2023年河南省洛阳市新安县中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2023年河南省洛阳市新安县中考数学一模试卷（含解析），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年河南省洛阳市新安县中考数学一模试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．绝对值等于5的有理数是（　　）
A．±5 B．5 C．﹣5 D．±
2．某正方体的每个面都有一个汉字，其平面展开图如图所示，那么在该几何体中和“博”字相对的字是（　　）

A．自 B．民 C．爱 D．由
3．据科学家估计，地球的年龄大约是4600000000年，将数据4600000000用科学记数法表示应为（　　）
A．0.46×1010 B．46×108 C．4.6×1010 D．4.6×109
4．如图，DA⊥AB，CD⊥DA，∠B＝56°，则∠C的度数是（　　）

A．154° B．144° C．134° D．124°
5．不等式x≥2在数轴上表示正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
6．如图，在△ABC中，DE∥BC，＝，若AC＝6，则EC＝（　　）

A． B． C． D．
7．一元二次方程2x2+x﹣1＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
8．在“双减”政策下，某学校规定，学生的学期学业成绩由三部分组成：平时成绩占20%，期中成绩占30%，期末成绩占50%，小颖的平时、期中、期末成绩分别为85分，90分，92分，则小颖本学期的学业成绩为（　　）
A．92分 B．90分 C．89分 D．85分
9．在同一平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4与y＝2x+m相交于点P（3，n），则关于x，y的方程组的解为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，已知△ABC中，∠CAB＝20°，∠ABC＝30°，将△ABC绕A点逆时针旋转50°得到△AB'C'，以下结论：①BC＝B'C，②AC∥C'B'，③C′B′⊥BB'，④∠ABB'＝∠ACC'，正确的有（　　）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．计算：＝　 　．
12．若x＝1是方程x2﹣2x+a＝0的根，则a＝　 　．
13．在创建“文明校园”的活动中，班级决定从四名同学（两名男生，两名女生）中随机抽取两名同学担任本周的值周长，那么抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率是 　 　．
14．如图所示的扇形AOB中，OA＝OB＝2，∠AOB＝90°，C为上一点，∠AOC＝30°，连接BC，过C作OA的垂线交AO于点D，则图中阴影部分的面积为　 　．

15．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，E，F分别是AD，AB的中点，∠ADC的平分线交AB于点G，点P是线段DG上的一个动点，则△PEF的周长最小值为 　 　．

三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．计算：
（1）（x+2）2+x（x﹣4）；
（2）（﹣1）÷．
17．每年的6月6日为“全国爱眼日”．某初中学校为了解本校学生视力健康状况，组织数学兴趣小组按下列步骤来开展统计活动．
①确定调查对象有以下三种调查方案：方案一：从七年级抽取140名学生，进行视力状况调查；方案二：从七年级、八年级中各随机抽取140名生，进行视力状况调查；方案三：从全校1600名学生中随机抽取600名学生，进行视力状况调查．其中最具有代表性和广泛性的抽样调查方案是 　 　；
②收集整理数据：按照国家视力健康标准，学生视力状况分为A，B，C，D四个类别．数学兴趣小组随机抽取本校部分学生进行调查，绘制成如图一幅不完整的统计图．抽取的学生视力状况统计表：
类别
A
B
C
D
视力
视力≥5.0
4.9
4.6≤视力≤4.8
视力≤4.5
健康状况
视力正常
轻度视力不良
中度视力不良
重度视力不良
人数
160
m
n
56
③分析数据，解答问题：
（1）调查视力数据的中位数所在类别为 　 　类；
（2）该校共有学生1600人，请估算该校学生中，中度视力不良和重度视力不良的总人数；
（3）为更好保护视力，结合上述统计数据，请你提出一条合理化的建议．

18．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点D在y轴上，A，C两点的坐标分别为（4，0），（4，m），直线CD：y＝ax+b（a≠0）与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于C，P（﹣8，﹣2）两点．
（1）求该反比例函数的解析式及m的值；
（2）判断点B是否在该反比例函数的图象上，并说明理由．

