206.2017年黑龙江省大庆实验中学高考数学模拟试卷（文科）（5）

这是一份206.2017年黑龙江省大庆实验中学高考数学模拟试卷（文科）（5），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2017年黑龙江省大庆实验中学高考数学模拟试卷（文科）（5）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）已知集合，，则　　
A． B．， C． D．，
2．（5分）已知命题：若，是实数，则是的充分不必要条件；命题：“，”的否定是“，”，则下列命题为真命题的是　　
A． B． C． D．
3．（5分）已知是虚数单位，若复数，则的值为　　
A． B．1 C．0 D．
4．（5分）设向量，．则与垂直的向量可以是　　
A． B． C． D．
5．（5分）已知双曲线上有一点到左焦点的距离为18，则点到右焦点的距离是　　
A．8 B．28 C．12 D．8或28
6．（5分）等比数列的各项均为正数，且，，则　　
A． B． C．20 D．40
7．（5分）现有编号为①、②、③的三个三棱锥（底面水平放置），俯视图分别为图1、图2、图3，则至少存在一个侧面与此底面互相垂直的三棱锥的所有编号是　　

A．① B．①② C．②③ D．①②③
8．（5分）已知，，，则的最小值为　　
A．4 B． C．8 D．16
9．（5分）如图所示是一个算法程序框图，在集合，中随机抽取一个数值作为输入，则输出的的值落在区间，内的概率为　　

A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.4
10．（5分）已知函数的图象关于直线对称且，如果存在实数，使得对任意的都有，则的最小值是　　
A．2 B．4 C．6 D．8
11．（5分）在平面直角坐标系中，是椭圆上的一个动点，点，，则的最大值为　　
A．5 B．4 C．3 D．2
12．（5分）已知函数为自然对数的底数），，，若对于任意的，，总存在，，使得成立，则实数的取值范围为　　
A．，， B．，
C．，， D．，
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．（5分）已知点，过点可作圆的两条切线，则的取值范围是　 　．
14．（5分）已知实数，满足，则的取值范围是　　．
15．（5分）如图所示，直四棱柱内接于半径为的半，四边形为正方形，则该四棱柱的体积最大时，的长为　 　．

16．（5分）意大利数学家列昂那多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，，即（1）（2），，，此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用，若此数列被3整除后的余数构成一个新数列，　 　．
三、解答题（共5小题，满分60分）
17．（12分）已知数列为等差数列，其中，．
（1）求数列的通项公式；
（2）记，设的前项和为．求最小的正整数，使得．
18．（12分）已知某企业的近3年的前7个月的月利润（单位：百万元）如下面的折线图所示：

（1）试问这3年的前7个月中哪个月的月平均利润较高？
（2）通过计算判断这3年的前7个月的总利润的发展趋势；
（3）试以第3年的前4个月的数据（如下表），用线性回归的拟合模式估测第3年8月份的利润．
月份
1
2
3
4
利润（单位：百万元）
4
4
6
6
相关公式：，．
19．（12分）如图，直三棱柱中，，，是棱上的点，．
（Ⅰ）求证：为中点；
（Ⅱ）求直线与平面所成角正弦值大小．

20．（12分）已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，点，在抛物线上，过焦点的直线交抛物线于、两点．
（1）求抛物线的方程以及的值；
（2）记抛物线的准线与轴交于点，若，，求实数的值．
21．（12分）已知函数，为自然对数的底数，．
（1）当时，求的单调区间；
（2）若仅有一个极值点，求的取值范围．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在直角坐标系中，直线的参数方程是为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为．
（1）求曲线的普通方程；
（2）若直线与曲线交于不同两点，，求的取值范围．
[选修4-5]
23．已知函数，．
（1）解不等式；
（2）若不等式，都成立，求实数的取值范围．

