2023年北京市密云区高考数学三模试卷-普通用卷

2023年北京市密云区高考数学三模试卷

一、单选题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知集合，，则．(    )

A.  B.  C.  D.

2.  在复平面内，复数对应的点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  已知，，，则，，的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  已知函数，则(    )

A. 在上单调递减 B. 在上单调递增
C. 在上单调递减 D. 在上单调递增

5.  平行四边形中，点在边上，，记，则(    )

A.  B.  C.  D.

6.  设数列的前项和为，则“对任意，”是“数列为递增数列”的(    )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不是充分也不是必要条件

7.  函数的部分图象大致为(    )

A.  B.
C.  D.

8.  某科技研发公司年全年投入的研发资金为万元，在此基础上，计划每年投入的研发资金比年增加，则该公司全年投入的研发资金开始超过万元的年份是(    )
参考数据：，，，
 

A. 年 B. 年 C. 年 D. 年

9.  血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间已知成人单次服用单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：

根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中：
首次服用该药物单位约分钟后，药物发挥治疗作用；
每次服用该药物单位，两次服药间隔小于小时，一定会产生药物中毒；
每向隔小时服用该药物单位，可使药物持续发挥治疗作用；
首次服用该药物单位小时后，再次服用该药物单位，不会发生药物中毒．
其中正确说法的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  已知是圆：上一个动点，且直线：与直线：相交于点，则的取值范围是(    )

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）

11.  函数的定义域为          ．

12.  已知的展开式中，各项系数之和为，则二项式系数之和为______ ．

13.  已知双曲线的离心率为，则双曲线的焦点坐标为______ ；渐近线方程为______ ．

14.  设函数．
当时，的单调递增区间为______ ；
若且，使得成立，则实数的一个取值范围______ ．

15.  如图，在正方体，为线段上的动点且不与，重合，则以下几种说法：

三棱锥的体积为定值
过，，三点作截面，截面图形为三角形或梯形
与平面所成角的正弦值最大为
上述说法正确的序号是______ ．

三、解答题（本大题共6小题，共85.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，，，分别是，的中点．
求证：平面；
求二面角的余弦值．

17.  本小题分
已知的内角，，的对边分别为，，，且．
求的值；
给出以下三个条件：
条件：；条件；条件这三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件并回答下面的问题：
(ⅰ)求的值；
(ⅱ)求的角平分线的长．

18.  本小题分
为了解某地区居民每户月均用电情况，采用随机抽样的方式，从该地区随机调查了户居民，获得了他们每户月均用电量的数据，发现每户月均用电量都在之间，进行适当分组后每组为左闭右开区间，得到如下频率分布直方图：

记频率分布直方图中从左到右的分组依次为第组，第组，，第组从第组，第组中任取户居民，求他们月均用电量都不低于的概率；
从该地区居民中随机抽取户，设月均用电量在之间的用户数为，以频率估计概率，求的分布列和数学期望；
该地区为提倡节约用电，拟以每户月均用电量为依据，给该地区月均用电量不少于的居民用户每户发出一份节约用电倡议书，且发放倡议书的数量为该地区居民用户数的请根据此次调查的数据，估计应定为多少合适？只需写出结论．

19.  本小题分
已知函数．
求曲线在点处的切线方程；
证明：．

20.  本小题分
椭圆：的离心率为，且过点．
求椭圆的方程和长轴长；
点，在上，且证明：直线过定点．

21.  本小题分
定义数列：对，满足：
，；，；，，．
对前项，，，的数列，可以是数列吗？说明理由；
若是数列，求的值；
是否存在，使得存在数列，对任意，满足？若存在，求出所有这样的；若不存在，说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由题意，，
．
故选：．
先求出集合的元素，再根据并集的定义求解．
本题主要考查并集及其运算，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：由，
则复数对应的点的坐标是：．
故选：．
直接由复数代数形式的乘除运算化简复数，则答案可求．
本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：因为，，，
所以．
故选：．
利用指数函数和对数函数的单调性跟，比较即可判断．
本题考查三个数的大小的比较，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：为，
对于选项，当时，在上单调递增，错；
对于选项，当时，在上单调递增，在上单调递减，错；
对于选项，当时，在上单调递减，对；
对于选项，当时，在上单调递减，故D错．
故选：．
利用余弦函数的二倍角公式化简得出，利用余弦型函数的单调性逐项判断可得出合适的选项．
本题主要考查了二倍角公式，余弦函数的单调性的判断，属于中档题．
 

