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    合肥市第八中学2023届高三下学期最后一卷数学试卷(含答案)

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    合肥市第八中学2023届高三下学期最后一卷数学试卷(含答案)

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    这是一份合肥市第八中学2023届高三下学期最后一卷数学试卷(含答案),共20页。试卷主要包含了选择题,多项选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
    合肥市第八中学2023届高三下学期最后一卷数学试卷学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
    一、选择题1已知集合(   )A. B. C. D.2已知复数为纯虚数,则(   )A. B. C.1 D.3“阿基米德多面体”也称为半正多面体(semi-regularsolid),是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体,它体现了数学的对称美.如图,它是由正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥,共截去八个三棱锥得到.已知,若该半正多面体的表面积为S,体积为V,则(   )A. B. C.2 D.4为奇函数,则=(   )A.3 B.2 C. D.54名女生2名男生参加学校组织的演讲比赛,现场抽签决定比赛顺序,已知男生甲比男生乙先出场,则两位男生相邻的概率是(   )A. B. C. D.6在平面直角坐标系中,P为圆上的动点,定点.现将坐标平面沿x轴翻折成平面角为的二面角,此时点A翻折至.P两点间距离的取值范围是(   )A. B. C. D.7已知,其中abc,则(   )A. B. C. D.8如图,已知是面积为的等边三角形,四边形MNPQ是面积为2的正方形,其各顶点均位于的内部及三边上,且可在内任意旋转,则当时,(   )A. B. C. D.二、多项选择题9下列命题中正确是(   )A.数据-11245689的第25百分位数是1B.若事件MN的概率满足,则MN相互独立C.已知随机变量,若,则D.若随机变量,则10已知函数,对任意均有,且上单调递减,则下列说法正确的有(   )A.函数是偶函数B.函数最小正周期为C.函数,上的值域为D.上恒成立,则的最大值为11如图,O为坐标原点,分别为双曲线的左、右焦点,过双曲线C右支上一点P作双曲线的切线l分别交两渐近线于AB两点,交x轴于点D,则下列结论正确的是(   )A.B.C.D.若存在点P,使得,且,则双曲线C的离心率为212如图,点O是正四面体PABC底面ABC的中心,过点O的直线分别交ACBC于点MNS是棱PC上的点,平面SMN与棱PA的延长线相交于点Q,与棱PB的延长线相交于点R,则(   )A.存在点S与直线MN,使B.存在点S与直线MN,使平面SRQC.其中,则的最小值是D.三、填空题13已知则向量a在向量b上的投影向量为______.14的展开式中的常数项为________.15已知正项数列,其前n项和为,且满足,数列满足,其前n项和,设,若对任意成立,则的最小值是______.16k若关于x的不等式上恒成立,则的最小值是______.四、解答题17已知数列的前n项和为,请从以下三个条件中选择一个完成解答.①数列是首项为2的单调递减的等比数列,且成等差数列;.(1)求数列的通项公式;(2)求数列的前n项和18已知ABC的内角ABC所对的边分别为abc,且满足.(1)A(2)AD的角平分线,且,求的最小值19如图,在三棱柱中,底面是等腰三角形,且,又侧棱,面对角线,点DF分别是棱CB的中点,.1证明平面AEF2)求二面角A-EF-D的正切值.20当前移动网络已融人社会生活的方方面面,深刻改变了人们的沟通、交流乃至整个生活方式.4G网络虽然解决了人与人随时随地通信的问题,但随着移动互联网快速发展,其已难以满足未来移动数据流量暴涨的需求.5G作为一种新型移动通信网络,不但可以解决人与人的通信问题,而且还可以为用户提供增强现实、虚拟现实、超高清(3D)视频等更加身临其境的极致业务体验,更重要的是还可以解决人与物、物与物的通信问题,从而满足移动医疗、车联网、智能家居、工业控制、环境监测等物联网应用需求.为更好的满足消费者对5G网络的需求,中国电信在某地区推出了六款不同价位的流量套餐,每款套餐的月资费x(单位:)与购买人数y(单位:万人)的数据如下表:套餐ABCDEF月资费x()384858687888购买人数y(万人)16.818.820.722.424.025.5对数据作初步的处理,相关统计量的值如下表:75.324.618.3101.4其中,且绘图发现,散点集中在一条直线附近(1)根据所给数据,求出y关于x的回归方程;(2)已知流量套餐通过指标来测定,当时相应的流量套餐受大众的欢迎程度更高,被指定为“主打套餐”现有一家四口从这六款套餐中,购买不同的四款各自使用.记四人中使用“主打套餐”的人数为X,求随机变量X的分布列和期望.:对于一组数据,其回归方程的斜率和截距的最小二乘估计值分别为.21已知函数(1)讨论函数的单调性;(2)若函数处的切线恰好经过点,且对任意的,都有成立,求实数m的取值范围.22(1)若椭圆的离心率,且被直线截得的线段长为,求椭圆C的标准方程;(2)椭圆其中,若点P上的任意一点,过点P的切线交AB两点,Q上异于AB的任意一点,且满足,问:是否为定值?若为定值,求出该定值;否则,说明理由.