19．如图，一艘货轮在海面上航行，准备要停靠到码头C，货轮航行到A处时，测得码头C在北偏东60°方向上．为了躲避A，C之间的暗礁，这艘货轮调整航向，沿着北偏东30°方向继续航行，当它航行到B处后，又沿着南偏东70°方向航行20海里到达码头C．求货轮从A到B航行的距离（结果精确到0.1海里．参考数据：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192）．

20．为迎接学校运动会举行，某班组织学生参加跳绳活动，需购买A，B两种跳绳若干，若购买3根A种跳绳和1根B种跳绳共需140元；若购买5根A种跳绳和3根B种跳绳共需300元．
（1）求A，B两种跳绳的单价各是多少元？
（2）若该班准备购买A，B两种跳绳共46根，总费用不超过1780元，那么至多可以购买B种跳绳多少根？
21．某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央竖直安装一根水管OA，O为水管与地面交点，在水管顶端A处安装一个喷水头，使喷出的水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，在过OA的任一平面上，以O为原点，以原点与水流落地点所在直线为x轴，以OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系（如图），水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是y＝﹣x2+x+2．
（1）求水管OA的高度；
（2）求喷出的水流距地面的最大高度；
（3）若要使喷出的水流不落在池外，试求水池的半径至少要多少米？

22．[概念引入]
在一个圆中，圆心到该圆的任意一条弦的距离，叫做这条弦的弦心距．
[概念理解]
（1）如图1，在⊙O中，半径是5，弦AB＝8，则这条弦的弦心距OC长为 　 　．
（2）通过大量的做题探究；小明发现：在同一个圆中，如果两条弦相等，那么这两条弦的弦心距也相等．但是小明想证明时却遇到了麻烦．请结合图2帮助小明完成证明过程如图2，在⊙O中，AB＝CD，OM⊥AB，ON⊥CD，求证：OM＝ON．
[概念应用]如图3，在⊙O中AB＝CD＝16，⊙O的直径为20，且弦AB垂直于弦CD于E，请应用上面得出的结论求OE的长．


23．综合与实践
问题情境：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8．直角三角板EDF中∠EDF＝90°，将三角板的直角顶点D放在Rt△ABC斜边BC的中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边DE，DF分别与边AB，AC交于点M，N．
猜想证明：
（1）如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边AB的中点时，试判断四边形AMDN的形状，并说明理由；
问题解决：
（2）如图②，在三角板旋转过程中，当∠B＝∠MDB时，求线段CN的长；
（3）如图③，在三角板旋转过程中，当AM＝AN时，直接写出线段AN的长．


参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．绝对值等于5的有理数是（　　）
A．±5 B．5 C．﹣5 D．±
【分析】根据绝对值的定义解答，绝对值等于5的数有两个，它们互为相反数．
解：绝对值等于5的有理数是±5，
故选：A．
【点评】此题主要考查绝对值的定义．解题的关键是掌握绝对值的定义，去绝对值等于5的数有两个，它们互为相反数．
2．某正方体的每个面都有一个汉字，其平面展开图如图所示，那么在该几何体中和“博”字相对的字是（　　）

A．自 B．民 C．爱 D．由
【分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题．
解：正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形，
所以该正方体中与“博”字相对的字是“由”．
故选：D．
【点评】本题考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
3．据科学家估计，地球的年龄大约是4600000000年，将数据4600000000用科学记数法表示应为（　　）
A．0.46×1010 B．46×108 C．4.6×1010 D．4.6×109
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
解：4600000000＝4.6×109．
故选：D．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．如图，DA⊥AB，CD⊥DA，∠B＝56°，则∠C的度数是（　　）

A．154° B．144° C．134° D．124°
【分析】根据平行线的判定和性质定理即可得到结论．
解：∵DA⊥AB，CD⊥DA，
∴∠A＝∠D＝90°，
∴∠A+∠D＝180°，
∴AB∥CD，
∴∠B+∠C＝180°，
∵∠B＝56°，
∴∠C＝180°﹣∠B＝124°，
故选：D．
【点评】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质定理是解题的关键．
5．不等式x≥2在数轴上表示正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．即可解答．
解：x≥2，开口向正数方向（向右），
因为是大于等于2，所以要实心．
故选：D．
【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是熟练掌握数轴表示不等式的解集时的“两定”．
6．如图，在△ABC中，DE∥BC，＝，若AC＝6，则EC＝（　　）

