2021届吉林省长春市第五中学、田家炳实验中学高三上学期期中考试数学（文）试题

长 春 市 第 五 中 学

长春市田家炳实验中学

数  学  试  卷（文）

命题人： 徐徽            考试时间： 120分钟      满分150分

一、选择题（本大题共12个小题，每个小题5分）

1．若集合，，则 （    ）

A．      B．   C．   D．

2．设，“命题”是“命题”的（     ）

A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件

C．充要条件                   D．既不充分也不必要条件

3．若，且为第二象限角，则（ ）

A．       B．      C．        D．

4．下列命题正确的是（    ）

A．单位向量都相等

B．若与共线，与共线，则与共线

C．若，则与垂直

D．若与都是单位向量，则

5．等差数列中，，则数列的公差为（    ）

A．1     B．2       C．3       D．4

6．函数的图象的相邻两个对称中心间的距离为（ ）

A． B．

C． D．

7．已知向量满足，且与的夹角为，则(    )

A． B．   C．    D．

8．函数的图像可由函数的图像（ ）

A．向左平移个单位得到    B．向右平移个单位得到

C．向左平移个单位得到    D．向左平移个单位得到

9．二次函数 在区间 上的值域是（    ）

A． B．

C． D．

10．已知平面向量，，若与共线，则（     ）

A．3       B．4       C．      D．5

11．函数的图像关于直线对称，则的可能值为(   )

A． B．   C．     D．

12．已知等比数列满足，，则（    ）

A．16 B．32     C．64     D．128

二、填空题:（本大题共4个小题，每个小题5分）

13．已知，则的值为_____.

14．已知函数在处有极值为，则的值等于          ．

15．等比数列的前n项和为，公比不为1，若，且对任意的，都有，则       

16．下列说法中，正确的是______（填上所有符合条件的序号）

①y=e-x在R上为增函数

②任取x＞0，均有3x＞2x

③函数y=f（x）的图象与直线x=a可能有两个交点

④y=2|x|的最小值为1；

⑤与y=3x的图象关于直线y=x对称的函数为y=log3x．

三、解答题:（17题10分，其余都是12分，共70分）

17．已知函数

Ⅰ求的最小正周期及单调递增区间；

Ⅱ求在区间上的值域．

18．已知正项数列的前项和为，.

（1）求、；

（2）求证：数列是等差数列.

19．已知的内角的对边分别为，且．

（1）求；

（2）若成等差数列，的面积为，求．

20．已知函数，（）

（Ⅰ）讨论函数的单调区间；

（Ⅱ）设函数在区间内是减函数，求的取值范围．

21．已知数列满足，．

（1）求数列的通项公式;

（2）若，求数列的前项和．

22．己知函数，a，.

（1）当，时，证明：在上单调递减；

（2）当时，讨论的极值.

参考答案

1．C

【解析】

【分析】

化简集合，再求并集即可.

【详解】

故选：C

【点睛】

本题主要考查了集合的并集运算，属于基础题.

2．A

【解析】

【分析】

根据充分、必要条件的概念理解，可得结果.

【详解】

由，则或

所以“”可推出“或”

但“或”不能推出“”

故命题是命题充分且不必要条件

故选：A

【点睛】

本题主要考查充分、必要条件的概念理解，属基础题.

3．A

【解析】

【分析】

由已知利用诱导公式，求得，进一步求得，再利用三角函数的基本关系式，即可求解．

【详解】

由题意，得，

又由为第二象限角，所以，

所以．故选A.

【点睛】

本题主要考查了三角函数的化简、求值问题，其中解答中熟记三角函数的诱导公式和三角函数的基本关系式，合理运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．

4．C

【解析】

【分析】

题设条件简单，本题的解题需要从选项入手，逐一进行验证排除得解．

【详解】

A，向量有大小、方向两个属性，向量的相等指的是大小相等方向相同，故不对；

B，选项对三个非零向量是正确的，若是零向量，是非零向量时，显然与共线， 与共线，则与共线不一定成立．故选项B错误；

C，由题得，所以，故选项是正确的．

D，若与都是单位向量，则不一定成立，当两者垂直时，数量积为零．所以选项D错误.