2017年黑龙江省大庆实验中学高考数学模拟试卷（文科）（5）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）已知集合，，则　　
A． B．， C． D．，
【考点】：交、并、补集的混合运算
【专题】11：计算题
【分析】求出集合中不等式的解集，确定出集合，求出集合中函数的定义域，确定出集合，找出中不属于的部分，求出的补集，找出与补集的公共部分即可．
【解答】解：由集合中的不等式，解得：，
，
由集合中的函数，得到，即，
解得：，
，又全集，
，，，
则，．
故选：．
【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握交、并、补集的定义是解本题的关键．
2．（5分）已知命题：若，是实数，则是的充分不必要条件；命题：“，”的否定是“，”，则下列命题为真命题的是　　
A． B． C． D．
【考点】：复合命题及其真假
【专题】38：对应思想；：转化法；：简易逻辑
【分析】分别判断出，的真假，再判断出复合命题真假即可．
【解答】解：命题：若，是实数，则是的充分不必要条件；是假命题；
比如：，，
“，”的否定是“，”，
故命题：“，”的否定是“，”是假命题，
故是真命题，
故选：．
【点评】本题考查了充分必要条件，考查复合命题的判断，是一道基础题．
3．（5分）已知是虚数单位，若复数，则的值为　　
A． B．1 C．0 D．
【考点】：复数的运算
【专题】11：计算题；38：对应思想；：数系的扩充和复数
【分析】先求出的值，然后代入计算．
【解答】解：，
，
则．
故选：．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．
4．（5分）设向量，．则与垂直的向量可以是　　
A． B． C． D．
【考点】：数量积判断两个平面向量的垂直关系
【专题】11：计算题；34：方程思想；：定义法；：平面向量及应用
【分析】求出，由此利用向量垂直的性质能求出与垂直的向量的可能结果．
【解答】解：向量，．
，
，，，
与垂直的向量可以是．
故选：．
【点评】本题考查向量的坐标运算、向量垂直等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．
5．（5分）已知双曲线上有一点到左焦点的距离为18，则点到右焦点的距离是　　
A．8 B．28 C．12 D．8或28
【考点】：双曲线的性质
【专题】35：转化思想；：定义法；：圆锥曲线的定义、性质与方程
【分析】求得双曲线的，，，运用双曲线的定义，可得，解方程可得所求值，检验在两支的情况即可．
【解答】解：双曲线的，，，
由双曲线的定义可得，
即为，解得或28．
检验若在左支上，可得，成立；
若在右支上，可得，成立．
故选：．
【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要是定义法的运用，注意检验的位置，属于基础题．
6．（5分）等比数列的各项均为正数，且，，则　　
A． B． C．20 D．40
【考点】87：等比数列的性质
【专题】34：方程思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列
【分析】根据通项公式列方程组解出首项和公比，再计算．
【解答】解：设公比为，则，
由题意得：，
解得，，
故选：．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题．
7．（5分）现有编号为①、②、③的三个三棱锥（底面水平放置），俯视图分别为图1、图2、图3，则至少存在一个侧面与此底面互相垂直的三棱锥的所有编号是　　

A．① B．①② C．②③ D．①②③
【考点】：简单空间图形的三视图
【专题】35：转化思想；44：数形结合法；：空间位置关系与距离
【分析】根据题意，画出编号为①、②、③的三棱锥的直观图，判断是否存在侧面与底面互相垂直的情况即可．
【解答】解：编号为①的三棱锥，其直观图可能是①，

其侧棱底面，侧面底面，满足条件；
编号为②的三棱锥，其直观图可能是②
，
其侧面平面，满足条件；
编号为③的三棱锥，其直观图可能为③，

其中不存在侧面与底面互相垂直的情况．
综上，满足题意的序号是①②．
故选：．
【点评】本题考查了简单几何体三视图的应用问题，也考查了空间想象能力的应用问题，是基础题．
8．（5分）已知，，，则的最小值为　　
A．4 B． C．8 D．16
【考点】：基本不等式及其应用
【专题】35：转化思想；49：综合法；59：不等式的解法及应用
【分析】先求出，从而求出的最小值即可．
【解答】解：由，有，
则，
故选：．
【点评】本题考查了基本不等式的性质，是一道基础题．
9．（5分）如图所示是一个算法程序框图，在集合，中随机抽取一个数值作为输入，则输出的的值落在区间，内的概率为　　

