2023年山东省济宁市金乡县中考数学三模试卷（含解析）

2023年山东省济宁市金乡县中考数学三模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的倒数等于(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图是由个相同的正方体搭成的几何体，这个几何体从上面看是(    )

 

A.  B.  C.  D.

3.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  某厂家今年一月份的口罩产量是万个，三月份的口罩产量是万个，若设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为，则所列方程为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  平面直角坐标系中，若点和在反比例函数图象上，则下列关系式正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，已知的弦、的延长线相交于点，，，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

7.  如图，在中，，分别以点和为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点和点，作直线分别交，于点和点若，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  将一个三角尺按如图所示的方式放置在一张平行四边形的纸片上，，，，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  二次函数的顶点坐标为，其部分图象如图所示以下结论错误的是(    )

A.
B. 为任意实数
C. 关于的方程无实数根
D.

10.  在平面直角坐标系中，等边如图放置，点的坐标为每一次将绕着点逆时针方向旋转，同时每边长扩大为原来的倍，第一次旋转后得到；第二次旋转后得到，，依次类推，则点的坐标为(    )

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  分解因式：          ．

12.  某书店与一所中学建立帮扶关系，连续个月向该中学赠送书籍的数量单位：本分别为：，，，，，，则这组数据的中位数是______本．

13.  在平面直角坐标系中，若抛物线与轴只有一个交点，则______．

14.  某校数学兴趣小组开展“无人机测旗杆”的活动：已知无人机的飞行高度为，当无人机飞行至处时，观测旗杆顶部的俯角为，继续飞行到达处，测得旗杆顶部的俯角为，则旗杆的高度约为______
参考数据：，结果按四舍五入保留一位小数
 

15.  如图，在中，，，，为线段上的动点，连接，过点作交于点，则在点的运动过程中，求线段的最小值为______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共55.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：．

17.  本小题分
如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图：
作出关于坐标原点成中心对称的；
作出以点为旋转中心，将绕点顺时针旋转得到的；
点的坐标为______ ．
 

18.  本小题分
为了解学生一周劳动情况，我市某校随机调查了部分学生的一周累计劳动时间，将他们一周累计劳动时间单位：小时划分为：，：，：，：四个组，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，根据图中所给信息解答下列问题：
这次抽样调查共抽取______ 人，条形统计图中的 ______ ；
在扇形统计图中，求组所在扇形圆心角的度数，并将条形统计图补充完整；
已知该校有名学生，根据调查结果，请你估计该校一周累计劳动时间达到小时及小时以上的学生共有多少人？
学校准备从一周累计劳动时间较长的两男两女四名学生中，随机抽取两名学生为全校学生介绍劳动体会，请用列表法或画树状图法求恰好抽取到一名男生和一名女生的概率．

19.  本小题分
直播购物逐渐走进了人们的生活某电商在抖音上对一款成本价为元的小商品进行直播销售，如果按每件元销售，每天可卖出件，通过市场调查发现，每件小商品售价每降低元，日销售量增加件．
若日利润保持不变，商家想尽快销售完该商品，每件售价应定为多少元？
每件售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？

20.  本小题分
如图，是的直径，弦交于点，点为延长线上一点，．
求证：是的切线；
若的半径为，是的中线，且，求的长．

21.  本小题分
向题发现
如图，在和中，，，点是线段上一动点，连接．
填空：
的值为______；
的度数为______．
类比探究
如图，在和中，，，点是线段上一动点，连接请求出的值及的度数，并说明理由；
拓展延伸
如图，在和中，，，点是线段上一动点，连接，为中点若，，在点从点运动到点的过程中，请直接写出点经过的路径长．

 

22.  本小题分
如图，抛物线交轴于点和，交轴于点．

求抛物线的表达式；
是直线上方抛物线上一动点，连接交于点，当的值最大时，求点的坐标；
为抛物线上一点，连接，过点作交抛物线对称轴于点，当时，请直接写出点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的倒数是，
故选：．
根据乘积是的两个数互为倒数，可得一个数的倒数．
本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：从上面看第一列是一个小正方形，第二列是两个小正方形，第三列居上是一个小正方形．
故选：．
根据从上面看得到的图形可得答案．
本题考查了简单组合体从三个角度观察所得到的图形．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了积的乘方，同底数幂的除法，熟记法则并根据法则计算是解题关键．
根据积的乘方等于乘方的积，同底数幂的除法底数不变指数相减，可得答案．
【解答】
解：、，故A错误；
B、，故B错误；
C、，故C错误；
D、，故D正确．
故选：．  

