吉林省长春市实中2021届高三上学期期中考试理科数学试题 Word版含答案

这是一份吉林省长春市实中2021届高三上学期期中考试理科数学试题 Word版含答案，共14页。试卷主要包含了复数，若向量，，则与的夹角余弦值为，若，则等内容，欢迎下载使用。
长春市实验中学2020-2021学年上学期期中考试高三理科数学试卷 考试时间：120分钟        分值：150分第Ⅰ卷  选择题（60分）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A＝{﹣1，0，1，3，5}，B＝{x|x＞3或x＜1}，则（∁RB）∩A＝（　　）A．{﹣1，0，5} B．{1，2，3} C．{2，3} D．{1，3}2．复数（其中i为虚数单位），则||＝（　　）A． B． C．2 D．3．若向量，，则与的夹角余弦值为（    ）A． B． C． D．4．若，则 （     ）A．或 B． C． D．0或 5．若曲线与曲线有四个不同的交点,则实数的取值范围是 (      )A.                            B.C.                            D. 6. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（    ）A．     B．   C．     D．7.函数的图像大致为（    ）A． B．C． D．8.设函数是定义在实数集上的奇函数，在区间上是增函数，且，则有（    ）A． B．C． D． 9．将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，若对满足的，有，则（    ）A． B． C． D．10．已知，，，，是球的球面上的五个点，四边形为梯形，，，，面，则球的体积为（    ）A． B． C． D．11.已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，点是两曲线在第一象限的交点，且在上的投影等于，，分别是椭圆和双曲线的离心率，则的最小值是（    ）A． B．6 C．8 D．12.已知函数若存在，使得成立，则实数m的取值范围为（     ）A.            B.             C.           D.   第Ⅱ卷  非选择题（90分）二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．某社团计划招入女生人，男生人，若满足约束条件，则该社团今年计划招入的学生人数最多为      ．14．若函数，则曲线在点处的切线的倾斜角是      ．15．设函数是定义在上的周期为2的函数，且对任意实数恒有，当时，，若在上有三个零点，则的取值范围为_______．16．在△ABC中，内角A、，B，C的对边分别为a，b，c，若（a+b）sinB＝csinC﹣asinA，，△ABC的面积记为S，则当取最小值时，ab＝　   　 ． 三．解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～23题为选考题，考生根据要求作答.）17．（12分）如图，已知在四棱锥S﹣AFCD中，平面SCD⊥平面AFCD，∠DAF＝∠ADC＝90°，AD＝1，AF＝2DC＝4，，B，E分别为AF，SA的中点．（1）求证：平面BDE ∥平面SCF（2）求二面角A﹣SC﹣B的余弦值 18. （12分） 某学校为了解班级卫生教育系列活动的成效，对全校40个班级进行了一次突击班级卫生量化打分检查（满分100分，最低分20分）．根据检查结果：得分在，评定为“优”，奖励3面小红旗；得分在，评定为“良”，奖励2面小红旗；得分在，评定为“中”，奖励1面小红旗；得分在，评定为“差”，不奖励小红旗．已知统计结果的部分频率分布直方图如图：（1）依据统计结果的部分频率分布直方图，求班级卫生量化打分检查得分的中位数；（2）学校用分层抽样的方法，从评定等级为“优”、“良”、“中”、“差”的班级中抽取10个班级，再从这10个班级中随机抽取2个班级进行抽样复核，记抽样复核的2个班级获得的奖励小红旗面数和为，求的分布列与数学期望．   19．（12分）已知数列的各项均为正数，且．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和． 20.（12分）已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点A(－，)，离心率为，点F1，F2分别为其左、右焦点．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若y2＝4x上存在两个点M，N，椭圆上有两个点P，Q满足M，N，F2三点共线，P，Q，F2三点共线，且PQ⊥MN，求四边形PMQN面积的最小值．  21．（12分）已知函数，，.(1)求的极值；(2)若对任意的，当时，恒成立，求实数的最大值；(3)若函数恰有两个不相等的零点，求实数的取值范围. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为，直线与圆交于，两点．（1）求圆的直角坐标方程及弦的长；（2）动点在圆上(不与，重合)，试求的面积的最大值． 