63.黑龙江省哈尔滨市第三中学2019届高三上学期期中考试数学（文）试题 Word版含解析

www.ks5u.com黑龙江省哈尔滨市第三中学2019届高三上学期期中考试

数学（文）试题

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1.在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点位于（  ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】D

【解析】

【分析】

利用复数代数形式的乘除运算化简求得的坐标得答案．

【详解】 ，

在复平面内，复数对应的点的坐标为，位于第四象限．

故选：D．

【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．

2.若，则=（  ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果．

【详解】若，则，

故选：A．

点睛】本题主要考查利用诱导公式化简式子，属于基础题．

3.，则（  ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据题意，由函数的解析式分析可得，计算即可得答案．

【详解】根据题意，，且，

则.

故选：C．

【点睛】本题考查分段函数的解析式的应用，注意分析的值，属于基础题．

4.已知在等比数列中，，，则（  ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

设公比为，由等比数列的通项公式可得，由此求出的值，再由 求得结果．

【详解】设公比为，由等比数列的通项公式可得，即，解得，

故选：D．

【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式的应用，属于基础题．

5.等差数列中，，则（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据等差中项的性质，，所以，再将转化为含有的算式即可．

【详解】因为数列为等差数列，

所以，，

则，

故选：B．

【点睛】本题考查了等差数列的性质、等差中项和等差数列的前n项和．属于基础题．

6.已知向量，则“”是“与反向”的（     ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

与反向则存在唯一的实数，使得，即

所以是“与反向”的充要条件

故选C

7.如图所示，在正方形中，为的中点，为的中点，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

利用向量的三角形法则和向量共线定理可得：，，，，，即可得出答案.

【详解】利用向量的三角形法则，可得，，

为的中点，为的中点，则，

又 

.

故选D.

【点睛】本题考查了向量三角形法则、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力.

向量的运算有两种方法：

一是几何运算，往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：

（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；

（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；

二是坐标运算，建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）．

8.在中，、、分别为内角、、的对边，若，，，则（  ）

A.  B. 或 C.  D. 或

【答案】A

【解析】

【分析】

根据题意，由的值求出的值，结合正弦定理可得，计算可得的值，比较、的大小，分析可得答案．

【详解】根据题意，在中,，则，且为锐角；

又由，可得，所以.

又由，则，则；

故选：A．

【点睛】本题考查三角形中正弦定理的应用，关键是掌握正弦定理的形式，属于基础题．

9.对于非零向量，，，下列命题中正确的是（  ）

A. 若，则=

B. 若，则

C. 若，则在上的投影为

D. 若，则

【答案】B

【解析】

【分析】

由平面向量数量积的性质及其运算逐一检验即可得解，

【详解】对于选项，若，所以，所以=或或与垂直，所以故错误，

对于选项，若，所以，则，故正确，

对于选项，若，则在上的投影为，故错误，

对于选项，若，不能推出，例如 时也成立，故错误，

综上可知：选项B正确，

故选：B．

【点睛】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题.

10.已知函数是定义在上的奇函数，对任意的都有，当时，，则（  ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据题意，对变形可得，则函数是周期为的周期函数，据此可得，，结合函数的解析式以及奇偶性求出与的值，相加即可得答案．

【详解】根据题意，函数满足任意的都有，则，

则函数是周期为的周期函数，

，

又由函数是定义在上的奇函数，则，

时，，则，

则；

故；

故选：A．

【点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性、对称性的应用，关键是求出函数的周期，属于基础题．

11.已知，，则函数值域和单调增区间分别为（  ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

解析式提取变形后，利用两角和与差的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，根据余弦函数的值域即可求出的值域，利用余弦函数的单调性可求单调递增区间．

【详解】 ，

 ，

，

，即，

则的值域为．

由，可得：，由余弦函数的图像得单调增区间为：．

故选：A．

【点睛】此题考查了两角和与差的余弦函数公式，以及余弦函数的定义域与值域及单调性，熟练掌握公式是解本题的关键，属于基础题．

12.在中，、、分别为内角、、的对边，，，点为线段上一点，，则的最大值为（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

