期末专题02 三角函数5.4-5.7大题综合-【备战期末必刷真题】2022-2023学年高一数学下学期期末考试真题必刷强化训练（新高考广东专用）

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期末专题02 三角函数5.4-5.7大题综合

1．（2022秋·广东揭阳·高一统考期末）已知函数（）的最小正周期为.
(1)求的值；
(2)求函数的单调递减区间.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）由最小正周期求出，进而得到，代入求值即可；
（2）整体法求解函数单调递减区间.
【详解】（1）由最小正周期公式得：，故，
所以，所以
（2）令，
解得：，
故函数的单调递减区间.是
2．（2022秋·广东茂名·高一统考期末）已知函数，
(1)求的最小正周期；
(2)求单调递减区间．
【答案】(1)；
(2).

【分析】（1）利用求出函数的最小正周；
（2）由求出x的范围，即得的单调递减区间.
(1)
∵函数，
∴，
故的最小正周期为.
(2)
由可得，
，
解之得，
所以f (x)的单调递减区间.
3．（2022秋·广东潮州·高一统考期末）已知函数．
(1)求函数的对称中心；
(2)当时，求函数的值域．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）化简函数，结合三角函数的图象与性质，即可求解；
（2）由，可得，结合三角函数的图象与性质，即可求解；
(1)
解：由题意，函数，
令，解得，
所以函数的对称中心为.
(2)
解：因为，可得，
当时，即时，可得；
当时，即时，可得，
所以函数的值域为．
4．（2022秋·广东汕尾·高一统考期末）已知函数，．
(1)求的最小正周期；
(2)求的单调递增区间；
(3)当时，求的最大值和最小值．
【答案】(1)
(2)，
(3)最大值为，最小值为

【分析】（1）由周期公式直接可得；
（2）利用正弦函数的单调区间解不等式可得；
（3）先根据x的范围求出的范围，然后由正弦函数的性质可得.
【详解】（1）的最小正周期．
（2）由，，得，．所以函数的单调递增区间为，．
（3）∵，∴．
当，即时，．
当，即时，.
5．（2022春·广东汕尾·高一统考期末）已知函数，其中，，是函数的两个零点，且的最小值为.
(1)求使取得最大值时自变量x的集合，并求的最大值；
(2)求的单调递增区间.
【答案】(1)自变量的集合为：，的最大值为1
(2)

【分析】（1）根据二倍角公式以及辅助角公式可化简，根据题意可得周期，进而可求的解析式，进而可求最值和自变量的值.
（2）整体代入法求单调增区间.
【详解】（1），
由是函数的两个零点，且的最小值为可知：的周期为,故,因此，令，故自变量的集合为：,的最大值为1
（2）令，故的单调递增区间为
6．（2022春·广东茂名·高一统考期末）已知函数，.
(1)求的最小正周期及单调增区间；
(2)求在区间的值域.
【答案】(1)最小正周期为，增区间为，
(2)

【分析】（1）由周期公式可求出最小正周期，由，可求出函数的增区间，
（2）由，得，然后利用正弦函数的性质可求出其值域
(1)
∵，
∴，即最小正周期.
由，解得，
∴增区间为，
(2)
∵，∴，
∴，
∴，
∴值域为.
7．（2022春·广东中山·高一统考期末）已知函数．
(1)求函数的单调递增区间；
(2)求函数在区间上的最大值和最小值．
【答案】(1)
(2)最大值为1，最小值为

【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，再根据正弦函数的性质计算可得；
（2）由的取值范围，求出的取值范围，再根据正弦函数的性质计算可得；
【详解】（1）解：
，
即，
令，解得，
∴函数的单调递增区间为．
（2）解：∵，∴，
则，∴，
∴函数的最大值为1，最小值为．
8．（2022春·广东阳江·高一校考期末）已知，在中，角所对的边分别为.
(1)求函数的最小正周期和单调减区间；
(2)若，求．
【答案】(1)；
(2)

【分析】（1）将化为，然后可得答案；
（2）由可求出.
（1）

所以的最小正周期为,
由可得
所以的单调减区间为
（2）
因为
所以，所以，所以
因为，所以.
9．（2022春·广东珠海·高一统考期末）已知，其中.
(1)求；
(2)若，求的值.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据同角的关系即可求解；
（2）根据正弦的和角公式即可求解.
(1)
由可得，因为，故，进而
(2)
，故；

10．（2022秋·广东广州·高一广州市第三中学校考期末）已知函数的最小正周期为，再从下列两个条件中选择一个作为已知条件：
条件①：的图象关于点对称；
条件②：的图象关于直线对称．
(1)请写出你选择的条件，并求的解析式；
(2)在（1）的条件下，当时，求的最大值和最小值，并指出相应的取值．
注；如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)；
(2)时，有最小值，时，有最大值2.

