专题01 平面向量的概念及线性运算-高一数学下学期期中期末复习（人教A版必修第二册）

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体系搭建

一、 平面向量的概念：
1、平面向量：在数学与物理学中，有两种量．只有大小，没有方向的量叫做数量（标量），例如质量、时间、温度、面积、密度等．既有大小，又有方向的量叫做向量（矢量），例如力、速度、位移等．
平面上带有指向的线段（有向线段）叫做平面向量，线段的指向就是向量的方向，线段的长度表示向量的大小．如图7-2所示，有向线段的起点叫做平面向量的起点，有向线段的终点叫做平面向量的终点．以A为起点，B为终点的向量记作．也可以使用小写英文字母，印刷用黑体表示，记作a；手写时应在字母上面加箭头，记作．



a
A
B
图7－2

2、向量的模长：向量的大小叫做向量的模．向量a, 的模依次记作，．
3、零向量：长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的．
4、单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量．
5、平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．平行向量又称为共线向量，任一组平行向量都可以移到同一直线上．
规定：0与任一向量平行．
6、相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．
7、相反向量：与向量a长度相等且方向相反的向量叫做a的相反向量．规定零向量的相反向量仍是零向量．
二、 平面向量的基本运算：
一般地，a＋b叫做a, b的一个线性组合（其中,均为系数）．如果l ＝a＋ b，则称l可以用a，b线性表示．
向量的加法、减法、数乘运算都叫做向量的线性运算．
1、 三角形法则：
位移叫做位移与位移的和，记作=+．
图7－3
A
C
B
a
b
a+b
a
b

一般地，设向量a与向量b不共线，在平面上任取一点A(如图7－3)，依次作=a, =b，则向量叫做向量a与向量b的和，记作a＋b ，即
a＋b =＋= （7．1）
求向量的和的运算叫做向量的加法．上述求向量的和的方法叫做向量加法的三角形法则．
2、平行四边形法则：如图7－4所示， ABCD为平行四边形，由于=，根据三角形法则得

＋=＋=
图7－4

A
D
C
B

这说明，在平行四边形ABCD中， 所表示的向量就是与的和．这种求和方法叫做向量加法的平行四边形法则．
平行四边形法则不适用于共线向量，可以验证，向量的加法具有以下的性质：
（1）a＋0 = 0＋a = a； a＋（−a）= 0；
（2）a＋b=b＋a；
（3）（a＋b）＋ c = a ＋（b＋c）．
3、平面向量减法法则：
与数的运算相类似，可以将向量a与向量b的负向量的和定义为向量a与向量b的差．即
a −b = a＋(−b)．

设a，b ，则
．
即 = （7．2）
观察图7－5可以得到：起点相同的两个向量a、 b，其差a－b仍然是一个向量，叫做a与b的差向量，其起点是减向量b的终点，终点是被减向量a的终点．
a
A
a-b
B
b
O
图7－5

一般地，实数与向量a的积是一个向量，记作a，它的模为
（7．3）
若0，则当＞0时，a的方向与a的方向相同，当＜0时，a的方向与a的方向相反．
由上面定义可以得到，对于非零向量a、b，当时，有
（7．4）
一般地，有
0a= 0, 0 = 0 ．　　　　
数与向量的乘法运算叫做向量的数乘运算，容易验证，对于任意向量a, b及任意实数，向量数乘
运算满足如下的法则：


