专题05 向量三大定理及三角形四心问题-高一数学下学期期中期末复习（人教A版必修第二册）

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体系搭建

(－)平面向量共线定理
已知, 若, 则A, B, C三点共线; 反之亦然.
(二)等和线
平面内一组基底 及任一向量 , 若点 在直线 A B上或者在平行于AB的直线上,则 (定值),反之也成立,我们把直线 AB以及与直线AB平行的直线称为等和线. 如图, 则有 .
(1)当等和线恰为直线AB时, ;
(2) 当等和线在点和直线 AB之间时, ;

(3) 当直线 AB在点和等和线之间时, ;
(4)当等和线过点时, ;
(5)若两等和线关于点对称,则定值k互为相反数.

（三）极化恒等式:设、是两个平面向量,则有恒等式 , 在三角形中,也可以用三角形的中线来表示, .
极化恒等式的作用主要在于,它可以将两个向量的数量积转化为这两个 向量之和或之差,因此,当两个向量之和或之差为定值时,常常可以考虑利用 极化恒等式进行转化求解.

（四）奔驰定理:若为内任意一点, 有, 则 .
证明: 如图 1, 取点 , 使得 , 则 , 即 为 的重心 .


同理 .
故 ,
即证明
（五）三角形“四心”问题.
内心: 三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点(或三角形内切圆的圆心).
垂心: 三角形的垂心是三角形三边上的高的交点.
重心: 三角形的重心是三角形三条中线的交点.
(1) 是 的重心：

(2) 是 的内心：

(3) 是 的外心;

(4) 是的垂心:


例题分析

考点1 等和线问题
【例1】.在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，若，则λ+μ的最大值为　3　．
解：如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的坐标系，
则A（0，0），B（1，0），D（0，2），C（1，2），
∵动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，
设圆的半径为r，
∵BC＝2，CD＝1，
∴BD＝＝
∴BC•CD＝BD•r，
∴r＝，
∴圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝，
设点P的坐标为（cosθ+1，sinθ+2），
∵，
∴（cosθ+1，sinθ+2）＝λ（1，0）+μ（0，2）＝（λ，2μ），
∴cosθ+1＝λ，sinθ+2＝2μ，
∴λ+μ＝cosθ+sinθ+2＝sin（θ+φ）+2，其中tanφ＝2，
∵﹣1≤sin（θ+φ）≤1，
∴1≤λ+μ≤3，
故λ+μ的最大值为3，
故答案为：3
λ+μ=1
λ+μ=2


方法2:利用等和线,如图2, 平移BD与圆相切于点时,最大.
Ø变式训练
【变1-1】.给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为120°如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动．若＝x+y，其中x，y∈R，则x+y的最大值是（　　）

A． B．2 C． D．3
解：如图，以O为坐标原点，直线OA为x轴，建立平面直角坐标系，则：
A（1，0），B（），设∠AOC＝θ，0°≤θ≤120°，∴C（cosθ，sinθ）；
∴＝；
∴；
∴；
∴；
∵0°≤θ≤120°；
∴30°≤θ+30°≤150°；
∴θ+30°＝90°，即θ＝60°时x+y取最大值2．
故选：B．

方法2:如右上图,当点在直线AB上时,,当点运动到点时, 为最大值.
【变1-2】.在平行四边形ABCD中，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝120°，平面ABCD内有一点P，满足AP＝，若＝λ+μ（λ，μ∈R），则2λ+μ的最大值为（　　）
A． B． C． D．
解：如图，依题意知，λ＞0，μ＞0；
根据条件，
5＝
＝4λ2+2λμ+μ2
＝＝；
∴；
∴；
∴2λ+μ的最大值为．
故选：B．

方法2:如图
考点2 极化恒等式问题
【例2】．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则•＝　﹣16　．
解：设∠AMB＝θ，则∠AMC＝π﹣θ．又＝﹣，＝﹣，
∴＝（ ﹣）•（ ﹣）＝•﹣•﹣•+，
＝﹣25﹣5×3cosθ﹣3×5cos（π﹣θ）+9＝﹣16，
故答案为﹣16．

方法2:由极化恒等式得
Ø变式训练
【变2-1】．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E、F是AD上的两个三等分点，•＝4，•＝﹣1，则•的值是（　　）

