2023年上海市重点中学高考数学三模试卷-普通用卷

2023年上海市重点中学高考数学三模试卷

一、单选题（本大题共4小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知集合，若“”是“”的充分非必要条件，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  已知，，是空间的直线或平面，要使命题“若，，则”是真命题，，，可以是(    )

A. ，，是三个不同的平面 B. ，是两条不同的直线，是平面
C. ，，是三条不同的直线 D. ，是两条不同的直线，是平面

3.  函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为(    )

A.
B.
C.
D.

4.  如图所示，已知，，对任何，点按照如下方式生成：，，且，，按逆时针排列，记点的坐标为，则为(    )

 

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）

5.  已知复数满足，则复数的虚部为______ ．

6.  已知，则 ______ ．

7.  分别抛掷枚质地均匀的硬币，则等可能事件的样本空间中样本点的个数是______ ．

8.  已知向量，若，则实数 ______ ．

9.  已知、、是同一直线上三个不同的点，为直线外一点，在等差数列中，，则数列的前项和 ______ ．

10.  已知双曲线的离心率为，则的两条渐近线的方程为______．

11.  珠穆朗玛峰高达米，但即使你拥有良好的视力，你也无法在上海看到它一个观察者距离珠穆朗玛峰多远，才能在底面上看到它呢？为了能够通过几何方法解决这个问题，需要利用简单的几何模型表示这个问题情境，在此过程中，有下列假设：珠穆朗玛峰的形状为等腰梯形；地球的形状是一个球体；太阳光线沿直线传播；没有事物可以阻碍人们看到珠穆朗玛峰的视线你认为最不重要的一个假设是______ ．

12.  安排名男生和名女生参与完成项工作，要求必须每人参与一项，每项工作至少由名男生和名女生完成，则不同的安排方式种数为______ ．

13.  若，则被除所得的余数为______ ．

14.  已知函数，直线：，若直线与的图象交于点，与直线交于点，则，之间的最短距离是______ ．

15.  在正四棱柱中，，，为中点，为正四棱柱表面上一点，且，则点的轨迹的长为        ．

16.  数列共有项常数为大于的正整数，对任意正整数，有，且当时，记的前项和为，若对任意，，，，都成立，则的最大值是______ ．

三、解答题（本大题共5小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
如图，是边长为的正三角形，在平面上且满足，记．
若，求的长；
用表示，并求的取值范围．

18.  本小题分
如图，线段是圆柱的母线，是圆柱下底面的直径．
若是弦的中点，且，求证：平面；
若，，直线与平面所成的角为，求异面直线与所成角的大小．

19.  本小题分
某学校有，两个餐厅为学生提供午餐与晚餐服务，甲、乙两位学生每天午餐和晚餐都在学校就餐，近天选择餐厅就餐情况统计如下：

为了吸引学生就餐，餐厅推出就餐抽奖活动，获奖的概率为，而餐厅推出就餐送贴纸活动，每次就餐送一张．
假设甲、乙选择餐厅就餐相互独立，用频率估计概率．
分别估计一天中甲午餐和晚餐都选择餐厅就餐的概率，乙午餐和晚餐都选择餐厅就餐的概率；
记为学生乙在一天中获得贴纸的数量，求的分布和数学期望；
餐厅推出活动当天学生甲就参加了抽奖活动，已知如果学生甲抽中奖品，则第二天午餐再次去餐厅就餐的概率为，如果学生甲并没有抽中奖品，第二天午餐依然在餐厅就餐的概率为，若餐厅推出活动的第二天学生甲午餐去餐厅就餐的概率是，求．

20.  本小题分
已知是椭圆的左顶点，、是椭圆上不同的两点．
求椭圆的焦距和离心率；
设，，，若，且、、和、、分别共线，求证：、、三点共线；
若是椭圆上的点，且，求的面积．

21.  本小题分
已知函数，，．
，，求实数，的值；
若，，且不等式对任意恒成立，求的取值范围；
设，试利用结论，证明：若，，，，其中，，则．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：“”是“”的充分非必要条件，
，
又集合，
，即，
，
由可得，，
解得，
即实数的取值范围是．
故选：．
由题意可知，求出集合，，进而列出关于的不等式组，求出的取值范围即可．
本题主要考查了充分条件和必要条件的定义，考查了绝对值不等式的解法，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：若，，是三个不同的平面，由，，不一定得到，故A错误；
若，是两条不同的直线，是平面，由，，得或，故B错误；
若，，是三条不同的直线，由，，得或与相交或与异面，故C错误；
若，是两条不同的直线，是平面，由，，得，故D正确．
故选：．
由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系逐一分析四个选项得答案．
本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：由图象可知，，
对于，，不合题意；
对于，，不合题意．
故选：．
根据，可排除选项ABC，进而得解．
本题考查根据函数图象确定函数解析式问题，考查数形结合思想及运算求解能力，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：设，
依题意，，，，，即
所以．
同理：，，，，即，，
．
综上为，
故选：．
依题意，取出，，，分析，发现，利用累加法可以求出，又因为时，进而得到，同理，可得．
本题考查了数列的通项公式的求法累加法，等比数列的前项和，数列极限等知识，属于难题．
 