故选：．

【点睛】

本题考点是向量的共线与相等，考查向量的数量积，属于对基础概念考查的题目，解答此类题需要对相关的概念熟练掌握才能正确作答．

5．B

【解析】

【分析】

由可知，结合可求出

【详解】

， 即

故选：B

【点睛】

本题考查等差中项、等差数列通项

解决等差数列基本量计算问题利用方程的思想.等差数列中有五个量一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量和；成等差数列.

6．B

【解析】

试题分析：两个对称中心间的距离是半周期，为.

考点：三角函数图象与性质.

7．A

【解析】

【分析】

先由向量数量积的运算可得，再结合向量模的运算即可得解.

【详解】

解：因为向量满足，且与的夹角为，

所以，

所以，

故选：A.

【点睛】

本题考查了向量数量积的运算，重点考查了向量模的运算，属基础题.

8．A

【解析】试题分析：因为可化为．所以将向左平移．可得到．故选A．本小题关键是考查的三角函数的平移，将时的的值，与是对比．即可知道是向左还是向右，同时也可以知道移了多少单位．

考点：1．三角函数的平移．2．类比的思想．

9．C

【解析】

【分析】

利用配方法化简函数解析式，根据二次函数的性质，求得函数在区间上的值域.

【详解】

由于，函数的对称轴为，开口向上，所以当时函数有最小值为，当时，函数有最大值为，所以函数在区间 上的值域为.

故选：C

【点睛】

本小题主要考查二次函数在给定区间上的值域的求法，属于基础题.

10．C

【解析】

【分析】

根据向量共线的坐标表示，可求得，进一步可得，最后利用向量模的坐标表示，可得结果.

【详解】

∵与共线

∴，

∴，，

故应选：C

【点睛】

本题主要考查向量共线以及向量模的坐标表示，属基础题.

11．A

【解析】

【分析】

由题得,给k取值即得解.

【详解】

由题得,

k=1时，.

故选：A

【点睛】

本题主要考查余弦函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

12．C

【解析】

【分析】

由条件求出和即可.

【详解】

因为数列是等比数列，，，

所以，即，所以

所以，所以

所以

故选：C

【点睛】

本题考查的是等比数列的基本运算，较简单.

13．2

【解析】

【分析】

将等式左边分子、分母同时除以即可得解.

【详解】

解：由，

等式左边分子、分母同时除以得：

 ，解得：，

故答案为：2.

【点睛】

本题考查了同角三角函数的关系，重点考查了构造齐次式求值问题，属基础题.

14．

【解析】

试题分析：由题意得，且，即，解得或，当时，此时，函数无极值；当时，，则.

考点：导数与函数极值的关系.

【方法点晴】本题主要考查了导数与函数极值的关系，其中解答中涉及到导数的运算，函数的极值点与导数的关系，利用导数研究函数的极值点与极值等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，试题比较基础，属于基础题题，本题的解答中根据题设条件，列出方程求的的值是解答的关键.

15．：11

【解析】

：设公比为，由得所以

则

【考点定位】本题考查了等比数列的通项公式，以及求和，做题时要细心．

16．②④⑤

【解析】

【分析】

由指数函数的单调性，可判断①；由指数函数的单调性可判断②；由函数的定义可判断③；由指数函数的单调性及奇偶性可判断④；由指数函数和对数函数互为反函数，可判断⑤．

【详解】

解：对于①，在上为减函数，故①错；

对于②，任取，均有，故②正确；

对于③，函数的图象与直线最多有一个交点，故③错；

对于④，，由，可得，可得的最小值为1，此时，故④正确；

对于⑤，与的图象关于直线对称的函数为，故⑤正确．

故答案为：②④⑤．

【点睛】

本题考查函数的单调性和最值，以及对称性，奇偶性，考查运算能力，属于基础题．

17．Ⅰ最小正周期，单调递增区间为，；Ⅱ.