A． B． C． D．
【分析】利用平行线分线段成比例定理解答即可．
解：∵DE∥BC，
∴＝，
∴，
∴，
∴EC＝．
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，正确使用定理得出比例式是解题的关键．
7．一元二次方程2x2+x﹣1＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【分析】求出判别式Δ＝b2﹣4ac，判断符号即可得出结论．
解：∵Δ＝12﹣4×2×（﹣1）＝1+8＝9＞0，
∴一元二次方程2x2+x﹣1＝0有两个不相等的实数根，
故选：A．
【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根是解决问题的关键．
8．在“双减”政策下，某学校规定，学生的学期学业成绩由三部分组成：平时成绩占20%，期中成绩占30%，期末成绩占50%，小颖的平时、期中、期末成绩分别为85分，90分，92分，则小颖本学期的学业成绩为（　　）
A．92分 B．90分 C．89分 D．85分
【分析】根据加权平均数的计算方法计算即可．
解：她本学期的学业成绩为：
20%×85+30%×90+50%×92＝90（分）．
故选：B．
【点评】本题主要考查加权平均数，熟练掌握加权平均数的定义是解题的关键．
9．在同一平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4与y＝2x+m相交于点P（3，n），则关于x，y的方程组的解为（　　）
A． B． C． D．
【分析】先将点P代入y＝﹣x+4，求出n，即可确定方程组的解．
解：将点P（3，n）代入y＝﹣x+4，
得n＝﹣3+4＝1，
∴P（3，1），
∴关于x，y的方程组的解为，
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，求出两直线的交点坐标是解题的关键．
10．如图，已知△ABC中，∠CAB＝20°，∠ABC＝30°，将△ABC绕A点逆时针旋转50°得到△AB'C'，以下结论：①BC＝B'C，②AC∥C'B'，③C′B′⊥BB'，④∠ABB'＝∠ACC'，正确的有（　　）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【分析】根据旋转的性质可得，BC＝B′C′∠C′AB′＝∠CAB＝20°，∠AB′C′＝∠ABC＝30°，再根据旋转角的度数为50°，通过推理证明对①②③④四个结论进行判断即可．
解：①∵△ABC绕A点逆时针旋转50°得到△AB′C′，
∴BC＝B′C′，故①正确；
②∵△ABC绕A点逆时针旋转50°，
∴∠BAB′＝50°．
∵∠CAB＝20°，
∴∠B′AC＝∠BAB′﹣∠CAB＝30°．
∵∠AB′C′＝∠ABC＝30°，
∴∠AB′C′＝∠B′AC．
∴AC∥C′B′，故②正确；
③在△BAB′中，
AB＝AB′，∠BAB′＝50°，
∴∠AB′B＝∠ABB′＝（180°﹣50°）＝65°．
∴∠BB′C′＝∠AB′B+∠AB′C′＝65°+30°＝95°．
∴C′B′与BB′不垂直，故③不正确；
④在△ACC′中，
AC＝AC′，∠CAC′＝50°，
∴∠ACC′＝（180°﹣50°）＝65°．
∴∠ABB′＝∠ACC′，故④正确．
∴①②④这三个结论正确．
故选：B．
【点评】本题考查了旋转性质的应用，图形的旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．计算：＝　﹣　．
【分析】先根据负整数指数幂的意义、二次根式的性质化简，再根据减法法则求得计算结果．
解：
＝﹣2
＝﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．
12．若x＝1是方程x2﹣2x+a＝0的根，则a＝　1　．
【分析】把x＝1代入方程x2﹣2x+a＝0中，计算即可得出答案．
解：把x＝1代入方程x2﹣2x+a＝0中，
得1﹣2+a＝0，
解得a＝1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的解，应用一元二次方程的解的定义进行求解是解决本题的关键．
13．在创建“文明校园”的活动中，班级决定从四名同学（两名男生，两名女生）中随机抽取两名同学担任本周的值周长，那么抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率是 　　．
【分析】画树状图得出所有等可能的结果数和抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的结果数，再利用概率公式可得出答案．
解：设两名男生分别记为A，B，两名女生分别记为C，D，
画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的结果有8种，
∴抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率为＝．
故答案为：．
【点评】本题考查列表法与树状图法，解题时要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝．
14．如图所示的扇形AOB中，OA＝OB＝2，∠AOB＝90°，C为上一点，∠AOC＝30°，连接BC，过C作OA的垂线交AO于点D，则图中阴影部分的面积为　　．

