2019北京人大附中初一（下）期中数学（教师版）

这是一份2019北京人大附中初一（下）期中数学（教师版），共20页。试卷主要包含了细心填一填，认真做一做等内容，欢迎下载使用。

2019北京人大附中初一（下）期中
数 学
一、精心选一选(共10个小题，每小题3分，共30分)在下列各题的四个备选答案中， 只有一个是正确的，请把正确结论的代号写在题后的括号内．
1. 若a<0，则点A（－a，2）在 ( )．
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 不等式x+1≥2的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列各式中，正确的是 （ ）.
A. B. C. D.
4. 若a＞b，则下列不等式中错误的是( )．
A. a－1＞b－1 B. a＋1＞b＋1 C. 2a＞2b D. －2a＞－2b
5. 如图，利用直尺和三角尺过直线外一点画已知直线的平行线，这种画法依据的是（　　）

A. 同位角相等，两直线平行
B. 两直线平行，同位角相等
C 内错角相等，两直线平行
D. 两直线平行，内错角相等
6. 的平方根是（ ）
A. -0.7 B. ±0.7 C. 0.7 D. 0.49
7. 估计的大小应在( )
A. 7～8之间 B. 8.0～8.5之间 C. 8.5～9.0之间 D. 9.0～9.5之间
8. 在数轴上表示不等式组的解集，正确的是（　　）
A. B.
C D.
9. 如图,将三角形ABC沿着XY方向平移一定的距离就得到三角形MNL,则下列结论:①AM∥BN;②AM=BN;③BC=ML;④∠ACB=∠MNL,其中正确的有　　(　　)
 
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
10. 如图①，一张四边形纸片ABCD，∠A＝50°，∠C＝150°．若将其按照图②所示方式折叠后，恰好MD′∥AB，ND′∥BC，则∠D的度数为 ( )．

A. 70° B. 75° C. 80° D. 85°
二、细心填一填(共10个小题，每小题2分，共20分)
11. 点A(-1,-3)关于x轴对称点的坐标是_______ ；关于原点对称的点坐标是__________．
12. 如图，AD∥BC，点E在BD的延长线上，若∠ADE＝130°，则∠DBC的度数为______°．

13. 若关于x的方程5x－2a＋4＝3x的解是负数，则a的取值范围是 ______ .
14. 已知，则x＋y=___________
15. 点A在x轴上，到原点的距离为，则点A的坐标为_______________.
16. 将“平行于同一条直线的两条直线平行”改写成“如果……那么……”的形式为_________________________________________________.
17. 已知OA⊥OC于O，∠AOB∶∠AOC=2∶3，则∠BOC度数为____________度．
18. 若关于x的不等式组有2个整数解，则m的取值范围是_______________.
19. 如图，把直角梯形ABCD沿AD方向平移到梯形EFGH的位置，HG=24cm，MG=8cm，MC=6cm，则阴影部分的面积是_______cm2．

20. 如图在平面直角坐标系上有点，点A第一次跳动至点，第四次向右跳动5个单位至点，，依此规律跳动下去，点A第200次跳动至点的坐标是______．

三、认真做一做(共10个小题， 共50分)
21. 计算：
(1)
（2）
22. 求x的值
(1) 25（x—1）2＝49 (2) [2（x+3）] 3=512
23. 解不等式组 并写出该不等式组的整数解．
24. 已知是n－m＋3的算术平方根，是m＋2n的立方根，求B－A的平方根
25. 完成下面证明过程：
已知：如图，∠D=110°，∠EFD=70°，∠1=∠2，
求证：∠3=∠B

证明：∵∠D=110°, ∠EFD=70°（已知）
∴∠D+∠EFD=180°
∴AD∥______（ ）
又∵∠1=∠2(已知)
∴_____∥BC ( 内错角相等，两直线平行)
∴EF∥_____ ( )
∴∠3=∠B(两直线平行，同位角相等)
26. 已知：AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，∠1 =∠3，求证：AD平分∠BAC．

27. 在下图的直角坐标系中，将△ABC平移后得到△A’B’C’，它们的个顶点坐标如下表所示
△ABC
A(0，0)
B(3，0)
C(5，5)
△A＇B＇C＇
A＇(4，2)
B＇(7，b)
C＇(c，d)
(1)观察表中各对应点坐标的变化，并填空：△ABC向______平移______个单位长度，再向______平移______个单位长度可以得到△A＇B＇C＇；
(2)在坐标系中画出△ABC及平移后的△A＇B＇C＇；
(3)求出△A＇B＇C＇的面积．

