福建师范大学附属中学2019届高三上学期期中考试数学（文）试题（解析版）

福建师大附中2018-2019学年高三上学期期中考试卷

高三文科数学

一、选择题（每小题5分，共60分；在给出的A,B,C,D四个选项中，只有一项符合题目要求）

1.设集合则=

A.     B.     C.     D.

【答案】C

【解析】

试题分析：，，则，选C.

【考点】本题涉及求函数值域、解不等式以及集合的运算

【名师点睛】本题主要考查集合的并集运算，是一道基础题目.从历年高考题目看，集合的基本运算，是必考考点，也是考生必定得分的题目之一.本题与函数的值域、解不等式等相结合，增大了考查的覆盖面.

2.命题“，”的否定是（ ）

A. ，    B. ，

C. ，    D. ，

【答案】C

【解析】

试题分析：特称命题的否定是全称命题，并将结论加以否定，所以命题的否定为：，

考点：全称命题与特称命题

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3.已知是虚数单位，复数在复平面上所对应的点位于（   ）

A. 第一象限    B. 第二象限    C. 第三象限    D. 第四象限

【答案】A

【解析】

【分析】

利用复数代数形式的乘除运算化简复数,可得复平面上对应的点的坐标，从而可得结果.

【详解】

，对应点坐标为，在第一象限,故选A.

【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.

4.已知双曲线的离心率为,则双曲线的渐近线方程为（    ）

A.     B.     C.     D.

【答案】C

【解析】

【分析】

由可得，利用双曲线的离心率求出，从而可得的值，然后求解双曲线的渐近线方程.

【详解】由双曲线可得，离心率为，

则，

所以双曲线的渐近线方程为，故选C.

【点睛】本题主要考查双曲线的方程、双曲线的离心率以及双曲线的渐近线方程，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.

5.已知函数 ，为图象的对称轴，将图象向左平移个单位长度后得到的图象，则的解析式为（     ）

A.     B.

C.     D.

【答案】B

【解析】

【分析】

由为图象的对称轴，可得,从而求得的值，再利函数的图象变换规律，以及诱导公式，可得出结论.

【详解】根据函数为图象的对称轴，

可得,故，

函数，

将图象向左平移个单位长度后得到

的图象，故选B.

【点睛】本题主要考查正弦函数图象的对称性，函数的图象变换规律，以及诱导公式，属于基础题. 由函数可求得函数的周期为；由可得对称轴方程；由可得对称中心横坐标.

6.已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，抛物线上一点，若，则的面积为（   ）

A.     B.     C.     D.

【答案】A

【解析】

分析：由抛物线的定义，求得点的坐标，进而求解三角形的面积．

详解：由抛物线的方程，可得，准线方程为，

设，则，即，

不妨设在第一象限，则，

所以，故选A．

点睛：本题主要考查了抛物线的定义及性质的应用，其中熟记抛物线的定义和性质是解答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力．

7.函数的部分图象大致为（   ）

A.     B.

C.     D.

【答案】A

【解析】

分析：分析函数的奇偶性，以及是函数值的符号，利用排除法即可得到答案.

详解：由题意，函数满足，

所以函数为奇函数，图象关于轴对称，排除B、D；

又由当时，函数，排除C，

故选A.

点睛：点本题主要考查了函数的图象的识别，其中解答中涉及到函数的奇偶性的应用和函数值的估算的应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力.

8.直线与圆相交于、两点.若，则的取值范围是（     ）

A.     B.     C.     D.

【答案】B

【解析】

【分析】

由，结合圆的半径，由勾股定理可得圆心到直线的距离,利用点到直线距离公式，列不等式可得结果.

【详解】若，

则圆心到直线的距离,

即，

解得，故选B.

【点睛】本题主要考查点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系，属于中档题.解答直线与圆的位置关系的题型，常见思路有两个：一是考虑圆心到直线的距离与半径之间的大小关系（求弦长问题需要考虑点到直线距离、半径，弦长的一半之间的等量关系）；二是直线方程与圆的方程联立，考虑运用韦达定理以及判别式来解答.

9.某几何体的三视图如图所示，图中正方形的边长为2，四条用虚线表示的线段长度均相等，则该几何体的表面积为（     ）

A.     B.     C.     D.

【答案】D

【解析】

【分析】

由几何体的三视图得该几何体是棱长为2的正方体去掉一个底面半径为1高为2的圆锥，由此能求出该几何体的表面积.

