内蒙古2023届高三第三次模拟考试（文）数学试卷（含解析）

内蒙古2023届高三第三次模拟考试（文）数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：_____________

一、单选题

1．设全集，已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．复数的虚部是（    ）

A． B． C． D．

3．已知向量，，若与互相垂直，则（       ）

A．0 B． C． D．

4．某经济开发区经过五年产业结构调整和优化，经济收入比调整前翻了两翻，为了更好的了解该开发区的经济收入变化情况，统计了该开发区产业结构调整前后的经济收入构成比例，得到如图所示的饼状图，则下列选项正确的是（    ）

①产业结构调整后节能环保的收入与调整前的总收入一样多

②产业结构调整后科技研发的收入增幅最大

③产业结构调整后纺织服装收入相比调整前有所降低

④产业结构调整后食品加工的收入超过调整前纺织服装的收入

A．②③ B．③④ C．①②③ D．①②④

5．若、满足线性约束条件，则（    ）

A．有最小值 B．有最小值

C．有最大值 D．有最大值

6．已知角的终边在射线上，那么等于

A． B． C． D．

7．设抛物线C:()焦点为F,点M在C上,且,若以MF为直径的圆过点,则C的方程为(    )

A．或 B．或

C．或 D．或

8．执行如图所示的程序框图，则输出的值为（    ）

A． B． C． D．

9．函数的图象在点处的切线的倾斜角为，则（    ）

A． B． C． D．

10．已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，给出下列命题：

①若，则  

②若，则；

③是异面直线，那么与相交；

④若，且，则且．

其中正确的命题是（　　）

A．①② B．②③ C．③④ D．④

11．2022年卡塔尔世界杯中的数字元素——会徽（如图）正视图近似伯努利双纽线.定义：在平面直角坐标系中，把到定点的距离之积等于的点的轨迹称为双纽线.已知是双纽线上的一点，下列说法错误的是（    ）

A．双纽线关于原点成中心对称

B．

C．双曲线上满足的点有两个

D．的最大值为

12．对任意的实数，都存在两个不同的实数，使得成立，则实数的取值范围为

A． B． C． D．

二、填空题

13．已知圆锥的顶点为，母线，互相垂直，与圆锥底面所成角为，若的面积为4，则该圆锥的体积为___________.

14．由曲线围成的图形的面积为_______________．

15．2022年神舟十五号载人飞船发射任务都取得圆满成功，神舟十四号航天员与神舟十五号航天员首次完成空中会师，现有航天员甲､乙､丙三个人，进入太空空间站后需要派出一人走出太空站外完成某项试验任务，工作时间不超过10分钟，如果10分钟内完成任务则试验成功任务结束，10分钟内不能完成任务则撤回再派下一个人，每个人只派出一次.已知甲､乙､丙10分钟内试验成功的概率分别为，，，每个人能否完成任务相互独立，该项试验任务按照甲､乙､丙顺序派出，则试验任务成功的概率为___________.

16．_____．

三、解答题

17．已知公差不为0的等差数列的前项和为，且，，，成等比数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列满足，求数列的前项和.

18．中国共产党建党100周年华诞之际，某高校积极响应党和国家的号召，通过“增强防疫意识，激发爱国情怀”知识竞赛活动，来回顾中国共产党从成立到发展壮大的心路历程，表达对建党100周年以来的丰功伟绩的传颂．教务处为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取了100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了如下样本频率分布直方图．

(1)求值并估计中位数所在区间

(2)需要从参赛选手中选出6人代表学校参与省里的此类比赛，你认为怎么选最合理，并说明理由．

19．如图，已知矩形是圆柱的轴截面，是的中点，直线与下底面所成角的正切值为，矩形的面积为12，为圆柱的一条母线（不与重合）．

(1)证明：；

(2)当三棱锥的体积最大时，求M到平面的距离．

20．已知椭圆，过C的右焦点F且垂直于长轴的弦AB的长为1，焦点F与短轴两端点构成等边三角形．

(1)求椭圆C的方程；

(2)过点的直线l与椭圆C交于M，N两点，点E在x轴上且对任意直线l，直线OE都平分（O为坐标原点）．

①求点E的坐标；

②求的面积的最大值．

21．已知函数．

(1)求在的极值；

(2)证明：函数在有且只有两个零点．

22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.

(1)分别求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；

(2)定点，直线与曲线交于两点，弦的中点为，求的值.

23．已知函数.

(1)求的最小值；

(2)若，不等式恒成立，求a的取值范围.

参考答案

1．C

【分析】化简集合，根据交集的定义求.

【详解】因为或，

，

.

故选：C.

2．A

【分析】利用复数的运算法则直接求解.

【详解】解：，

复数的虚部是，

故选：A.

3．D

【分析】写出的坐标，利用两个向量垂直的条件计算可得答案.

【详解】

若与互相垂直,则2-m+4m+6=0,

解得，

故选D

【点睛】本题考查两个向量垂直的坐标运算，属于基础题.

4．D

【分析】设产业结构调整前的经济收入为，则产业结构调整后的经济收入为，然后根据所占百分比分别计算出各种类型的收入即可进行比较.

