2023届安徽省高三下学期第二次模拟考试数学（文）试卷（含解析）

这是一份2023届安徽省高三下学期第二次模拟考试数学（文）试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届安徽省高三下学期第二次模拟考试数学（文）试卷学校:___________姓名：___________班级：___________一、单选题1．已知集合，，则（    ）A． B． C． D．2．已知为虚数单位，若，则（    ）A． B． C． D．3．命题“”的否定为（    ）A． B．C． D．4．维生素C又叫抗坏血酸，是一种水溶性维生素，是高等灵长类动物与其他少数生物的必需营养素.维生素C虽不直接构成脑组织，也不向脑提供活动能源，但维生素C有多种健脑强身的功效，它是脑功能极为重要的营养物.维生素C的毒性很小，但食用过多仍可产生一些不良反应.根据食物中维C的含量可大致分为：含量很丰富：鲜枣、沙棘、猕猴桃、柚子，每100克中的维生素C含量超过100毫克；比较丰富：青椒、桂圆、番茄、草莓、甘蓝、黄瓜、柑橘、菜花，每100克中维生素C含量超过50毫克；相对丰富：白菜、油菜、香菜、菠菜、芹菜、苋菜、菜苔、豌豆、豇豆、萝卜，每100克中维生素C含量超过30~50毫克.现从猕猴桃、柚子两种食物中测得每100克所含维生素C的量（单位：）得到茎叶图如图所示，则下列说法中不正确的是（    ）A．猕猴桃的平均数小于柚子的平均数B．猕猴桃的方差小于柚子的方差C．猕猴桃的极差为32D．柚子的中位数为1215．某工厂生产过程中产生的废气必须经过过滤后才能排放，已知在过滤过程中，废气中的污染物含量p（单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：小时）之间的关系为（式中的e为自然对数的底数，为污染物的初始含量）．过滤1小时后，检测发现污染物的含量减少了，要使污染物的含量不超过初始值的，至少还需过滤的小时数为（    ）（参考数据：）A．40 B．38 C．44 D．426．已知函数的图象如图所示，将的图象向右平移个单位，使新函数为偶函数，则的最小值为（    ）A． B． C． D．7．是定义在上的偶函数，在上单调递减，，则下列不等式成立的是（    ）A． B．C． D．8．设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列结论正确的是（    ）A．若α//β，m⊂α，n⊂β，则m//nB．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nC．若点A、B到平面α的距离相等，则直线AB//αD．若m⊥α，m//β，则α⊥β9．已知三内角满足且，则下列结论正确的是（    ）A． B．C． D．10．已知P为抛物线上一动点，F为E的焦点，点Q为圆上一动点，若的最小值为3，则（    ）A．5 B．4 C．3 D．211．已知圆台上底面半径为1，下底面半径为3，球与圆台的两个底面和侧面均相切，则该圆台的侧面积与球的表面积之比为（    ）A． B． C． D．12．“”是“函数在区间上单调递增”的（    ）A．充分必要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 二、填空题13．已知，则___________．14．盒子里有6个球，其中有3个白球和3个红球，每次从中抽出1个球，抽出的球不再放回，则在第1次抽到白球的条件下，第2次抽到红球的概率为___________.15．已知双曲线的渐近线方程是，焦距为，则双曲线的标准方程为_____．16．华为公司研发的技术是中国在高科技领域的重大创新，目前处于世界领先地位，今年即将投入使用，它必将为人们生活带来别样的精彩，成为每个中国人的骄傲.现假设在一段光纤中有5条通信线路，需要输送5种数据包，每条线路单位时间内输送不同数据包的大小数值如表所示.若在单位时间内，每条线路只能输送一种数据包，且使完成5种数据包输送的数值总和最大，则下列叙述正确的序号是__.