2023年四川省巴中市巴州区龙泉外国语学校中考数学模拟试卷（含解析）

2023年四川省巴中市巴州区龙泉外国语学校中考数学模拟试卷

一、选择题（本大题共12小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  若数、满足，则、两数必满足的是(    )

A. 两数相等 B. 均等于 C. 互为相反数 D. 互为倒数

2.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  纳米米，有一种病毒的直径为纳米，请用科学记数法表示该病毒的直径(    )

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

4.  如图是由棱长为的几个正方体组成的几何体的三视图，则这个几何体的体积是(    )

 

A.  B.  C.  D.

5.  在一次信息技术考试中，某兴趣小组名同学的成绩单位：分分别是：、、、、、、、，则这组数据的众数和中位数是(    )

A. 、 B. 、 C. 、 D. 、

6.  下列命题中正确的是(    )

A. 对角线相等的四边形是矩形
B. 对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
D. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形

7.  如图，将一张含有角的三角形纸片的两个顶点叠放在长方形纸条的两条对边上，若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  如图，点，在反比例函数的图象上，点，在反比例函数的图象上，轴，已知点，的横坐标分别为，，与的面积之和为，则的值为(    )

 

A.  B.  C.  D.

9.  如图，，射线和线段互相垂直，为线段上一点，点在射线上，且，作，并截取，连接并延长交射线于点，设，，则(    )

A.  B.  C.  D.

10.  甲、乙两人沿同一公路从地出发到地，甲乘汽车，乙骑摩托车，从地到地的路程为千米若图中，分别表示甲、乙离开地的路程千米和时间小时的函数关系的图象，则下列结论中错误的是(    )

A. 甲的速度为千米小时 B. 乙从地到地用了小时
C. 甲比乙晚出发小时 D. 甲到达地时，乙离地千米

11.  如图，已知是矩形的对角线，，，点，分别在边，上，连结，将沿翻折，将沿翻折，若翻折后，点，分别落在对角线上的点，处，连结则下列结论不正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

12.  如图，直线与抛物线交于、两点，则的图象可能是(    )
 

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13.  在实数范围内可以把分解因式为______ ．

14.  关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______．

15.  小明为测量校园里一颗大树的高度，在树底部所在的水平面内，将测角仪竖直放在与相距的位置，在处测得树顶的仰角为若测角仪的高度是，则大树的高度约为______结果精确到参考数据：约等于，约等于，约等于
 

16.  已知的三边、、满足，则的内切圆半径______．

17.  如图，矩形中，，将矩形绕点顺时针旋转，点、分别落在点、处．如果点、、在同一条直线上，那么的值为______．

 

18.  如图，在矩形中，动点从点出发，沿边向点匀速运动，动点从点出发，沿边向点匀速运动，连接动点，同时出发，点运动的速度为，点运动的速度为，且当点到达点时，，两点同时停止运动．在运动过程中，将四边形沿翻折，得到四边形若在某一时刻，点的对应点恰好与的中点重合，则的值为          ．
 

三、解答题（本大题共7小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
计算：
；
；
求代数式的值，其中．

20.  本小题分
如图，▱中，，相交于点，，分别是，的中点．
求证：；
设，当为何值时，四边形是矩形？请说明理由．

21.  本小题分
为弘扬荆州传统文化，我市将举办中小学生“知荆州、爱荆州、兴荆州”知识竞赛活动．某校举办选拔赛后，随机抽取了部分学生的成绩，按成绩百分制分为，，，四个等级，并绘制了如下不完整的统计图表．

根据图表信息，回答下列问题：
表中______；扇形统计图中，等级所占百分比是______，等级对应的扇形圆心角为______度；
若全校有人参加了此次选拔赛，则估计其中成绩为等级的共有______人；
若全校成绩为分的学生有甲、乙、丙、丁人，学校将从这人中随机选出人参加市级竞赛．请通过列表或画树状图，求甲、乙两人至少有人被选中的概率．

22.  本小题分
某小区为了绿化环境，计划分两次购进，两种树苗，第一次购进种树苗棵，种树苗棵，共花费元；第二次购进种树苗棵，种树苗棵，共花费元．两次购进的，两种树苗各自的单价均不变
，两种树苗每棵的价格分别是多少元？
若购买，两种树苗共棵，总费用为元，购买种树苗棵，种树苗的数量不超过种树苗数量的倍．求与的函数关系式．请设计出最省钱的购买方案，并求出此方案的总费用．

