安徽省亳州市蒙城第一中学2023届高三下学期最后一卷（三模）数学试题（含解析）

安徽省亳州市蒙城第一中学2023届高三下学期最后一卷（三模）数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

2．若双曲线的一个焦点为，则（    ）．

A． B． C． D．8

3．，，则（    ）

A． B．2 C． D．

4．已知圆C：x2＋y2－2x－2my＋m2－3＝0关于直线l：x－y＋1＝0对称，则直线x＝－1与圆C的位置关系是（    ）

A．相切 B．相交

C．相离 D．不能确定

5．已知，且，则（    ）.

A．3 B．6 C．12 D．18

6．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，常见的有圆形攒尖､三角攒尖､四角攒尖､六角攒尖等，多见于亭阁式建筑，某园林建筑为四角攒尖，它主要部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥，若这个正四棱锥的棱长均为2，则该正四棱锥的体积为（    ）

A． B． C． D．

7．已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（    ）

A． B．2 C． D．3

8．已知，，，则（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

9．设，为复数，则下列四个结论中正确的是（    ）

A． B．是纯虚数或零

C．恒成立 D．存在复数，，使得

10．已知函数的一条对称轴为，则（    ）

A．的最小正周期为 B．

C．在上单调递增 D．

11．已知定义在上的函数满足，则下列不等式一定正确的是（    ）

A． B．

C． D．

12．已知数列中，，，则关于数列的说法正确的是（    ）

A．

B．数列为递增数列

C．

D．数列的前n项和小于

三、填空题

13．已知展开式中的各项系数和为243，则其展开式中含项的系数为____________.

14．已知,则与的夹角为__________．

15．已知定义在R上的奇函数满足，若时，，则______．

16．已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，若C与直线有交点，且双曲线上存在不是顶点的P，使得，则双曲线离心率取值范围范围为___________.

四、解答题

17．在中，、、的对边分别为、、，且．

（1）求的大小；

（2）已知，求的面积的最大值．

18．已知等比数列的公比大于1，，.

(1)求的通项公式；

(2)若，求的前项和.

19．如图，在直三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，，为上的点，过，，的截面交于

(1)证明：；

(2)若二面角的大小为，求几何体的体积.

20．密室逃脱可以因不同的设计思路衍生出不同的主题，从古墓科考到蛮荒探险，从窃取密电到逃脱监笼，玩家可以选择自己喜好的主题场景在规定时间内完成任务，获取奖励．李华同学和他的小伙伴们组团参加了一次密室逃脱游戏，他们选择了其中一种模式，该游戏共有三关，分别记为A，B，C，他们通过三关的概率依次为：．若其中某一关不通过，则游戏停止，游戏不通过．只有依次通过A，B，C三道关卡才能顺利通关整个游戏，并拿到最终奖励．现已知参加一次游戏的报名费为150元，最终奖励为400元．为了吸引更多的玩家来挑战该游戏，商家推出了一项补救活动，可以在闯关前付费购买通关币．游戏中，若某关卡不通过，则自动使用一枚通关币通过该关卡进入下一关．购买一枚通关币需另付100元，游戏结束后，剩余的未使用的通关币半价回收．

(1)若李华同学购买了一枚通关币，求他通过该游戏的概率．

(2)若李华同学购买了两枚通关币，求他最终获得的收益期望值．（收益等于所得奖励减去报名费与购买通关币所需费用）．

21．已知函数．

(1)若，求函数的单调区间；

(2)若，且在上，恒成立，求实数的取值范围．

22．已知椭圆一个顶点，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为．

（1）求椭圆E的方程；

（2）过点P(0，-3)的直线l斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与直线交交于点M，N，当|PM|+|PN|≤15时，求k的取值范围．

参考答案：

1．A

【分析】由对数的单调性求得集合A，根据正弦函数性质求得集合，进而求其交集.

【详解】由，可得，则

又，

所以.

故选：A

2．D

【分析】根据的关系计算可解．

【详解】因为双曲线的一个焦点为，

所以，所以，解得．

故选：D．

3．A

【分析】将化简可得，再根据，，算出，即可得的值.

【详解】由得，，

则，

又，，

则，

，

故选：.