数据包数值线路一二三四五甲1517141715乙2223212020丙913141210丁7911911戊1315141511 ①甲线路只能输送第四种数据包；②乙线路不能输送第二种数据包；③丙线路可以不输送第三种数据包；④丁线路可以输送第三种数据包；⑤戊线路可以输送第四种数据包. 三、解答题17．已知数列的首项，前n项和为，且数列是公差为的等差数列．(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前n项和．18．已知梯形中，，，，，分别是，的中点，，沿将梯形翻折，使平面平面（如图）．（1）求几何体的体积；（2）求二面角的余弦值．19．已知椭圆点，且离心率，F为椭圆C的左焦点.(1)求椭圆C的方程；(2)设点，过点F的直线l交椭圆C于P，Q两点，，连接OT与PQ交于点H.①若，求；②求的值.20．某公司对项目A进行生产投资，所获得的利润有如下统计数据表：项目A投资金额x（单位：百万元）12345所获利润y（单位：百万元）0.30.30.50.91 （1）请用线性回归模型拟合y与x的关系，并用相关系数加以说明；（2）该公司计划用7百万元对A、B两个项目进行投资．若公司对项目B投资百万元所获得的利润y近似满足：，求A、B两个项目投资金额分别为多少时，获得的总利润最大？附．①对于一组数据、、……、，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：．②线性相关系数．一般地，相关系数r的绝对值在0.95以上（含0.95）认为线性相关性较强；否则，线性相关性较弱．参考数据：对项目A投资的统计数据表中．21．已知函数.(1)当时，求函数的单调区间；(2)若函数有两个极值点，且（为自然对数底数，且），求的取值范围．22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．(1)求直线l的一般式方程和曲线C的标准方程；(2)若直线l与曲线C交于A，B两点，点，求的值．23．已知函数.(1)求不等式的解集；(2)若的最小值为，且实数，，，满足，求证：.
参考答案：1．C【分析】解出集合、，利用交集的定义可求得集合.【详解】因为，，因此，.故选：C.2．B【分析】设，根据条件求出，然后可得答案.【详解】设，因为所以，所以所以，，解得所以故选：B3．D【分析】利用全称量词命题的否定求解.【详解】全称量词命题的否定是存在量词命题，因为命题“”是全称量词的命题，则“”的否定为“”.故选：D.4．B【分析】A. 根据茎叶图分别算出猕猴桃的平均数和柚子的平均数比较即可.B. 根据茎叶图中的数据的波动情况判断C. 根据茎叶图中的数据计算即可.D. 根据茎叶图中的数据计算即可.【详解】由茎叶图知，猕猴桃的平均数为，柚子的平均数为，则猕猴桃的平均数小于柚子的平均数，故A正确；猕猴桃的数据波动比柚子的数据波动大，所以猕猴桃的方差大于柚子的方差，故B错误；猕猴桃的极差为，故C正确；柚子的中位数为，故D正确.故选：B【点睛】本题主要考查样本估计总体中的数字特征，还考查了理解辨析，运算求解的能力，属于基础题.5．A【分析】由题意，可求解，解不等式即得解【详解】根据题设，得，∴，所以；由，得，两边取10为底对数，并整理得，∴，因此，至少还需过滤40小时．故选：A6．D【分析】由，，可求得，由此可得平移后的解析式，根据平移后为偶函数可构造方程，结合可求得最小值.【详解】由图象可知：，；，，又，；，，解得：，；为偶函数，，解得：，又，当时，.故选：D.7．A【分析】根据对数的运算法则，得到 ，结合偶函数的定义以及对数函数的单调性，得到自变量的大小，根据函数在上的单调性，得到函数值的大小，即可选出答案.【详解】，而，因为是定义在上的偶函数，且在上单调递减，所以，所以，故选：A.8．D【分析】举例说明判断A，B；由平面α经过线段AB的中点判断C；利用面面垂直的判定推理判断D作答.