【详解】设产业结构调整前的经济收入为，则产业结构调整后的经济收入为，

产业结构调整后节能环保的收入为，所以产业结构调整后节能环保的收入与调整前的总收入一样多，所以①正确；

产业结构调整前科技研发的收入为，产业结构调整后科技研发的收入为，所以选项②正确；

产业结构调整前纺织服装收入为，产业结构调整后纺织服装收入为，所以③错误；

产业结构调整后食品加工的收入为，而产业结构调整前纺织服装收入为，所以④正确.

故选：D.

5．D

【分析】本题首先可根据题意绘出可行域，然后令，，则表示点与可行域中的点连线的斜率，最后通过图像易知过点时取最大值，过点时取最小值，最后通过计算即可得出结果.

【详解】如图，根据题意绘出可行域，

令，，则表示点与可行域中的点连线的斜率，

联立，解得，，

结合图像易知过点时，取最大值，此时，

同理易知过点时，取最小值，此时，

故选：D.

【点睛】关键点点睛：本题考查线性规划相关问题的求解，考查借助线性规划求最值，能否根据题意绘出可行域是解决本题的关键，考查的几何意义的应用，考查逻辑思维能力、运算求解能力，是中档题.

6．B

【详解】分析：在角的终边上任意取一点 利用任意角的三角函数的定义求得结果．

详解：∵角的终边在射线上，

∴在的终边上任意取一点则

故选B．

点睛：本题考查任意角的三角函数的定义，任意角的概念，考查计算能力，是基础题．

7．A

【解析】根据抛物线:(),可得其焦点坐标为:,准线为,设,故点到准线的距离为:,根据抛物线定义可得:,画出图形,结合已知,即可求得答案.

【详解】设以MF为直径的圆的圆心为

画出几何图形:

抛物线:()

其焦点坐标为:,准线为

设,故点到准线的距离为:

根据抛物线定义可得:

根据中点坐标公式可得:的中点为:

以MF为直径的圆过点,根据几何关系可得:

代入

可得:,即:

解得:或

的方程为:或

故选:A.

【点睛】本题考查了求抛物线方程,解题关键是掌握抛物线的定义和根据题意画出几何图形,数形结合,寻找几何关系,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.

8．A

【分析】根据程序框图直接计算.

【详解】由程序框图可知，时，，时，，时，，时，，可以输出的值为5，

故选：A.

9．B

【分析】求出函数的导函数，导函数在的函数值即是切线的斜率，根据斜率求出倾斜角即可.

【详解】由题意得，所以切线斜率，

所以.

故选：B.

【点睛】本题考查导数的几何意义，求切线的斜率.

10．D

【分析】利用平面与平面平行的判定和性质，直线与平面平行的判定和性质，对选项逐一判断即可．

【详解】①此命题错误，因为两个平面平行于同一条直线不能保证两个平面平行；

②有可能n∥m，α∩β=l，故错误；

③若是异面直线，当时直线n与平行不相交，故错误；

④符合线面平行的判定定理，故正确．

故选D．

【点睛】本题考查平面与平面的平行和垂直的判定，考查逻辑思维能力，是基础题．

11．C

【分析】A.先由双纽线的定义得到方程，将 替换方程中的 判断；B. 由求解判断；C. 由方程令 求解判断；D. 由 ，结合余弦定理判断.

【详解】解：由到定点的距离之积等于的点的轨迹称为双纽线，

得，

将 替换方程中的 ，方程不变，故双纽线关于原点成中心对称，故A正确；

由等面积法得，则 ，

所以，故B正确；

令 ，得 ，解得 ，所以双曲线上满足的点有一个，故C错误；

因为 ，所以 ，

由余弦定理得 ，

所以 ，

所以 的最大值为，故D正确，

故选：C.

12．A

【分析】先化简已知得再利用导数求出函数的单调性，再利用数形结合分析得到a的范围.

【详解】由题得

设

所以当时，函数单调递增，当时，函数单调递减.

所以，

由函数的图像得y=a与y=f(t)有两个不同的交点，

所以.

故答案为A

【点睛】(1)本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查函数的零点问题，意在考查学生读这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键有两点，其一是化简方程得到

其二是分析出函数的单调性画出函数的图像数形结合分析.

13．

【分析】根据的面积求出，根据与圆锥底面所成角为求出圆锥的高和底面半径，再根据圆锥的体积公式可求出结果.

【详解】因为，且，

所以，

所以圆锥的高，底面半径，

所以该圆锥的体积为.

故答案为：.

14．

【详解】试题分析：当时，曲线 表示的图形为

以为圆心，以为半径的圆在第一象限的部分，所以面积为

，根据对称性，可知由曲线

围成的图形的面积为

考点：本小题主要考查曲线表示的平面图形的面积的求法，考查学生分类讨论思想的运用和运算求解能力.

点评：解决此题的关键是看出所求图形在四个象限内是相同的，然后求出在一个象限内的图形的面积即可解决问题.