4.【答案】 

【解析】解：月平均增长率为，一月份到三月份连续两次增长，
，
故选：．
根据增长率的计算公式，可列一元二次方程即可求解．
本题主要考查一元二次方程的实际运用，理解题目的数量关系，增长率的计算方法是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：解法一：反比例函数，
反比例函数的图象经过一、三象限，且在每一象限内，随的增大而减小，
和都在第一象限，
，
．
故选：．
解法二：点和在反比例函数图象上，
，，
，，
，
．
故选：．
解法一：结合题意根据反比例函数的性质可得，反比例函数的图象经过一、三象限，且在每一象限内，随的增大而减小，再结合点，的坐标即可解答．
解法二：将点，的坐标代入反比例函数解析式中，解得，，根据同分子分式的性质即可比较，的大小．
本题主要考查反比例函数的性质、反比例函数图象上点的坐标特征，解题关键是明确题意，利用反比函数的性质或反比例函数图象上点的坐标特征解决问题．
 

6.【答案】 

【解析】解：是所对的圆周角，
，
是的外角，
，
故选：．
根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，求出的度数，再根据是的外角即可得出结论．
本题主要考查了圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：连接，如图，
，，
，
由作法得垂直平分，
，
，
，
在中，，
．
故选：．
连接，如图，先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出，再由作法得垂直平分，所以，所以，从而得到，然后根据含度角的直角三角形三边的关系求的长．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质．
 

8.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，
，
，，
，
，
．
故选：．
由平行四边形的性质可得，再根据三角形内角和定理，即可得到的度数，依据平行线的性质，即可得到的度数．
此题考查的是平行四边形的性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：抛物线开口向下，
，
对称轴为直线，
，
抛物线与轴交于正半轴，
，
，
故A正确；
B.抛物线的对称轴，
时，函数值最大，
，即为任意实数，
故B正确；
C.抛物线开口向下，顶点为，
函数有最大值，
抛物线与直线无交点，
一元二次方程无实数根，
故C正确；
D.抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点在和之间，
抛物线与轴的另一个交点在和之间，
时，，
即，
，
，
故D错误．
故选：．
根据抛物线开口方向，对称轴的位置以及与轴的交点可以对进行判断；根据抛物线与轴的交点的最值情况可对进行判断；根据抛物线与直线无交点，可对进行判断；时，，可对进行判断．
本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
 

10.【答案】 

【解析】解：点坐标为，
，
第一次旋转后，点在第一象限，；
第二次旋转后，点在第二象限，；
第三次旋转后，点在轴负半轴，；
第四次旋转后，点在第三象限，；
第五次旋转后，点在第四象限，；
第六次旋转后，点在轴正半轴，；
如此循环，每旋转次，的对应点又回到轴正半轴上，
，
循环了次，点在轴正半轴上，且，
．
故选：．
每旋转次，的对应点又回到轴正半轴上，故A在轴正半轴上，且，由此求解即可．
本题主要考查了点的坐标规律探索，旋转变换，涉及等边三角形、含度角的直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键在于能够根据题意找到规律．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了用提取公因式法和平方差公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
先提取公因式，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】
解：，
，
．
故答案为：．  

12.【答案】 

【解析】解：将数据，，，，，按照从小到大或从大到小的顺序排列为：，，，，，则其中位数为：．
故答案为：．
根据中位数的概念求解即可．
本题主要考查中位数，将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
 

13.【答案】 

【解析】解：抛物线与轴只有一个交点，
，
解得，
故答案为：．
由求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
 

14.【答案】 

【解析】解：设旗杆底部为点，顶部为点，过点作，交直线于点．

则，，，，
设，
在中，，
解得，
则，
在中，，
解得，
．
故答案为：．
设旗杆底部为点，顶部为点，过点作，交直线于点设，在中，，解得，则，在中，，解得，根据可得出答案．
本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：设的中点为点，以为圆心，为直径画圆，如图：

，，
点在以为圆心，半径为的圆上，
点在半径为的上，
，
，，
，
两点之间线段最短，
当、、三点共线时，取得最小值，
此时，，
故答案为：．
由得出点再以为直径圆上，求出的长度，当、、三点共线时，取得最小值，求出和的长，相减即可得出答案．
本题考查了点与圆的位置关系，正确理解点在“以为圆心，半径为的圆上”是解决问题的关键．
 