23.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一、三象限内的、两点，与轴交于点，过点作轴，垂足为，，，点的纵坐标为．
求该反比例函数和一次函数的解析式；
连接，求四边形的面积．
直接写出关于的不等式的解集．

24.  本小题分
如图，已知以为直径的与锐角的边交于点，与边交于点，过点作，垂足为点，连接，．
求证：∽；
若．
求证：是的切线；
若，，求，和弧围成的阴影部分的面积．

25.  本小题分
如图，已知抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点，抛物线的顶点为．
求抛物线的解析式；
若点在轴上，且，求点的坐标；
若是直线下方抛物线上任意一点，过点作轴于点，与交于点当线段取到最大值时，若为轴上一动点，求的最小值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
，互为相反数，
故选：．
根据相反数的定义即可得到答案．
本题考查了相反数，解题的关键是掌握只有符号不同的两个数互为相反数．
 

2.【答案】 

【解析】解：无法合并，故此选项不合题意；
B.，故此选项不合题意；
C.，故此选项符合题意；
D.，故此选项不合题意；
故选：．
直接利用合并同类项法则以及同底数幂的除法运算法则、积的乘方运算法则、完全平方公式分别计算，进而判断得出答案．
此题主要考查了合并同类项以及同底数幂的除法运算、积的乘方运算、完全平方公式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：纳米用科学记数法表示该病毒的直径为米．
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

4.【答案】 

【解析】解：由该几何体的三视图知小正方体的分布情况如下：

则该几何体的体积为，
故选：．
利用主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，即可得出小正方体的个数，据此可得答案．
本题考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了确定一组数据的中位数和众数的能力，属于基础题，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
根据众数是数据中出现次数最多的数，找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数，由此即可确定某兴趣小组名同学的成绩这组数据的中位数、众数．
【解答】
解：把这组数据重新排序后，，，，，，，，
这组数据的中位数，
是这组数据中出现次数最多的数据，
这组数据的众数为；
故选A．  

6.【答案】 

【解析】解：、对角线相等的平行四边形是矩形，所以选项错误；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以选项错误；
C、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，所以选项正确；
D、一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，所以选项错误．
故选：．
根据根据矩形、菱形、正方形和平行四边形的判定方法对各选项进行判断．
本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．
 

7.【答案】 

【解析】解：如图：

长方形的对边平行，，
，
根据三角形内角和与邻补角的定义，可得
，
故选：．
依据平行线的性质，即可得到，再根据三角形内角和与邻补角的定义，可得，进而得出．
本题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和与邻补角的定义的运用，解题的关键是掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等．
 

8.【答案】 

【解析】解：点，在反比例函数的图象上，
点，的横坐标分别为，，
点的坐标为，点的坐标为，
轴，
点，的横坐标分别为，，
点，在反比例函数的图象上，
点的坐标为，点的坐标为，
，，
，，
与的面积之和为，
，
解得．
故选B．
先求出点，的坐标，再根据轴，确定点，点的坐标，求出，，最后根据，与的面积之和为，即可解答．
本题考查反比例函数的图象与性质，以及三角形的面积．
 

9.【答案】 

【解析】解：作于，

，，
∽，
，
，，，
，，
，
，
，
整理得，．
故选：．
作于，依据已知条件求得∽，得出，，然后根据平行线的性质即可求得．
本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：设甲的解析式为，可得：
，
解得：，
所以解析式为：，
把代入解析式中，可得：，
解得：，
所以甲的速度为：，故A错误；
由图象可得乙的速度为：，所以乙的时间为：小时，故B正确；
甲比乙晚小时，故C正确；
甲到达地时，乙离地千米，故D正确；
故选：．
根据图象得出信息，然后利用待定系数法求出、的解析式进行解答判断即可．
本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，准确识图并获取信息是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，，
，，
，
故A选项不符合题意；
将沿翻折，将沿翻折，点，分别落在对角线上的点，处，
，，
，
故B选项不符合题意；
四边形是矩形，
，
将沿翻折，将沿翻折，点，分别落在对角线上的点，处，
，
．
故C选项不符合题意；
，
，
设，则，
，
，
，
，
又，
，
若，则，
，
故D选项不符合题意．
故选：．
由矩形的性质及勾股定理可求出；由折叠的性质可得出，，则可求出；证出，由平行线的判定可得出结论；由勾股定理求出，根据平行线分线段成比例定理可判断结论．
本题考查了矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，平行线的判定，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查二次函数的性质、正比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题意和题目中给出的函数图象，可以得到函数的大致图象，从而可以解答本题．
【解答】
解：设，
，，
，
由图象可知，在点和点之间，，在点的左侧或点的右侧，，
故选项B符合题意，选项A、、不符合题意；
故选B．  

