2022-2023学年北京重点中学九年级（下）月考数学试卷-普通用卷

这是一份2022-2023学年北京重点中学九年级（下）月考数学试卷-普通用卷，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年北京重点中学九年级（下）月考数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  如图是一个几何体的三视图，则该几何体是(    )
A. 长方体 B. 三棱柱 C. 圆柱 D. 圆锥2.  根据国家统计局统计结果，从北京冬奥会申办成功至年月，全国参与冰雪运动的人数达到亿，“带动三亿人参与冰雪运动”的承诺已经实现，这是北京冬奥会最大的遗产成果．将用科学记数法表示应为(    )A.  B.  C.  D. 3.  如图，直角三角板的直角顶点在直线上，如果，那么的度数是(    )
 A.  B.  C.  D. 4.  实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是(    )
A.  B.  C.  D. 5.  下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是(    )A.  B.
C.  D. 6.  不透明的袋子中有个小球，其中有个红球，个黄球，个绿球，除颜色外个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么两次摸出的小球都是红球的概率是(    )A.  B.  C.  D. 7.  若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为(    )A.  B.  C.  D. 8.  如图，长方体的体积是，底面一边长为记底面另一边长为，底面的周长为，长方体的高为当在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，则与，与满足的函数关系分别是(    )A. 一次函数关系，二次函数关系
B. 反比例函数关系，二次函数关系
C. 反比例函数关系，一次函数关系
D. 一次函数关系，反比例函数关系二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）9.  若代数式有意义，则实数的取值范围是______．10.  因式分解：______．11.  分式方程的解是          ．12.  关于二次函数，下列说法正确的是______ 写序号
最大值为；对称轴为直线；最大值为；最小值为．13.  在平面直角坐标系中，若点，在反比例函数的图象上，则 ______ 填“”“”或“”
 14.  如图，在矩形中，若，，且，则的长为______．
 15.  如图，，是半径为的的切线，，是切点若，则弧的长为______ ．
 16.  某快递员负责为，，，，五个小区取送快递，每送一个快递收益元，每取一个快递收益元，某天个小区需要取送快递数量如表 小区需送快递数量需取快递数量如果快递员一个上午最多前往个小区，且要求他最少送快递件，最少取快递件，写出一种满足条件的方案______ 写出小区编号；
在的条件下，如果快递员想要在上午达到最大收益，写出他的最优方案______ 写出小区编号．三、计算题（本大题共1小题，共5.0分）17.  解不等式组：．四、解答题（本大题共11小题，共63.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）18.  本小题分
计算：．19.  本小题分
已知，求代数式的值．20.  本小题分
周髀算经中记载了一种确定东南西北方向的方法．大意是：在平地上点处立一根杆，记录日出时杆影子的长度，并以点为圆心，以为半径画圆，记录同一天日落时杆影子的痕迹与此圆的交点，那么直线表示的方向就是东西方向，的角平分线所在的直线表示的方向就是南北方向．
上述方法中，点，，的位置如图所示，使用直尺和圆规，在图中作的角平分线保留作图痕迹；
在图中，确定了直线表示的方向为东西方向，根据南北方向与东西方向互相垂直，可以判断直线表示的方向为南北方向，完成如下证明．
证明：点，在上，
______．
是等腰三角形．
平分，
______填推理的依据．
直线表示的方向为东西方向，
直线表示的方向为南北方向．
21.  本小题分
如图，在四边形中，，，点在上，，平分．
求证：四边形为菱形；
连接，交于点，若，，求的长．
22.  本小题分
如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，点的坐标为．
求出的值，并确定反比例函数的表达式；
请直接写出当时，的取值范围．
23.  本小题分
为了解地铁号线与号线的日客运强度，获得了它们年月份工作日共天日客运强度单位：万人公里的数据，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
地铁号线年月份工作日日客运强度的数据的频数分布直方图如下数据分成组：，，，，，；

