图2, 由对称性可知勒洛四面体内切球的球心O是正四面体ABCD外接球的球心，连接 BO ，并延长交勒洛四面体的曲面于点E, 则 OE 就是勒洛四面体内切球的半径. 如图 3 , 在正四面体ABCD中，M为 的中心，O是正四面体 ABCD外接球的球心，连接 BM，BO，AM，由正四面体的性质可知 O在 AM 上.

因为 , 所以则 .

因为，即

解得 ,则正四面体ABCD外接球的体积是 .

因为勒洛四面体的体积小于正四面体ABCD外接球的体积, 则 C错误.

因为 , 所以 , 则 D正确.

故选：BD.

【点睛】关键点睛：解决与球有关的内切或外接问题时，关键是确定球心的位置，再利用球的截面小圆性质求解.

13．±8

【详解】解析　由G2＝4×16＝64得G＝±8.

答案　±8

14．

【分析】根据，两边平方可得，然后利用坐标计算可得，进一步可得，最后利用在向量上的投影公式，简单计算可得结果.

【详解】由，两边平方可得

又，

所以，

则，，所以

则

所以在向量上的投影为

故答案为：

【点睛】本题考查向量的坐标运算以及向量投影公式，本题关键在于得到以及投影公式，考验分析问题的能力以及计算能力，属中档题.

15．

【分析】将数据按从小到大的顺序排列，第和第个数的平均数即可.

【详解】一组数6，5，4，3，3，3，2，2，2，1按从小到大的顺序排列，

可得，共个，

由，

所以该组数据的分位数为，

故答案为：.

16．

【分析】设动圆圆心P，半径为r，利用两圆相切内切，两圆心距和两半径之间的关系列出PA和PB的关系式，正好符合椭圆的定义，利用定义法求轨迹方程即可．

【详解】设动圆圆心P（x，y），半径为r，⊙A的圆心为A（-3，0），半径为10，

又因为动圆过点B，所以r=PB，

若动圆P与⊙A相内切，则有PA=10-r=10-PB，即PA+PB=10 

由③④得|PA+PB|=10＞|AB|=6

故P点的轨迹为以A和B为焦点的椭圆，且a=5，c=3，所以b2=a2-c2=16

所以动员圆心的方程为．

故答案为．

【点睛】本题考查两圆的位置关系的应用和定义法求轨迹方程，综合性较强．

17．(1)；

(2)证明见解析．

【分析】（1）根据题意可得，，再结合三角形内角和定理即可解出；

（2）由题意利用两角差的正弦公式展开得，再根据正弦定理，余弦定理化简即可证出．

【详解】（1）由，可得，，而，所以，即有，而，显然，所以，，而，，所以．

（2）由可得，

，再由正弦定理可得，

，然后根据余弦定理可知，

，化简得：

，故原等式成立．

18．(1)证明见解析，

(2)

【分析】（1）由已知式凑配出，从而得出的递推关系，根据等比数列定义得证；

（2）不等式变形为，证明数列是递增数列，从而易得其最小项，得出参数范围．

【详解】（1）证明：∵，∴，

∴，

即，∵，

∴，∵，∴，

∴，∴数列为等比数列，首项为2，公比为2，

∴，

∵∴；

（2）∵，∴，

∵，∴，

∴，

设，则，

∴，∴为递增数列，

∴∴，

∴．

19．(1)

(2)答案见解析

【分析】（1）由相关系数求出，进而可得，即可求出回归直线方程；

（2）的可能取值为3，4，5，求出对应的概率，得到分布列，然后求出期望即可．

【详解】（1）因为，所以

所以，所以，

，

，

所以回归直线方程为．

（2）金牌主播有5人，2人赋分为2，3人赋分为1，

则随机变量的可能取值为3，4，5，

，，，

所以的分布列为：

所以．

20．(1)

(2)最小值为0，最大值为4

【分析】（1）利用导数求得切线方程.

（2）结合导数求得在区间上的最值.

【详解】（1），

所以曲线在点处的切线方程为.

（2），

所以在区间递增；在区间递减，

，

所以在区间上的最小值为，最大值为.

21．(1)；

(2)3

【分析】（1）建立空间直角坐标系，由平面向量的共面公式可以求得；（2）将三棱锥的顶点转换为可以求得.

【详解】（1）

以为正半轴建立空间直角坐标系．

，，，设，则由题意可知存在唯一实数使得

即

即，解之：

所以

（2）平面

又，，平面

平面，即平面

，

22．(1)

(2)，，或成等差数列,证明见解析.

【分析】（1）设点，表示出，结合可得，结合可得不等式，即可求得答案；

（2）判断出结论，加以证明；考虑直线l的斜率为0和不为0两种情况；当直线l斜率不为0时，设直线，联立方程，可得根与系数的关系，利用结合根与系数关系式化简，即可证明结论.

【详解】（1）设点，其中且，

则 ，

由，得，

，，

只需，又，故,

所以b的取值范围是.

（2），，或成等差数列,证明如下：

若，则，设点.

①若直线l斜率为0，则点，不妨令点，

则，此时的任意排列，，均不成等比数列，

，，或成等差数列.

②直线l斜率不为0，设直线,

则点，

由得，，

故，

因为，

所以

，

所以，，或成等差数列，

综合上述，，，或成等差数列.

【点睛】难点点睛：本题第二问与数列进行了综合，形式比较新颖，有一定难度，难点在于判断出结论，进而证明，证明时结合直线方程联立椭圆方程，利用根与系数的关系结合进行化简，计算量较大，因而要注意计算的准确性.