23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知，，为正实数，且．（1）求证：；（2）求证：．    数学试卷(理科)答案一、选择题题号123456789101112答案DBCABACADACD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．[来源:学&科&网]13．9      14．   15.   (3,5)   16． 三．解答题答案17（1）证明：∵∠DAF＝∠ADC＝90°，∴DC∥AF，又B为AF的中点，∴四边形BFCD是平行四边形，∴CF∥BD，∵BD⊂平面BDE，CF⊄平面BDE，∴CF∥平面BDE，∵B，E分别是AF，SA的中点，∴SF∥BE，∵BE⊂平面BDE，SF⊄平面BDE，∴SF∥平面BDE，又CF∩SF＝F，∴平面BDE∥平面SCF．....4’（2）取CD的中点O，连结SO，∵△SCD是等腰三角形，O是CD中点，∴SO⊥CD，又平面SCD⊥平面AFCD，平面SCD∩平面AFCD＝CD，∴SO⊥平面AFCD，取AB的中点H，连结OH，由题设知四边形ABCD是矩形，∴OH⊥CD，SO⊥OH，以O为原点，OH为x轴，OC为y轴，OS为z轴，建立空间直角坐标系，....5’则A（1，﹣1，0），B（1，1，0），C（0，1，0），S（0，0，1），∴（1，﹣2，0），（0，﹣1，1），（1，0，0），....7’设平面ASC的法向量（x，y，z），则，取y＝1，得（2，1，1），....8’设平面BSC的法向量（x，y，z），则，取y＝1，得（0，1，1），....9’∴cos，....10’由图知二面角A﹣SC﹣B的平面角为锐角，∴二面角A﹣SC﹣B的余弦值为． ........ 12’ 18解：（1）得分，的频率为；得分，的频率为；得分，的频率为；所以得分，的频率为．.。。。2分设班级得分的中位数为分，于是，解得．。。。。3分所以班级卫生量化打分检查得分的中位数为70．。。。。4分（2）由（1）知题意“优”、“良”、“中”、“差”的频率分别为0.3，0.4，0.2，0.1．又班级总数为40．于是“优”、“良”、“中”、“差”的班级个数分别为12，16，8，4．分层抽样的方法抽取的“优”、“良”、“中”、“差”的班级个数分别为3，4，2，1．。。。5分由题意可得的所有可能取值为1，2，3，4，5，6。。。。6分，．。。。。9分所以的分布列为123456   ．。。。。11分所以的数学期望．12分19.（1）由，得，所以或，.....2’又因为数列的各项均为正数，负值舍去，所以．....4’（2）由，...5’所以①....6’②....7’由①-②得：....8’......10’所以．.......12’20　(1)由题意得＝，得b＝c.∵＋＝1(a>b>0)，∴c＝1，∴a2＝2，∴椭圆C的标准方程为＋y2＝1......3’(2)①当直线MN斜率不存在时，直线PQ的斜率为0，易得|MN|＝4，|PQ|＝2，S四边形PMQN＝4....4’②当直线MN斜率存在时，设直线方程为y＝k(x－1)(k≠0)，与y2＝4x联立得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.....5’令M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝＋2，x1x2＝1，|MN|＝·＝＋4........6’∵PQ⊥MN，∴直线PQ的方程为y＝－(x－1.)将直线与椭圆联立，得(k2＋2)x2－4x＋2－2k2＝0.令P(x3，y3)，Q(x4，y4)，则x3＋x4＝，x3x4＝，.....7’|PQ|＝·＝.......8’∵四边形PMQN的面积S＝，.....9’令1＋k2＝t(t>1)，....10’则S＝＝＝4(1＋)>4，.....11’∴S>4，其最小值为4....12’21(1)，令，得.....1’∵，∴的极小值为，无极大值.....3’(2)∵，由(1)可知等价于，即.....4’设，则在为增函数...∴在恒成立.∴恒成立.....5’设，∵在上恒成立∴为增函数.∴在上的最小值为.∴，∴的最大值为........6’(3)①当时，当和时，，单调递增当时，，单调递减所以的极大值为所以函数至多一个零点...7’②当时，，在上单调递增....8’③当时，当和时，，单调递增当时，，单调递减所以的极大值为的极小值为所以函数至多有一个零点.....9’④当时，当，，单调递增当时，，单调递减所以Ⅰ：当时，即时，函数至多一个零点.....10’Ⅱ：当时，所以存在，所以函数在上有唯一的零点.又所以函数在上有唯一的零点.综上所述：实数的取值范围为.......12’ 22．【答案】【解析】（1）由，得，所以，所以圆的直角坐标方程为，........1’将直线的参数方程代入圆，并整理得，解得，，.....2’所以直线被圆截得的弦长为．......3’（2）直线的普通方程为，.......4’圆的参数方程为（为参数），...5’可设圆上的动点，..........6’则点到直线的距离，.......7’当时，取最大值，且的最大值为，.......8’所以，.....9’即的面积的最大值为．........10’23．【解析】（1）∵，，为正实数，且，故....2’，....4’当且仅当，时，等号成立，即．.....5’（2），...8’当且仅当时，等号成立，即．.....10’