A．4 B．8 C． D．
解：∵D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，
∴＝，＝﹣，＝+3，＝﹣，
∴＝，
＝9，
∴，，
又∵，，
∴＝4，
故选：C．

方法2:由极化恒等式得
分别解出和 的值,即可求解.
【变2-2】．已知AB为圆O的直径，M为圆O的弦CD上一动点，AB＝8，CD＝6，则•的取值范围是　[﹣9，0]　．
解：以AB所在的直线为x轴，以线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，
如图所示；
且圆O的直径为AB，
设M（x，y），
则A（4，0），B（﹣4，0），
＝（4﹣x，﹣y），
＝（﹣4﹣x，﹣y）；
•＝（4﹣x）（﹣4﹣x）+（﹣y）2＝x2+y2﹣16，
又M是圆O的弦CD上一动点，且CD＝6，
所以16﹣9≤x2+y2≤16，
即7≤x2+y2≤16，其中最小值在CD的中点时取得，
所以•的取值范围是[﹣9，0]．
方法2:直接使用极化恒等式得


考点3 奔驰定理在向量中的应用
【例3】．已知点O在△ABC内部一点，且满足2+3+4＝，则三角形△AOB，△BOC，△AOC的面积之比依次为（　　）
A．4：2：3 B．2：3：4 C．4：3：2 D．3：4：5
解：延长OA，OB，OC，使OD＝2OA，OE＝3OB，OF＝4OC，
如图所示：
∵2+3+4＝，
∴，
即O是△DEF的重心，
故△DOE，△EOF，△DOF的面积相等，
不妨令它们的面积均为1，
则△AOB的面积为，△BOC的面积为，△AOC的面积为，
故三角形△AOB，△BOC，△AOC的面积之比依次为：：：＝4：2：3，
故选：A．
方法,由奔驰定理得,故选 .

Ø变式训练
【变3-1】．已知P是△ABC所在平面内一点，，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是　　．
解：以PB、PC为邻边作平行四边形PBDC，则，
∵，
∴，
得：，
由此可得，P是△ABC边BC上的中线AO的中点，
点P到BC的距离等于A到BC的距离的．
∴S△PBC＝S△ABC．
将一粒黄豆随机撒在△ABC内，黄豆落在△PBC内的概率为P＝＝
故答案为：


方法, 由奔驰定理得, 黄豆落在内的概率为, 故选 .
【变3-2】．已知点P是△ABC所在平面内一点，且满足，设△ABC的面积为S，则△PAB的面积为（　　）
A． B． C． D．
解：∵，
∴，
作AB中点为M，BC中点为N，如图所示，

则PM是△PAB的中线，PN是△PBC的中线，
故，即，可知P在MN上，
∵△ABC的面积为S，
∴△PAC的面积为，
∵S△PAB：S△PBC＝，
∴．
故选：D．
方法,由㚏驰定理得, ,
则的面积为 , 故选.
考点4 向量与三角形四心的综合
【例4】．已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝+λ（+）λ∈[0，+∞），则点P的轨迹一定通过△ABC的（　　）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
解：∵＝设它们等于t，
∴＝+λ（+）
而+＝2
λ（+）表示与共线的向量
而点D是BC的中点，所以即P的轨迹一定通过三角形的重心．
故选：C．

Ø变式训练
【变4-1】．已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足，λ∈[0，+∞），则动点P的轨迹一定通过△ABC的（　　）
A．内心 B．垂心 C．重心 D．外心
解：设BC的中点为D，
∵，
∴＝+，
即＝，两端同时点乘，
∵•＝λ（）＝λ（）＝λ（﹣）＝0，
∴DP⊥BC，
∴点P在BC的垂直平分线上，即P经过△ABC的外心
故选：D．
【变4-2】．如图，O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，λ∈（0，+∞），则点P的轨迹一定通过△ABC的（　　）

A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
解：∵、分别表示向量、方向上的单位向量，
∴+的方向与∠BAC的角平分线重合，
又∵可得到 ﹣＝＝λ（+）
∴向量的方向与∠BAC的角平分线重合，
∴一定通过△ABC的内心
故选：B．