13.【答案】 

【解析】解：，
故答案为：
直接利用平方差进行分解即可．
此题主要考查了分解因式，关键是掌握平方差公式．
 

14.【答案】且 

【解析】解：关于的一元二次方程有实数根，
，，
且，
故答案为：且．
由方程是一元二次方程得出，再由方程有实数根得出，即可得出结论．
此题主要考查了一元二次方程的定义，根的判别式，利用根的判别式建立不等式是解本题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，过点作，垂足为，


由题意得，，，
在中，，
米
故答案为：．
过点作，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系，求出，进而求出即可．
本题考查直角三角形的边角关系，掌握直角三角形的边角关系是正确计算的前提，构造直角三角形是解决问题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：，
，
，，，
，
，
是直角三角形，，
设内切圆的半径为，
根据题意，得，
，
故答案为：．
由非负性可求，，的值，由勾股定理的逆定理可证是直角三角形，，由面积法可求的内切圆半径．
本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理的逆定理，利用三角形面积公式求内切圆半径是本题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是旋转的性质、矩形的性质以及锐角三角函数的定义，掌握旋转前、后的图形全等以及锐角三角函数的定义是解题的关键．
设，根据平行线的性质列出比例式求出的值，根据正切的定义求出，根据解答即可．
【解答】
解：设，则，，

，
，即，
解得，，舍去，
，
，
，
，
故答案为：．  

18.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
如图，设交于点设利用勾股定理求出用表示，再利用相似三角形的性质求出用表示，可得结论．
【解答】
解：如图，设交于点设．

，
可以假设，，
四边形是矩形，
，，，
在中，，
，
，
，，
由翻折的性质可知，
，，
，
，
∽，
：：：：：：，
，
，
，，
∽，
：：：：：：，
设，则，
，
，
，
，
故答案为：．  

19.【答案】解：原式

；
去分母，得，
解得，
检验：当时，，则为原方程的增根，
所以原方程无解；
原式



，
当时，原式． 

【解析】先根据零指数幂、负整数指数幂、绝对值的意义和特殊角的三角函数值计算，然后合并即可；
先把方程两边乘以，则原分式方程化整式方程，解整式方程，然后进行检验确定原方程的解；
先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再约分得到原式，然后把的值代入计算即可．
本题考查了分式的化简计算：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．也考查了实数的运算．
 

20.【答案】证明：如图，连接，，

四边形是平行四边形，
，，
，分别为，的中点，
，，
，
，，
四边形是平行四边形，
；
解：当时，四边形是矩形；理由如下：
当时，，即，
由知：四边形是平行四边形，
四边形是平行四边形，
，，
，
平行四边形是矩形，
当时，四边形是矩形．
故答案为：． 

【解析】利用平行四边形的性质，即可得到，，进而得出四边形是平行四边形，进而得到；
先确定当时，四边形是矩形，从而得的值．
本题主要考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定，注意对角线互相平分的四边形是平行四边形．
 

21.【答案】，， 
 
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中甲、乙两人至少有人被选中的结果有种，
甲、乙两人至少有人被选中的概率为． 

【解析】解：抽取的学生人数为：人，
，
扇形统计图中，等级所占百分比是：，等级对应的扇形圆心角为：，
故答案为：，，；
估计其中成绩为等级的共有：人，
故答案为：；
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中甲、乙两人至少有人被选中的结果有种，
甲、乙两人至少有人被选中的概率为．
由的人数除以所占比例得出抽取的学生人数，即可解决问题；
由全校共有学生人数乘以成绩为等级的学生所占的比例即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中甲、乙两人至少有人被选中的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率以及统计表和扇形统计图等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