【分析】根据扇形的面积公式，利用图中阴影部分的面积＝S扇形BOC﹣S△OBC+S△COD进行计算．
解：∵∠AOB＝90°，∠AOC＝30°，
∴∠BOC＝60°，
∵扇形AOB中，OA＝OB＝2，
∴OB＝OC＝2，
∴△BOC是等边三角形，
∵过C作OA的垂线交AO于点D，
∴∠ODC＝90°，
∵∠AOC＝30°，
∴OD＝OC＝，CD＝OC＝1，
∴图中阴影部分的面积＝S扇形BOC﹣S△OBC+S△COD
＝﹣+
＝π﹣．
故答案为π﹣．
【点评】本题考查了扇形面积的计算，求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．也考查了等边三角形的判定和性质．
15．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，E，F分别是AD，AB的中点，∠ADC的平分线交AB于点G，点P是线段DG上的一个动点，则△PEF的周长最小值为 　5+　．

【分析】如图，在DC上截取DT，使得DT＝DE，连接FT，过点T作TH⊥AB于点H．利用勾股定理求出FT＝，EF＝5，证明PE+PF＝PF+PT≥FT，可得结论．
解：如图，在DC上截取DT，使得DT＝DE，连接FT，过点T作TH⊥AB于点H．

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ADT＝90°，
∵∠AHT＝90°，
∴四边形AHTD是矩形，
∵AE＝DE＝AD＝3．AF＝FB＝AB＝4，
∴AH＝DT＝3，HF＝AF﹣AH＝4﹣3＝1，HT＝AD＝6，
∴FT＝＝＝，
∵DG平分∠ADC，DE＝DT，
∴E、T关于DG对称，
∴PE＝PT，
∴PE+PF＝PF+PT≥FT＝，
∵EF＝＝＝5，
∴△EFP的周长的最小值为5+，
故答案为：5+．
【点评】本题考查矩形的性质，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．计算：
（1）（x+2）2+x（x﹣4）；
（2）（﹣1）÷．
【分析】（1）先利用完全平方公式和单项式乘多项式法则计算，再合并同类项即可；
（2）先计算括号内分式的减法，再将除法转化为乘法，继而约分即可．
解：（1）原式＝x2+4x+4+x2﹣4x
＝2x2+4；
（2）原式＝（﹣）÷
＝•
＝．
【点评】本题主要考查分式的混合运算和整式的混合运算，解题的关键是掌握完全平方公式和单项式乘多项式法则及分式的混合运算顺序和运算法则．
17．每年的6月6日为“全国爱眼日”．某初中学校为了解本校学生视力健康状况，组织数学兴趣小组按下列步骤来开展统计活动．
①确定调查对象有以下三种调查方案：方案一：从七年级抽取140名学生，进行视力状况调查；方案二：从七年级、八年级中各随机抽取140名生，进行视力状况调查；方案三：从全校1600名学生中随机抽取600名学生，进行视力状况调查．其中最具有代表性和广泛性的抽样调查方案是 　方案三　；
②收集整理数据：按照国家视力健康标准，学生视力状况分为A，B，C，D四个类别．数学兴趣小组随机抽取本校部分学生进行调查，绘制成如图一幅不完整的统计图．抽取的学生视力状况统计表：
类别
A
B
C
D
视力
视力≥5.0
4.9
4.6≤视力≤4.8
视力≤4.5
健康状况
视力正常
轻度视力不良
中度视力不良
重度视力不良
人数
160
m
n
56
③分析数据，解答问题：
（1）调查视力数据的中位数所在类别为 　B　类；
（2）该校共有学生1600人，请估算该校学生中，中度视力不良和重度视力不良的总人数；
（3）为更好保护视力，结合上述统计数据，请你提出一条合理化的建议．