例题分析

考点1 平面向量的概念
【例1】．下列说法正确的是（　　）
A．若||＝||，则、的长度相等且方向相同或相反
B．若向量、满足||＞||，且与同向，则＞
C．若≠，则与可能是共线向量
D．若非零向量与平行，则A、B、C、D四点共线
解：若||＝||，可得、的长度相等但方向不一定相同或相反，故A错误；
若向量、满足||＞||，且与同向，由于两个向量不好比较大小，故B错误；
若≠，则与可能是共线向量，比如它们为相反向量，故C正确；
若非零向量与平行，则A、B、C、D四点共线或平行四边形的四个顶点，故D错误．
故选：C．
Ø变式训练
【变1-1】．已知为非零向量，集合A＝{与共线的向量}，B＝{与长度相等的向量}，C＝{与长度相等，方向相反的向量}，则下列命题为假命题的是（　　）
A．C⊆A B．C⊆B C．A⋂B＝{} D．A⋂B⊇{}
解：∵与共线的向量是与其方向相同或相反的向量，
∴C⊆A，故A对，
∵B中的向量与的长度相同，方向任意，∴C⊆B，故B对，
∵A∩B＝{，﹣}，故C错，
∵A∩B＝{，﹣}，∴{}⊆A∩B，故D对，
故选：C．
【变1-2】．如图是3×4的格点图（每个小方格都是单位正方形）．若所有向量的起点和终点都在4方格的顶点处，则与平行且模为的向量共有 　24　个．

解：与平行且模为的线段即为小正方形中线段AB平行的对角线，共有12条这样的对角线，
则满足条件的向量有24个，
故答案为：24．
【变1-3】．如图的方格纸由若干个边长为1的小方形并在一起组成，方格纸中有两个定点A、B．点C为小正方形的顶点，且||＝．
（1）画出所有的向量；
（2）求||的最大值与最小值．

解：（1）画出所有的向量如图所示；
（2）由（1）所画的图知，
①当点C在于点C1或C2时，||取得最小值＝；
②当点C在于点C5或C6时，||取得最大值＝．
∴||的最大值为，最小值为．

考点2 向量的加法运算
【例2】．如图所示，已知矩形ABCD中，||＝4，设＝，＝，＝，那么|++|的大小为　8　．

解：矩形ABCD中，||＝4，＝，＝，＝，
所以＝＝+＝﹣+＝﹣+，
所以++＝（+）+（﹣+）＝2，
所以|++|＝|2|＝2||＝2||＝8．
故答案为：8．
Ø变式训练
【变2-1】（多选）．设向量 ＝，是任一非零向量，下列结论中正确的有 （　　）
A．∥ B．+＝ C．|+|＝||+|| D．＝0
解：因为 ＝＝＝，
则，故A正确，
，故B正确，
||＝||＝||+||，故C正确，
，故D错，
故选：ABC．
【变2-2】．已知D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则下列等式中不正确的是（　　）
A． B． C． D．
解：由向量加法的法则得 +＝，++＝+＝﹣＝，故选项A、B 正确．
∵D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，
∴+＝+＝＝＝，故选项C正确．
由上知 +＝＝≠，故选项D不正确，
故选：D．
【变2-3】．已知A、B、C是不共线的三点，G是△ABC内的一点，若++＝0，求证：G是△ABC的重心．
解：如图所示，
取边BC的中点D，则＝2，
∵++＝，
∴＝．
∴G是△ABC的重心．

考点3 向量的减法运算
【例3】．已知||＝6，||＝9，求||的取值范围．
解：由向量三角形不等式可得3＝|||﹣|||≤||≤||+||＝6+9＝15，
所以||的取值范围为[3，15]．
Ø变式训练
【变3-1】（多选）．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足，则下列结论中不正确的是（　　）
A．P在△ABC的内部 B．P在△ABC的边AB上
C．P在AB边所在的直线上 D．P在△ABC的外部
解：，根据平行四边形法则，如图所示，
则点P在△ABC外，
故选：ABC．

【变3-2】．已知点P是边长为2的正方形ABCD所在平面内一点，若，则的最大值是（　　）
A． B． C． D．
解：由﹣﹣＝＝，
由，
则||＝1，
即点P在以点C为圆心，1为半径的圆周上运动，
由点与圆的有关性质得：
||的最大值＝2+1，
故选：C．
【变3-3】．已知菱形ABCD的边长为1，则|﹣+|的值为　1　．
解：∵+＝＝．
∴|﹣+|＝＝1．
故答案为：1．
考点4 向量的数乘运算
【例4】．如图，以向量为邻边作平行四边形OADB，，用表示．