地铁号线年月份工作日日客运强度的数据在这一组是：

地铁号线与号线年月份工作日日客运强度的平均数、中位数如下： 平均数中位数地铁号线地铁号线根据以上信息，回答下列问题：
写出表中的值；
日客运强度反映了地铁的拥挤程度，小明每天上班均需乘坐地铁，可以选择乘坐地铁号线或乘坐地铁号线．请帮助小明选择一种乘坐地铁的方式，并说明理由；
年一共有个工作日，请估计年全年的工作日中，地铁号线日客运强度不低于万人公里的天数直接写出结果．24.  本小题分
某公园在人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，水柱从喷水头喷出到落于湖面的路径形状可以看作是抛物线的一部分．若记水柱上某一位置与水管的水平距离为米，与湖面的垂直高度为米．下面的表中记录了与的五组数据：米米根据上述信息，解决以下问题：
在下面网格图中建立适当的平面直角坐标系，并根据表中所给数据画出表示与函数关系的图象；
若水柱最高点距离湖面的高度为米，则______；
现公园想通过喷泉设立新的游玩项目，准备通过只调节水管露出湖面的高度，使得游船能从水柱下方通过．如图所示，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于米．已知游船顶棚宽度为米，顶棚到湖面的高度为米，那么公园应将水管露出湖面的高度喷水头忽略不计至少调节到多少米才能符合要求？请通过计算说明理由结果保留一位小数．

 25.  本小题分
如图，为的直径，，为上两点，，连接，，，，过点作交的延长线于点．
求证：直线是的切线；
若，，求，的长．
26.  本小题分
在平面直角坐标系中，点，在抛物线上．
若，求该抛物线的对称轴；
已知点、点在该抛物线上，设该抛物线的对称轴为若，且，求的取值范围及的取值范围．27.  本小题分
如图，在中，，，点在边上不与点，重合，连接，以点为中心，将线段逆时针旋转得到线段，连接．
______；
取中点，连接，用等式表示线段与的数量关系，并证明．
28.  本小题分
在平面直角坐标系中，点不在坐标轴上，点关于轴的对称点为，点关于轴的对称点为，称为点的“关联三角形”．
已知点，求点的“关联三角形”的面积；
如图，已知点，的圆心为，半径为若点的“关联三角形”与有公共点，直接写出的取值范围；
已知的半径为，，若点的“关联三角形”与有四个公共点，直接写出的取值范围．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：主视图和俯视图是长方形，
该几何体是柱体，
左视图是圆，
该几何体是圆柱，
故选：．
由主视图和俯视图可得此几何体为柱体，根据左视图是圆可判断出此几何体为圆柱．
此题考查由三视图判断几何体，三视图里有两个相同可确定该几何体是柱体，锥体还是球体，由另一个试图确定其具体形状．
 2.【答案】 【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数，当原数绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 3.【答案】 【解析】解：由图形可得与互余，
，
．
故选：．
根据图形可判断与互余，继而可得出答案．
本题考查了补角和余角的知识，难度一般，解答本题的关键是熟记互余两角之和等于．
 4.【答案】 【解析】解：，，，
，即A错误，
，即B正确，
，即C错误，
，即D错误．
故选：．
利用数轴可知，的大小和绝对值，然后判断即可．
本题考查的实数的大小比较，解题的关键是会实数的大小比较方法．
 5.【答案】 【解析】解：不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
C.既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意；
D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转后与原图重合．
 6.【答案】 【解析】解：根据题意画图如下：