22.【答案】解：设种树苗每棵的价格元，种树苗每棵的价格元，
根据题意得：，
解得，
答：种树苗每棵的价格元，种树苗每棵的价格元；
设种树苗的数量为棵，则种树苗的数量为棵，
种树苗的数量不超过种树苗数量的倍，
，
解得：，
是正整数，
，
设购买树苗总费用为，
，
随的减小而减小，
当时，元．
答：购进种花草的数量为棵、种棵，费用最省；最省费用是元． 

【解析】设种树苗每棵的价格元，种树苗每棵的价格元，根据第一次分别购进、两种花草棵和棵，共花费元；第二次分别购进、两种花草棵和棵，共花费元；列出方程组，即可解答．
设种树苗的数量为棵，则种树苗的数量为棵，根据种树苗的数量不超过种树苗数量的倍，得出的范围，设总费用为元，根据总费用两种树苗的费用之和建立函数关系式，由一次函数的性质就可以求出结论．
本题考查了列二元一次方程组，一次函数的解析式的运用，一次函数的性质的运用，解答时根据总费用两种树苗的费用之和建立函数关系式是关键．
 

23.【答案】解：由题意可得，
，，
，
点的坐标为，
设反比例函数的解析式为，
则，得，
反比例函数的解析式为，
点的纵坐标是，
，得，
点的坐标为，
一次函数的图象过点、点，
，得，
即一次函数的解析式为；

与轴交于点，
点的坐标为，
点，点，点，
，，，
四边形的面积是：．

，
，
，，
当或时，，
不等式的解集为或． 

【解析】根据题意可以求得点的坐标，从而可以求得反比例函数的解析式，进而求得点的坐标，从而可以求得一次函数的解析式；
根据中的函数解析式可以求得点，点、点、点的坐标，从而可以求得四边形的面积；
利用的解集，结合函数图象得出答案．
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质和反比例函数的性质解答．
 

24.【答案】证明：，
，
为的直径，
，
，，
，
∽．
解：连接，

，，
，
，
，
，
，
为半径，
是的切线．
，
，
，
，
，
，
，，
是等边三角形，
，
，
阴影部分的面积为． 

【解析】根据为的直径，，得出，然后证明，即可证明∽；
连接，根据三线合一得出，根据中位线的性质得出，进而得出，即可得证；
根据题意，得出，则，证明是等边三角形，求出和，然后根据，即可求解．
本题考查了圆周角定理的推论，相似三角形的判定，切线的判定，圆内接四边形的性质，扇形面积计算，解直角三角形等知识，灵活运用以上知识是解题的关键．
 

25.【答案】解：把，点代入抛物线中得：，
解得：，
抛物线的解析式为：；


顶点，
当时，，
，
或，
；
如图，连接，

设所在直线的解析式为：，将点坐标代入函数解析式，得
，
解得，
故BD所在直线的解析式为：，
，
，
设所在直线的解析式为：，将点坐标代入函数解析式，得，
故CE所在直线的解析式为：，
当时，．
同理，当点在点的右侧时，点的坐标是．
综上所述，点的坐标是或；

如图，

，，
设的解析式为：，
则，解得：，
的解析式为：，
设，则，
，
当时，有最大值为．

当有最大值，，
在轴的负半轴了取一点，使，过作于，
，
当、、三点共线时，最小，即的值最小，
中，，
，
，
，
中，，
，
，
的最小值是． 

【解析】将、代入，待定系数法即可求得抛物线的解析式；
根据待定系数法，可得的解析式，根据平行线的判定和两平行直线的函数解析式的关系，根据待定系数法，可得的解析式，进一步可得答案；
根据的解析式和抛物线的解析式，设，则，表示的长，根据二次函数的最值可得：当时，的最大值；
当的最大值时，，确定的位置：在轴的负半轴了取一点，使，过作于，当、、三点共线时，如图，最小，即的值最小，根据度的直角三角形的性质可得结论．
本题是二次函数的综合题，主要考查了用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，二次函数的性质，正确画图是关键，此题题型较好，综合性比较强．用的数学思想是分类讨论和数形结合的思想．