解：∵四边形OADB是平行四边形，
∴＝+＝+，＝＝（﹣）＝（﹣）
可得＝＝（﹣），
由向量加法法则，得＝+＝+（﹣）＝+
∵＝，＝＝，
∴＝+＝+×＝＝（+）
由向量减法法则，得＝＝（+）﹣（+）＝﹣
综上，可得＝+，＝（+），＝﹣
Ø变式训练
【变4-1】．在△ABC中，，且，则λ＝（　　）
A．2 B． C． D．
解：∵＝＝，
∴＝＝＝，
即，
∴，
故选：B．
【变4-2】（多选）．如图，在梯形ABDC中，AB∥CD，AB＝2CD，AD与BC相交于点O，则下列结论正确的是（　　）

A． B．+++＝
C． D．
解：在梯形ABCD中，﹣＝＝，选项A正确；
+++＝++＝+＝，选项B正确；
易知△OCD∽△OBA，则＝＝，即＝﹣，
所以|+2|＝|﹣|＝||＝0，选项C正确；
＝＝（+）＝（+2）＝+，选项D错误，
故选：ABC．
【变4-3】．（1）化简：；
（2）设两个非等向量与不共线．如果，，，求证：A、B、D三点共线．
解：（1）原式＝
＝
＝；
（2）证明：，
∴与共线，且有公共点B，
∴A，B，D三点共线．
考点5 向量共线定理的应用
【例5】．如图所示，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若，则实数m＝　　．

解：∵P是BN上的一点，
设 ，由 ，
则
＝
＝
＝
＝
＝
∴m＝1﹣λ，
解得λ＝，m＝
故答案为：
Ø变式训练
【变5-1】．已知P为△ABC所在平面内一点，且满足，，则λ+μ＝　　．
解：由，
得，
得，
由，
得
＝（2μ﹣1）+（1﹣2μ），
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
【变5-2】．点C在线段AB上，且，若，则λ＝（　　）
A． B． C． D．
解：点C在线段AB上，且，如图所示；
若，即＝﹣；
所以λ＝﹣．
故选：D．

【变5-3】．设1，2是平面上两个不共线向量，已知＝21+k2，＝1+32，＝21﹣2，若A，B，D三点共线，则k＝　﹣8　．
解：∵＝2+k，＝+3，＝2﹣，
∴＝﹣＝2﹣﹣+3＝﹣4，
若A，B，D三点共线，
则＝λ，即2+k＝λ（﹣4 ），
∴，∴k＝﹣8，
故答案为：﹣8．
考点6 用已知向量表示其他向量
【例6】．如图所示，□ABCD中，＝，＝，BM＝BC，AN＝AB，
（1）试用向量，来表示，．
（2）AM交DN于O点，求AO：OM的值．

解：（1）；
∴；
∴＝；
；
∴；
∴＝；
（2）D，O，N三点共线，则共线，存在实数λ，使；
∴＝；
同理，A，O，M三点共线，存在μ，＝；
∴；
解得，；
∴；
∴AO：OM＝3：11．
Ø变式训练
【变6-1】．如图，在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，，则＝（　　）


A． B． C． D．
解：在平行四边形ABCD中，∵E是BC的中点，，
∴由图可知，＝．
故选：C．
【变6-2】．如图，已知E，F分别是矩形ABCD的边BC，CD的中点，EF与AC交于点G，若＝，＝，用，表示＝　+　．

解：＝++＝++＝++﹣＝+．
故答案为：+．
【变6-3】．衡量钻石价值的4C标准之一是切工．理想切工是一种高雅且杰出的切工，它使钻石几乎反射了所有进入钻石的光线．现有一理想切工的钻石，其横截面如图所示，其中△ABC为等腰直角三角形，四边形BCDE为等腰梯形，且BC＝2DE，AB＝AC，∠CDE＝，则＝（　　）