5.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
根据平面向量的线性运算法则，即可得解．
本题考查平面向量的基本定理，熟练掌握平面向量的加法、减法和数乘运算法则是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：数列中，对任意，，则，；
所以数列是递增数列，充分性成立；
当数列为递增数列时，，；
即，所以，
如数列，，，，；不满足题意，必要性不成立；
所以“对任意，”是“数列为递增数列”的充分不必要条件．
故选：．
根据题意，分别判断充分性和必要性是否成立即可．
本题利用数列的前项和考查了充分与必要条件的应用问题，是基础题．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查由函数解析式确定函数图象，通常从单调性，奇偶性，特殊点等角度，运用排除法求解，属于基础题．
由函数为偶函数，排除；由，且时，，排除．

【解答】

解：因为，
所以函数是偶函数，其图象关于轴对称，故排除，；
，且时，，
排除．
故答案选：．

8.【答案】 

【解析】解：设从年后，第年该公司全年投入的研发资金为万元，
则，
由题意可得，，即，
故，则，
故该公司全年投入的研发资金开始超过万元的年份是年．
故选：．
根据已知条件，可推得，再结合对数函数的公式，即可求解．
本题主要考查函数的实际应用，掌握对数函数的公式是解本题的关键，属于基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：由图可知，首次服用该药物单位约分钟后，药物发挥治疗作用所以正确；
服用该药物单位后，药物的持续作用时间约为小时，所以错误，正确；
首次服用该药物单位小时后，再次服用该药物单位，累计浓度会超过最低中毒浓度，会发生药物中毒，所以错误．
所以正确的有，
故选：．
根据图象，结合题意，逐一判断每个选项即可．
本题考查了函数的图象，考查学生的阅读能力和数据分析能力，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：依题意，直线：恒过定点，直线：恒过定点，
显然直线，因此，直线与交点的轨迹是以线段为直径的圆，
其方程为：，圆心，半径，而圆的圆心，半径，如图：

，两圆外离，由圆的几何性质得：，，
所以的取值范围是：
故选：．
根据给定条件确定出点的轨迹，再借助圆与圆的位置关系及圆的几何性质计算作答．
本题主要考查圆与圆的位置关系，属于中档题．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了求函数定义域的应用问题，属于基础题．
根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．

【解答】

解：函数，
所以，
解得，且，
所以的定义域为．
故答案为：．

12.【答案】 

【解析】解：因为的展开式中，各项系数之和为，令，可得，解得，
因此，二项式系数之和为．
故答案为：．
令，结合二项式各项系数和可求得的值，进而可求得该二项式系数之和．
本题考查二项式定理相关知识，属于基础题．
 

13.【答案】  

【解析】解：双曲线的离心率为，即，，则
，解得，
双曲线方程为，
则，
双曲线的焦点坐标为，渐近线方程为．
故答案为：；．
根据已知条件求得，即可得出答案．
本题考查双曲线的性质，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
 

14.【答案】，   

【解析】解：．
当时，，函数的图象如图：

的单调递增区间为，；
当时，，其图象关于直线对称，
若且，使得成立，
如图，

则，
实数的取值范围是．
故答案为：，；．
把代入函数解析式，作出图象，数形结合得答案；
分，和作出函数的图象，由图可得，使得成立的的取值范围．
本题考查分段函数的应用，考查数形结合思想与分类讨论的数学思想，是中档题．
 

15.【答案】 

【解析】解：连接，是正方体，平面，
平面，，
四边形为正方形，，
，，平面，平面，
而平面，，故正确；
点到平面的距离为定值，的面积为定值，
则为定值，故正确；
由正方体的性质可知，当的延长线与棱相交时，截面为三角形，
当的延长线与棱相交时，截面为梯形，故正确；
连接，由题意可知，为与平面所成角，
为定值，当取最小值时，最大，最大．
设正方体的棱长为，则的最小值为，此时，故错误．
故答案为：．
连接，证明平面，可得，判断正确；由等体积法判断正确；直接分析过，，三点的截面图形判定；求出与平面所成角的正弦值的最大值判断．
本题考查命题的真假判断与应用，考查空间想象能力与思维能力，考查逻辑思维能力与推理论证能力，是中档题．
 

16.【答案】解：证明：由题意，在矩形中，，，，
，分别是，的中点，
，，
在四棱锥中，面面，面面，，
面，
面，，
取中点，连接，由几何知识得，
，，，
面，面，，
面，，
以，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图，

