上海市南汇中学2021届高三上学期期中考试数学试题 Word版含答案

上海南汇中学2020学年第一学期期中考试

高三数学

一､填空题(本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分)

1.已知集合，则__________.

2.已知函数是其反函数，则__________.

3.已知数列满足，则__________.

4.函数的最小正周期是__________.

5.已知角的终边过点，则__________.

6.若，则__________.

7.方程的解是__________.

8.在等比数列中，且，则的最小值为__________.

9.函数的零点个数为__________.

10.已知数列的前项和，则数列的前项和__________.

11.将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，若存在使得，则的最小值为__________.

12.等差数列的前项和为，已知，，则__________.

二､选择题(本大题共4题，每题5分，共20分)

13.“”是“”的（    ）

A.充分不必要条件    B.必要不充分条件   

C.充要条件   D.既不充分也不必要条件

14.下列函数中，在其定义域上是减函数的是（    ）

A.    B.   C.   D.

15.已知函数在上有两个零点，则的值为（    ）

A.    B.   C.   D.

16.已知点列均在函数图象上，点列满足，若数列中任意连续三项能构成三角形的三边，则的范围为（    ）

A.    B.   

C.   D.

三､解答题(本大题共5题，共76分)解答下列各题必须在答题纸的规定区域(对应的题号)内写出必要的步骤.

17.(本题满分12分，第1小题6分，第2小题6分)

已知关于的不等式；

（1）若不等式的解集为，求实数的值；

（2）不等式对恒成立，求实数的取值范围.

18.(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分)

在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足

（1）求；

（2）求的取值范围.

19.(本题满分14分，第1小题4分，第2小题4分，第3小题6分)

某电器专卖店销售某种型号的空调，记第天的日销售量为(单位：台)，函数图象中的点分别在两条直线上，如图所示该两条直线交点的横坐标为，已知时，函数；

（1）当时，求函数的解析式；

（2）求的值及该店前天销售该型号空调的销售总量；

（3）按照经验判断当该店此型号空调的销售总量达到或超过570台，且日销售量仍持续增加时，该型号空调开始旺销，问该店此型号空调销售到第几天时才可被认为开始旺销？

20.(本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分)

设为实数，函数.

（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；

（2）当时，求函数的最小值；

（3）对于函数，在定义域内给定区间，如果存在，满足，则称函数是区间上的“平均值函数”，是它的一个“均值点”.如函数是上的平均值函数，就是它的均值点.现有函数是区间上的平均值函数，求实数的取值范围.

21.(本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分)

定义：对于一个项数为的数列，若存在且，使得数列的前项和与剩下项的和相等(若仅为1项，则和为该项本身)，我们称该数列是“等和数列”例如：因为3=2+1，所以数列3，2，1是“等和数列”.请解答以下问题：

（1）数列是“等和数列”，求实数的值；

（2）设数列通项公式为，且共有项证明：不是等和数列；

（3）项数为的等差数列的前项和为，求证：是“等和数列”

上海南汇中学2020学年第一学期期中考试

高三数学

一､填空题(本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分)

1.已知集合，则__________.

【答案】

2.已知函数是其反函数，则__________.

【答案】

3.已知数列满足，则__________.

【答案】

4.函数的最小正周期是__________.

【答案】

5.已知角的终边过点，则__________.

【答案】

6.若，则__________.

【答案】

7.方程的解是__________.

【答案】

8.在等比数列中，且，则的最小值为__________.

【答案】

9.函数的零点个数为__________.

【答案】

10.已知数列的前项和，则数列的前项和__________.

【解析】当时，，当时，

所以，所以

所以，

所以，

所以

所以，即

11.将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，若存在使得，则的最小值为__________.

【解析】，因为

所以，

所以，又

故当时，的最小值为

12.等差数列的前项和为，已知，，则__________.