5.【答案】． 

【解析】解：，
则，即，
故复数的虚部为．
故答案为：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，共轭复数和虚部的定义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，共轭复数和虚部的定义，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
方程有两个等根，
且，
可得，，
．
故答案为：．
转化为方程有两个等根，再根据根与系数的关系即可求解结论．
本题考查了函数的零点与方程的根的关系应用，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：每枚硬币都有种情况，即正面和反面，
则分别抛掷枚硬币，正，正，正，正，正，反，正，反，正，正，反，反，反，正，正，反，正，反，反，反，正，反，反，反，
所以等可能事件的样本空间中样本点的个数是．
故答案为：．
根据每枚硬币的情况数，即可求出分别抛郑枚硬币的所有情况数．
本题考查了随机事件的概念，属于基础题
 

8.【答案】 

【解析】解：，，
则，解得．
故答案为：．
根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解．
本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：，且、、三点共线，为该直线外一点，
，则，
．
故答案为：．
利用向量共线定理可得：，再利用等差数列的性质与求和公式即可求解．
本题考查等差数列的性质、求和公式，考查向量共线定理的应用，是中档题．
 

10.【答案】 

【解析】解：双曲线，
其焦点在轴上，其渐近线方程为，
又由其离心率，则，
则，即，
则其渐近线方程；
故答案为：
根据题意，由双曲线的离心率可得，由双曲线的几何性质可得，然后求解双曲线的渐近线方程可得答案．
本题考查双曲线的几何性质，注意由双曲线的标准方程分析焦点的位置，确定双曲线的渐近线方程．
 

11.【答案】 

【解析】解：数学建模时，针对问题的主要因素，忽略次要因素，
这里我们需要测量观察者距离珠穆朗玛峰多远，主要关注的应该是珠穆朗玛峰的高度，
此时，珠穆朗玛峰的形状对于测量结果影响很小，故假设最不重要．
故答案为：．
由数学建模时，假设针对问题的主要因素，忽略次要因素的原则，即可得出答案．
本题考查逻辑推理能力，是基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：由于每项工作至少由名男生和名女生完成，
则先从个男生选人一组，将人分成三组，
所以男生的排法共有，
女生的安排方法共有，
故不同的安排共有种．
故答案为：．
首先根据捆绑法将男生分为组，然后男生与女生分别全排列，根据分步计数乘法原理计算即可．
本题考查了排列组合的混合问题，先选后排是最基本的指导思想，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：由于，
当时，，
故，
故被除所得的余数为．
故答案为：．
直接利用二项式的展开式及赋值法和组合数的运算求出结果．
本题考查的知识要点：二项展开式，组合数的求法，数的整除问题，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
 

14.【答案】 

【解析】解：函数，直线：，
若直线与的图象交于点，与直线交于点，
直线的斜率为，直线：的斜率为，两直线垂直，
则函数图象上的点到直线的最短距离，即为，之间的最短距离，
由题意可得，．
令，解得舍去，
，取点，
点到直线的距离，
则，之间的最短距离是．
故答案为：．
由题意，函数图象上的点到直线的最短距离，即为，之间的最短距离．
本题考查利用导数研究函数的最值，利用导数求曲线上某点的切线方程，考查运算求解能力，属于中档题．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，连接，，
由题可知，，平面，
因平面，则，
又平面，平面，，则平面．
又平面，
则，
如图，过做平行线，交于，则为中点．
连接，，过作垂线，交于．
由题可得，平面，
又，则平面，
因平面，则，
又平面，平面，，则平面，
因为平面，则，
因为平面，平面，，则平面，
连接，则点轨迹为平面与四棱柱的交线，即，
注意到，
故，，
则，
故，
，
则点的轨迹的长为．

故答案为：．
过作与直线垂直的平面，则点的轨迹的长即为平面与正四棱柱的交线长．
本题为立体几何中的轨迹问题，根据题意作出空间轨迹是解题关键，属于难题．
 

16.【答案】 

【解析】解：根据条件可知，有，数列具有性质为：距首尾等距离的两个数互为相反数，
如果中间数为个，则必为，下面对讨论：
当为偶数数列各个数非零，，
所以，
当为奇数数列，，，解得，
故的最大值为．
故答案为：．
根据题中的条件可得数列具有对称性，故通过对称性计算即可．
本题考查了数列的性质，数列的求和等知识，属于中档题．
 