    参考答案1答案:D解析:因为,所以,因为,所以,因此,故选D.2答案:C解析:复数,则,依题意得,,解得,即,所以.故选.3答案:A解析:如图,该半正多面体的表面由6个正方形和8个正三角形构成,则其表面积,该半正多面体的体积可以由正方体截去8个三棱锥的体积计算,.故选A.4答案:C解析:因为函数为奇函数,所以的定义域关于原点对称.,则的定义域不关于原点对称,所以的定义域为,从而,解得,所以,定义域为.,得.经检验,为奇函数,.故选C.5答案:B解析:设男生甲比男生乙先出场为事件A,则,设两位男生相邻为事件B,则男生甲比男生乙先出场且两位男生相邻为事件AB,故在已知男生甲比男生乙先出场的条件下,则两位男生相邻的概率是.故选B.6答案:B解析:所在平面为,圆的另一半所在平面为,若,则PO,三点共线时,有最小值;P在圆与x轴交点时,取到最大值,即;上的投影为,则面距离为,则PO三点共线时,有最大值,,此时;P在圆与x轴交点时,有最小值,,此时;;综上可得,.故选B.7答案:C解析:构造函数,则时,,当时,,故上单调递减,在上单调递增,由,可得,即,即,由,可得,即,即,因为上单调递增,所以,故,因为上单调递减,,故,因为,即,因为,所以,因为上单调递减,,故,从而.故选C.8答案:A解析:因为是面积为的等边三角形,记边长为a,所以,解得,记内切圆的半径为r,根据,可得:,解得,因为正方形MNPQ的面积为2,所以正方形边长为,记正方形MNPQ外接圆半径为R,所以其外接圆直径等于正方形的对角线2,即,根据正方形的对称性和等边三角形的对称性可知,正方形外接圆即为等边三角形的内切圆,因为正方形MNPQ可在内任意旋转,可知正方形MNPQ各个顶点均在该的内切圆上,以的底边BCx轴,以BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系如图所示:故可知,圆的方程为,故设,即9答案:BCD解析:对于选项A8个数据从小到大排列,由于,所以第25百分位数应该是第二个与第三个的平均数,故A错误;对于选项B,由,可得,即,即,所以MN相互独立,故B正确;对选项C,则,故C正确;对选项D:因为随机变量,由正态曲线的对称性可得:,所以,所以.12.D正确;10答案:ACD解析:图象关于点对称,又,当时,取得最值,即图象关于直线对称,又上单调递减,和直线图象相邻的对称中心和对称轴,最小正周期为T,则,又图象关于点对称,由正弦函数的性质,时,.对于选项A,函数是偶函数,故A正确;对于选项B,函数最小正周期为,故B错误;对于选项C,由图象可知,函数上的值域为,故C正确;对于选项D,由,得解得由余弦函数的性质,上恒成立,则的最大值为,故D正确.11答案:AB解析:对于选项A,先求双曲线上一点的切线方程,不妨先探究双曲线在第一象限的部分(其他象限由对称同理可得).:,所以,则在点的切线斜率为,所以在点的切线方程为,又因为,所以在点的切线方程为:,不失一般性,设点是双曲线在第一象限的一点,是切线与渐近线在第一象限的交点,是切线与渐近线在第四象限的交点,双曲线的渐近线方程为,联立,所以点,同理可得:,则,又因为,所以,即:,故A项正确;对于选项B,由A项知,,所以点是线段AB的中点,所以B项正确;对于选项C,因为在点的切线方程为:,所以点,则,当点在顶点时,仍然满足,故C项错误;对于选项D,因为,所以,又因为,所以,解得:,代人,所以,所以解得:6,所以离心率为,故D项错误.故选AB.12答案:BCD解析:对于选项A,故A错误;对于选项B,当直线MN平行于直线ABS为线段PC上靠近C的三等分点,即,此时平面SRQ,以下给出证明:在正四面体中,设各棱长为a,均为正三角形,O的中心,由正三角形中的性质,易得,在中,由余弦定理得,,则,同理,,又平面SRQ平面SRQ平面SRQ存在点S与直线MN,使平面SRQ,故B正确;对于选项C,当且仅当时等号成立,故C正确;对于选项D,设DBC的中点,则,又PAQ三点共线,PBR三点共线,PSC三点共线,,设,则OQRS四点共面,,又,即,故D正确.