，，，，，，，
，面的一个法向量为
，平面．
由题意及得：
在平面中，，，，
，，
设平面的法向量为，
则，取，得，
平面的一个法向量为，
设二面角的平面角为，由图得为钝角，
二面角的余弦值为：
． 

【解析】以，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法证明平面．
分别求出平面和平面的法向量，利用向量法求解．
本题考查线面平行的判定与性质、二面角的余弦值等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

17.【答案】解：因为，所以，
即，
所以，
因为，所以．
由知，，
由余弦定理知，，
所以，
而条件中，
所以，显然不符合题意，即条件错误，
由条件，条件，解得，
由余弦定理知，，
所以，

在中，由正弦定理知，，
所以．
因为平分，所以，且，
所以，
在中，由正弦定理知，，
所以． 

【解析】结合诱导公式与辅助角公式化简已知等式可得，再根据的取值范围，得解；
利用余弦定理可得，与条件相矛盾，从而知条件正确，并由三角形的面积公式，求得，再利用余弦定理求出的值，
在中，利用正弦定理，即可得解；
由角平分线的性质，可得，再在中，利用正弦定理，得解．
本题考查解三角形，熟练掌握正弦定理，余弦定理，诱导公式与辅助角公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

18.【答案】解：由频率分布直方图可知，户居民中，第组的居民户数为，
第组的居民户数为，
从第组、第组中任取户居民，
他们月均用电量都不低于的概率为；
该地区月均用电量在之间的用户所占的频率为，
由题意可知，，
所以，；
；
；
，
所以随机变量的分布列如下表所示：

．
前个矩形的面积之和为，
设月均用电量的样本数据的第百分位数为，
则，
则，解得，
故应定为较为合适． 

【解析】由频率分布直方图可知，户居民中，第组的居民数为，第组的居民数为，再结合古典概型的概率公式，即可求解．
，的可能取值为，，，，依次求出对应的概率，再结合期望公式，即可求解．
根据已知条件，结合第百分位数的定义，即可求解．
本题主要考查离散型随机变量分布列的求解，以及期望公式的应用，属于中档题．
 

19.【答案】解：，则，
，，
曲线在点处的切线方程为，
即．
证明：令，其中，
，
令，其中，
则，
当时，且不恒为零，，函数在上单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
，即． 

【解析】计算出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程；
，其中，利用导数分析函数的单调性，证明出，即可证得结论成立．
本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，利用导数研究函数的最值，考查运算求解能力，属于中档题．
 

20.【答案】解：由题意可知，，，
解得，，
所以椭圆方程为长轴长为，
证明：设点，，
因为，
所以，
所以，
当存在的情况下，设：，
联立，
得，
由，得，
由根与系数的关系得，，
所以，，
代入式化简可得，
即，
所以或，
所以直线方程为或，
所以直线过定点或，
又因为和点重合，故舍去
所以直线过定点
当不存在的情况下，，，
式化为，
又因为，
联立以上两式，解得，舍去，此时过点，不合题意，
所以直线的方程为仍过定点，
综上所述，直线过定点 

【解析】由题意可知，，，解得，，进而可得椭圆方程．
设点，，由推出，，设：，联立直线与椭圆的方程，得关于的一元二次方程，结合韦达定理可得，，，，代入式化简可得，进而可得直线过定点．
本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的运算能力，属于中档题．
 

21.【答案】解：由性质，结合题意可得，矛盾，
故前项，，，的数列不可能是数列；
性质，，；
由性质，因此或，或，
若，由性质可得，即或，矛盾；
若，，由，则，矛盾，
因此只能是，；
又因为或，所以或．
若，则，不满足，舍去；
当，则的前四项为，，，，
下面用数学归纳法证明，，
当时，经检验命题成立；
假设时命题成立．
当时，
若，则，
利用性质：，此时可得，
否则，取可得，而由性质可得，与矛盾．
同理可得，，此时可得，
，此时可得，
，又因为，此时可得，
即当时，命题成立．
综上可得，；
令，由性质可知，，，，
由于，，，
因此数列为数列，
由可知，若，，；
，
，
因此，此时，，，，，满足题意． 

【解析】本题考查了有关数列的新定义问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答即可，属于难题．
利用性质，结合题意进行判断，即可得到答案；
由性质，确定，的取值情况，分别分析得到，，从而求出的值，当，则的前四项为，，，，利用数学归纳法证明，，即可求得答案；
令，由性质进行分析，可得数列为数列，利用中的结论，得到的取值情况，即可得到答案．