【解析】由

得

构造函数，则为上的奇函数，增函数，

则，所以，

又是等差数列，所以

所以

二､选择题(本大题共4题，每题5分，共20分)

13.“”是“”的（  A  ）

A.充分不必要条件    B.必要不充分条件   

C.充要条件   D.既不充分也不必要条件

14.下列函数中，在其定义域上是减函数的是（  D  ）

A.    B.   C.   D.

15.已知函数在上有两个零点，则的值为（  D  ）

A.    B.   C.   D.

16.已知点列均在函数图象上，点列满足，若数列中任意连续三项能构成三角形的三边，则的范围为（  B  ）

A.    B.   

C.   D.

【解析】因为满足

由中点坐标公式，得的中点坐标为

所以

当时，以为边长能构成三角形的三边，只要，

所以，即，解得

同理，当时，解得

所以的范围为

三､解答题(本大题共5题，共76分)解答下列各题必须在答题纸的规定区域(对应的题号)内写出必要的步骤.

17.(本题满分12分，第1小题6分，第2小题6分)

已知关于的不等式；

（1）若不等式的解集为，求实数的值；

（2）不等式对恒成立，求实数的取值范围.

【解析】（1）由题意知且2和3是方程的两根，

所以，解得

（2）不等式恒成立，

时，不等式解为，不恒成立；

时，，解得

综上：

18.(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分)

在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足

（1）求；

（2）求的取值范围.

【解析】（1），化简得

所以

（2）

因为

所以

故的取值范围是

19.(本题满分14分，第1小题4分，第2小题4分，第3小题6分)

某电器专卖店销售某种型号的空调，记第天的日销售量为(单位：台)，函数图象中的点分别在两条直线上，如图所示该两条直线交点的横坐标为，已知时，函数；

（1）当时，求函数的解析式；

（2）求的值及该店前天销售该型号空调的销售总量；

（3）按照经验判断当该店此型号空调的销售总量达到或超过570台，且日销售量仍持续增加时，该型号空调开始旺销，问该店此型号空调销售到第几天时才可被认为开始旺销？

【解析】（1）根据题意，当时，设

因为，所以，所以，

所以

（2）因为时，函数，当时，函数所，

所以，所以

该店前天此型号空调的销售总量台；

（3）设该店此型号空调销售到第天后，才可被认为开始旺销，则销售总量为

所以，所以

所以设该店此型号空调销售到第天时，才可被认为开始旺销.

20.(本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分)

设为实数，函数.

（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；

（2）当时，求函数的最小值；

（3）对于函数，在定义域内给定区间，如果存在，满足，则称函数是区间上的“平均值函数”，是它的一个“均值点”.如函数是上的平均值函数，就是它的均值点.现有函数是区间上的平均值函数，求实数的取值范围.

【解析】（1）函数定义域为

当时，，为偶函数，

当时，且

所以为非奇非偶函数

综上：时，为偶函数；时，为非奇非偶函数

（2）当时，

所以在上的最小值为，此时

在上的的最小值为，此时

因为，所以函数的最小值为

（3）因为函数是区间上的平均值函数，

所以存在，使

而，存在，使得

即关于的方程在内有解；

由得

解得所以即

故的取值范围是

21.(本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分)

定义：对于一个项数为的数列，若存在且，使得数列的前项和与剩下项的和相等(若仅为1项，则和为该项本身)，我们称该数列是“等和数列”例如：因为3=2+1，所以数列3，2，1是“等和数列”.请解答以下问题：

（1）数列是“等和数列”，求实数的值；

（2）设数列通项公式为，且共有项证明：不是等和数列；

（3）项数为的等差数列的前项和为，求证：是“等和数列”

【解析】若，即，则

若，即，则

若，即，则

所以或或.

（2）设为的前项和，

反证法：假设结论不成立，即是“等和数列”

则存在且，使得成立，即，

于是成立，即

方法一：，，即，所以

所以，与产生矛盾所以假设不成立，

即不是“等和数列”.

方法二：由得到

这里得产生矛盾所以假设不成立，

即不是“等和数列”.

（3）证明方法一：，所以.

假设存在使得数列的前项和与剩下项的和相等，

即，所以

即

当时，对任意都有，

即，

所以此时是“等和数列”；

当时，，此时或(舍去).

即存在且，使得成立，

所以此时是“等和数列”

证明方法二：设公差为，

同理

于是

同理

即成等差数列，

所以，因为

所以，即存在，使

所以是“等和数列”.