实战演练

1．O是平面内的一个定点，A，B，C是平面内不共线的三个点，动点P满足＝+λ（+），λ∈[0，+∞），则P点所在的直线是△ABC的（　　）
A．边 B．中线 C．高 D．角平分线
解：由于O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，
动点P满足＝+λ（+），λ∈[0，+∞），
∴P在∠BAC的平分线上，
∴P点所在的直线是△ABC的角平分线．
故选：D．
2．在△ABC中，D为三角形所在平面内一点，且，则＝（　　）
A． B． C． D．
解：设直线AD，BC相交于E，且，
由E，B，C三点共线，得，
所以x＝，
所以＝＝，
所以（）＝，
所以2＝3，
设S△CED＝2y，则S△BDE＝3y，
又＝5，
所以S△ACD＝10y，
所以＝＝，
故选：A．
3．已知O​是平面内一定点，A，B，C​是平面上不共线的三个点，动点P​满足​，则点P​的轨迹一定通过△ABC​的（　　）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
解：根据题意，动点P​满足​，
又由​⇒​，
即​，
和都是单位向量，所以点 P​在∠BAC​的平分线上，
故点 P​的轨迹一定通过△ABC​的内心；
故选：B．
4．已知向量满足，若M为AB的中点，并且，则λ+μ的最大值是（　　）
A． B． C． D．
解：如图所示，
∵向量满足＝1，，
不妨取A（1，0），B（0，1）．
∵M为AB的中点，
∴M．
∵＝λ（1，0）+μ（0，1）＝（λ，μ）．
∵，
∴＝1，
设，μ＝+sinθ，θ∈[0，2π）．
则λ+μ＝1+sinθ+cosθ＝1+，当＝1时取等号．
∴λ+μ的最大值是1+．
故选：B．

5．如图，在边长为2的正六边形ABCDEF中，动圆Q的半径为1，圆心在线段CD（含端点）上运动，P是圆Q上及内部的动点，设向量（m，n为实数），则m+n的最大值是（　　）

A．2 B．3 C．5 D．6
解：由题意可得：

＝，
同理，，
两式相加可得：；
设O为EC、AD的交点，
∵，∴．
∵．
∴，其几何意义就是 在 上的投影．
∴求m+n的最大值就转化为求 在 上投影最大值．
从图形上可以看出：当点Q和D点重合时，在 上的投影取到最大值5．
故选：C．

6．已知△ABC的外接圆半径为1，圆心为O，且＝0，则△ABC的面积为（　　）
A．1+ B．+ C．1+ D．
解：∵△ABC的外接圆半径为1，圆心为O，
∴OA＝OB＝OC＝1．
∵＝，
∴．
∴，即1+1+2＝2．
∴．
∴，即∠AOB＝90°，
∴∠AOC＝∠BOC＝135°，
∴S△ABC＝S△AOB+S△AOC+S△BOC＝++＝．
故选：D．

7．已知△ABC中，点P是△ABC所在平面内一点，且满足+＝，设△PAB，△PBC，△PCA的面积分别为S1，S2，S3，则S1，S2，S3的大小关系为（　　）
A．S1＝S2＝S3 B．S1＝S2＞S3 C．S2＝S3＞S1 D．S3＝S1＞S2
解：点P是△ABC所在平面内一点，且满足+＝，
则：点C在△PAB的中线PD的反向延长线上，且PC＝2PD，
如图所示，

在设△PAB，△PBC，△PCA的面积分别为S1，S2，S3，
由于D为BC的中点，BE⊥AD，CF⊥AD，
所以：BE＝CF，
则：，
，
，
所以：S1＝S2＝S3．
故选：A．
8．若点M是△ABC所在平面内一点，且满足：．则△ABM与△ABC的面积之比为（　　）
A． B． C． D．
解：点M是△ABC所在平面内一点，且满足：．
整理得：，即．
所以：点M、A、B三点共线．
如图所示：

故，，
所以．
故选：A．

9．已知点P是△ABC的内心（三个内角平分线交点）、外心（三条边的中垂线交点）、重心（三条中线交点）、垂心（三个高的交点）之一，且满足2•＝﹣
，则点P一定是△ABC的（　　）
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心
解：设D为BC的中点，可得＝2，＝﹣，
∵点P满足2•＝﹣，
∴2•＝2•，移项整理得•＝0，
∴⊥．
∵D为BC的中点，∴可得P在BC的垂直平分线上，
又∵点P是△ABC的内心、外心、重心和垂心之一，
∴结合三角形外接圆的性质，得点P是△ABC的外心，
故选：B．
10．已知△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，P为平面ABC内一点，则的最小值为（　　）
A．﹣8 B． C．﹣6 D．﹣1
解：设BC边的中点为点O，由向量加法的平行四边形法则可得，
∴＝，
以点O为坐标原点，BC所在直线为x轴建立如下图所示的平面直角坐标系xOy，