15．

【分析】把试验任务成功的事件拆成三个互斥事件的和，再求出每个事件的概率，然后用互斥事件的概率加法公式计算作答.

【详解】试验任务成功的事件是：甲成功的事件，甲不成功乙成功的事件，甲乙都不成功丙成功的事件的和，

事件，，互斥，，，，

所以试验任务成功的概率.

故答案为：.

16．

【分析】利用两角和与差的正弦公式，结合二倍角公式化简即可得解.

【详解】,

故答案为：.

17．（1）；（2）.

【分析】（1）根据等比数列的性质，结合等差数列的通项公式进行求解即可；

（2）根据等比数列的定义，结合等比数列、等差数列前项和公式进行求解即可；

【详解】（1）设等差数列的公差为，

所以有，，∵，，成等比数列，∴，即∵∴，

又∵，∴，

即，∴；

（2）由题意知，，，∴是以4为首项4为公比的等比数列.记数列得前项和为，则，

数列的前项和，

.

18．(1)；中位数所在区间

(2)选90分以上的人去参赛；答案见解析

【分析】（1）根据频率分布直方图中，所有小矩形面积和为1，即可求得a值，根据各组的频率，即可分析中位数所在区间.

（2）计算可得之间共有6人，满足题意，分析即可得答案.

（1）

，解得

成绩在区间上的频率为，，

所以中位数所在区间，

（2）

选成绩最好的同学去参赛，

分数在之间共有人，

所以选90分以上的人去参赛．（其它方案如果合理也可以给分）．

19．(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）证明平面即可证明结论；

（2）设，进而结合题意得，进而得，再结合基本不等式得时，三棱锥的体积最大，最后根据等体积法求解即可.

【详解】（1）证明：连接，因为是底面圆的直径，

所以，即，

又，且，平面，

所以平面，

又平面，

所以．

（2）解：根据题意，，设，则，，

又因为，所以，得．

所以，，

设，则，

由（1）可知平面，又到的距离为，

所以．

当，即时，取等号．

所以，当时，三棱锥的体积最大．

设M到平面的距离为h，则，即，

又，

所以由得．

所以，M到平面的距离为

20．(1)

(2)①；②

【分析】（1）根据已知得出，，计算后代入方程即可得出答案；

（2）①根据已知分类讨论，当l与x轴垂直时，恒成立；当当l与x轴不垂直时，根据已知得出，设，，直线l的斜率为，列出直线l的方程，根据两点求斜率公式得出，即可列式化简得出与，联立直线与椭圆方程，根据韦达定理得出与，即可代入式子解出答案；

②根据已知分类讨论，当l与x轴垂直时，则，结合①得出的点的坐标即可得出；当l与x轴垂直时，利用①得出与，化简后根据函数最值得出答案；最后综合即可得出答案.

【详解】（1）设，由点A在椭圆C上，得，解得，

所以，

又焦点F与短轴两端点构成等边三角形，

所以，所以，，

所以椭圆C的方程为．

（2）①设，当l与x轴垂直时，恒成立；

当l与x轴不垂直时，因为OE都平分，即，

所以，

设，，直线l的斜率为，

则直线l的方程为，

又，，

所以，

又，，

所以，即，

联立方程组消去y，得，，

所以，，

代入上式可得，即点．

②当l与x轴垂直时，；

当l与x轴不垂直时，，

令，则，

当时，即时，取到最大值，此时最大，最大为，

综上，的面积的最大值为．

21．(1)极小值为，无极大值

(2)证明见解析

【分析】（1）利用导数得出在的极值；

（2）利用导数得出的单调性，再由零点存在性定理证明即可.

【详解】（1）由得，，

令得，

当时，，此时函数单调递减，

当时，，此时函数单调递增，

所以，函数的极小值为，无极大值．

（2）证明：，，则，

令，则．

当时，，则在上单调递减

∵，

所以，存在，使得．

当x变化时，，变化如下表：

而，，

则，又，

令，其中，

则，所以，函数在上单调递增，

则，所以，，

由零点存在定理可知，函数在上有两个零点．

【点睛】关键点睛：在解决问题二时，关键是由导数得出的单调性，由，，结合零点存在性定理证明函数在有且只有两个零点．

22．(1)，

(2)

【分析】（1）消除参数，即可求出曲线的普通方程；根据将直线的极坐标方程转化为普通方程；

（2）由题意，写出直线的参数方程，再将其代入曲线的普通方程，利用一元二次方程根与系数的关系式的关系，即可求出结果．

【详解】（1）解：曲线的参数方程为，（为参数），转换为普通方程为；

直线的极坐标方程为，根据，

转换为直角坐标方程为.

（2）解：定点在直线上，

转换为参数方程为：为参数），代入，

得到：，

所以，；

故.

23．(1)

(2)

【分析】（1）根据x的不同取值范围，展开化解函数，根据函数的单调性即可判断出的最小值；

（2）根据（1）中解析式简化不等式，再展开绝对值计算即可.

【详解】（1）当时，

当时，

当时，

综上，由此可知

（2）由（1）可知

解得，当时，欲使不等式恒成立，则，解得