A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.4
【考点】：程序框图
【专题】11：计算题；32：分类讨论；38：对应思想；：概率与统计；：算法和程序框图
【分析】可得的取值共21中可能，由程序框图可得共17个，由概率公式可得．
【解答】解：集合，中随机地取一个数值共有21种可能，
再由程序框图可知，
要使值落在区间，内，需或或，
解得，或，，，，，，，，，2，3，4，5，6，7，8，共17个，
所求概率．
故选：．
【点评】本题考查古典概型，涉及程序框图，属基础题．
10．（5分）已知函数的图象关于直线对称且，如果存在实数，使得对任意的都有，则的最小值是　　
A．2 B．4 C．6 D．8
【考点】：正弦函数的奇偶性和对称性；：三角函数的最值
【专题】15：综合题；35：转化思想；：演绎法；57：三角函数的图象与性质
【分析】由题意直线是对称轴，对称中心为，，根据三角函数的性质可求的最小值．
【解答】解：函数的图象关于对称且，
①，②，且③
由①②解得，，
当时，，，③成立，满足题意．
故得的最小值为4．
故选：．
【点评】本题考查了三角函数图象及性质的综合运用能力和计算能力．属于中档题．
11．（5分）在平面直角坐标系中，是椭圆上的一个动点，点，，则的最大值为　　
A．5 B．4 C．3 D．2
【考点】：椭圆的性质
【专题】35：转化思想；：定义法；：圆锥曲线的定义、性质与方程
【分析】根据椭圆的方程，算出它的焦点坐标为和．因此连接、，根据椭圆的定义得．再由三角形两边之差小于第三边，得到当且仅当点在延长线上时，达到最大值，从而得到本题答案．
【解答】解：椭圆，
焦点坐标为和，
连接、，根据椭圆的定义，
得，可得，
因此

．
当且仅当点在延长线上时，等号成立．
综上所述，可得的最大值为5．
故选：．

【点评】本题给出椭圆内部一点，求椭圆上动点与点和一个焦点的距离和的最大值，着重考查了椭圆的定义、标准方程和简单几何性质等知识，属于中档题．
12．（5分）已知函数为自然对数的底数），，，若对于任意的，，总存在，，使得成立，则实数的取值范围为　　
A．，， B．，
C．，， D．，
【考点】：函数恒成立问题
【专题】15：综合题；33：函数思想；：转化法；53：导数的综合应用
【分析】利用导数求出函数在，上的值域，再分类求出在，上的值域，把对于任意的，，总存在，，使得 成立转化为两集合值域间的关系求解．
【解答】解：由，得，
当，时，，当，时，，
在，上为增函数，在，上为减函数，
，，（2）．
在，上的值域为，；
当时，在，上为增函数，值域为，，
要使对于任意的，，总存在，，使得 成立，
则，，，
，解得；
当时，的值域为，不合题意；
当时，在，上为减函数，值域为，，
对于任意的，，总存在，，使得 成立，
则，，，
，解得．
综上，实数的取值范围为，，．
故选：．
【点评】本题考查考查了问题，训练了利用导数研究函数的最值，考查数学转化思想方法，是中档题．
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．（5分）已知点，过点可作圆的两条切线，则的取值范围是　　．
【考点】：圆的切线方程
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；：直线与圆
【分析】过点可作圆的两条切线，即为在圆外，把已知圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标和半径，列出关于的不等式，同时考虑大于0，两不等式求出公共解集即可得到的取值范围．
【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：，所以圆心坐标为，，半径，
由题意可知在圆外时，过点可作圆的两条切线，
所以即，且，解得：，
则的取值范围是．
故答案为：．
【点评】此题考查学生掌握点与圆的位置的判别方法，灵活运用两点间的距离公式化简求值，是一道综合题．
14．（5分）已知实数，满足，则的取值范围是　，　．
【考点】：简单线性规划
【专题】11：计算题；38：对应思想；44：数形结合法；59：不等式的解法及应用
【分析】由约束条件作出可行域，再由的几何意义，即可行域内的动点与定点连线的斜率求解．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，