则点A（0，4），点O（0，0），设点P（x，y），则，，
所以，＝x2+（y﹣2）2﹣4≥﹣4，
则，
因此，的最小值为﹣8，
故选：A．

11．如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1．若点E为边CD上的动点，则的最小值为（　　）

A． B． C． D．3
解：如图所示，以D为原点，以DA所在的直线为x轴，
以DC所在的直线为y轴，
过点B做BN⊥x轴，过点B做BM⊥y轴，
∵AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1，
∴AN＝ABcos60°＝，BN＝ABsin60°＝，
∴DN＝1+＝，
∴BM＝，
∴CM＝MBtan30°＝，
∴DC＝DM+MC＝，
∴A（1，0），B（，），C（0，），
设E（0，m），
∴＝（﹣1，m），＝（﹣，m﹣），0≤m≤，
∴＝+m2﹣m＝（m﹣）2+﹣＝（m﹣）2+，
当m＝时，取得最小值为．
故选：A．

12．已知等边三角形ABC的边长为2，点P在平面ABC内，则|PA|2+|PC|2+|PB|2的最小值为（　　）
A．2 B．4 C．3 D．2
解：建立平面直角坐标系，设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），P（x，y），
则有：|PA|2+|PC|2+|PB|2＝（x﹣x1）2+（y﹣y1）2+（x﹣x2）2+（y﹣y2）2+（x﹣x3）2+（y﹣y3）2
＝3x2﹣2（x1+x2+x3）x+x12+x22+x32+3y2﹣2（y1+y2+y3）y+y12+y22+y32，
记f（x）＝3x2﹣2（x1+x2+x3）x+x12+x22+x32，
当且仅当x＝（x1+x2+x3）时，f（x）取最小值；
记g（y）＝3y2﹣2（y1+y2+y3）y+y12+y22+y32
当且仅当y＝（y1+y2+y3）时，g（y）取最小值．
∴当且仅当x＝（x1+x2+x3），y＝（y1+y2+y3）时，PA2+PB2+PC2取最小值，
此时，P为正△ABC的重心．
∵正△ABC的边长为2，
∴|PA|2+|PC|2+|PB|2＝（）2+（）2+（）2＝22＝4
∴|PA|2+|PC|2+|PB|2≥22＝4，此时，P为正△ABC的重心，
∴|PA|2+|PB|2+|PC|2的最小值是4．
故选：B．
13．奔驰定理：已知点O是△ABC内的一点，若△BOC，△AOC，△AOB的面积分别记为S1，S2，S3，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．如图，已知O是△ABC的垂心，且，则cosC＝（　　）

A． B． C． D．
解：因为O是△ABC的垂心，延长CO交AB与点P，
∵O是△ABC的垂心，∴OP⊥AB，则S1：S2＝（OC•BP）：（OC•AP）＝BP：AP
＝（OPtan∠POB）：（OPtan∠POA）＝tan∠POB：tan∠POA
＝tan∠BOC：tan∠AOC＝tan（π﹣A）：tan（π﹣B）＝tanA：tanB，
同理可得S1：S3＝tanA：tanC，所以S1：S2：S3＝tanA：tanB：tanC，
又，所以tanA•+tanB•+tanC•＝，
又，所以tanA：tanB：tanC＝1：2：3，
不妨设tanA＝k，tanB＝2k，tanC＝3k，其中k≠0，
因为tanA＝tan[π−（B+C）]＝−tan（B+C）＝﹣，
所以k＝﹣，解得k＝1或k＝﹣1，
当k＝﹣1时，此时tanA＜0，tanB＜0，tanC＜0，则A，B，C都是钝角，
则A+B+C＞π，矛盾．
故k＝1，则tnC＝3＞0，所以B是锐角，sinB＞0，cosB＞0，
于是，解得cosC＝．
故选：B．
14．已知△ABC的三内角A，B，C所对边的长依次为a，b，c，M为该三角形所在平面内的一点，若a+b+c＝，则M是△ABC的（　　）
A．内心 B．重心 C．垂心 D．外心
解：M是三角形ABC的内心．
理由如下：已知a+b+c＝，延长CM交AB于D，
根据向量加法得：
＝+，＝+，
代入已知得：a（+）+b（+）+c＝，
因为与共线，所以可设＝k，
上式可化为（ka+kb+c）+（ a+b）＝，
由于与共线，与、不共线，
所以只能有：ka+kb+c＝0，a+b＝，
由a+b＝可知：与的长度之比为，
所以由内角平分线定理的逆定理可得CD为∠ACB的平分线，
同理可证AM，BM的延长线也是角平分线．故M为内心．
故选：A．