A． B． C． D．
解：如图，延长CD和BE交于点F，
易证四边形ABFC为正方形，又BC＝2DE，
所以．
故选：C．





实战演练

1．O为△ABC内一点，且2++＝，＝t，若B，O，D三点共线，则t的值为（　　）
A． B． C． D．
解：以OB，OC为邻边作平行四边形OBFC，连接OF与 BC相交于点E，E为BC的中点．
∵2++＝，∴＝﹣2＝＝2，
∴点O是直线AE的中点．
∵B，O，D三点共线，＝t，∴点D是BO与AC的交点．
过点O作OM∥BC交AC于点M，则点M为AC的中点．
则OM＝EC＝BC，
∴＝，
∴，
∴AD＝AM＝AC，＝t，
∴t＝．
另解：由2++＝，∴点O是直线AE的中点．
∵B，O，D三点共线，∴存在实数k使得＝k+（1﹣k）＝k+（1﹣k）t＝，
∴k＝，（1﹣k）t＝，解得t＝．

故选：B．

2．已知||＝||＝2，•＝0，＝（+），|﹣|＝，则||的取值范围是（　　）
A． B．[0，2] C． D．[0，1]
解：由题意，，且，
所以可将两向量放到坐标系内，如图可令，
∴＝（1，1），
令，因为，所以向量的终点在以（1，1）为圆心，以为半径的圆上，
又圆到原点的距离是，所以的取值范围是，
故选：A．

3．已知，为单位向量，且，向量满足|﹣﹣|＝2，则||的范围为（　　）
A．[1，1+] B．[2﹣，2+] C．[] D．[3﹣2，3+2]
解：由，是单位向量，•＝0，
可设＝（1，0），＝（0，1），＝（x，y），
由向量满足|﹣﹣|＝2，
∴|（x﹣1，y﹣1）|＝2，
∴＝2，即（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4，
其圆心C（1，1），半径r＝2，
∴|OC|＝
∴2﹣≤||＝≤2+．
故选：B．
4．向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若＝λ+μ（λ，μ∈R），则＝（　　）

A．﹣8 B．﹣4 C．4 D．2
解：设正方形的边长为1，建立如图所示的直角坐标系

则易知＝（﹣1，﹣3），＝（﹣1，1），＝（6，2），
∵＝λ+μ，
∴（﹣1，﹣3）＝λ（﹣1，1）+μ（6，2），
解得，λ＝﹣2，μ＝﹣，故＝4．
故选：C．
5．已知平面向量、、满足，且对任意实数λ恒成立，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
解：由，两边平方得，
又，且对任意实数λ恒成立，
即恒成立，所以，
即，所以，即，
由，知，，
所以．
故选：B．
6．在△ABC​中，AC＝6，BC＝8，∠C＝90°．P​为△ABC​内（包括边界）的动点，且PC＝1​，则​的取值范围是（　　）
A．[8，12]​ B．[﹣9，11]​ C．[4，6]​ D．​
解：如图，在△ABC​中，AC＝6，BC＝8，∠C＝90°，
以C为坐标原点，分别以CA，CB所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，
则 A（6，0），B（0，8）​，
∵P​为△ABC​所在平面内的动点，且PC＝1，
∴​设P（cosθ，sinθ）​，，
得​，​，
∴
＝1﹣8sinθ﹣6cosθ＝1﹣10sin（θ+φ），tan，
∵，∴φ，
​的取值范围是[﹣9，11]​．
故选：B．

7．已知点O是△ABC内部一点，并且满足，△BOC的面积为S1，△ABC的面积为S2，则＝（　　）
A． B． C． D．
解：如图所示，延长OB到D使得BD＝OB，延长OC到E使得CE＝2OC，
∵满足，
∴点O是△ADE的重心．
∴S△OAD＝S△ODE＝S△OAE．
S△OAB＝S△OAD，S△OAC＝S△OAE，S△OBC＝S△ODE．
∴S1＝S△ADE，S2＝S△OAB+S△OAC+S△OBC＝S△ADE．
＝．
故选：A．

