2022-2023学年江西省赣州市十六县二十校高一（下）期中数学试卷-普通用卷

2022-2023学年江西省赣州市十六县二十校高一（下）期中数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  把快了分钟的手表校准后，该手表分针转过的角为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  定义运算：若集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

3.  若的内角，，的对边分别为，，，外接圆的半径为，则“”是“”的(    )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

4.  为了得到函数的图象，只需将函数的图象(    )

A. 向右平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度
C. 向右平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度

5.  如图，在正方形网格中，蚂蚁甲从点爬到了点，蚂蚁乙从点爬到了点，则向量与夹角的余弦值为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  若，为第二象限角，则(    )

A.  B.  C.  D.

7.  若甲、乙、丙在分钟之内独立复原魔方的概率分别为，，，则甲、乙、丙至多有一人在分钟之内独立复原魔方的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  赣南脐橙，江西省赣州市特产，中国国家地理标志产品赣南脐橙年产量达百万吨，原产地江西省赣州市已经成为脐橙种植面积世界第一，年产量世界第三，全国最大的脐橙主产区假设某赣南脐橙种植区的脐橙产量平均每年比上一年增长，若要求该种植区的脐橙产量高于当前脐橙产量的倍，则至少需要经过的年数为参考数据：取，(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  若向量，则(    )

A.  B. 在方向上的投影数量为
C.  D.

10.  若函数，则(    )

A. 的最小正周期为
B. 的定义域为
C. 在上单调递增
D. 的图象关于点对称

11.  年至年，我国全社会研究与试验发展经费投入持续上升，经费投入强度情况如图所示，则(    )

 

A. 年至年，我国每年经费与之比的极差为
B. 年至年，我国每年经费总量的分位数为亿元
C. 年至年，我国经费总量的平均数大于亿元
D. 年，我国小于亿元

12.  质点和在以坐标原点为圆心，为半径的上做匀速圆周运动，同时出发逆时针运动，角速度大小为，起点为与轴正半轴的交点；顺时针运动，角速度大小为，起点为射线与的交点当与重合时，的坐标可以为(    )

A.  B.
C.  D.

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  已知一扇形的圆心角为，半径为，则该扇形的弧长为______ ，面积为______ ．

14.  已知是偶函数，函数，若，则 ______ ．

15.  若，则的取值范围是______ ．

16.  和谐钟塔位于江西省赣州市章贡区赣州大桥东岸引桥南侧，有四个直径达米的钟面小赵同学经过和谐钟塔时，想利用正弦定理的知识测量该钟塔的高度，他在该钟塔塔底点的正西处的点测得该钟塔塔顶点的仰角为，然后沿着东偏南的方向行进了后到达点三点处于同一水平面，且点在点北偏东的方向上，则该钟塔的高度为______ 参考数据：取
 

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
已知．
求的值；
求的值．

18.  本小题分
已知函数．
写出图象的一条对称轴的方程；
求的单调递减区间；
求在上的值域．

19.  本小题分
在平行四边形中，点和点关于点对称，．
用，表示，；
若为线段上一点，且，求．

20.  本小题分
记的内角、、的对边分别为、、，向量，，且．
求；
若，求面积的最大值．

21.  本小题分
已知函数的部分图象如图所示，且图中的．
求的解析式；
判断函数在上的零点个数，并说明理由．

22.  本小题分
如图，记的内角，，的对边分别为，，，A.
求；
若为边上的中线，为的重心，为的外心，且，，求．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：把快了分钟的手表校准后，由于分针按逆时针方向旋转，
则分针转过的角的弧度数为．
故选：．
利用弧度制和任意角的概念即可求解．
本题考查弧度制和任意角的概念，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：由定义运算：得，．
故选：．
由新定义运算求出集合，从而求出．
本题是新定义题型，考查了集合的运算，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：当时，由正弦定理，得；
当时，由正弦定理，得，得或．
故“”是“”的充分不必要条件．
故选：．
根据正弦定理，充分必要条件的定义判断即可．
本题考查正弦定理与充分必要条件，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：只需将函数的图象向右平移个单位长度，
即可得到函数的图象．
故选：．
由题意，利用函数的图象变换规律，得出结论．
本题主要考查函数的图象变换规律，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：如图，