15．如图正六边形ABCDEF中，P是△CDE内（包括边界）的动点，设＝a+β（α、β∈R），则α+β的取值范围是　[3，4]　．

解：建立如图坐标系，设AB＝2，则A（0，0），B（2，0），
，
则EC的方程：；CD的方程：；
因P是△CDE内（包括边界）的动点，则可行域为
又，
则，，，
所以
得．
故答案为[3，4]．

16．已知点O、N、P在△ABC所在的平面内，且，，则点O、N、P依次是△ABC的　外心　、　重心　、　垂心　．
解：①若，则点O到A、B、C三点的距离相等，
∴O为△ABC的外接圆的圆心，即外心；
②若，则，
以NA、NB为邻边作平行四边形NAGB，
可得GN、AB的交点E为AB的中点，且E、N、C三点共线．
因此，CE为△ABC的中线．同理可得BN、AN也在△ABC的中线上．
∴点N为△ABC的三条中线的交点，可得N为△ABC的重心；
③若，
可得，即，
∴，可得，点P在AC边上的高所在直线上．
同理可得点P也在AB、BC边上的高所在直线上．
因此，P是△ABC三条高所在直线的交点，即得P为△ABC的垂心．
综上所述，点O、N、P依次是△ABC的外心、重心、垂心．
故答案为：外心、重心、垂心

17．已知非零向量，且，则△ABC为　等边　三角形．
解：∵表示AB边的单位向量，表示AC边的单位向量，
∴表示的向量在∠BAC的角平分线上，
∵，
∴∠BAC的角平分线垂直于边BC，所以△ABC是以角A为顶角的等腰三角形，
•＝1×1×cosA＝cosA＝，
∴A＝60°，等腰△ABC中一角为60°，所以△ABC为等边三角形
故答案为：等边
18．已知△ABC的外接圆圆心为O，|AB|＝6，|AC|＝8，且（α，β∈R），则取最小值时，cosA的值为　　．
解：如图，取AB的中点D，连接OD，由于O是△ABC外接圆的圆心，故OD⊥AB，
∴，
同理可得，，
由于，
∴，即，
∴，
∴
＝
＝
＝
＝，
∴当时，取得最小值．
故答案为：．

19．如图放置的边长为1的正方形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴正半轴上（含原点）上滑动，则的最大值是 　2　．

解：如图令∠OAD＝θ，由于AD＝1故OA＝cosθ，OD＝sinθ，
如图∠BAX＝﹣θ，AB＝1，故xB＝cosθ+cos（﹣θ）＝cosθ+sinθ，yB＝sin（﹣θ）＝cosθ
故＝（cosθ+sinθ，cosθ）
同理可求得C（sinθ，cosθ+sinθ），即＝（sinθ，cosθ+sinθ），
∴＝（cosθ+sinθ，cosθ）•（sinθ，cosθ+sinθ）＝1+sin2θ，
的最大值是2
故答案是 2
20．已知△ABC是边长为2的等边三角形，P是平面ABC内一点，则的最小值为　﹣　．
解：建立平面坐标系如图所示：
则A（﹣1，0），B（1，0），C（0，），设P（x，y），
＝（﹣1﹣x，﹣y），＝（1﹣x，﹣y），＝（﹣x，﹣y），
2＝（2﹣3x，﹣3y），
∴＝3x2+x﹣2+3y2﹣y＝3（x+）2+3（y﹣）2﹣．
∴当x＝﹣，y＝时，取得最小值为﹣．
故答案为：．