4．A

【解析】把圆方程配方得圆心坐标和半径，由圆关于直线对称，说明圆心在此直线上，求得参数m，再求出圆心到直线的距离判断直线与圆的位置关系．

【详解】由已知得C：(x－1)2＋(y－m)2＝4，即圆心C(1，m)，半径r＝2，因为圆C关于直线l：x－y＋1＝0对称，所以圆心(1，m)在直线l：x－y＋1＝0上，所以m＝2．由圆心C(1，2)到直线x＝－1的距离d＝1＋1＝2＝r知，直线x＝－1与圆C相切．

故选：A.

【点睛】本题考查圆的一般方程，考查直线与圆的位置关系．圆的一般方程可通过配方法变为标准方程，从而得出圆心坐标和半径．

5．B

【分析】先由指数式化为对数式，利用换底公式得到，从而得到，计算出.

【详解】由得：，

由换底公式可得：，

则，所以，

因为，所以

故选：B

6．C

【分析】根据题意，结合正四棱锥的性质，即可求得、的长，根据椎体体积公式，即可得答案.

【详解】如图所示，正四棱锥棱长均为2，连接AC、BD交于点O，连接PO

根据正四棱锥的性质，可得平面ABCD.

所以，，

所以正四棱锥的体积.

故选：C

7．D

【分析】由题意，得，且，是方程的两根，由韦达定理，解得；，由基本不等式得，从而可得，利用对勾函数性质可求解.

【详解】因为的解集为，

所以，且，是方程的两根，

，得；，

即，当时，

，

当且仅当，即时取等号，

令，由对勾函数的性质可知函数

在上单调递增，所以，

的最小值为3.

故选：D．

8．D

【分析】根据对变形，可得，利用基本不等式、指数函数和对数函数的单调性可得，从而可得答案.

【详解】因为，，

所以，

因为，

，

所以.

故选：D

9．BC

【分析】对于A由右向左化简即可判断，对于B设，求出共轭复数，代入化简分情况即可判断正误，对于C设两个复数计算出求和模长，在计算出模长求和即可比较大小，对于D设两个复数，计算出乘积模长，在计算出模长乘积即可比较大小.

【详解】对于A：，令，

则，

，与不一定相等，故A错误；

对于B：，则，，当时为零，当时为纯虚数，故B正确；

对于C：，

则

，

,则，

，

，

故C正确；

对于D：设，

则，

=，故D错误.

故选：BC.

10．ABD

【分析】根据二倍角公式将函数化简，结合条件求出函数的解析式，根据三角函数周期公式判断A；求出判断B；利用三角函数的单调性判断C；令，分为，两种情况讨论，利用导数求得函数单调性，即可判断D.

【详解】，

因为函数的一条对称轴为，

所以，解得：，

又因为，所以，则，

对于A，函数的最小正周期，故A正确；

对于B，，故B正确；

对于C，因为，则，又函数在上单调递增，

所以在上单调递减，故C错误；

对于D，因为，

令，

当时，，则，

所以在上单调递增，则，即，

当时，，则，

所以在上单调递减，则，即，

综上可知：，故D正确，

故选：ABD.

11．AD

【分析】利用已知等式构造函数，利用导数判断其单调性，根据函数的单调性即可判断各选项的正误.

【详解】由，得，

设，则,

设，则在上为增函数,且，

则当时，，此时，此时函数为增函数；

当时，，此时，此时函数为减函数，

故由，即，A正确；

由，得，即，B错误；

与不在一个单调区间上，C中算式无法比较大小，C错误；

由，得，即，D正确．

故选：AD

12．BCD

【分析】根据递推关系求得数列的通项公式，从而对选项ABC一一判断即可；利用裂项相消法求数列的前n项和，即可判断D.

【详解】由，

得，即，又，

所以是以2为首项，1为公差的等差数列，

所以，即，

所以，故A错误，C正确；

，所以为递增数列，故B正确；

，

所以数列的前n项和为

，故D正确.

故选：BCD．

13．80

【分析】令代入可得，利用展开式的通项计算可得答案.

【详解】令，各项系数和，解得，

的展开式的通项为，

令，解得，则的系数为.

故答案为：80.

14．

【分析】根据,可求,根据及,可求得,根据向量数量积的计算公式即可求得与夹角的余弦值,进而求得与的夹角.

【详解】解:由题知,

,

,

,

即,

,

,

与的夹角为.

