河南省焦作市2023届高三第三次模拟考试理科数学试卷（含解析）

这是一份河南省焦作市2023届高三第三次模拟考试理科数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．或D．
2．已知复数（i是虚数单位），则（ ）
A．B．C．10D．34
3．“m=0是“直线与直线之间的距离为2”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．已知为等差数列，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
5．对于直线m，n和平面，，的一个充分条件是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
6．设有一个回归方程为，则变量增加一个单位时（ ）
A．平均增加1.5个单位B．平均增加2个单位
C．平均减少1.5个单位D．平均减少2个单位
7．某市新冠疫情封闭管理期间，为了更好的保障社区居民的日常生活，选派名志愿者到甲、乙、丙三个社区进行服务，每人只能去一个地方，每地至少派一人，则不同的选派方案共有（ ）
A．种B．种C．种D．种
8．大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和，其中一列数如下：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，……．按此规律得到的数列记为，其前n项和为，给出以下结论：①；②182是数列中的项；③；④当n为偶数时，．其中正确的序号是（ ）
A．①②B．②③C．①④D．③④
9．将函数图象上的所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），然后再将其图象向左平移单位得到图象，若函数图象关于y轴对称，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
10．设双曲线的左、右焦点分别、，点为双曲线右支上一点，的内切圆圆心为，则的面积与的面积之差为（ ）
A．B．C．D．
11．在中，内角所对的边分别为．若，且的面积是1，则的外接圆的面积为（ ）
A．B．C．D．
12．已知，则（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
13．设函数，则满足的实数取值范围是__________.
14．已知向量，是单位向量，若，则与的夹角为_____.
15．关于函数有如下四个命题：
① 若是的极大值点，则在上单调递增；
②，；
③若函数存在极值点，则；
④函数的图象关于点中心对称．
其中所有真命题的序号是__________（填上所有正确命题序号）．
16．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则tanA的最大值为___________.
三、解答题
17．已知函数的最小正周期为．
(1)求的解析式；
(2)若关于x的方程在区间上有相异两解
求：①实数a的取值范围；
②的值．
18．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，为棱上一点，且，为棱的中点．
(1)证明：平面平面；
(2)求四棱锥的体积．
19．为研究某品种小西红柿与种植地区的气候条件的关系，研究人员将该品种小西红柿在气候条件相差较大的，两地分别种植，到收获季节，随机抽取两地的该品种小西红柿各100颗进行检测（分为普通果和优质果），得到如下数据（表中数据单位：颗）：
(1)能否有99%的把握认为小西红柿的优质率与种植地区的气候条件有关？
(2)用样本的频率分布估计总体的频率分布，现有一筐从两地区采摘的小西红柿，其中地种植的约占，试估计这一筐小西红柿的优质率.
附：.
20．已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于点，且．
(1)求抛物线的方程；
(2)过点作抛物线的两条互相垂直的弦，，设弦，的中点分别为P，Q，求的最小值．
21．已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)证明，对，均有.
22．在直角坐标系中,曲线的参数方程为（为参数）,以坐标原点为极点,以轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为（）．
(1)写出的直角坐标方程和的普通方程;
(2)设,的交点为,若,求的值．
23．已知函数．
(1)当时，求不等式的解集；
(2)若的最小值为2，且，求的最小值．
普通果
优质果
地区
40
60
地区
20
80
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
参考答案：
1．C
【分析】根据交集的定义运算即可．
【详解】因为，，
所以或．
故选：C.
2．A
【分析】由题意首先化简复数，然后利用复数的模的计算公式可得的模为.
【详解】，
所以,
故选：A.
3．A
【分析】根据平行线间的距离公式可得或，进而根据充分与不必要条件的定义判断即可.
【详解】两条平行线间的距离，即，解得或，
即“”是“两直线间距离为2”的充分不必要条件.
故选：A.
4．C
【分析】根据等差数列性质结合正切函数的特殊值公式即可求解．
【详解】因为为等差数列，则
，．
故选：C
5．D
【分析】根据空间线面、面面位置关系的判定定理和性质定定理逐个分析即可得答案.
【详解】对A：，，，不一定得到，A错误；
对B：，，，不一定得到，B错误；
对C：，，，则或两平面重合，C错误；
对D：，，则，又， 所以，D正确；
故选：D.
6．C
【分析】根据所给的回归直线的方程把自变量由变为时，表示出变化后的值，两式相减即可求解.
【详解】因为直线回归方程为：①，
当变量增加一个单位时②，
由②①可得：，
所以变量增加一个单位时平均减少1.5个单位，
故选：C.
7．A
【分析】首先将名志愿者分成组，再分配到个社区.