21．　垂　心．
解：∵，
∴，即，
∴PB⊥CA，
同理可得PA⊥BC，PC⊥AB，
∴P是△ABC的垂心．
故答案为：垂．
22．已知点P为△ABC所在平面内一点，满足m＝﹣3+（m＞0），S△PBC＝S△ABC，则m＝　7　．
解：如图所示：以C为原点，CB为x轴，与CB垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系，
设P（x，y），A（s，t），B（a，0），C（0，0），由S△PBC＝S△ABC，得y＝±，
则＝（﹣x，﹣y），＝（s﹣x，t﹣y），＝（a﹣x，﹣y），
根据m＝﹣3+（m＞0），，解得：，
∵y＝±，∴可解得m＝7或﹣11，∵m＞0，∴可取m＝7．
故答案为：7．
23．已知点C为线段AB上一点，P为直线AB外一点，PC是∠APB的角平分线，I为PC上一点，满足，的值为͟͟͟͟͟͟͟͟ 　3　
解：如图，∵PC是∠APB的角平分线，且，即，
∴I在∠BAP的角平分线上，由此得I是△ABP的内心，
过I作IH⊥AB于H，I为圆心，IH为半径，作△PAB的内切圆，如图，分别切PA，PB于E、F，
∵，，
∴＝＝，
又在Rt△BIH中，，
∴．
故答案为：3．

24．在直角梯形．ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AB＝BC＝2AD＝2，E，F分别为BC，CD的中点，以A为圆心，AD为半径的圆交AB于G，点P在上运动（如图）．若，其中λ，μ∈R，则2λ+μ的最大值是 　　．

解：根据题意，以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴建立如图所示的坐标系，
则A（0，0），B（2，0），D（0，1），C（2，2），
E，F分别为BC，CD的中点，则E（2，1），F（1，），
设P（cosα，sinα）（0≤α≤），
若，则（cosα，sinα）＝λ（2，1）+μ（﹣1，），
⇒cosα＝2λ﹣μ，sinα＝λ+μ，
⇒λ＝cosα+sinα，μ＝sinα﹣cosα，
则2λ+μ＝cosα+sinα+sinα﹣cosα＝cosα+sinα＝sin（α+θ）≤，（tanθ＝），
当且仅当sinα＝，cosα＝时等号成立，
故2λ+μ的最大值是，
故答案为：．

25．点O是平面上一定点，A、B、C是平面上△ABC的三个顶点，∠B、∠C分别是边AC、AB的对角，以下命题正确的是　①②③④⑤　（把你认为正确的序号全部写上）．
①动点P满足＝++，则△ABC的重心一定在满足条件的P点集合中；
②动点P满足＝+λ（+）（λ＞0），则△ABC的内心一定在满足条件的P点集合中；
③动点P满足＝+λ（+）（λ＞0），则△ABC的重心一定在满足条件的P点集合中；
④动点P满足＝+λ（+）（λ＞0），则△ABC的垂心一定在满足条件的P点集合中；
⑤动点P满足＝+λ（+）（λ＞0），则△ABC的外心一定在满足条件的P点集合中．
解：对于①，∵动点P满足＝++，
∴＝+，
则点P是△ABC的重心，故①正确；
对于②，∵动点P满足＝+λ（+）（λ＞0），
∴＝λ（+）（λ＞0），
又+在∠BAC的平分线上，
∴与∠BAC的平分线所在向量共线，
∴△ABC的内心在满足条件的P点集合中，②正确；
对于③，动点P满足＝+λ（+）（λ＞0），
∴＝λ（+），（λ＞0），
过点A作AD⊥BC，垂足为D，则||sinB＝||sinC＝AD，
＝（+），向量+与BC边的中线共线，
因此△ABC的重心一定在满足条件的P点集合中，③正确；
对于④，动点P满足＝+λ（+）（λ＞0），
∴＝λ（+）（λ＞0），
∴•＝λ（+）•＝λ（||﹣||）＝0，
∴⊥，
∴△ABC的垂心一定在满足条件的P点集合中，④正确；
对于⑤，动点P满足＝+λ（+）（λ＞0），
设＝，
则＝λ（+），
由④知（+）•＝0，
∴•＝0，
∴⊥，
∴P点的轨迹为过E的BC的垂线，即BC的中垂线；
∴△ABC的外心一定在满足条件的P点集合，⑤正确．
故正确的命题是①②③④⑤．
故答案为：①②③④⑤．