故答案为:

15．

【分析】根据给定条件分析函数的周期性，再结合周期计算作答.

【详解】因R上的奇函数满足，则，

即，于是得的周期为4，

所以.

故答案为：

16．

【分析】由直线与双曲线有交点，得在一三象限的渐近线的斜率大于1，得出的一个范围．双曲线上存在不是顶点的P，使得，与轴交于点，由平面几何的知识及双曲线定义得，在直角三角形中由边的关系得不等式，得出的范围，同时由的范围又是一个不等关系，从而得出离心率范围．

【详解】双曲线C与直线有交点，则，，解得，

双曲线上存在不是顶点的P，使得，则点在右支上，

设与轴交于点，由对称性，所以，

所以，

，

所以，由得，所以，

又中，，，

所以，即，

综上，．

故答案为：．

17．（1）；（2）.

【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系、正弦定理以及余弦定理可求得的值，结合角的取值范围可求得角的大小；

（2）由基本不等式可求得的最大值，再利用三角形的面积公式可求得的面积的最大值．

【详解】（1）由，

得：，

，

由正弦定理得：，即，得．

由，故；

（2）由，得，故，

当且仅当时取等号，所以面积的最大值为．

18．(1)

(2)

【分析】（1）设出公比，根据题目条件列方程求解；

（2）先写出，利用裂项求和，分组求和的办法表示出.

【详解】（1）设等比数列的公比为，

由，得，

解之得或（舍去），

由得，，

所以的通项公式为.

（2）由（1）知，

所以的前项和为

19．(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由线线平行得到线面平行，再由线面平行的性质证明出线线平行；

（2）作出辅助线，证明出几何体是三棱台，求出上下底面的面积，利用台体体积公式求出答案.

【详解】（1）由题：，

因为平面，平面，

所以平面，

又平面，且平面平面，

所以.

（2）过作的垂线，垂足为，连接，

因为平面，平面，

所以，

因为，平面，

所以⊥平面，

因为平面，

所以

所以就是二面角的平面角，即有

又，所以，

底面是边长为2的正三角形，取AB的中点G，连接CG，交AE于点H，则CG⊥AB，

且，，故

所以，，，

因为，所以四点共线，

又，不平行，故，相交，且由公理可知交点必定在上，

所以几何体是三棱台，

因为，所以三棱台的高，

所以几何体的体积为

.

20．(1)

(2)

【分析】（1）分四类情况讨论即可；

（2）分四类情况分别求出可能的收益，再求对应的概率即可求得期望值.

【详解】（1）由题意可知：这一枚通关币的使用情况有四种：

①在第一关使用；②在第二关使用；③在第三关使用；④没有使用.

而通过三关的概率依次为：，

则李华通过该游戏的概率．

（2）购买两枚通关币的费用为200元，报名费为150元，

则收益可能为：（未使用通关币过关），

（使用1枚通关币且过关），

（使用2枚通关币且过关），

（使用2枚通关币且未过关），

则

则.

所以他最终获得的收益期望值是元.

21．(1)单调增区间为，单调减区间为；

(2).

【分析】（1）根据函数的导数与函数单调性的关系即得；

（2）由题可得，然后利用参变分离可得在上恒成立，构造函数利用导数求函数最值即得.

【详解】（1）当时，，函数的定义域为，

∴，由，得，

当时，，故在上是增函数，

当时，，故在上是减函数，

∴的单调增区间为，单调减区间为；

（2）由，得，

∴，

∴，由在上恒成立，

得在上恒成立，

令，，可得，，

令，得，令，得，

∴在上单调递减，在上单调递增，

∴在处取得极小值，也是最小值，即，

∴的取值范围是．

22．（1）；（2）．

【分析】（1）根据椭圆所过的点及四个顶点围成的四边形的面积可求，从而可求椭圆的标准方程.

（2）设，求出直线的方程后可得的横坐标，从而可得，联立直线的方程和椭圆的方程，结合韦达定理化简，从而可求的范围，注意判别式的要求.

【详解】（1）因为椭圆过，故，

因为四个顶点围成的四边形的面积为，故，即，

故椭圆的标准方程为：.

（2）

设，

因为直线的斜率存在，故，

故直线，令，则，同理.

直线，由可得，

故，解得或.

又，故，所以

又

故即，

综上，或.