【分析】（1）若选①，根据周期求出，然后由并结合的范围求出，最后求出答案；若选②，根据周期求出，然后由并结合的范围求出，最后求出答案；
（2）结合（1），先求出的范围，然后结合正弦函数的性质求出答案.
【详解】（1）若选①，由题意，，因为函数的图象关于点对称，所以，而，则，于是.
若选②，由题意，，因为函数的图象关于直线对称，所以，而，则，于是.
（2）结合（1），因为，所以，则当时，有最小值为，当时，有最大值为.
11．（2022秋·广东茂名·高一校联考期末）已知函数（，），若函数在区间上的最大值为3，最小值为2.
(1)求函数的解析式；
(2)求在上的单调递增区间；
(3)是否存在正整数，满足不等式，若存在，找出所有这样的，的值，若不存在，说明理由.
【答案】(1)
(2)
(3)存在，，或，或，

【分析】（1）根据函数在区间上的最大值为3，最小值为2，利用正弦函数的最值求解；
（2）利用正弦函数的单调性求解；
（3）先化简不等式，再根据，为正整数求解.
(1)
解：∵，
∴，
∴，
又∵m>0，最大值为3，最小值为2，
∴，解得m=2，n=1.      
∴.
(2)
令，k∈Z，
得到，k∈Z，     
当k=0时，，
∴在[0，2]上的单调递增区间是.
(3)
由，得，   
∵a∈N*，b∈N*，
∴a=1时，b=1或2；a=2时，b=1；a>2时，b不存在，               
∴所有满足题意的a，b的值为：a=1，b=1或a=1，b=2或a=2，b=1.
12．（2022秋·广东广州·高一统考期末）已知函数．
(1)求函数的最小正周期和单调递增区间；
(2)若在区间上存在唯一的最小值为-2，求实数m的取值范围．
【答案】(1),
(2)

【分析】（1）用诱导公式将函数化为，然后可解；
（2）根据m介于第一个最小值点和第二个最小值点之间可解.
(1)

所以的最小正周期，
由，解得，
所以的单调递增区间为.
(2)
令，得
因为在区间上存在唯一的最小值为-2，
所以，，即
所以实数m的取值范围是.
13．（2022春·广东广州·高一校联考期末）已知函数．
(1)求的最小值；
(2)若在上有零点，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）化简函数，根据，所以，分类讨论，即可求解函数的最小值；
（2）由，可得，当，，令，则，利用单调性，即可求解.
(1)
∵函数
∵，
∴，
当，即时，则时，取得最小值；
，即，则时，取得最小值；
当即时，则时，取得最小值，
综上可得 .
(2)
∵，∴，
由，可得，
令，则，
当时，等式显然不成立，故，
则，
令，则，
则，
由函数的单调性易得在上，a随m的增大而减小，
∴．
14．（2022春·广东佛山·高一统考期末）2021年7月20日，佛山正式印发了《城市“畅通工程”两年行动方案》（以下简称《方案》），聚焦人民群众反映强烈的城市交通拥堵问题，通过微改造、微调整，为市民出行创造更加畅通有序的交通环境．现某医院附近有条长500米，宽6米的道路（如图1所示的矩形ABCD），改造前，路的一侧划有100个长5米，宽2.5米的停车位（如矩形AEFG），按《方案》，在不改变停车位形状大小、不改变汽车通道宽度的条件下，可通过压缩道路旁边绿化带及改变停车位方向来增加停车位，记绿化带被压缩的宽度（米），停车位相对道路倾斜的角度，其中．

(1)求d关于的函数表达式；
(2)若，求该路段改造后的停车位比改造前增加的个数．
【答案】(1)
(2)59

【分析】（1）由求解；
（2）由，解得，作，交于，求得第一个车位最右边离EM的距离，得到第n个车位最右边离EM距离求解.
【详解】（1）解：由图知：，
，
又，
所以；
（2）由，
得，解得，
因为，所以舍去，
如图所示：