28. 改善办学条件，北海中学计划购买部分品牌电脑和品牌课桌．第一次，用9万元购买了品牌电脑10台和品牌课桌200张．第二次，用9万元购买了品牌电脑12台和品牌课桌120张．
（1）每台品牌电脑与每张品牌课桌的价格各是多少元？
（2）第三次购买时，销售商对一次购买量大的客户打折销售．规定：一次购买品牌电脑35台以上（含35台），按九折销售，一次购买品牌课桌600张以上（含600张），按八折销售．学校准备用27万元购买电脑和课桌，其中电脑不少于35台，课桌不少于600张，问有几种购买方案？
29. 平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．
（1）如图a，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，则有∠B=∠BOD，又因∠BOD是△POD的外角，故∠BOD=∠BPD +∠D，得∠BPD=∠B-∠D．将点P移到AB、CD内部，如图b，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请证明你的结论；
（2）在图b中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图c，则∠BPD﹑∠B﹑∠D﹑∠BQD之间有何数量关系？（不需证明）；

30. 已知四边形AOCD是放置在平面直角坐标系内的梯形，其中O是坐标原点，点A，C，D的坐标分别为（0,8），（5,0），（3,8）.若点P在梯形内，且△PAD的面积等于△POC的面积，△PAO的面积等于△PCD的面积. 求点P的坐标.

参考答案
一、精心选一选(共10个小题，每小题3分，共30分)在下列各题的四个备选答案中， 只有一个是正确的，请把正确结论的代号写在题后的括号内．
1. 若a<0，则点A（－a，2）在 ( )．
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】根据a＜0判断出-a是正数，然后根据各象限的点的坐标的特点确定即可．
【详解】解：∵a＜0，
∴-a＞0，
∴点A（-a，2）在第一象限．
故选A．
【点睛】本题考查各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解题的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．
2. 不等式x+1≥2的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】试题解析：∵x+1≥2，
∴x≥1．
故选A．
考点：解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集．
3. 下列各式中，正确的是 （ ）.
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据开平方、完全平方，二次根式的化简的知识分别计算各选项，然后对比即可得出答案．
【详解】A、应=2，故此项错误；
B、应（–）2=3，故此项错误；
C、应=–，故此项错误；
D、±=±3，故正确；
故选D．
【点睛】本题考查的是平方根，熟练掌握开平方、完全平方，二次根式的化简是解题的关键.
4. 若a＞b，则下列不等式中错误的是( )．
A. a－1＞b－1 B. a＋1＞b＋1 C. 2a＞2b D. －2a＞－2b
【答案】D
【解析】
【详解】分析：
根据不等式的性质进行分析判断即可.
详解：
∵，
∴，
∴上述四个选项中，A、B、C中的不等式都成立，只有D中的不成立.
故选D.
点睛：熟记不等式的基本性质：“（1）不等式两边同时加上（或减去）同一个数（或整式），不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.”是正确解答这类题的关键.
5. 如图，利用直尺和三角尺过直线外一点画已知直线的平行线，这种画法依据的是（　　）

A. 同位角相等，两直线平行
B. 两直线平行，同位角相等
C. 内错角相等，两直线平行
D. 两直线平行，内错角相等
【答案】A
【解析】
【详解】根据∠BAC=∠EDC，由同位角相等，两直线平行，即可判定AB∥DE．
6. 的平方根是（ ）
A. -0.7 B. ±0.7 C. 0.7 D. 0.49
【答案】B
【解析】
【详解】分析：原式利用平方根定义计算即可得到结果．
详解：（-0.7）2=0.49，0.49的平方根是±0.7，
故选B．
点睛：此题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键．
7. 估计的大小应在( )
A. 7～8之间 B. 8.0～8.5之间 C. 8.5～9.0之间 D. 9.0～9.5之间
【答案】C
【解析】
【详解】试题解析：由82=64，8.52=72.25，92=81；
可得8.5＜＜9.
故选C．
8. 在数轴上表示不等式组的解集，正确的是（　　）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】分析：本题可根据数轴的性质，实心圆点包括该点用“≥”，“≤”表示，空心圆圈不包括该点用“＜”，“＞”表示，大于向右，小于向左．
详解：依题意得：数轴可表示为：