由，结合余弦定理可求，结合三角形的面积公式可求，再由，结合，均为单位向量，和平行线分线段成比例可得，，结合基本不等式可求．

【详解】，

，

化简可得，，

，

，

，且，均为单位向量，

过分别作，，垂足分别为，，

则，，

，，

两式相加可得，

由基本不等式可得，，当且仅当时取等号，

解可得，

则的最大值为．

故选：B．

【点睛】本题综合考查了余弦定理，平面向量的运算法则，三角形的面积公式，基本不等式的综合应用，

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.数列满足，，则数列的前项和______．

【答案】120

【解析】

【分析】

，利用是等比数列可得的通项公式，从而可得．

【详解】，，又，

，数列是首项为，公比为的等比数列，

，，

，

故答案为．

【点睛】本题考查了数列通项的求法，考查了等比数列的通项和数列求和，属中档题．

14.函数（，）的部分图象如图所示，则的解析式为______．

【答案】

【解析】

【分析】

由函数的部分图象，求出、、和的值，即可写出的解析式．

【详解】由函数的部分图象知，

，， ， ，

由时，，解得，

所以．

故答案为：．

【点睛】本题考查了正弦型函数的图象与性质的应用问题，考查了三角函数的解析式的求法，是基础题．

15.已知向量，，，则与的夹角为______．

【答案】

【解析】

【分析】

设与的夹角为，由条件，平方可得，由此求得的值．

【详解】设与的夹角为，，则由，

平方可得，

解得，，

故答案为：．

【点睛】本题主要考查两个向量的数量积的定义，向量的模的计算，已知三角函数值求角的大小，属于中档题．

16.已知数列的前项和满足：，数列，前项和为，则满足的最小正整数______．

【答案】6

【解析】

【分析】

先求出，，再利用等比数列求和公式得，再解不等式可得的最小值．

【详解】时，，

时， ，

，又，

是以为首项，为公比的等比数列，

，

，

，

由得，得，

时，，

时，，

故的最小值为．

故答案为：

【点睛】本题考查了利用项和公式求数列的通项，考查了等比数列的求和，属中档题．

三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）

17.已知公差不为零的等差数列的前项和为，若，且，，成等比数列．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设数列满足，求数列前项和．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

【分析】

（Ⅰ）设公差为，根据题意列方程组可得，由此可得； （Ⅱ）使用裂项相消求和可得．

【详解】（Ⅰ）设的公差为，则，， ，

又，，

，

．

（Ⅱ），

．

【点睛】本题考查了等差数列基本量的计算，考查了数列求和，属中档题．

18.已知的内角，，所对的边分别为，，，且．

（Ⅰ）求角的大小；

（Ⅱ）若，，求的值．

【答案】（1）（2）2＋.

【解析】

（Ⅰ）由，得，

即，∴，故．

（Ⅱ）由，得，即，①

又，∴，②

由①②可得，所以．

【点睛】利用正、余弦定理进行“边转角”或“角转边”是近几年高考的热点，常求三角形的边、角及三角形的面积.要灵活运用正弦定理进行“边转角”或“角转边”，结合余弦定理和面积公式，注意运用 三者的关系解题.

19.已知数列中，且 ．

（Ⅰ）求，；并证明是等比数列；

（Ⅱ）设，求数列的前项和．

【答案】（Ⅰ），证明见解析；（Ⅱ）.