【详解】

由几何体的三视图得该几何体是棱长为2的正方体去掉一个底面半径为1高为2的圆锥，

如图，

该几何体的表面积：

，故选D.

【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.

10.若四边形是边长为2的菱形，，分别为的中点，则（    ）

A.     B.     C.     D.

【答案】A

【解析】

【分析】

运用向量的加减运算和平面数量积公式以及运算，主要是向量的平方即为模的平方，结合菱形的性质，化简即可得到所求值.

【详解】四边形是边长为2的菱形，，

可得，

则

，故选A.

【点睛】本题主要考查向量的几何运算以及平面向量数量积公式，属于难题．向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）．

11.在中，，，点在边上，且，则（     ）

A.     B.     C.     D.

【答案】C

【解析】

【分析】

由，可得,进而中，由正弦定理建立方程即可解得的值.

【详解】

，， ,

所以，

，

可得，

中，由正弦定理可得，

中，正弦定理可得，

，解得，故选C.

【点睛】本题主要考查直角三角形的性质以及正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.

12.已知椭圆的左右焦点分别为、，过点的直线与椭圆交于两点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（ ）

A.     B.     C.     D.

【答案】D

【解析】

试题分析：设，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，∴，．由椭圆的定义可知的周长为，∴，．∴．∵，∴，∴，．

考点：椭圆的几何性质.

【方法点晴】本题主要考查了椭圆的定义、标准方程及其简单的几何性质的应用、椭圆离心率的求解，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力、转化与化归思想的应用，本题的解答中，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，得出，，再由椭圆的定义，得到的周长为，列出的关系式，即可求解离心率.

二、填空题（每小题5分，共20分）

13.已知直线和直线垂直，则实数的值为__________．

【答案】

【解析】

∵，

∴，

得．

故答案为：.

14.已知向量，，若，则向量与向量的夹角为_____．

【答案】

【解析】

【分析】

由，利用数量积为零可求得，从而得，求得，利用，从而可得结果.

【详解】，

则，

，

即，解得，

，

则，

则，

又，故答案为.

【点睛】本题主要考查向量的夹角及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， （此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影， 在 上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量 的模（平方后需求）.

15.设函数，则函数的零点个数是_______.

【答案】2

【解析】

分析：首先根据题意，将函数的零点个数问题转化为方程解的个数，最后转化为函数的图像和直线交点的个数问题来解决，这样比较直观，容易理解.

详解：在同一个坐标系中画出函数的图像和直线，

而函数的零点个数即为

函数的图像和直线的交点的个数，

从图中发现，一共有两个交点，所以其零点个数为2.

点睛：该题考查的是函数的零点个数问题，解决该题的方法是将函数的零点个数问题转化为函数图像交点的个数问题来解决，从而将问题简单化，并且比较直观，学生容易理解.

16.半径为4的球的球面上有四点A,B,C,D，已知为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为_____________________．

【答案】

【解析】

分析：求出△ABC为等边三角形的边长，画出图形，判断D的位置，然后求解即可．

详解：△ABC为等边三角形且面积为9，可得，解得AB=6，

球心为O，三角形ABC 的外心为O′，显然D在O′O的延长线与球的交点如图：

O′C=，OO′=，

则三棱锥D﹣ABC高的最大值为6，

则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为：

故答案为：．

点睛：（1）本题主要考查球的内接多面体和体积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象能力转化能力. (2)本题求体积的最大值，实际上是求高的最大值，所以求高是关键.

三、解答题（要求写出过程，共70分）

17.已知等差数列的公差为1，且成等比数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列，求数列的前项和.

【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ） .

【解析】

试题分析：（1）由题成等比数列则，将代入求出，

即可得到数列的通项公式；

试题解析：（2）由（Ⅰ）.   利用分组求和法可求数列的前项和..

（1）在等差数列中，因为成等比数列，

所以 ，即 ，  

          解得.  因为  所以  

所以数列的通项公式.      

（2）由（1）知,

所以.    

18.已知函数.

（1）求函数的最大值；

（2）已知的面积为，且角，，的对边分别为，，，若，，求的值.

【答案】(1);(2).

【解析】

【分析】

（1）利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数化为，可得函数的最大值为；（2）由题意，化简得，从而得，由，，求得的值，

根据余弦定理得.

【详解】（1）

，

∴函数的最大值为.

（2）由题意，化简得.