【分析】①根据抽样调查应具有代表性和广泛性可知方案三最符合题意；
（1）根据中位数的定义解答即可；
（2）利用样本估计总体即可求出中度视力不良和重度视力不良的总人数；
（3）根据数据提出一条合理建议即可．
解：①根据抽样调查应具有代表性和广泛性可知方案三最符合题意，
故答案为：方案三；
（1）调查的总人数是：160÷40%＝400（人），
由图表可得：m＝40×16%＝64（人），
根据中位数的定义可知，中位数应是第200、201个数据的平均数，
而160+64＞200，
所以调查视力数据的中位数所在类别为B类；
故答案为：B；
（2）由题意得：n＝400﹣160﹣64﹣56＝120（人），
所以（人），
答：该校学生中，中度视力不良和重度视力不良的总人数为704人；
（3）该校学生近视程度为中度及以上约占44%，说明该校学生近视程度较为严重，建议学校加强电子产品进校园以及使用时间的管控．
【点评】本题考查了扇形统计图，统计表，中位数以及用样本估计总体的知识，关键是从统计图表得出信息解决问题．
18．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点D在y轴上，A，C两点的坐标分别为（4，0），（4，m），直线CD：y＝ax+b（a≠0）与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于C，P（﹣8，﹣2）两点．
（1）求该反比例函数的解析式及m的值；
（2）判断点B是否在该反比例函数的图象上，并说明理由．

【分析】（1）把P（﹣8，﹣2）代入y＝可得反比例函数的解析式为y＝，即得m＝＝4；
（2）连接AC，BD交于H，由C（4，4），P（﹣8，﹣2）得直线CD的解析式是y＝x+2，即得D（0，2），根据四边形ABCD是菱形，知H是AC中点，也是BD中点，由A（4，0），C（4，4）可得H（4，2），设B（p，q），有，可解得B（8，2），从而可知B在反比例函数y＝的图象上．
解：（1）把P（﹣8，﹣2）代入y＝得：
﹣2＝，
解得k＝16，
∴反比例函数的解析式为y＝，
∵C（4，m）在反比例函数y＝的图象上，
∴m＝＝4；
∴反比例函数的解析式为y＝，m＝4；
（2）B在反比例函数y＝的图象上，理由如下：
连接AC，BD交于H，如图：

把C（4，4），P（﹣8，﹣2）代入y＝ax+b得：
，
解得，
∴直线CD的解析式是y＝x+2，
在y＝x+2中，令x＝0得y＝2，
∴D（0，2），
∵四边形ABCD是菱形，
∴H是AC中点，也是BD中点，
由A（4，0），C（4，4）可得H（4，2），
设B（p，q），
∵D（0，2），
∴，
解得，
∴B（8，2），
在y＝中，令x＝8得y＝2，
∴B在反比例函数y＝的图象上．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数综合，涉及待定系数法，菱形的性质及应用，函数图象上点坐标的特征等，解题的关键是求出点B的坐标．
19．如图，一艘货轮在海面上航行，准备要停靠到码头C，货轮航行到A处时，测得码头C在北偏东60°方向上．为了躲避A，C之间的暗礁，这艘货轮调整航向，沿着北偏东30°方向继续航行，当它航行到B处后，又沿着南偏东70°方向航行20海里到达码头C．求货轮从A到B航行的距离（结果精确到0.1海里．参考数据：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192）．

【分析】过B作BD⊥AC于D，在Rt△BCD中，利用正弦函数求得BD＝15.32海里，再在Rt△ABD中，利用含30度角的直角三角形的性质即可求解．
解：过B作BD⊥AC于D，