故选BCD.13答案:解析:,又,又,所以向量a在向量b方向上的投影向量为.故答案为.14答案:29解析:因为故所求常数项为.故答案为29.15答案:1解析:由題意知,,且则当时,,两式相淢得因此,而,即,又,解得数列是首项为3,公差为2的等差数列,因此数列是单调递增的,,而数列是单调递淢的,,因为,不等式成立,则,不等式成立,因此,即有,又,所以的最小值是1.故答案为1.16答案:解析:由题意知,不等式上恒成立,令,则上恒成立,令,所以,若,则递增,当时,,不等式不成立,故,当时,,当时,,所以当时,取得最大值,所以,所以,所以,则,所以,当,当时,,所以当时,取得最小值的最小值是一.,所求最小值是.故答案为.17答案:12解析:(1若选择①,则,即,解得又数列单调递减,故,此时;若选择②,则当时,,即;时,,即,故;若选择③,时,则;时,符合上式,即.2,则,则,两式相减得,从而有.18答案:12解析:(1因为,由正弦定理可得,即,所以,而,故,因为,所以;2)由题意可知,,由角平分线性质和三角形面积公式得,化简得,又,从而,当且仅当时,等号成立,故,因此的最小值为.19答案:1)证明见解析2解析:(1中由勾股定理知从而可知三梭柱ABC为直三梭柱A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标䒺于是从而,由,又AE平面AEF,且,故平面AEF.2,知,设平面DEF的法向量为则有,则,即;又由(1)知平面AEF的法向量为,故求二面角的余弦值为,其正弦值为,故其正切值为.20答案:12分布列见解析,期望为解析:1)因为散点集中在一条直线附近,设回归方程为,由,则,故变量关于v的回归方程为.,综上,y关于x的回归方程为.2,解得,而所以687888CDEF为“主打套餐”.则四人中使用“主打套警”的人数服从超几何分布,34,且X分布列为X234P期望21答案:1)答案见解析2解析:(1的定义域为时,,此时函数上单调递增;②当时,由,此时函数上单调递减,在上单调递增;综上所述时,函数上单调递增;时,函数上单调递减,在上单调递增.2解法由题意知,解得,则,即对任意的成立.定义,则①当时,上单调递增,又,所以上单调递减,在上单调递增,故成立.②当时,由解得,可知上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,又,从而单调递增,当单调递减又,所以当时,,不合题意.故实数m的取值范围为.解法二:令,注意到,要使不等式成立,则附近左侧单调递减,在附近右侧单调递增,而,所以在附近左侧,在附近右侧,又,所以在附近左右两侧很小的一个区间内,递增.的导函数.,而可得,即.(这是恒成立的必要条件)下面再证其充分性:时,因为,所以.此时R上递增,.所以时,时,.所以时,递减;时,递增.,即R上恒成立.综上可知:,都有成立时,.22答案:12)是定值,且解析:(1由题意可知:椭圆C的离心率,因此故椭圆C的方程为:,令,则椭圆C的方程为:代人可得,因此被直线截得的线段长为,可得.所以椭圆C的方程为.2由题意得,,①当直线AB斜率不存在时,直线,若,不妨设点Ax轴的上方,则,又,所以代人中,得,即;,同理亦可得.②当直线AB斜率存在时,设直线,由,得,由可得:,即:.,即,由可得,即:因为点Q在椭圆上,所以,,整理,得,又上,,又,因此.综上所述,为定值,且.
     

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