【解析】

【分析】

（Ⅰ）根据递推式逐步代入算出和的值，再根据题意将的递推式代入进行计算化简最终会得到和的关系，最终得证数列是等比数列；（Ⅱ）先根据（Ⅰ）求得的通项公式，得到，由通项公式的特点可根据错位相减法得到数列的前项和．

【详解】（Ⅰ）由题意，可知：

，

．

①当时，，

②当时， ．

数列是以为首项，为公比的等比数列．

（Ⅱ）由（Ⅰ），可知：

，

．．

．

， ③

④

③-④，可得：

，

【点睛】本题第（Ⅰ）题主要考查根据递推公式逐步代值，以及根据递推公式求出通项公式；第（Ⅱ）题主要考查利用错位相减法来求数列的前项和．本题属中档题．

20.已知椭圆的离心率为，椭圆和抛物线有相同的焦点．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ），是椭圆的右顶点和上顶点，直线和椭圆交于，点．若四边形面积为，求该直线斜率．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

【分析】

（Ⅰ）由抛物线方程求得焦点，得到，再由离心率求得，则椭圆的标准方程可求； （Ⅱ）联立直线方程与椭圆方程，求解的坐标，得到，再由点到直线的距离公式求得，到的距离，代入面积公式求．

【详解】（Ⅰ）由抛物线，得焦点，则，

又，得，．

椭圆的标准方程为；

（Ⅱ）由椭圆方程可得：，，

如图，

联立，得，，

．

到直线距离为，到直线的距离为．

四边形面积 ，

解得：．

【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．

21.已知

（Ⅰ）列表求在的所有极值；

（Ⅱ）当时，

（i）求证：；

（ii）若恒成立，求的取值范围

【答案】（Ⅰ）列联表见解析；（Ⅱ）（i）证明见解析；（ii）.

【解析】

【分析】

（Ⅰ）求出函数的导函数，由导函数大于求其增区间，导函数小于求其减区间；

（Ⅱ）（i）构造辅助函数，把问题转化为求时， ，

（ii）构造辅助函数，把问题转化为求时，，然后对的值进行分类讨论，求在不同取值范围内时的的最小值，由最小值大于等于得到的取值范围；

【详解】（Ⅰ）因为，所以 ，

，，的变化关系如下表：

所以函数的极大值为，极小值为.

（Ⅱ）（i）令

，

令，则对恒成立，

在上是增函数，则，

恒成立，在上为增函数，

；

（ii）令

要使恒成立，只需当时，，

，

令，由（i）得，

①当时，恒成立，在上为增函数，

，满足题意；

②当时，上有实根，在上是增函数，

则当时，，不符合题意；

③当时，恒成立，在上减函数，

不符合题意，即．

【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想、转化思想以及三角函数的性质，是一道综合题．

22.在直角坐标系中，曲线，曲线（为参数）．以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

（Ⅰ）求，的极坐标方程；

（Ⅱ）射线的极坐标方程为，若分别与，交于异于极点的，两点．求的取值范围．

【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）.

【解析】

【分析】

（Ⅰ）根据互化公式可得的极坐标方程，消去参数得曲线的直角坐标方程，再根据互化公式可得的极坐标方程.（Ⅱ）联立射线与，的极坐标方程，利用极径的几何意义以及三角函数的性质可得．

【详解】（Ⅰ）由曲线得，得，得；

由曲线（为参数）消去参数可得，

得，即；

（Ⅱ）联立解得，

联立，解得，

，

，，

设，

由于函数f(t)是减函数，

时，取得最小值，时，取得最大值，

所以的取值范围是．

【点睛】本题考查了参数方程、极坐标方程和直角坐标方程法互化，考查了函数最值的求法，考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．

23.已知函数

（Ⅰ）若，，求不等式的解集；

（Ⅱ）若，，且，求证：．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析.

【解析】

【分析】

（Ⅰ）利用分类讨论法解不等式求不等式的解集；（Ⅱ）先用绝对值不等式的性质求得，再根据基本不等式可得，利用不等式的传递性可得．

【详解】（Ⅰ）时，或或，

解得，

故不等式的解集为；

（Ⅱ）时，当且仅当时，取等.

∵，∴，

当且仅当时取等．

故．

【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，考查了三角绝对值不等式的应用，考查了基本不等式求最值，属中档题．