故选B．
点睛：本题考查了不等式组解集的表示方法．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
9. 如图,将三角形ABC沿着XY方向平移一定的距离就得到三角形MNL,则下列结论:①AM∥BN;②AM=BN;③BC=ML;④∠ACB=∠MNL,其中正确的有　　(　　)
 
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】B
【解析】
【详解】分析：如图，由△ABC平移得到△MNL可知A与M、B与N、C与L是对应点，根据平移的特征得：AM∥BN∥CL且AM=BN=CL，△ABC与△MNL的形状、大小完全相同.从而进行判断即可.
详解：根据平移前后连接对应点的线段平行且相等可知：
①AM∥BN正确，②AM=BN正确；
根据平移前后△ABC与△MNL的形状、大小完全相同可知
BC=NL、∠ACB=∠MLN，所以：③BC=ML错误，④∠ACB=∠MNL错误.
故选B.
点睛：本题考查了平移的性质，结合图形能清楚观察平移的方向、距离及其对应点，关键明确平移的两个性质：①连接对应点的线段平行且相等，②平移前后图形的形状、大小完全相同.
10. 如图①，一张四边形纸片ABCD，∠A＝50°，∠C＝150°．若将其按照图②所示方式折叠后，恰好MD′∥AB，ND′∥BC，则∠D的度数为 ( )．

A. 70° B. 75° C. 80° D. 85°
【答案】C
【解析】
【分析】先根据翻折变换的性质得出∠1=∠D′MN，∠2=∠D′NM，再由平行线的性质求出∠1+∠D′MN及∠2+∠D′NM的度数，进而可得出结论．
【详解】解：

∵△MND′由△MND翻折而成，
∴∠1=∠D′MN，∠2=∠D′NM，
∵MD′∥AB，ND′∥BC，∠A=50°，∠C=150°
∴∠1+∠D′MN=∠A=50°，∠2+∠D′NM=∠C=150°，
∴∠1=∠D′MN= =25°，∠2=∠D′NM==75°，
∴∠D=180°-∠1-∠2=180°-25°-75°=80°．
故选C．
【点睛】本题考查翻折变换的性质及平行线的性质，解题的关键是熟练掌握翻折变换的性质以及三角形的内角和是180°．
二、细心填一填(共10个小题，每小题2分，共20分)
11. 点A(-1,-3)关于x轴对称点的坐标是_______ ；关于原点对称的点坐标是__________．
【答案】 (1). （-1，3） (2). （1，3）
【解析】
【详解】根据平面直角坐标系的对称性，可由关于x对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数，可得A点关于x轴对称的点的坐标为（-1，3）；根据关于原点对称的点的特点，横纵坐标均互为相反数，可知A点关于原点对称的点坐标为（1，3）.
故答案为（-1，3）；（1，3）.
12. 如图，AD∥BC，点E在BD的延长线上，若∠ADE＝130°，则∠DBC的度数为______°．

【答案】50
【解析】
【分析】根据平角的性质求出∠ADB的度数，再由平行线的性质即可求出∠DBC的度数．
【详解】解：∵点E在BD的延长线上，∠ADE=130°，
∴∠ADB=180°-∠ADE=180°-130°=50°，
∵AD∥BC，
∴∠DBC=∠ADB=50°．
故答案为50．
【点睛】本题考查平行线的性质：两直线平行，内错角相等．
13. 若关于x的方程5x－2a＋4＝3x的解是负数，则a的取值范围是 ______ .
【答案】a＜2
【解析】
【分析】首先解方程求得x的值，其中x的值是用a表示，然后根据x是负数即可得到关于a的不等式，从而求得a的范围．
【详解】解：5x-2a+4=3x，
移项得：5x-3x=2a-4，
合并同类项得：2x=2a-4，
系数化成1得：x=a-2．
根据题意得：a-2＜0，
解得：a＜2．
故答案为a＜2．
【点睛】本题考查一元一次方程的解法，以及一元一次不等式的解法，关键是正确解关于x的方程．
14. 已知，则x＋y=___________
【答案】-1
【解析】
【分析】根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【详解】解：由题意得，x-2=0，x2-3y-13=0，
解得x=2，y=-3，
所以，x+y=2+（-3）=-1．
故答案为-1．
【点睛】本题考查非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
15. 点A在x轴上，到原点的距离为，则点A的坐标为_______________.
【答案】(,0),(-,0)
【解析】
【分析】根据x轴上点的纵坐标为0分情况讨论求解．
【详解】解：∵A在x轴上，到原点的距离为，
∴点A在原点左边时，坐标为（-，0），
在原点右边时，坐标为（，0），
∴点A的坐标为（ ，0）或（- ，0）．
故答案为（ ，0）或（- ，0）．
【点睛】本题考查点的坐标，熟记x轴上点的纵坐标为0是解题的关键，注意要分情况讨论．
16. 将“平行于同一条直线的两条直线平行”改写成“如果……那么……”的形式为_________________________________________________.
【答案】如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行.
【解析】
【分析】命题由题设和结论两部分组成，通常写成“如果…那么…”形式．“如果”后面接题设，“那么”后面接结论．
【详解】命题可以改写：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
【点睛】任何一个命题都可以写成“如果…那么…”的形式．“如果”后面接题设，“那么”后面接结论．在改写过程中，不能简单地把题设部分、结论部分分别塞在“如果”、“那么”后面，要适当增减词语，保证句子通顺而不改变原意．
17. 已知OA⊥OC于O，∠AOB∶∠AOC=2∶3，则∠BOC的度数为____________度．
【答案】30°或150°
【解析】
【分析】根据垂直关系知∠AOC=90°，由∠AOB：∠AOC=2：3，可求∠AOB，根据∠AOB与∠AOC的位置关系，分类求解．
【详解】∵OA⊥OC，
∴∠AOC=90°，
∵∠AOB：∠AOC=3：2，
∴∠AOB=60°．
因为∠AOB的位置有两种：一种是在∠AOC内，一种是在∠AOC外．如图，