作，交于，
则，，
所以，
则，
所以第一个车位最右边离EM为，
第二个车位最右边离EM为，
第n个车位最右边离EM为，
则，解得，
因为n为整数，所以，
改造前车位有个，
所以改造后增加个.
15．（2022秋·广东广州·高一广州市白云中学校考期末）如图所示，是一声边长为米的正方形地皮，其中是一半径为米的扇形草地，是弧上一点，其余部分都是空地，现开发商想在空地上建造一个有两边分别落在和上的长方形停车场．
(1)设，长方形的面积为S，试建立S关于的函数关系式；
(2)当为多少时，S最大，并求最大值．

【答案】(1)，．
(2)时，面积最大为

【分析】（1）利用三角函数定义，结合图形直接表示即可；
（2）令换元，然后由二次函数性质可解.
【详解】（1）延长交于，设，
则，，
，．

，．

（2）设，
，知，，，
．
当，即时，有最大值．
答：长方形停车场面积的最大值为平方米．
16．（2022秋·广东深圳·高一校考期末）函数的部分图象如图所示，其中轴.

(1)试写出函数的解析式；
(2)将的图象向左平移个单位得到函数的图象.若在区间上单调递增，求实数m的取值范围.
【答案】(1)；
(2).

【分析】（1）由题图知求得，应用五点法求，即可得解析式；
（2）根据图象平移写出解析式，由正弦型函数的性质求其增区间，结合已知区间求m的范围.
【详解】（1）由图知，点M与N间的最大值对应的横坐标为，
设的最小正周期为T，则，得，则，
把代入中，即，得，
因为，故，所以；
（2）由题知，，
由得：，
又中，即，故m的取值范围是.
17．（2022春·广东清远·高一统考期末）函数的部分图像如图所示．

(1)求的解析式；
(2)将的图像向右平移个单位长度，再将图像上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图像，求的解析式．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据图像易得，再求出周期可求出，再利用即可求出；
（2）先求出平移后的解析式，再求出的解析式即可.
（1）
由函数图像可得，，所以，则，
又，所以，即，
因为，所以，
所以；
（2）
将的图像向右平移个单位，可得，
再将图像上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），可得.
18．（2022秋·广东珠海·高一统考期末）已知.
(1)求及；
(2)若，，求的值.
【答案】(1)，；
(2).

【分析】（1）应用二倍角正切公式求，由和角正切公式求.
（2）根据已知角的范围及函数值，结合同角三角函数的平方关系求，，进而应用和角正弦公式求.
(1)
，
.
(2)
，
.
，
.
.
19．（2022秋·广东广州·高一广州市第一一三中学校考期末）已知函数．
(1)求的值及的单调递增区间；
(2)求在区间上的最大值和最小值，以及取最值时x的值．
【答案】(1)1，，
(2)时，有最大值；时，有最小值.

【分析】（1）将化简为，解不等式，，即可得函数的单调递增区间；
（2）由，得，从而根据正弦型函数的图象与性质，即可求解函数的最值．
【详解】（1）解：因为，
，
令，，得，，
所以的单调递增区间为，；
（2）解：因为，所以，
所以，
所以，
当，即时，有最大值，
当，即时，有最小值．
20．（2022秋·广东深圳·高一深圳市高级中学校考期末）设函数（ω＞0），且图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为．
(1)求在上的单调区间；
(2)若，且，求sin2x0的值．
【答案】(1)单调增区间为，单调减区间为；
(2).

【分析】（1）化简得到，结合条件求出，再利用余弦函数的性质即得；
（2）由题可得，，再利用差角公式即求.
【详解】（1）∵

，
因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，
又，所以，因此，
∴，
当时，，
∴由，得，函数单调递增，
由，得，函数单调递减，
所以函数单调增区间为，单调减区间为.
（2）∵，且，
∴，
又，
∴，
∴
.
21．（2022春·广东·高一校联考期末）在直角坐标系xOy中，已知点，，，其中．
(1)求的最大值；
(2)是否存在，使得△ABC为钝角三角形？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．
【答案】(1)2
(2)

【分析】（1）求出，利用三角函数求出的最大值；
（2）先判断出角A、B为锐角，根据C为钝角，得到，求出的取值范围.
【详解】（1）因为点，，，
所以，
所以

因为，所以.
因为在上单调递减，
所以当时，取得最大值，为2.
（2）因为，如图示：点C落在圆周上.