共有种等可能的情况数，其中两次摸出的小球都是红球的有种，
则两次摸出的小球都是红球的概率是；
故选：．
画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
此题考查概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率．
 7.【答案】 【解析】【分析】
根据根的判别式的意义得到，然后解方程即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
【解答】
解：根据题意得，
解得．
故选：．  8.【答案】 【解析】解：由底面的周长公式：底面周长长宽，
可得：，
即：．
与的关系为：一次函数关系．
根据长方体的体积公式：长方体体积长宽高，
可得：，
，
与的关系为：反比例函数关系．
故选：．
根据底面的周长公式“底面周长长宽“可表示出与的关系式，根据长方体的体积公式“长方体体积长宽高”可表示出与，根据各自的表达式形式判断函数类型即可．
此题考查了函数关系式的综合应用，涉及到一次函数，二次函数，反比例函数等知识，熟知函数的相关类型并能够根据实际问题列出函数关系式是解决本题的关键．
 9.【答案】 【解析】解：，
．
故答案为：．
根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案．
本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
 10.【答案】 【解析】解：，
，
．
根据因式分解法的步骤，有公因式的首先提取公因式，可知首先提取系数的最大公约数，进一步发现提公因式后，可以用平方差公式继续分解．
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，因式分解一定要进行到每个因式不能再分解为止．
 11.【答案】 【解析】【分析】
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
【解答】
解：去分母得：，
去括号得：，
解得：，
经检验是分式方程的解．  12.【答案】 【解析】解：中，，
函数的开口向上，顶点是，对称轴是直线，该函数有最小值为，
故正确．
故答案为：．
根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到对称轴为直线，该函数有最小值为，然后即可判断哪个选项是正确的．
本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确二次函数的性质，会求二次函数的最值．
 13.【答案】 【解析】解：，
反比例函数的图象在二、四象限，
，
点，在第四象限，随的增大而增大，
．
故答案为：．
先根据函数解析式中的比例系数确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特征及函数的增减性解答．
此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及平面直角坐标系中各象限内点的坐标特征，根据题意判断出函数图象的增减性是解题的关键
 14.【答案】 【解析】解：四边形为矩形，
，，
，
∽，
，
，
在中，，
，
，
．
故答案为：．
先根据矩形的性质得到，，则可判断∽，根据相似三角形的性质得到，则可计算出，接着利用勾股定理计算出，然后利用求出的长．
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键．也考查了矩形的性质．
 15.【答案】 【解析】解：、是的切线，切点分别是、，
，
，
，
，
的长为．
故答案为：．
由切线的性质得到，进而求得该弧所对的圆心角的度数，根据弧长公式计算即可．
本题考查了切线的性质，弧长公式的运用．根据切线的性质得到，并熟记弧长公式是解决问题的关键．
 16.【答案】或或或；   【解析】解：如果是三个小区，需送：，需取：，符合要求；
如果是三个小区，需送：，需取：，符合要求；
如果是三个小区，需送：，需取：，符合要求；
如果是三个小区，需送：，需取：，符合要求；
故答案为：或或或；
若选ABC，收益为：元；
若选ABE，收益为：元；
若选ACE，收益为：元；
若选ADE，收益为：元；
，
故答案为：．
根据条件通过计算进行选择；通过计算，再比较大小求解．
本题考查了列代数式，掌握有理数的运算是解题的关键．
 17.【答案】解：，
解不等式，得：，
解不等式，得：，
故原不等式组的解集是． 【解析】先解出每个不等式的解集，然后即可得到不等式组的解集．
本题考查解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确解一元一次不等式组的方法．
 18.【答案】解：原式

． 【解析】直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质、二次根式的性质分别化简，进而合并得出答案．
此题主要考查了零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质、二次根式的性质，正确化简各数是解题关键．
 19.【答案】解：

，
当时，
原式

． 【解析】先根据平方差公式和单项式乘多项式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可．
本题考查了整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序，用了整体代入思想．
 20.【答案】解：如图，射线即为所求；