①当在∠AOC内时，∠BOC=90°-60°=30°；
②当在∠AOC外时，∠BOC=90°+60°=150°．
故答案为30°或150°.
【点睛】此题主要考查了垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，即两条直线互相垂直．同时做这类题时一定要结合图形．
18. 若关于x的不等式组有2个整数解，则m的取值范围是_______________.
【答案】-1＜m ≤0 .
【解析】
【分析】先求出不等式组中每个不等式的解集，然后求出其公共解集，最后求其整数解进而求m的取值范围．
【详解】解：
解不等式①得：x≤，
不等式组的解集为m≤x≤，
∵不等式组 有2个整数解为1、0，
∴-1＜m≤0．
故答案为-1＜m≤0．
【点睛】本题考查不等式组解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
19. 如图，把直角梯形ABCD沿AD方向平移到梯形EFGH的位置，HG=24cm，MG=8cm，MC=6cm，则阴影部分的面积是_______cm2．

【答案】168
【解析】
【分析】根据平移的性质得HG＝CD＝24，则DM＝DC－MC＝18，由于S阴影部分＋S梯形EDMF＝S梯形DHGM＋S梯形EDMF，所以S阴影部分＝S梯形EDMF，然后根据梯形的面积公式计算．
【详解】∵直角梯形ABCD沿AD方向平移到梯形EFGH，
∴HG＝CD＝24，
∴DM＝DC－MC＝24－6＝18，
∵S阴影部分＋S梯形EDMF＝S梯形DHGM＋S梯形EDMF，
∴S阴影部分＝S梯形EDMF＝（DM＋HG）×MG＝×（18＋24）×8＝168（cm2）．
故答案为168．
【点睛】本题考查了平移的性质:把一个图形整体沿某一直线方向移动,会得到一个新的图形,新图形与原图形的形状和大小完全相同;新图形中的每一点,都是由原图形中的某一点移动后得到的,这两个点是对应点.连接各组对应点的线段平行且相等.
20. 如图在平面直角坐标系上有点，点A第一次跳动至点，第四次向右跳动5个单位至点，，依此规律跳动下去，点A第200次跳动至点的坐标是______．

【答案】
【解析】
【分析】根据图形观察发现，第偶数次跳动至点的坐标，横坐标是次数的一半加上1，纵坐标是次数的一半，然后写出即可．
【详解】观察发现，第2次跳动至点的坐标是，
第4次跳动至点的坐标是，
第6次跳动至点的坐标是，
第8次跳动至点的坐标是，