以为原点，为个单位长度，建立直角坐标系，
则，，，，，
所以向量，夹角的余弦值为．
故选：．
建立合适的坐标系后，使用夹角公式求解即可．
本题主要考查平面向量的数量积运算，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解： ，，即 ，
为第二象限角，，．
结合可得，，．
故选：．
由题意，利用同角三角函数的基本关系，计算求得的值．
本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：甲、乙、丙在分钟之内独立复原魔方的概率分别为，，，
则甲、乙、丙至多有一人在分钟之内独立复原魔方的概率为．
故选：．
根据已知条件，结合相互独立事件的概率乘法公式，即可求解．
本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：不妨设当前种植区的脐橙产量为，
则经过年该种植区的脐橙产量为，
由题意可知，，解得，
，
故，
所以至少需要经过的年数为．
故选：．
根据已知条件，推得，再结合对数函数的运算性质，即可求解．
本题主要考查函数的实际应用，考查转化能力，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
，故A正确；
在方向上的投影数量为，故B正确；
，，与不共线，故C错误；
，，，故D正确．
故选：．
求出数量积判断；求出在方向上的投影数量判断；利用向量共线与垂直的坐标运算判断与．
本题考查平面向量的数量积运算，考查向量共线与垂直的坐标运算，是基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：函数的最小正周期，A错误；
由，得，即的定义域为，B正确；
由，得，故在上单调递增，C正确；
，得，故的图象关于点对称，D错误．
故选：．
利用正切函数的图象与性质对四个选项逐一分析可得答案．
本题考查正切函数的图象与性质，考查直观想象和数学运算的核心素养，属于中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：由年至年，我国每年经费与之比的极差为，所以A正确．
因为，所以年至年，我国每年经费总量的分位数为亿元，所以B错误；
从年至年我国每年经费总量的数据，可得年至年我国经费总量的平均数为，所以C正确；
因为，所以年我国小于亿元，所以D正确．
故选：．
根据极差的计算公式，可判定A正确；根据中位数的计算方法，可判定B错误；根据平均数的计算公式，可判定C正确；根据的计算方法，可判定D正确．
本题主要考查统计图获取信息，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：由题意得的起始位置，锐角，
设时刻与重合，则，，
所以，，此时，
当时，，，即，符合题意；
时，，，即，符合题意；
时，，即，符合题意，
结合三角函数的周期性可知，符合题意．
故选：．
由已知结合三角函数的定义及三角函数的周期性检验各选项即可判断．
本题主要考查了三角函数的定义及周期性的应用，属于中档题．
 

13.【答案】  

【解析】解：因为扇形的圆心角为，半径为，则该扇形的弧长，
扇形的面积．
故答案为：，．
由已知利用扇形的弧长公式以及面积公式即可求解．
本题考查了扇形的弧长公式以及面积公式的应用，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：根据题意，函数，
则，
又由为偶函数，则，
则有，变形可得，
则．
故答案为：．
根据题意，由函数的解析式可得，结合函数的奇偶性可得的值，进而计算可得答案．
本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：由，
得，
得，
因为，
所以的取值范围是．
故答案为：．
将化简得到求解．
本题主要考查三角函数的最值，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，

，，则．
由正弦定理，得，
所以．
故答案为：．
先利用正弦定理求出，再求出．
本题主要考查解三角形，正弦定理的应用，考查运算求解能力，属于基础题
 

17.【答案】解：由题意得，
故．

． 

【解析】由已知得出，再将分式的分子和分母同时除以，化简计算即可；
利用诱导公式和““的代换化简，再将分式的分子和分母同时除以，并将代入求值即可．
本题主要考查三角恒等变换，同角三角函数的基本关系，考查运算求解能力，属于中档题．
 

18.【答案】解：令，，可得，，
所以图象的一条对称轴方程可以为答案不唯一，只要方程满足即可；
由得，，
所以的单调递减区间为；
由，得，
所以，
因为，所以，
故在上的值域为． 

【解析】令，，求出的值，即可得到函数的对称性方程；
根据余弦函数的图象和性质求解；
由的范围求出的范围，再结合余弦函数的性质求解．
本题主要考查了余弦函数的图象和性质，属于基础题．
 

19.【答案】解：点和点关于点对称，，
，
，
；
设，，
则

，
，
，
． 

【解析】利用平面向量的线性运算，平面向量基本定理求解即可．
先求出，再列出方程组，求解即可．
本题考查平面向量的线性运算，平面向量基本定理，属于中档题．
 

20.【答案】解：的内角、、的对边分别为、、，向量，，且．
可得，化简可得，可得，
因为是三角形内角，所以．
，，
所以，可得，
面积：，当时，三角形的面积取得最大值：． 

【解析】利用向量共线，结合正弦定理，转化求解即可．
利用已知条件、结合余弦定理，以及三角形的面积，通过二次函数求解三角形面积的最大值即可．
本题考查三角形的解法，正弦定理以及余弦定理的应用，三角形的面积的求法，是中档题．
 

21.【答案】解：由图可知，又图象的一条对称轴为直线，
由，得，所以，
因为，所以，
得，
又，所以，
故．
在上有个零点．
理由如下：在上的零点个数等于的图象与直线在上的交点个数，
令，得，
当时，，
当时，，，与，的函数图象如下所示：

由图可知两函数有且只有个交点，故在上有个零点． 

【解析】根据函数图象得到，再求出函数的一条对称轴，即可求出函数的周期，从而求出，最后根据函数的最大值求出，即可求出函数解析式．
问题等价于的图象与直线在上的交点个数，分析函数的取值及画出函数图象，数形结合即可判断．
本题主要考查三角函数的图象与性质，考查转化能力，属于中档题．
 

22.【答案】解：，
在中，由正弦定理得，即，
由余弦定理得；
过点作于点，如图所示：

为的外心，为的中点，
，
同理可得，
为的重心，
，
又，
，
，，，
又，则，
为的外心，即是外接圆的半径，
，
又，
，解得． 

【解析】利用正弦定理可得，结合余弦定理，即可得出答案；
过点作于点，结合题意可得，，，，利用正弦定理可得，列出关于的方程，求解即可得出答案．
本题考查解三角形，考查转化思想和方程思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．