【详解】对于A，如图，长方体中，平面为平面α，平面为平面β，直线AB为直线m，直线为直线n，满足α//β，m⊂α，n⊂β，而直线m与n是异面直线，A不正确；对于B，在选项A的长方体中，平面为平面α，平面为平面β，直线AB为直线m，直线为直线n，满足α⊥β，m⊂α，n⊂β，而m//n，B不正确；对于C，当平面α经过线段AB的中点时，点A、B到平面α的距离相等，此时直线AB与平面α相交，C不正确；对于D，因m//β，则过m存在与平面β相交的平面γ，令它们的交线为c，由线面平行的性质知，c//m，而m⊥α，则c⊥α，又c⊂β，所以α⊥β，D正确.故选：D9．D【分析】根据，利用和差化积化为，再根据，利用积化和差得到，然后下结论.【详解】因为，所以，即，又因为，所以，即，所以，故选：D.【点睛】本题主要考查三角恒等变换与解三角形，还考查了运算求解的能力，属于中档题.10．B【分析】过过点作抛物线的准线的垂线，为垂足，则，结合圆的性质可得答案.【详解】可转化为，则圆心为，半径为1.因为的最小值为3，点Q为圆上一动点，设抛物线的准线为，则的方程为： 过点作,为垂足，则如图，则.由，可得，故选：B11．D【分析】作图，找出图中的几何关系，求出母线长和球的半径即可.【详解】上图是该几何图形的正视图，由切线长定理可知： ，设圆台的上底面半径为r，下底面半径R，母线长为l，球的半径为，则有 ，过点D作BC的垂线，垂直是G，则有 ，∴ ，在 中， ，∴圆台的侧面积与球的表面积之比为；故选：D．12．A【分析】充分性易得，必要性需利用到：绝对值函数在单调，必然绝对值里的式子恒正或恒负，否则根据图像的翻折，原本单调的部分翻折后也不单调了，据此分析即可.【详解】令.一方面，当且时，显然，即，故，当且时，显然，于是，故函数在上单调递增；另一方面，当在上单调递增时，分类如下：若，显然在上递增；若，若在上递增，则在上必须恒正或者恒负，否则若函数值有正有负时，根据绝对值函数图像的作法，轴的下方部分会翻折到上方，从而导致不单调，令，若时，，故有相异零点，设为，且注意到，故两根异号，不妨设，据此分析，若，则，并非在上恒正，又为开口向上的二次函数，不会恒负，综上所述，不符题意；若，在上恒负，且，于是在上递增. 综上可知，可推出在上递增.故“”是函数在上单调递增的充要条件．故选：A13．0【分析】利用向量坐标运算求得正确选项.【详解】，.故答案为：14．【分析】先由题意求得第1次抽到白球的概率，再求得第1次抽到白球，同时第2次抽到红球的概率，从而利用条件概率公式求解即可.【详解】设第1次抽到白球为事件A，第2次抽到红球为事件B，则，所以在第1次抽到白球的条件下，第2次抽到红球的概率为.故答案为：.15．或【分析】根据焦点所在的坐标轴，分两种情况分别求出实半轴长a，虚半轴长b，得解.【详解】当双曲线的焦点在x轴上时，由且，两式联立解得，，所以所求双曲线的标准方程为；当双曲线的焦点在y轴上时，由且，两式联立解得，，所以所求双曲线的标准方程为．综上，所求双曲线的标准方程为或．故答案为：或．16．②⑤【分析】先结合表中数据，要使总和最大，则从甲可以输送第二或第四种数据包入手，得到丙只能输送第三种数据包进而得到丁只能输送第五种数据包，再对乙进行分析，确定戊即可.【详解】解：由表可知：完成5中数据包输送的数值总和最大值为：，但不能同时取得.要使总和最大，则甲可以输送第二或第四种数据包，那么丙只能输送第三种数据包，而丁就不能输送第三种数据包，那么丁只能输送第五种数据包；乙若输送第四种数据包，则戊输送第一种数据包，此时，总和值为：；乙若输送第一种数据包，戊只能输送第四种数据包，那么甲输送第二种数据包，此时总和为：.故此时总和最大.所以乙输送第一种数据包，戊输送第四种数据包.故答案为：②⑤.【点睛】本题考查了推理案例的分析，考查学生分析求解问题的能力，属于基础题.17．(1)(2)，其中. 【分析】（1）首先求出，则得到。利用递推公式求出即可；（2）分和讨论，当，，，当，时，，求出和即可.【详解】（1）所以，于是；当时，，又也适合，故．（2）①当，时，；②当，时，故数列的前n项和为，其中.18．（1）6；（2）．【分析】（1）推导出平面，平面，，，几何体的体积，由此能求出结果．（2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，由此能求出二面角的余弦值．【详解】（1）∵梯形中，，，，，分别是，的中点，，沿将梯形翻折，使平面平面，∴平面，平面，，，∴几何体的体积：．