第2n次跳动至点的坐标是，
第200次跳动至点的坐标是，
故答案为．
【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，以及图形的变化问题，结合图形得到偶数次跳动的点的横坐标与纵坐标的变化情况是解题的关键．
三、认真做一做(共10个小题， 共50分)
21. 计算：
(1)
（2）
【答案】(1) 3;(2) 2
【解析】
【分析】（1）原式利用平方根及立方根的定义化简，计算即可得到结果；
（2）原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项去括号，合并即可得到结果．
【详解】解：（1）原式=-（2-4）÷6+3
=+ +3
=3；
（2）原式=
= ．
故答案为（1）3；（2） ．
【点睛】本题考查实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
22. 求x的值
(1) 25（x—1）2＝49 (2) [2（x+3）] 3=512
【答案】(1) x=2.4,x=-0.4;(2)x=1
【解析】
【分析】（1）方程变形后，利用平方根定义化简，计算即可得到结果；
（2）方程变形后，利用立方根定义化简，计算即可得到结果．
【详解】解：（1）方程变形得：（x-1）2= ，
开方得：x-1=±，
解得：x1=2.4，x2=-0.4；
（2）开立方得：2（x+3）=8，
解得：x=1．
故答案(1) x=2.4，x=-0.4；(2)x=1．
【点睛】本题考查平方根、立方根，熟练掌握各自的定义是解题的关键．
23. 解不等式组 并写出该不等式组的整数解．
【答案】﹣2＜x≤1；它的整数解为－1，0，1．
【解析】
【详解】解：不等式①去分母，得x﹣3+6≥2x+2，移项，合并得x≤1．
不等式②去括号，得1﹣3x+3＜8﹣x，移项，合并得x＞﹣2．
∴不等式组的解集为：﹣2＜x≤1．
∴它的整数解为－1，0，1．
24. 已知是n－m＋3的算术平方根，是m＋2n的立方根，求B－A的平方根
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：根据算术平方根的意义和立方根的意义，得到方程组，然后求解出m、n的值，代入求出A、B的值，从而求出B-A的立方根.
试题解析：由题意，得，
解得
∴A
∴
∴
25. 完成下面的证明过程：
已知：如图，∠D=110°，∠EFD=70°，∠1=∠2，
求证：∠3=∠B

证明：∵∠D=110°, ∠EFD=70°（已知）
∴∠D+∠EFD=180°
∴AD∥______（ ）
又∵∠1=∠2(已知)
∴_____∥BC ( 内错角相等，两直线平行)
∴EF∥_____ ( )
∴∠3=∠B(两直线平行，同位角相等)
【答案】详见解析.
【解析】
【分析】求出∠D+∠EFD=180°，根据平行线的判定推出AD∥EF，AD∥BC，即可推出答案．
【详解】证明：∵∠D=110°, ∠EFD=70°（已知）
∴∠D+∠EFD=180°
∴AD∥_EF_（ 同旁内角互补，两直线平行 ）
又∵∠1=∠2(已知)
∴AD∥BC ( 内错角相等，两直线平行)
∴EF∥_BC_ ( 平行于同一直线的两直线平行 )
∴∠3=∠B(两直线平行，同位角相等) ．
【点睛】本题考查平行线的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解题的关键．
26. 已知：AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，∠1 =∠3，求证：AD平分∠BAC．

【答案】证明详见解析.
【解析】
【分析】根据垂直可得∠ADC=∠EGC=90°，根据同位角相等两直线平行可得AD∥EG，根据平行线的性质可得∠1=∠2，再利用等量代换可得∠2=∠3，进而得到AD平分∠BAC．
【详解】证明：∵AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，（已知）
∴∠ADC=∠EGC=90°，
∴AD∥EG，（同位角相等，两直线平行）．
∴∠1=∠2，（两直线平行，内错角相等）．
又∵∠1=∠3（已知）
∴∠2=∠3，（等量代换）．
∴AD平分∠BAC．（角平分线的定义）
【点睛】本题考查平行线的判定与性质，用到的知识点为：同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
27. 在下图的直角坐标系中，将△ABC平移后得到△A’B’C’，它们的个顶点坐标如下表所示
△ABC
A(0，0)
B(3，0)
C(5，5)
△A＇B＇C＇
A＇(4，2)
B＇(7，b)
C＇(c，d)
(1)观察表中各对应点坐标的变化，并填空：△ABC向______平移______个单位长度，再向______平移______个单位长度可以得到△A＇B＇C＇；
(2)在坐标系中画出△ABC及平移后的△A＇B＇C＇；
(3)求出△A＇B＇C＇的面积．

【答案】（1）上，2，右，4；（2）图详见解析；（3）7.5
【解析】
【分析】1）根据A，B两点的坐标变化即可得出△ABC向上平移2个单位长度，再向右平移4 个单位长度；
（2）根据（1）中对应点坐标的变化，得出△A′B′C′；
（3）利用S△ABC=S△A′B′C′=AB×yc得出即可．
【详解】(1) 根据A，B两点的坐标变化：A（0，0），A′（4，2）；B（3，0），B′（7，b）；
△ABC向上平移2个单位长度，再向右平移4个单位长度可以得到△A′B′C′；
(2)如图所示，即为 △ABC及平移后的△A＇B＇C＇；