二．多选题（共3小题）
（多选）8．有下列说法，其中正确的说法为（　　）
A．λ，μ为实数，若，则与共线
B．若，则在上的投影向量为
C．两个非零向量，，若，则与垂直
D．若分别表示△AOC，△ABC的面积，则S△AOC：S△ABC＝3：5
解：对于A，当λ＝μ＝0时，很显然，但是与不共线，故A错误；
对于B，∵，
∴在上的投影向量为，故B正确；
对于C，因为向量，，为非零向量，且，
即，故与垂直，即C正确；
对于D，如图所示取AC中点为D，

则，
由，可知，
所以O，B，D三点共线，且，故S△AOC：S△ABC＝3：5，故D正确．
故选：BCD．

（多选）9．著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．已知△ABC的外心为O，重心为G，垂心为H，M为BC中点，且AB＝4，AC＝2，则下列各式正确的有（　　）
A．＝4 B．＝﹣6
C．＝ D．＝4
解：对于A：∵G为△ABC的重心，
∴＝＝（+）＝（+），
∵＝﹣，∴•＝（+）•（﹣）＝（²﹣²）＝（4﹣16）＝﹣4，故A错误，
对于B：∵O为外心，∴•＝²，•＝²，
∴•＝•（﹣）＝²﹣²＝﹣6，故B正确，
对于C：∵＝，∴＝，
∵G为重心，∴++＝，∴﹣+﹣+﹣＝，
∴＝（++），∴＝（++），
即＝++，故C正确；
对于D：如图所示，

由＝3可得＝+，即＝+，
则有+＝2＝6＝6（+）＝4+2，故D正确．
故选：BCD．

（多选）10．窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．已知正八边形ABCDEFGH的边长为1，P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则（　　）

A．与能构成一组基底
B．
C．在向量上的投影向量的模为
D．的最大值为
解：连接AF，
∵∠AOB＝45°，∴，
∵∠AOF＝3×45°＝135°，∴，
∴∠BAF＝67.5°+22.5°＝90°，
以AB所在直线为x轴，AF所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，
则，
∴，
∴，
∴与平行，不能构成一组基底，∴A错误；
∵，∴，，，
∴，∴B正确；
∵，，，
∴在向量上的投影向量的模长为，∴C正确；
取AB的中点M，则，，
∴，，
两式相减得：，
∴当点P与点E或F重合时，最大，
最大值为，
∴的最大值为，∴D正确．
故选：BCD．

三．填空题（共6小题）
11．已知为单位向量，且，若．且2λ+μ＝2，则的最小值为　1　．
解：∵，∴，且，
∴，
如图，作，则，延长OB到B′，使OB＝BB′，

∵2λ+μ＝2，∴，则，并设，∴A，B'，C三点共线，
又OA⊥AB′，∴．
故答案为：1．
12．若向量，满足||＝2，||＝2|﹣|，则||的取值范围是　[]　．
解：∵向量，满足||＝2，||＝2|﹣|，
∴，
∴，
∴，
∴3||2﹣16||cos＜＞+16＝0，
取cos＜＞＝1，得||＝，或||＝4，
∴||的取值范围是[]．
故答案为：[，4]．
13．已知向量＝（1，1），||＝1，|2+|＝3，则|﹣|＝　　．
解：设＝（x，y），
∵向量＝（1，1），||＝1，|2+|＝3，
∴+＝（2+x，2+y），＝1，＝3，
联立解得，．
∴＝或．
则|﹣|＝＝．
故答案为：．
14．已知点O是△ABC所在平面内一点，，，则向量4与所成夹角的最大值为 　　．
解：∵，∴，
∴，
∴，∴，
∵，∴，
∴，且，
∴＝d＝＝，
设与的夹角为θ，则＝＝，当且仅当，即时取等号，且θ∈[0，π]，
∴，
∴θ的最大值为．
故答案为：．
15．如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD＝60°，M为DC的中点，若N为菱形内任意一点（含边界），则•的最大值为 　36　．