∵，∴，∴，∴.

由得，又，

∴，或，.

在中，根据余弦定理得.

∴.

【点睛】以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.

19.已知数列的前项和满足.

（1）求的通项公式；

（2）求数列的前项和为.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）利用数列前项和与的关系解答；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，利用裂项求和法求得数列的前项和．

试题解析：（Ⅰ）当时,;

当时,，

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

从而数列

考点：1、数列前项和与的关系；2、裂项求和法．

【方法点睛】在等差（比）数列中由各项满足的条件求通项公式时，一般将已知条件转化为基本量，用和表示，通过解方程组得到基本量的值，从而确定通项公式．解决非等差等比数列求和问题，主要有两种思路：（1）转化的思想，即将一般数列设法转化为等差（比）数列，这一思想方法往往通过通项分解（即分组求和）或错位相减来完成；（2）不能转化为等差等比数列的，往往通过裂项相消法，倒序相加法来求和．

20.已知曲线的极坐标方程式，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是，（为参数）．

（1）求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；

（2）设点，若直线与曲线交于两点，且，求实数的值．

【答案】（1）,；（2）.

【解析】

试题分析：（1）利用平面直角坐标系下点的坐标与极坐标系下点的坐标间的转化关系可将极坐标系下方程转化为平面直角坐标系下方程,参数方程消去参数可得普通方程；（2）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程,可得出两交点对应的参数,利用的几何意义可将转化为关于的方程,解方程可得值.

试题解析：

（1） 曲线的极坐标方程是，化为，

可得直角坐标方程：，直线的参数方程是（为参数），

消去参数可得，

（2）将（为参数），代入方程：，化为：

，由，

解得，∴，∵，∴，

解得，又满足，∴实数

考点：1.平面直角坐标系与极坐标系间的关系；2.参数方程.

【规律点晴】本题主要考查平面直角坐标系与极坐标系下的方程间的联系与转化,及参数方程.关于曲线的极坐标方程与直角坐标系的互化,一般来说直接代入公式,,,但某些时侯也要做些变化,例如将等式两比同乘以（除以）,将等式两边同时平方等.如果要判断曲线的形状,一般将方程转化为直角坐标方程再进行判断.直线参数方程标准式中的几何意义也非常重要,要能够理解.

21.已知椭圆的离心率为，短轴长为2.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设直线与椭圆交于两点，为坐标原点，若，

求证：点在定圆上.

【答案】（1）椭圆的标准方程为   （2）证明见解析

【解析】

试题分析：（1）由已知可得，， 椭圆为；（2）由 ①，且

，又

② ，由①②得 点在定圆上.

试题解析：（1）设焦距为，由已知，，∴，，

∴椭圆的标准方程为.

（2）设，联立得，

依题意，，化简得，①

，

，

若，则， 即，

∴，

∴，

即，化简得，②

由①②得.

∴点在定圆上.（没有求范围不扣分）

【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆的位置关系、斜率公式等知识，涉及函数与方程思想、数形结合思想分类与整合、转化与化归等思想，并考查运算求解能力和逻辑推理能力，属于较难题型. 第一小题由题意由方程思想建立方程组求得标准方程为；（2）设而不求法求得 ①，再利用韦达定理转化得 ② ，由①②得 点在定圆上.

22.函数.

(I)求的单调区间；

(II)若，求证：.

【答案】(1) a≤0时，的单调递减区间是；时，的单调递减区间是，的单调递增区间是． 

(2) 证明见解析.

【解析】

试题分析：

（1）求出导数，根据对的分类讨论，找到导数正负区间，即可求出；

（2）求出函数的最小值，转化为证≥，构造，求其最小值，即可解决问题.

试题解析：

（Ⅰ）．

当a≤0时，，则在上单调递减；当时，由解得，由解得．

即在上单调递减；在上单调递增；

综上，a≤0时，的单调递减区间是；时，的单调递减区间是，的单调递增区间是． 

(Ⅱ) 由（Ⅰ）知在上单调递减；在上单调递增，

则．   

要证≥，即证≥，即+≥0，

即证≥．构造函数，则，

由解得，由解得，

即在上单调递减；在上单调递增；

∴ ，

即≥0成立．从而≥成立．

点睛：本题考查函数的单调性极值及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度大，属于难题.处理导数大题时，注意分层得分的原则，力争第一二问答对，第三问争取能写点，一般涉及求函数单调性及极值时，比较容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会.