【详解】首先将名志愿者分成组，再分配到个社区，可分为种情况，
第一类：名志愿者分成，共有（种）选派方案，
第二类：名志愿者分成，共有（种）选派方案，
第三类：名志愿者分成，共有（种）选派方案，
所以共（种）选派方案，
故选：A.
8．C
【分析】直接利用数列的递推关系求出数列的通项公式，代入数列的具体值依次判断选项即可.
【详解】数列的偶数项分别为2，8，18，32，50，，
通过观察可知，同理可得，
所以,
因为，所以①正确，③错误；
由，解得，由，解得，
又因为，所以方程都无正整数解，所以182不是中的项，故②错误．
当n为偶数时，，故④正确．
故选：C.
9．C
【分析】依题意由诱导公式知，根据图象变换规律可得，再利用三角函数的性质即可得出结果.
【详解】,
由，横坐标缩短为原来的（纵坐标不变）得到，
将其图象向左平移单位得到图象，
而图象关于轴对称，∴，
∵，∴当时，取最小值.
故选：C.
10．C
【分析】设内切圆的半径为，可将所求面积之差表示为，由内切圆圆心坐标可得，根据过圆外一点作圆的切线，切线长相等的性质可将表示为，结合双曲线定义可构造方程求得，由此可求得结果.
【详解】设内切圆的半径为，则，，
.
过点作于点，于点，于点，
则由的内切圆圆心为知：，，，，
，解得：，
.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题考查与双曲线焦点三角形有关的问题的求解，解题关键是能够利用过圆外一点作圆的切线，切线长相等的性质，结合双曲线的定义构造方程求得.
11．B
【分析】先由已知条件利用三角形面积公式求出，再利用余弦定理可求出，然后利用正弦定理求出的外接圆半径，从而可求出的外接圆的面积.
【详解】因为，且的面积是1，
所以，得，
由余弦定理得，
因为，所以，
设的外接圆半径为，则由正弦定理得
，得，
所以的外接圆面积为，
故选：B
12．C
【分析】对变形后，构造，，得到其单调性，从而判断出，求出，构造，，研究其单调性得到，从而判断出，从而得到.
【详解】，，
构造，，
则在上恒成立，
故在上单调递减，
所以，
故，即，
而，
其中，所以，
即，
令，，
则，令，
则，令，
则在上恒成立，
所以在上单调递增，
因为，所以在上恒成立，故在上单调递增，
因为，所以在上恒成立，故在上单调递增，
故在上恒成立，所以，
故，，所以，故，
故.
故选：C
【点睛】构造函数比较大小是高考热点和难点，结合代数式的特点，选择适当的函数，通过导函数研究出函数的单调性，从而比较出代数式的大小，本题中，对变形得到，，从而构造，来比较出，再构造结合中间值得到.
13．
【分析】令，得到，分和两种情况讨论，结合函数的图象和函数的单调性，即可求解.
【详解】由题意，函数，
令，因为，则，
当时，可得，
令，其中，作出两个函数的图象，如图所示：
所以时，方程无解；
当时，成立，由，
当时，可得，解得；
当时，可得，解得.
综上可得，实数取值范围是
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了分段函数的应用，以及指数函数和一次函数的图象与性质的应用，其中解答中结合分段函数的分段条件，合理分类讨论求解是解答的关键，着重考查分类讨论思想，以及运算能力.
14．##
【分析】将两边平方，根据数量积的定义可求得答案.
【详解】由､为单位向量，，
得：，即，由，
所以，，所以=
故答案为：
15．②③④
【分析】对于①，根据导数与函数极值点的关系可判断；对于②，根据三次函数的函数值的正负情况可判断；对于③，根据函数极值点与导数的关系可判断；对于④，可计算与，根据结果是否相等可判断.
【详解】对于①，若是的极大值点，则当时，函数单调递增，
当时，函数单调递减，错误；
对于②，由于的函数值的变化幅度远大于的变化幅度，
故当时，，
当时，，
故，，正确；
对于③，若函数存在极值点，则有两不相等实数根，
故 ，正确；
对于④，
，
而 ，
故，
即函数的图象关于点中心对称，正确，
故答案为：②③④
【点睛】本题考查了三次函数的极值点与导数的关系以及零点问题和对称中心问题，综合性较强，解答时要明确导数与函数的极值点之间的关系，能熟悉并解决三次函数的对称中心问题。
16．##0.75
【分析】利用三角形射影定理结合正弦定理可得，再由和角的正切公式，配方变形即可计算作答.
【详解】在中，由射影定理及得：，
由正弦定理边化角为：，于是得，
由得，，即角是钝角，，
，
当且仅当，即时取“=”，
所以tanA的最大值为.