(3) S△ABC=S△A′B′C′=AB×yc
=
=7.5．
故答案为（1）上，2，右，4；（2）图详见解析；（3）7.5．
【点睛】本题考查图形的平移变换的性质与作法以及三角形面积求法，根据A，B两点坐标变化得出图象平移变化位置是解题的关键．
28. 为改善办学条件，北海中学计划购买部分品牌电脑和品牌课桌．第一次，用9万元购买了品牌电脑10台和品牌课桌200张．第二次，用9万元购买了品牌电脑12台和品牌课桌120张．
（1）每台品牌电脑与每张品牌课桌的价格各是多少元？
（2）第三次购买时，销售商对一次购买量大的客户打折销售．规定：一次购买品牌电脑35台以上（含35台），按九折销售，一次购买品牌课桌600张以上（含600张），按八折销售．学校准备用27万元购买电脑和课桌，其中电脑不少于35台，课桌不少于600张，问有几种购买方案？
【答案】来（1）设每台品牌电脑元，每张品牌课桌元，则有
，解得．
（2）有两种方案．
设购电脑台，课桌张，则有，
解得
时，时，．
方案①：购电脑35台，课桌675张； 方案②：购电脑36台，课桌630张．
【解析】
【详解】（1）根据购置A品牌电脑的费用+购置B品牌课桌的费用=总的费用，列方程组，求解即可；（2）设购电脑x台，课桌y张，列出二元一次方程，根据二元一次方程解的不确定性以及x、y的取值范围，确定购买方案．
29. 平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．
（1）如图a，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，则有∠B=∠BOD，又因∠BOD是△POD的外角，故∠BOD=∠BPD +∠D，得∠BPD=∠B-∠D．将点P移到AB、CD内部，如图b，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请证明你的结论；
（2）在图b中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图c，则∠BPD﹑∠B﹑∠D﹑∠BQD之间有何数量关系？（不需证明）；

【答案】（1）不成立，结论是∠BPD=∠B+∠D，证明详见解析；（2）∠BPD=∠BQD+∠B+∠D.
【解析】
【分析】（1）延长BP交CD于E，根据两直线平行，内错角相等，求出∠PED=∠B，再由三角形外角的性质即可得出结论；
（2）连接QP并延长，根据三角形的外角性质即可得结论.
【详解】解：（1）不成立，结论是∠BPD=∠B+∠D.

证明：延长BP交CD于点E，
∵AB∥CD.
∴∠B=∠BED，
又∠BPD=∠BED+∠D，
∴∠BPD=∠B+∠D；
（2）结论： ∠BPD=∠BQD+∠B+∠D.
连接QP并延长，
∵ ， ，
∴
即∠BPD=∠BQD+∠B+∠D.

故答案为（1）不成立，结论是∠BPD=∠B+∠D，证明详见解析；（2）∠BPD=∠BQD+∠B+∠D.
【点睛】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，根据题意作出辅助线，构造出三角形，利用三角形外角的性质求解是解题的关键．
30. 已知四边形AOCD是放置在平面直角坐标系内的梯形，其中O是坐标原点，点A，C，D的坐标分别为（0,8），（5,0），（3,8）.若点P在梯形内，且△PAD的面积等于△POC的面积，△PAO的面积等于△PCD的面积. 求点P的坐标.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意画出图形，过点P作PE⊥y轴于点E，利用△PAD的面积等于△POC的面积，得出EO的长，进而得出PE的长，即可得出P点坐标．
【详解】解：如图，过点P作PE⊥y轴于点E．

因为：点A，C，D的坐标分别为（0,8），（5,0），（3,8），△PAD的面积等于△POC的面积，
所以：×3AE=×5OE，即3（8-OE）=5OE，
解得：OE=3
所以：△PAD的面积=△POC的面积=×3×5=7.5，
△PAO的面积=△PCD的面积=[﹙3﹢5﹚×8÷2-2×7.5]÷2=8.5，
则×8PE=8.5，即PE=，
所以：点P的坐标是（，3）．
故答案为（，3）．
【点睛】本题考查坐标与图形的性质以及三角形面积，利用三角形面积关系得出EO，PE的长是解题的关键．