的几何意义为可行域内的动点与定点连线的斜率，
联立方程组求得，，
又，．
的取值范围是，．
故答案为：，．

【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．
15．（5分）如图所示，直四棱柱内接于半径为的半，四边形为正方形，则该四棱柱的体积最大时，的长为　2　．

【考点】：棱柱、棱锥、棱台的体积
【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；：空间位置关系与距离
【分析】设，，求出，故正四棱柱的体积是，利用导数，得到该正四棱柱体积的最大值，即可得出结论．
【解答】解：设，，
则，连接，，则，
，
，
故正四棱柱的体积是，
，
当时，，时，，
时，该四棱柱的体积最大，此时．
故答案为：2．

【点评】本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，借助导数研究出四棱柱的体积最大，是解题的关键，根据题意建立适当的模型是解决一个实际问题的关键，学习时要注意积累此类题中模型的建立方法．
16．（5分）意大利数学家列昂那多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，，即（1）（2），，，此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用，若此数列被3整除后的余数构成一个新数列，　1　．
【考点】：进行简单的合情推理
【专题】11：计算题；38：对应思想；：归纳法；：简易逻辑
【分析】由题意可得数列从第三项开始，后一项为前两项的和，再分别除以3得到一个新的数列，该数列的周期为8，即可求出答案．
【解答】解：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，，
此数列被3整除后的余数构成一个新数列，
则，1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，0，2，2，，
其周期为8，
故，
故答案为：1
【点评】本题考查数列的概念及简单表示法，考查推理与运算能力，属于中档题．
三、解答题（共5小题，满分60分）
17．（12分）已知数列为等差数列，其中，．
（1）求数列的通项公式；
（2）记，设的前项和为．求最小的正整数，使得．
【考点】：数列的求和；：数列递推式
【专题】34：方程思想；：作差法；54：等差数列与等比数列
【分析】（1）设等差数列的公差为，运用等差数列的通项公式可得首项和公差的方程，解方程可得首项和公差，进而得到通项公式；
（2）求得，运用数列的求和方法：裂项相消求和，再解不等式，即可得到所求的最小值．
【解答】解：（1）设等差数列的公差为，
依，，
有，
解得，，
从而的通项公式为；
（2）因为，
所以
．
令，
解得，
故的最小值为1009．
【点评】本题考查等差数列的通项公式的运用，注意运用方程思想，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
18．（12分）已知某企业的近3年的前7个月的月利润（单位：百万元）如下面的折线图所示：

（1）试问这3年的前7个月中哪个月的月平均利润较高？
（2）通过计算判断这3年的前7个月的总利润的发展趋势；
（3）试以第3年的前4个月的数据（如下表），用线性回归的拟合模式估测第3年8月份的利润．
月份
1
2
3
4
利润（单位：百万元）
4
4
6
6
相关公式：，．
【考点】：线性回归方程
【专题】38：对应思想；：转化法；：概率与统计
【分析】（1）结合图象读出结论即可；（2）根据图象累加判断结论即可；（3）分别求出对应的系数，的值，代入回归方程即可．
【解答】解：（1）由折线图可知5月和6月的平均利润最高．（2分）
（2）第1年前7个月的总利润为（百万元），（3分）
第2年前7个月的总利润为（百万元），（4分）
第3年前7个月的总利润为百万元），（5分）
所以这3年的前7个月的总利润呈上升趋势．（7分）
（3），，，
，（9分）
，（10分）
，（11分）
当时，（百万元），
估计8月份的利润为940万元．（12分）
【点评】本题考查了回归方程问题，考查折线图以及计算能力，是一道中档题．
19．（12分）如图，直三棱柱中，，，是棱上的点，．
（Ⅰ）求证：为中点；
（Ⅱ）求直线与平面所成角正弦值大小．

