2021届浙江省东阳中学高三上学期期中考试数学试题

这是一份2021届浙江省东阳中学高三上学期期中考试数学试题，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
东阳中学2020年下学期期中考试卷（高三数学） 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集，，，则        （    ）A． 　　　   　B．          C．            D．2．设，则“”是“且”的                      （    ）A．充分不必要条件                   B．必要不充分条件C．充分必要条件                     D．既不充分又不必要条件3．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为                                         （    ）A．40              B．       C．48              D．164．函数 (其中e为自然对数的底数)的图象可能是                （    ）    A                 B                  C                 D5．孔子曰“三人行，必有我师焉”，从数学角度来看，这句话有深刻的哲理，古语说三百六十行，行行出状元，假设有甲、乙、丙三人中每一人，在每一行业中胜过孔子的概率为1%，那么甲、乙、丙三人中至少一人在至少一行业中胜过孔子的概率约为         （    ）【参考数据： ，，】A．0             B．0.0027%          C．91.2673%            D．99.9973%6．已知，则                                     （    ）A．             B．             C．                 D．7．实数,满足且，由、、、按一定顺序构成的数列（    ）A．可能是等差数列，但不可能是等比数列 B．不可能是筹差数列，但可能是等比数列C．可能是等差数列，也可能是等比数列D．不可能是等差数列，也不可能是等比数列8．如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝AC＝1，BC＝AA1＝，点E，O分别是线段C1C，BC的中点，，分别记二面角F－OB1－E，F－OE－B1，F－EB1－O的平面角为，则下列结论正确的是（    ）A．          B．C．          D．9．已知为正实数，函数，且对任意，都有成立．若对每一个正实数，记的最大值为，若函数的值域记为B，则下列关系正确的是                                                   （    ）A．            B．         C．              D．10．已知直线上有两点，且．已知满足，若，则这样的点A个数为    （    ）A．1                  B．2               C．3                D．4 二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分．11．已知i为虚数单位，复数z满足，则z的虚部为       ，         ． 12．在的展开式中，若a＝2，则x项的系数为________；若所有项的系数之和为－32，则实数a的值为________．X 0 1 2P   13．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，c＝2，则________，________． 14．已知，随机变量X的分布列如右图．若时，        ；在p的变化过程中，的最大值为______．15．双曲线C：的两条渐近线与直线围成区域Ω(包含边界)，对于区域Ω内任意一点，若的最大值小于0，则双曲线C的离心率e的取值范围为________． 16．设函数的定义域为D，若存在，使得，则称为函数的“可拆点”．若函数在上存在“可拆点”，则正实数a的取值范围为            ． 17．已知是平面内两两互不相等的向量，满足，且（其中）则k的最大值为________．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．已知函数．（1）求的周期是，求，并求此时的解集；（2）若，，，求的值域．    19．如图所示，平面ABEF⊥平面ABC，四边形ABEF是矩形，AB＝2，AF＝，△ABC是以A为直角的等腰直角三角形，点P是线段BF上的一点，PF＝3．（1）证明：AC⊥BF；（2）求直线BC与平面PAC所成角的正切值．      20．已知数列满足，其中是数列的前n项和．（1）若数列是首项为，公比为的等比数列，求数列的通项公式；（2）若，．i)求通项公式；ii)求证：．21．已知椭圆：的右顶点为，过的焦点且垂直于长轴的弦长为1．（1）求椭圆的方程；（2）设点在抛物线：上，抛物线在点P处的切线与椭圆交于点M,N，当线段AP的中点与MN的中点Q的横坐标相等时，求h的最小值．      22．已知函数．（1）试讨论函数的单调性；（2）对任意，满足的图象与直线恒有且仅有一个公共点，求k的取值范围．         高三数学期中考试参考答案：1~10 CBACD  BACAD11.     12. 4　－4      13. 　     14. ，2  15.    16.   17. 618.解：（1），              …………………………………………2分；………………………………6分（2），     …………………………………………10分值域为．                …………………………………………14分19.解：(1)证明：因为△ABC是以A为直角的等腰直角三角形，所以AC⊥AB，又平面ABEF⊥平面ABC，平面ABEF∩平面ABC＝AB，所以AC⊥平面ABEF.因为BF⊂平面ABEF，所以AC⊥BF.   ……………………………………… 6分(2)在矩形ABEF中，AB＝2，AF＝2，则BF＝4，又PF＝3，所以FA2＝PF·BF，所以BF⊥AP，由(1)知AC⊥BF，又AC∩AP＝A，所以BF⊥平面PAC，则∠BCP为直线BC与平面PAC所成的角．…………………10分如图，过点P作PM∥AB交BE于点M，过点P作PN⊥AB于点N，连接NC，因为BF＝4，PF＝3，所以PB＝1，则，所以PM＝BN＝，BM＝PN＝，AN＝AB－BN＝2－＝， 所以CN＝＝，PC＝＝.在Rt△BCP中，tan∠BCP＝.      故直线BC与平面PAC所成角的正切值为. ………………………………………15分20.解：（1）由题意知，，，所以.                                                 …………………………5分 （2）由题意知，，  ①， 当时，，②则①-②得 ， 得， ③，  ④④-③得化简得， 所以数列是等差数列，，，所以.                                     …………………………10分   ii）令…………13分…………………………15分    21.解：（I）由题意得所求的椭圆方程为.………4分  （II）不妨设则抛物线在点P处的切线斜率为，              直线MN的方程为，                        …………………6分将上式代入椭圆的方程中，得，       即，                 因为直线MN与椭圆有两个不同的交点，所以有，设线段MN的中点的横坐标是，则， …………………8分设线段PA的中点的横坐标是，则，             …………………10分由题意得，即有，其中的或；                 …………………12分当时有，因此不等式不成立；因此，当时代入方程得，将代入不等式成立，因此的最小值为1．………… ………15分  22.解：（1）当时，恒有，所以在单调递增；当时，令，则，则 ，（舍去），当时，，在单调递增；当时，，在单调递减．综上所述，当时，在单调递增；当时，在单调递增，在单调递减．                                          ………………………………6分（2）原命题等价于对任意， 有且仅有一解，即； 令 则，，令得 所以在上递减，在上递增，当时，，所以在R上单调递增，又当时，，所以；当时，，所以.所以在R上必存在唯一零点，此时；当时，，同时又当时，，所以；当时，，所以.所以方程存在两根，即且，所以在上单调递增，上单调递减，在上单调递增，所以的极大值为，极小值为要使有方程唯一解，必有或，又，又 ，则，，所以在递减，且时，，所以；同理，，在递增，，所以.综上可得，或.                      ………………………………15分