故答案为：
17．(1)
(2)①，②
【分析】（1）根据三角恒等变换公式将化简，然后由的最小正周期为，解得，即可得到函数的解析式；
（2）将方程有两解转化为函数图像有两个交点，然后结合图像即可求得的范围，然后由正弦函数的对称性即可得到的值.
【详解】（1）
．
因为的最小正周期为，所以，解得．
所以．
（2）
①，即．
关于x的方程在区间上有相异两解，，
也即函数与的图像在区间上有两个交点，
由，得，
在上单调递增，在上单调递减，且，
做出在上的图像如图，
由图可知，要使函数与的图像在区间上有两个交点，则有，
所以实数a的取值范围为．
②由（1）和正弦函数的对称性可知与关于直线对称，
则有，所以，
所以的值为．
18．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）依题意可得，由面面垂直的性质得到平面，即可证明平面平面；
（2）根据图中的几何关系，求出四边形的面积，根据是的中点，即可求解．
【详解】（1）证明：由题意，，
，
平面平面，平面，平面平面，
平面，
又平面，
平面平面；
（2）解：设的中点为，连接，
，所以是等腰三角形，
，即是梯形底边上的高，，
由题意知，，所以，
是的中点，到底面的距离为，
四棱锥的体积为；
综上，四棱锥的体积为．
19．(1)有99%的把握认为小西红柿的优质率与种植地区的气候条件有关.
(2)
【分析】（1）根据题设条件可得列联表，根据公式可求的值，结合临界值表可得相应判断.
（2）分别求出 小西红柿为两地地种植且为优质的概率后可求这一筐小西红柿的优质率.
【详解】（1）由题设可得列联表如下：
故，
故有99%的把握认为小西红柿的优质率与种植地区的气候条件有关.
（2）设这一筐小西红柿的优质率为，
而小西红柿为地种植且为优质的概率为；
小西红柿为地种植且为优质的概率为；
故.
20．(1)
(2)8
【分析】（1）设出，由焦半径得到方程，求出，进而求出抛物线方程；
（2）设出直线方程，表达出P，Q两点坐标，用两点间距离公式表达出，利用基本不等式求出最小值.
【详解】（1）依题意，设．
由抛物线的定义得，解得：，
因为在抛物线上，
所以，所以，解得：．
故抛物线的方程为．
（2）由题意可知，直线的斜率存在，且不为0．
设直线的方程为，，．
联立，整理得：，
则，从而．
因为是弦的中点，所以，
同理可得．
则
，
当且仅当且，即时等号成立，
故的最小值为8．
【点睛】圆锥曲线与直线相交问题，一般设出直线方程，联立后得到两根之和，两根之积，结合题目条件列出方程，或表达出弦长，常常结合基本不等式或二次函数等进行求解.
21．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）求导，利用导数的几何意义进行求解；
（2）将所证不等式转化为，构造函数，利用导数研究其单调性和最值，得到，再构造函数利用导数研究其单调性和最值，得到，再利用不等式的性质进行放缩证明.
【详解】（1）因为
所以，，，
则切线方程为，即.
则曲线在点处的切线方程为.
（2）若证，
即证，
令，则.
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，即.
令，，
则，
可知在上单调递减，
所以，即当时，，
从而，
所以当时，，
，
当时，，，
综上所述，对，均有.
【点睛】方法点睛：在利用导数证明不等式时，合理构造函数，将问题转化为求函数的单调性和最值问题是一种常见方法，如本题中两次构造函数：
（1）构造函数证明 ；
（2）构造函数证明 .
22．(1);
(2)
【分析】(1)根据的参数方程及,即可得的直角坐标方程,根据极坐标转与直角坐标的互化,即可得的普通方程;
(2)将转化成极坐标方程,将代入,即可得两点极径之间的关系,再根据极径的几何意义,即可得的值.
【详解】（1）解:由题知,
,
∵,
根据极坐标转与直角坐标的互化,
可得;
（2）由(1)知,
化简得,
由可将化成极坐标方程:
,
把代入,
化简得,
所以,,
由极径的几何意义知,,
又因为,,
所以,且,
故．
23．(1)
(2)9
【分析】（1）根据零点分区间，分类求解即可，
（2）根据绝对值三角不等关系可得，进而结合基本不等式即可求解.
【详解】（1）当时，等价于，
当时，，则，
当时，，则，
当时，，则，
综上所述，不等式的解集为．
（2），
当且仅当等号成立，
，即，
，，
，
当且仅当，即，即，时，等号成立，
故的最小值为9
普通果
优质果
总计
地区
40
60
100
地区
20
80
100
总计
60
140
200