16.【答案】解：


． 

【解析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
 

17.【答案】 

【解析】解：由题意可得，根据中心对称的性质找到点、、，连接、、，如图所示．


如图，三角形如图所示．

由可得，
，
故答案为：．
根据中心对称的性质找到点、、，连接、、即可得到答案；
根据旋转的性质找到、，连接、、即可得到答案；
根据的图形即可得到答案．
本题考查作中心对称图形及旋转作图，解题的关键是熟练掌握中心对称图形的定义及旋转的性质．
 

18.【答案】   

【解析】解：这次抽样调查共抽取的人数有：人，
，
故答案为：，；

组所在扇形圆心角的度数是：；
组的人数有：人，
补全统计图如下：


根据题意得：
人，
答：估计该校一周累计劳动时间达到小时及小时以上的学生共有人；

画树状图为：

共有种等可能的结果，其中抽取的两人恰好是一名男生和一名女生结果数为，
所以抽取的两人恰好是一名男生和一名女生概率为．
根据组的人数和所占的百分比，求出调查的总人数，再用总人数乘以所占的百分比，即可得出的值；
用乘以组所占的百分比，求出组的圆心角度数，再用总人数乘以所占的百分比，即可得出组的人数；
用该校的总人数乘以达到小时及小时以上的学生所占的百分比即可；
画树状图展示所有种等可能的结果，再找出一名男生和一名女生的结果数，然后根据概率公式求解．
此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

19.【答案】解：设每件售价应定为元，则每件的销售利润为元，日销售量为件，
依题意得：，
整理得：，
解得：，不合题意，舍去．
答：每件售价应定为元；
设利润为，

，
．
每件售价定为元时，每件的销售利润为元，日销售利润元． 

【解析】设每件售价应定为元，则每件的销售利润为元，日销售量为件，利用该种小商品的日销售利润每件的销售利润日销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；
本根据列出的方程求解最大值即可．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

20.【答案】证明：是直径，
，
，
，，
，
，
是直径，
是的切线；
解：作于点，

的半径为，
，
，，
∽，
，
，
，
是的中线，，
，
． 

【解析】由圆周角定理得，则，从而说明，即可证明结论；
作于点，利用∽，得，求出的长，再利用直角三角形斜边上中线的性质得出，利用等腰三角形的性质可得答案．
本题主要考查了圆周角定理，切线的判定定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，根据相似三角形的判定与性质求出的长是解题的关键．
 

21.【答案】   

【解析】解：，，
，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
故答案为：；
由得：，，
，
故答案为：；
，，理由如下：
，，
，，
，
，
，，
∽，
，
同得：，
∽，
，
；
同得：∽，
，
，
，
，即，
当点与重合时，点与重合，的中点，记为；
当点与重合时，点是的延长线与的延长线的交点，记为，如图所示：
则点的运动轨迹为，是的中位线，
，
，，
∽，
，
即，
，
，
，
即点经过的路径长为．
证≌，得，，即可得出；
由得，，则；
先由含角的直角三角形的性质得，则，再证∽，得 ，同得，然后证∽，得 ，则；
同得∽，得，证出，由题意得点的运动轨迹为，是的中位线，则，再证∽，求出，则，即可得出答案．
本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、含角的直角三角形的性质、三角形中位线定理等知识；本题综合性强，熟练掌握直角三角形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键．
 

22.【答案】解：把点和代入得：，
解得：，
抛物线的解析式为；

过点作轴，交于点，如图所示：

设，直线的解析式为，
由可得：，
，解得：，
直线的解析式为，
，
，
轴，
∽，
，
，
当时，的值最大，
；

由题意可得如图所示：

过点作轴的平行线，分别过点、作于，于，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
设点，
由题意可知：抛物线的对称轴为直线，，
，，
，
当时，解得：，
当时，解得：
把代入，得：；
把代入，得：；
把代入，得：；
把代入，得：；
故点的坐标为：或或或 

【解析】把点和代入解析式求解即可；
过点作轴，交于点，由设，直线的解析式为，然后可求出直线的解析式，则有，进而可得，最后根据∽可进行求解；
由题意可作出图象，设，然后根据题意及型相似可进行求解．
本题是二次函数的综合题，主要考查待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，三角函数及相似三角形的性质与判定，熟练掌握二次函数的性质、三角函数及相似三角形的性质与判定是解题的关键．