解：如图，以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系，
∵菱形ABCD的边长为4，∠BAD＝60°，M为DC的中点，
∴A（0，0），B（4，0），C（6，2），
D（2，2），M（4，2）．
设N（x，y），N为菱形内（包括边界）一动点，对应的平面区域即为菱形ABCD及其内部区域．
∵，＝（x，y），
∴＝4x+2y，
令z＝4x+2，则，
由图象可得当目标函数z＝4x+2y 过点C（6，2）时，
z＝4x+2y取得最大值，
此时最大值＝36．
故答案为：36．

16．在△ABC中，AB＝4，AC＝3，∠BAC＝90°，D在边BC上，延长AD到P，使得AP＝9．若＝m+（﹣m）（m为常数），则CD的长度是 　0或　．

解：如图，以A为坐标原点，分别以AB，AC所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，
则B（4，0），C（0，3），
由＝m+（﹣m），得，
整理得：
＝﹣2m（4，0）+（2m﹣3）（0，3）＝（﹣8m，6m﹣9）．
由AP＝9，得64m2+（6m﹣9）2＝81，解得m＝或m＝0．
当m＝0时，，此时C与D重合，|CD|＝0；
当m＝时，直线PA的方程为y＝x，
直线BC的方程为，
联立两直线方程可得x＝m，y＝3﹣2m．
即D（，），
∴|CD|＝．
∴CD的长度是0或．
故答案为：0或．

四．解答题（共4小题）
17．设、是不共线的两个非零向量．
（1）若＝2﹣，＝3+，＝﹣3，求证：A、B、C三点共线；
（2）若8+k与k+2共线，求实数k的值．
（1）证明：∵＝2﹣，＝3+，＝﹣3，
∴＝＝（）﹣＝，
＝＝﹣＝＝﹣2，
∴A、B、C三点共线；
（2）解：∵8+k与k+2共线，∴存在实数λ，使得
（8+k）＝λ（k+2）⇒（8﹣λk） +（k﹣2λ） ＝0，
∵与不共线，
∴，
⇒8＝2λ2⇒λ＝±2，
∴k＝2λ＝±4．
18．如图，在边长为1的正三角形ABC中，E，F分别是边AB，AC上的点，若，m，n∈（0，1）．设EF的中点为M，BC的中点为N．
（1）若A，M，N三点共线，求证：m＝n；
（2）若m+n＝1，求的最小值．

解：（1）由A，M，N三点共线，得，
设，
即，
所以，
所以m＝n．
（2）因为＝＝，
又m+n＝1，
所以，
所以
＝
故当时，．
19．已知四边形ABCD是一个梯形，AB∥CD，且AB＝2CD，M、N分别是DC、AB的中点，已知＝，＝．
（1）试用，分别表示，．
（2）若k与2同向共线，求k的值．
解：（1）∵四边形ABCD是一个梯形，AB∥CD，且AB＝2CD，
M、N分别是DC、AB的中点，＝，＝．
∴＝＝﹣，
＝
＝
＝．
（2）∵k与2同向共线，
∴k＝λ（2），且λ＞0，
∴，λ＞0，
解得k＝．

20．已知矩形ABCD中|AB|＝2，|AD|＝1，E为AB中点，P为边DC上的动点（不包括端点）．
（1）求的最小值；
（2）设线段AP与DE的交点为G，求的最小值．

解：（1）建立如图平面直角坐标系，

则A（0，0），B（2，0），设P（x，1）（0＜x＜2），
∴＝（﹣x，﹣1），＝（2﹣x，﹣1），
则＝﹣x（2﹣x）+1＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2≥0，
∴的最小值为0；
（2）设＝λ（0＜λ＜1），
∵△AGE与△PGD相似，∴＝＝，∴＝，
∴＝＝（1+4λ2）＝＝2λ+1+﹣2≥2﹣2，
当且仅当2λ+1＝，即λ＝时取等号，
∴的最小值为2﹣2．