【解析】

【分析】

Ⅰ利用二倍角的余弦公式、辅助角公式化简，由周期公式计算得的最小正周期，由，可解得函数的单调增区间；Ⅱ由的范围求出的范围，进一步求出的范围，从而可得结果．

【详解】

Ⅰ

．

的最小正周期，

令，，

得，，

的单调递增区间为，；

Ⅱ时，，

，

所以的最大值为2，

在区间上的最大值为3．

【点睛】

本题考查正弦函数的周期性及单调性，考查了正弦函数的值域，属于基础题．函数的单调区间的求法：若,把看作是一个整体，由求得函数的减区间，求得增区间；

18．（1），；（2）见解析.

【解析】

【分析】

（1）直接在数列递推式中取即可求、

（2）在数列递推式中将换成，得另一递推式后作差，整理即可证明数列是等差数列

【详解】

（1）由已知条件得：.∴.

又有，即.

解得（舍）或.

（2）由得

时：，

∴

，

即，

∴，

∴，

∴即，

经过验证也成立，

所以数列是首项为1，公差为2的等差数列.

【点睛】

本题考查的是用定义证明等差数列及与的关系，属于基础题.

19．（1） ； （2）.

【解析】

【分析】

（1）由正弦定理化简已知可得sinA=sin（A+），结合范围A∈（0，π），即可计算求解A的值；

（2）利用等差数列的性质可得b+c=，利用三角形面积公式可求bc的值，进而根据余弦定理即可解得a的值．

【详解】

（1）∵asinB=bsin（A+）．

∴由正弦定理可得：sinAsinB=sinBsin（A+）．

∵sinB≠0，

∴sinA=sin（A+）．

∵A∈（0，π），可得：A+A+=π，

∴A=．

（2）∵b，a，c成等差数列，

∴b+c=，

∵△ABC的面积为2，可得：S△ABC=bcsinA=2，

∴=2，解得bc=8，

∴由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣2bc﹣2bccos

=（b+c）2﹣3bc=（a）2﹣24，

∴解得：a=2．

【点睛】

本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．

20．解：（1）

…………………………………………………………………1分

当时，即时，，

在上递增；…………………………………………………3分

当时，即或时，，

由求得两根为…………………………………5分

即在和上递增；

在上递减，………………………………6分

的单调递增区间是：当时，

当或时，和

的单调递减区间是：

当或时，………………7分

（2）（法一）由（1）知在区间上递减，

∴只要

∴解得：．

………9分

……………………………………………………………12分

……………………………………………………14分

【解析】

（1）；（2）

（1）求导：

当时，，，在上递增

当，求得两根为

即在递增，递减，递增

（2），且解得：

21．(1)见解析；（2）.

【解析】

【分析】

（1）由变形可得，由此可得数列为等差数列．（2）由（1）得到，进而得到，然后利用列项相消法求和即可．

【详解】

（1）∵，

∴，

又，

∴数列是以为首项，公差为的等差数列．

（2）由（1）知，

∴．

∴，

∴．

【点睛】

用裂项法求和的裂项原则及规律

(1)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项直到发现被消去项的规律为止．

(2)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．

22．（1）证明见解析；（2）时，极大值，无极小值；时，无极值.

【解析】

【分析】

（1）求导数，根据导数符号证明结果；

（2）求导数，根据导函数是否变号、导函数符号变化规律讨论与判断极值.

【详解】

（1）当，时，

，即在上单调递减；

（2）当时，

当时，此时无极值；

当时，，

当时，，当时，，因此有极大值，无极小值；

综上：时，有极大值，无极小值；时，无极值.

【点睛】

本题考查利用导数证单调性、利用导数研究函数极值，考查综合分析求解与论证能力，属中档题.