（2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，，，，，，，设平面的法向量，则，取，得，平面的法向量，设二面角的平面角为，则．∴二面角的余弦值为．【点睛】方法点睛：求二面角的方法通常有两个思路：一是利用空间向量，建立坐标系，求得对应平面的法向量之间夹角的余弦值，再判断锐二面角或钝二面角，确定结果，这种方法优点是思路清晰、方法明确，但是计算量较大；二是传统方法，利用垂直关系和二面角的定义，找到二面角对应的平面角，再求出二面角平面角的大小，这种解法的关键是找到平面角.19．(1)(2)①；②1 【分析】（1）根据题意列式求，即可得椭圆方程；（2）①求直线的方程，联立方程结合弦长公式运算求解；②求直线的方程，联立方程运算韦达定理说明点H为线段的中点，注意分类讨论和.【详解】（1）由题意可得，解得,椭圆C的方程为.（2）①当时，即，直线的斜率为，∴直线的斜率为，则直线的方程，联立方程，消去得：，解得，∴.②∵，则直线的斜率为，当时，则直线l与x轴垂直，点H即为点F，则；当时，则直线的斜率为，则直线的方程，联立方程，消去得：，显然，设，则，∴线段的中点的横坐标为，∵直线的方程为，联立方程，解得，即点H为线段的中点，则；综上所述：.20．（1），用线性回归方程对该组数据进行拟合合理；（2）对A、B项目分别投资4.5百万元，2.5百万元时，获得总利润最大．【分析】(1)根据给定数表，计算出，再代入最小二乘法公式及线性相关系数公式计算即得；(2)由题设条件列出获得的总利润的函数关系，再借助均值不等式求解即得.【详解】（1）对项目A投资的统计数据进行计算得：，，，于是得，，所以回归直线方程为：，线性相关系数，这说明投资金额x与所获利润y之间的线性相关关系较强，用线性回归方程对该组数据进行拟合合理；            （2）设对B项目投资百万元，则对A项目投资百万元，所获总利润，当且仅当，即时取等号，所以对A、B项目分别投资4.5百万元，2.5百万元时，获得总利润最大．21．(1)单调递增区间为，无单调递减区间.(2) 【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，即可求出函数的单调区间；（2）求导，分析单调性，得当时，有两个极值点，且，，可得出，设，构造函数，其中，利用导数求出函数在上的值域，即可得解.【详解】（1）解：当时定义域为，又，所以在上单调递增，即的单调递增区间为，无单调递减区间.（2）解：由题知，，函数的定义域为，，当时，对任意的，恒成立，故在上单调递增，没有极值点；当时，，且不恒为零，故在上单调递增，没有极值点；当时，令，解得，，则，当时，；当时，；当时，，此时函数的单调递增区间为、，单调递减区间为.综上，当时，有两极值点、，且，，所以，设，，其中，所以，又因为，可知，所以在上单调递减．∴，即，所以的取值范围为.【点睛】关键点点睛：本题（2）考查的取值范围，要注意所满足的关系式（即韦达定理），在化简时，要注意将两个变量统一为同一变量，通过构造函数，利用求解函数值域的方法来求解.22．(1)直线l：，曲线C：(2) 【分析】(1)对于直线l消去参数t即可求得一般方程，对于曲线C，运用 ， ，即可求得标准方程；(2)由于点P在直线l上，重新设定直线l的参数方程，使得参数t表示直线上的点到P点的带符号的距离，与椭圆C联立方程，运用韦达定理即可求解.（1）直线l的参数方程为（t为参数），消去t化为一般式方程为；曲线C的极坐标方程为，由于，代入上式， 化为标准方程为；（2）设直线l的参数方程为 （t为参数），则参数t表示直线l上的点到P点的带符号的几何距离，代入，得，由韦达定理得：，则；综上，直线l的一般方程为：，曲线C的标准方程为：，.23．(1)(2)证明见解析 【分析】(1)根据绝对值的定义分段打开绝对值，从而可得答案.(2)先根据绝对值三角不等式求出的值，然后由均值不等式可证明.(1)①当时，不等式即为，解得，∴；②当时，不等式即为，解得，∴；③当时，不等式即为，综上，不等式的解集为.(2)证明：由绝对值不等式的性质可得：，∴当时，取最小值4，即，∴，即，∴，当且仅当时等号成立.