17.【答案】解：，是边长为的正三角形，
，，
在中，由余弦定理得，即；
，，
，，
在中，由正弦定理得，解得，
，
，，
，即，
，
故的取值范围为 

【解析】由题意得，，利用余弦定理，即可得出答案；
由题意得，，利用正弦定理得，表示出，结合三角函数的性质，即可得出答案．
本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

18.【答案】证明：若是弦的中点，且，
是线段的中点，
故在中，为的中位线，则，
又面，且直线面，
则平面．
解：取线段的中点，连接，，在中，线段是的中位线，
故，则即为异面直线与所成的角，
由题意知，，，，，
，故A，
故A，故，
则异面直线与所成角的大小为． 

【解析】利用线面平行的判定定理进行证明即可．
根据线面角和异面直线所成角的定义进行计算即可．
本题主要考查空间线面平行的判定以及异面直线所成角的求解，根据线面线面平行的判定定理以及空间角的求法进行求解是解决本题的关键，是中档题．
 

19.【答案】解：设事件为“一天中甲员工午餐和晚餐都选择餐厅就餐”，
事件为“乙员工午餐和晚餐都选择餐厅就餐”，
因为个工作日中甲员工午餐和晚餐都选择餐厅就餐的天数为，
乙员工午餐和晚餐都选择餐厅就餐的天数为，
所以，．
由题意知，可以取的值为：，，，
，，，
故的分布为：

．
设表示事件“去餐厅就餐获奖”，
表示事件“学生甲午餐去餐厅就餐”，
由题知，，，，
则，
解得，
即如果学生甲并没有抽中奖品，第二天午餐依然在餐厅就餐的概率． 

【解析】根据古典概型公式计算即可；
求得的可能取值及对应概率完成分布列，根据离散型随机变量的期望公式求解即可；
根据全概率和条件概率公式求解即可．
本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查全概率公式，是中档题．
 

20.【答案】解：由：可知，，，故，
所以焦距，离心率，
证明：设，，由题意，，
，，，，，，
，所以，得，
由、、三点共线，则，即，
同理可得，、、三点共线，则，即，
故，即，
又，，
所以，
所以，
由，，整理得，所以有，
又，，，
故所以，
所以、、三点共线．
  
设，，，
因为，，，
当直线的斜率不存在时，则，
所以，，又是椭圆上的点，
此时，，，
当直线的斜率存在时，可设：，
由，得，
所以，，
，
所以，，又点在椭圆上，
代入整理得，，从而，，
于是，
点到直线的距离，
所以． 

【解析】直接由椭圆的方程得出和，再由求出，即可得出焦距和离心率；
设，，首先由得出，由、、三点共线和、、三点共线，得出，再将，代入椭圆方程，联合整理得，即可证明结论，
设，，，由，得出和，当直线的斜率不存在时，得出，，即可得出的面积；当直线的斜率存在时，设：，与椭圆方程联立，得出和，结合点在椭圆上，得出，再根据弦长公式得出，根据点到直线距离公式得出点到直线的距离，根据，即可得出面积．
本题考查椭圆方程的求法，考查三角形的面积，考查定值问题，属中档题．
 

21.【答案】解：已知，，，函数定义域为，
易知，，
因为，
所以，
易知，
可得，
因为，
所以，
联立，解得，；
若，，
此时，，
可得，
因为不等式对任意恒成立，
可得，
即对任意恒成立，
不妨令，，
不妨设，函数定义域为，
易得，
当时，恒成立，
所以函数在上严格递增，
此时，
解得；
证明：当时，
此时，
可得
，
因为，
所以，
当且仅当时，等号成立；
而，当且仅当时，等号成立，
所以，当且仅当时，等号成立，
则，当且仅当时等号成立，
故，
 ，，
，
以上个式子相加可得：
． 

【解析】由题意，得到和的值，对进行求导，得到的值，结合，，列出等式即可求出实数，的值；
将，分别代入和解析式中，对进行求导，将不等式对任意恒成立，转化成对任意恒成立，利用换元法，令，构造新函数，对进行求导，利用导数得到的单调性和最值，进而即可求出的取值范围；
将代入函数解析式中，易得，因为，所以，当且仅当时，等号成立；同理得，当且仅当时，等号成立，此时，当且仅当时，等号成立，可得，当且仅当时等号成立，将， ，，依次表达出来，再相加即可得证．
本题考查利用导数研究函数的单调性和最值以及不等式的恒成立问题，考查了推理论证能力、分类与整合思想和转化思想等．