由题意可知∠ABE＝30°，∠BAC＝30°，则∠C＝180°﹣30°﹣30°﹣70°＝50°，
在Rt△BCD中，∠C＝50°，BC＝20（海里），
∴BD＝BCsin50°≈20×0.766＝15.32（海里），
在Rt△ABD中，∠BAD＝30°，BD＝15.32（海里），
∴AB＝2BD＝30.64≈30.6（海里），
答：货轮从A到B航行的距离约为30.6海里．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
20．为迎接学校运动会举行，某班组织学生参加跳绳活动，需购买A，B两种跳绳若干，若购买3根A种跳绳和1根B种跳绳共需140元；若购买5根A种跳绳和3根B种跳绳共需300元．
（1）求A，B两种跳绳的单价各是多少元？
（2）若该班准备购买A，B两种跳绳共46根，总费用不超过1780元，那么至多可以购买B种跳绳多少根？
【分析】（1）根据购买3根A种跳绳和1根B种跳绳共需140元；若购买5根A种跳绳和3根B种跳绳共需300元，可以列出相应的方程组，然后求解即可；
（2）根据该班准备购买A，B两种跳绳共46根，总费用不超过1780元，可以列出相应的不等式，然后求解即可．
解：（1）设A种跳绳的单价为a元，B种跳绳的单价为b元，
由题意可得，，
解得，
答：A种跳绳的单价为30元，B种跳绳的单价为50元；
（2）设购买B种跳绳x根，则购买A种跳绳（46﹣x）根，
由题意可得：30（46﹣x）+50x≤1780，
解得x≤20，
∴x的最大值为20，
答：至多可以购买B种跳绳20根．
【点评】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程和不等式．
21．某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央竖直安装一根水管OA，O为水管与地面交点，在水管顶端A处安装一个喷水头，使喷出的水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，在过OA的任一平面上，以O为原点，以原点与水流落地点所在直线为x轴，以OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系（如图），水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是y＝﹣x2+x+2．
（1）求水管OA的高度；
（2）求喷出的水流距地面的最大高度；
（3）若要使喷出的水流不落在池外，试求水池的半径至少要多少米？

【分析】（1）把x＝0代入y＝﹣x2+x+2即可得到结论；
（2）把y＝﹣x2+x+2化成顶点式，根据二次函数的性质即可得到结论；
（3）解方程即可得到结论．
【解答】（1）解：当x＝0时，y＝2，
答：水管OA的高度为2m；
（2）∵y＝﹣x2+x+2＝﹣（x﹣）2+，
∵a＝﹣1＜0，
∴抛物线开口向下，函数有最大值，
∴当时，y最大＝＝2.25，
答：喷出的水流距地面的最大高度为2.25m；
（3）当y＝0时，﹣x2+x+2＝0，
解得x1＝﹣1（不合题意，舍去），x2＝2，
所以水池的半径至少要2米．
【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
22．[概念引入]
在一个圆中，圆心到该圆的任意一条弦的距离，叫做这条弦的弦心距．
[概念理解]
（1）如图1，在⊙O中，半径是5，弦AB＝8，则这条弦的弦心距OC长为 　3　．
（2）通过大量的做题探究；小明发现：在同一个圆中，如果两条弦相等，那么这两条弦的弦心距也相等．但是小明想证明时却遇到了麻烦．请结合图2帮助小明完成证明过程如图2，在⊙O中，AB＝CD，OM⊥AB，ON⊥CD，求证：OM＝ON．
[概念应用]如图3，在⊙O中AB＝CD＝16，⊙O的直径为20，且弦AB垂直于弦CD于E，请应用上面得出的结论求OE的长．