；三线合一． 【解析】【解答】
解：如图，射线即为所求；

证明：点，在上，
．
是等腰三角形．
平分，
三线合一．
直线表示的方向为东西方向，
直线表示的方向为南北方向．
故答案为：，三线合一．
【分析】
利用尺规作出图形即可；
利用等腰三角形的三线合一的性质解决问题．
本题考查作图应用与设计作图，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．  21.【答案】证明：，，
，，
四边形为平行四边形，
平分，
，
，
，
平行四边形为菱形；
解：四边形为菱形，，
，，，
在中，，
，
，
，
，
． 【解析】本题主要考查了菱形的判定与性质，直角梯形，等腰三角形的性质和判定，解直角三角形，解题的关键：熟练掌握菱形的判定方法；解直角三角形求出，．
由已知直接证得四边形为平行四边形，再由角平分线定义和等腰三角形的判定证得，由菱形的判定定理即可证得四边形为菱形；
在中，解直角三角形求出，，根据即可求出．
 22.【答案】解：据题意，点的坐标为且在一次函数的图象上，代入得．
．
点坐标为，
把代入得，
反比例函数表达式为；
当时，的取值范围是，当时，． 【解析】把的坐标代入求得的值，得出，再代入即可求得的值；
根据图象即可求得．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．也考查了待定系数法求函数解析式以及观察函数图象的能力．
 23.【答案】解：地铁号线年月份工作日日客运强度的数据从小到大排列，排在最中间的数是，
故；
从中位数、平均数上看，地铁号线的中位数较小，平均数也较小，说明地铁号线的拥挤程度较小，
因此，小明乘坐地铁号线比较合适；
估计年全年的工作日中，地铁号线日客运强度不低于万人公里的天数为：天． 【解析】根据中位数的定义解答即可；
从平均数、中位数方面得出结论及相应的理由；
用样本估计总体即可．
本题考查频数分布直方图、理解平均数、中位数、众数的意义和计算方法是正确计算的前提．
 24.【答案】解：以喷泉与湖面的交点为原点，喷泉所在的直线为纵轴建立平面直角坐标系，如图所示：

根据题意可知，该抛物线的对称轴为，此时最高，
即，
故答案为：．
根据图象可设二次函数的解析式为：，
将代入，得，
抛物线的解析式为：，
设调节后的水管喷出的抛物线的解析式为：，
由题意可知，当横坐标为时，纵坐标的值大于，
，
解得，
水管高度至少向上调节米，
米，
公园应将水管露出湖面的高度喷水头忽略不计至少调节到米才能符合要求． 【解析】建立坐标系，描点，用平滑的曲线连接即可；
观察图象即可得出结论；
根据二次函数图象的性质求出最高点的高度，设二次函数的顶点式，求解原抛物线的解析式；设出二次函数图象平移后的解析式，根据题意求解即可．
本题属于二次函数的应用，主要考查待定系数法求函数解析式，二次函数图象的平移，解题的关键在于掌握由二次函数的图象建立二次函数模型．
 25.【答案】证明：连接，

，
，
，
，
是的半径，
直线是的切线；
解：连接，

为的直径，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是圆内接四边形，
，
，
，
∽，
，
，
，
的长为，的长为． 【解析】连接，根据已知易得，从而利用平行线的性质可求出，即可解答；
连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，从而求出，，然后再利用等腰直角三角形的性质，平行线的性质，以及同弧所对的圆周角相等证明，再利用圆内接四边形对角互补可得，从而证明∽，最后利用相似三角形的性质进行计算即可解答．
本题考查了切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 26.【答案】 【解析】略
 27.【答案】解：；
，
证明：如图，连接并延长，使，连接，；

，；
四边形为平行四边形；
，
即，
，
，
四边形为平行四边形，
，
，
，
≌，
，
，
线段与的数量关系为：． 【解析】【解答】
解：由旋转可知，
；
故答案为：；
见答案；
【分析】
本题考查了旋转的性质，旋转角的定义，全等三角形的性质与判定，解题的关键是得出≌．
由旋转可知，所以得到：；
连接并延长，使，连接，；因为，；可以得到四边形为平行四边形；从而有，再证，继而证明≌，得到，即可得线段与的数量关系．  28.【答案】解：点关于轴对称的对称点，点关于轴对称的点，
；
的圆心为，半径为，
四边形是的外接四边形如图中，

，
点的“关联三角形”与有公共点，且，
；
当与相切于点时，如图中，

，，
，
，
当时，点的“关联三角形”与有四个公共点．
当与相切于点时，如图中，

，，
，
当时，点的“关联三角形”与有四个公共点，
综上所述，点的“关联三角形”与有四个公共点，的取值范围为：或． 【解析】根据轴，轴对称，求出相应的对称点坐标，根据三角形面积公式求出面积即可；
四边形是的外接四边形，求出点的坐标，即可判断；
分两种情形：当与相切于点时，如图中，当与相切于点时，如图中，分别求解即可．
本题属于四边形综合题，考查了直线与圆的位置关系，三角形的面积，点的“关联三角形”的定义等知识，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．