【考点】：直线与平面垂直；：直线与平面所成的角
【专题】15：综合题；31：数形结合；41：向量法；：空间角
【分析】（Ⅰ）由已知可得，，两两互相垂直，分别、、所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，结合，利用向量垂直的坐标运算求得的竖坐标，可得为的中点；
（Ⅱ）求出面的法向量，利用向量法能求出直线与平面所成角正弦值．
【解答】证明：（Ⅰ）由已知可得，，两两互相垂直，分别以、、所在直线为，，轴，
建立空间直角坐标系，
，是棱上的点，
，0，，，0，，，1，，，1，，
，0，，，，，
，，得，解得，
为的中点；
解：（Ⅱ），，，
设面的一个法向量为，，，
则，取，得，0，，
设直线与平面所成角为，
则．
直线与平面所成角正弦值大小为．

【点评】本题考查空间中直线与直线的位置关系，训练了利用空间向量求解线面角，是中档题．
20．（12分）已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，点，在抛物线上，过焦点的直线交抛物线于、两点．
（1）求抛物线的方程以及的值；
（2）记抛物线的准线与轴交于点，若，，求实数的值．
【考点】：抛物线的性质
【专题】34：方程思想；：转化法；：圆锥曲线的定义、性质与方程
【分析】（1）依题意，故，则，可得抛物线的方程．将，代入抛物线方程，解得，即可得的值
（2）依题意，，设，设，、，，联立方程，消去，得，则，解得．
【解答】解：（1）依题意，椭圆中，，，故，故，则，
可得抛物线的方程为．
将，代入，解得，故．
（2）依题意，，设，设，、，，
联立方程，消去，得．
所以，①且，
又，则，，，即，
代入①得，消去得，
易得，则，
则

，
当，解得，故．
【点评】本题考查了抛物线的方程与性质，直线与抛物线的位置关系，考查了向量与曲线，属于中档题．
21．（12分）已知函数，为自然对数的底数，．
（1）当时，求的单调区间；
（2）若仅有一个极值点，求的取值范围．
【考点】：利用导数研究函数的单调性；：利用导数研究函数的极值
【专题】33：函数思想；：转化法；53：导数的综合应用
【分析】（1）根据导数和函数的单调性的关系即可求出，
（2）先求导，再令得到或，根据无解即可求出的范围．
【解答】解：（1）由题知，，
，
由得到或，
而当时，，时，，列表得：








0

0



极大值

极小值

所以，此时的减区间为，，增区间为；
（2），
由得到或
由于仅有一个极值点，
关于的方程必无解，
①当时，无解，符合题意，
②当时，由得，故由得，
由于这两种情况都有，当时，，于是为减函数，
当时，，于是为增函数，
仅为的极值点，
综上可得的取值范围是，．
【点评】本题考查了导数和函数的单调性和关系和一级函数的极值的问题，考查了分类讨论的思想，属于中档题．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在直角坐标系中，直线的参数方程是为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为．
（1）求曲线的普通方程；
（2）若直线与曲线交于不同两点，，求的取值范围．
【考点】：简单曲线的极坐标方程；：参数方程化成普通方程
【专题】11：计算题；35：转化思想；：转化法；：坐标系和参数方程
【分析】（1）由，，，能求出曲线的普通方程．
（2）直线的参数方程消去参数，能化为普通方程，代入的普通方程，得，由此利用根的判别式能求出的取值范围．
【解答】解：（1）曲线的极坐标方程为．
，
，，，
曲线的普通方程为，即．
（2）直线的参数方程是为参数），
将直线的参数方程消去参数，化为普通方程得（其中，
代入的普通方程并整理得，
故△，
解得或，
的取值范围是，，．
【点评】本题考查曲线的普通方程的求法，考查角的正切值的最大值的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．
[选修4-5]
23．已知函数，．
（1）解不等式；
（2）若不等式，都成立，求实数的取值范围．
【考点】：绝对值不等式的解法
【专题】59：不等式的解法及应用
【分析】（1）原不等式等价于①，或②，或③．分别求得①、②、③的解集，再取并集，即得所求．
（2）利用绝对值三角不等式求得的最小值为2，可得，由此解得实数的取值范围．
【解答】解：（1）原不等式等价于①，或②，或③．
解①求得，解②求得，解③求得，
因此不等式的解集为．
（2），
，解得，
即实数的取值范围为．
【点评】本题主要考查绝对值三角不等式的应用，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．
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