【分析】[概念理解]（1）连接OB，在Rt△BOC中，应用勾股定理求解即可；
（2）连接BO、OC，证明Rt△BOM≌Rt△CON（HL）即可；
[概念应用]过点O作OG⊥CD交于G，过点O作OH⊥AB交于H，连接DO，根据（2）的结论，得到四边形GEHO是正方形，在Rt△GOD中，用勾股定理求出GO＝6，在等腰Rt△GOE中，求出EO＝6．
【解答】[概念理解]（1）解：连接OB，
∵CO⊥AB，
∴BC＝AC，∠BCO＝90°，
∵AB＝8，
∴BC＝4，
∵BO＝5，
∴CO＝＝3，
故答案为：3；
（2）证明：连接BO、OC，
∵OM⊥AB，
∴BM＝AM，∠BMO＝90°，
∵ON⊥CD，
∴CN＝DN，∠CNO＝90°，
∵AB＝CD，
∴BM＝CN，
∵BO＝CO，
∴Rt△BOM≌Rt△CON（HL），
∴OM＝ON；
[概念应用]解：过点O作OG⊥CD交于G，过点O作OH⊥AB交于H，连接DO，
∵AB＝CD＝16，
∴GO＝OH，
∵AB⊥CD，
∴∠GEH＝90°，
∴四边形GEHO是正方形，
∴GE＝GO，
∵CD＝16，
∴DG＝8，
∵⊙O的直径为20，
∴DO＝10，
∴GO＝＝6，
∴GE＝GO＝6，
∴EO＝6．

【点评】本题考查圆的综合应用，熟练掌握垂径定理，勾股定理，三角形全等的判定及性质，正方形的性质是解题的关键．
23．综合与实践
问题情境：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8．直角三角板EDF中∠EDF＝90°，将三角板的直角顶点D放在Rt△ABC斜边BC的中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边DE，DF分别与边AB，AC交于点M，N．
猜想证明：
（1）如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边AB的中点时，试判断四边形AMDN的形状，并说明理由；
问题解决：
（2）如图②，在三角板旋转过程中，当∠B＝∠MDB时，求线段CN的长；
（3）如图③，在三角板旋转过程中，当AM＝AN时，直接写出线段AN的长．
【分析】（1）由三角形中位线定理可得MD∥AC，可证∠A＝∠AMD＝∠MDN＝90°，即可求解；
（2）由勾股定理可求BC的长，由中点的性质可得CG的长，由锐角三角函数可求解；
（3）通过证明点A，点M，点D，点N四点共圆，可得∠ADN＝∠AMN＝45°，由直角三角形的性质可求HN的长，即可求解．
解：（1）四边形AMDN是矩形，理由如下：
∵点D是BC的中点，点M是AB的中点，
∴MD∥AC，
∴∠A+∠AMD＝180°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠AMD＝90°，
∵∠A＝∠AMD＝∠MDN＝90°，
∴四边形AMDN是矩形；
（2）如图2，过点N作NG⊥CD于G，

∵AB＝6，AC＝8，∠BAC＝90°，
∴BC＝＝10，
∵点D是BC的中点，
∴BD＝CD＝5，
∵∠MDN＝90°＝∠A，
∴∠B+∠C＝90°，∠BDM+∠1＝90°，
∴∠1＝∠C，
∴DN＝CN，
又∵NG⊥CD，
∴DG＝CG＝，
∵cosC＝，
∴，
∴CN＝；
（3）如图③，连接MN，AD，过点N作HN⊥AD于H，

∵AM＝AN，∠MAN＝90°，
∴∠AMN＝∠ANM＝45°，
∵∠BAC＝∠EDF＝90°，
∴点A，点M，点D，点N四点共圆，
∴∠ADN＝∠AMN＝45°，
∵NH⊥AD，
∴∠ADN＝∠DNH＝45°，
∴DH＝HN，
∵BD＝CD＝5，∠BAC＝90°，
∴AD＝CD＝5，
∴∠C＝∠DAC，
∴tanC＝tan∠DAC＝＝，
∴AH＝HN，
∵AH+HD＝AD＝5，
∴DH＝HN＝，AH＝，
∴AN＝＝＝．
解法二：如图，延长MD到T，使得MD＝DT，连接NT，CT．

设AM＝AN＝a．证明CT＝BM＝6﹣a，NM＝NT＝a，∠NCT＝90°，
由NT2＝CN2+CT2，
可得（a）2＝（8﹣a）2+（6﹣a）2，解得a＝．
解法三：也可以通过D向AC和AB分别作垂线DQ和DP，通过△DPM∽△DQN相似来算．
【点评】本题是三角形综合题，考查了矩形的判定，直角三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数，圆的有关知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．