对于A：当C位于D处，角A最大，此时，所以为锐角，
所以A不可能为钝角；
对于B：当BC与圆周相切时，角B最大.此时，，所以，而，
所以为锐角，所以B不可能为钝角；
对于C：假设C为钝角，则，
所以，
又，解得：.
故时，C为钝角，△ABC为钝角三角形.
22．（2022春·广东佛山·高一统考期末）已知函数，．
(1)求函数的最小正周期和单调递减区间；
(2)求函数在上的最大值及相应自变量的值．
【答案】(1)，
(2)，

【分析】（1）首先利用辅助角公式将函数化简，再根据正弦函数的周期公式，可求函数的最小正周期，根据正弦函数的增区间求得函数的单调递减区间；
（2）根据正弦函数的定义域和值域，求得函数的最值．
【详解】（1）因为
由题意得：，即最小正周期为．
由，
解得：，
故函数的单调递减区间为；
（2）由得，

在区间上的最大值为．
当，即，所以时
23．（2022春·广东湛江·高一统考期末）已知.
(1)化简并求函数图象的对称轴方程；
(2)当时，求函数的最大值和最小值.
【答案】(1)，；
(2)最大值为1，最小值为.

【分析】（1）利用三角函数诱导公式及辅助角公式即可化简，利用正弦函数的对称轴即可求解对称轴方程；
（2）根据（1）的结果，整体带入求解正弦型函数的值域即可.
(1)
解: ,
令，得，
所以函数图象的对称轴方程为：.
(2)
解：由（1）得，
因为，故，
所以，所以，
所以当时，函数的最大值为1，最小值为.
24．（2022秋·广东广州·高一广州市第二中学校考期末）已知，
(1)求和的值
(2)若，，求的大小．
【答案】(1)，；
(2)

【分析】（1）结合二倍角公式，商数关系即可化简求得，以及求值；
（2）条件等式由诱导公式可得，即可由和差公式求得，结合范围即可.
【详解】（1），
；
（2），
，
∵，∴.
25．（2022春·广东广州·高一校联考期末）若函数满足且，则称函数为“函数”.
(1)试判断是否为“函数”，并说明理由；
(2)函数为“函数”，且当时，，求的解析式，并写出在上的单调递增区间；
(3)在（2）的条件下，当时，关于的方程（为常数）有解，记该方程所有解的和为，求.
【答案】(1)不是，理由见解析
(2)答案见解析
(3)

【分析】（1）根据“函数”的定义判断可得出结论；
（2）分析可知函数是周期为的周期函数，且，分、两种情况分析，结合题意可出函数的解析式，进而可得出函数上的单调递增区间；
（3）作出函数在上的图象，数形结合可得实数在不同取值下，方程的根之和，再结合函数的周期性可求得的值.
【详解】（1）解：函数不是为“函数”，理由如下：
因为，
，所以，，
因此，函数不是为“函数”.
（2）解：函数满足，所以，函数为周期函数，且周期为，
因为，则.
①当时，，
则；
②当，则，
则，
所以，.
综上所述，，
所以，函数在上的单调递增区间为、.
（3）解：由（2）可得函数在上的图象如下图所示，

下面考虑方程在区间的根之和.
①当或时，方程有两个实数解，其和为；
②当时，方程有三个实数解，其和为；
③当时，方程有四个实数解，其和为.
当时，关于的方程（为常数）有解，记该方程所有解的和为，
所以，当时，；
当或时，；
当时，；
当时，.
因此，.
26．（2022秋·广东广州·高一校考期末）已知函数的图象经过点.
(1)若的最小正周期为，求的解析式；
(2)若，，是否存在实数，使得在上单调？若存在，求出的取值集合；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，

【分析】（1）根据最小正周期为得到，再根据的图象过点，得到，即可得到的解析式；
（2）根据得到是的一条对称轴，代入得到，，再根据的图象过点得到，，联立得到，根据在上单调得到，最后验证在上是否单调即可得到的取值集合.
【详解】（1）因为的最小正周期为，所以.
因为，所以.
因为的图象经过点，所以，，
即，.因为，所以.
故.
（2）因为，，所以直线为图象的对称轴，
又的图象经过点.
所以①，②，.
②-①得，所以
因为，，所以，即为正奇数.
因为在上单调，所以，即，解得.
当时，，.
因为，所以，此时.
令，.
在上单调递增，在上单调递减，
故在上不单调，不符合题意；
当时，，.
因为，所以，此时.
令，.
在上单调递减，
故在上单调，符合题意；
当时，，.
因为，所以，此时.
令，.
在上单调递减，
故在上单调，符合题意，
综上，存在实数，使得在上单调，且的取值集合为