专题08 空间几何体的结构特征、表面积和体积-高一数学下学期期中期末复习（人教A版必修第二册）

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体系搭建

（一）几何体的结构特征及分类
名称
定义
图形
特征
分类
棱柱
一个多边形的点沿相同方向移动相等距离形成的多面体。

1） 侧棱平行且相等；
2） 底面平行且全等；
3） 不相邻侧棱截面是平行四边形。
1） 直棱柱和斜棱柱；
2） 正棱柱和非正棱柱；
3） 三棱柱、四棱柱等。
棱锥
一个面是多边形，其余各面有一个公共点的三角形的多面体。

棱锥被平行于底面的平面所截，截面与底面相似，面积比等于高平方之比。
1） 三棱锥、四棱锥等；
2） 正棱锥和非正棱锥；
棱台
平行于底面的平面截去棱锥的多面体。

1） 两个面相互平行的多边形；
2） 其余各面是梯形，且相邻梯形的腰线共点。
1） 三棱台、四棱台等；
2） 正棱台和非正棱台。
圆柱
以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的几何体。

1） 两个底面是平行且全等的圆；
2） 轴截面是全等的矩形。
无
圆锥
以直角三角形的一直角边为轴，其余各边旋转而成的曲面所形成的几何体。

轴截面都是全等的等腰三角形。
无
圆台
以直 等腰直角梯形垂直于底边 的腰所在的直线为轴， 其 其余各边旋转而成的曲 面 面几何体。

轴截面都是全等的等腰梯形。
无
球
到定点的距离等于或小于定长的点集合。

1） 大圆：截面过球心；
小圆：截面不过球心；
2） 球心与不过球心的截面；
3） 平面截球面，截面是一个圆。
无
（二）简单组合体
组合体的基本形式：①由简单几何体拼接而成的简单组合体；②由简单几何体截去或挖去一部分而成的几何体；
常见的组合体有三种：①多面体与多面体的组合；②多面体与旋转体的组合；③旋转体与旋转体的组合.
①多面体与多面体的组合体：
由两个或两个以上的多面体组成的几何体称为多面体与多面体的组合体．如下图（1）是一个四棱柱与一个三棱柱的组合体；如图（2）是一个四棱柱与一个四棱锥的组合体；如图（3）是一个三棱柱与一个三棱台的组合体．

②多面体与旋转体的组合体
由一个多面体与一个旋转体组合而成的几何体称为多面体与旋转体的组合体如图（1）是一个三棱柱与一个圆柱组合而成的；如图（2）是一个圆锥与一个四棱柱组合而成的；而图（3）是一个球与一个三棱锥组合而成的．

③旋转体与旋转体的组合体
由两个或两个以上的旋转体组合而成的几何体称为旋转体与旋转体的组合体．如图（1）是由一个球体和一个圆柱体组合而成的；如图（2）是由一个圆台和两个圆柱组合而成的；如图（3）是由一个圆台、一个圆柱和一个圆锥组合而成的．

（三）斜二测画法
在立体几何中，空间几何体的直观图通常是在平行投影下画出的空间图形．要画空间几何体的直观图，首先要学会水平放置的平面图形的直观图画法．
对于平面多边形，我们常用斜二测画法画它们的直观图，斜二测画法是一种特殊的平行投影画法．
斜二测画法的步骤：
（1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O．画直观图时，把它们画成对应的x＇轴与y＇轴，两轴交于点O＇，且使∠x＇O＇y＇=45°（或135°），它们确定的平面表示水平面．
（2）已知图形中，平行于x轴、y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x＇轴、y＇轴的线段，并使它们和所画坐标轴的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同．
（3）已知图形中，平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半．画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了平面图形的直观图．
线表示看不见的部分．画完直观图后还应注意检验．
（四）柱体、锥体、台体的表面积
A、多面体的表面积
1、多面体的表面积求法：求平面展开图的面积
注：把多面体的各个面平铺在平面上，所得图形称之为多面体的平面积展开图.
2、直棱柱的侧面积与全面积
（1）侧面积
①求法：侧面展开（如图）；
②公式：（其中为底面周长，为侧棱长）；
（2）表面积：侧面积＋两底面积.
（3）推论：
①正棱柱的侧面积：（其中为底面周长，为侧棱长）.
②长方体的表面积：.（其中分别为长方体的长宽高）
③正方体的表面积：（为正方体的棱长）.
3、斜棱柱侧面积与全面积
（1）侧面积：
①求法：作出直截面（如图）；
注：这种处理方法蕴含着割补思想.
②公式：（其中为直截面周长，为侧棱长）；
（2）表面积：侧面积＋两底面积.
4、正棱锥的侧面积与全面积
（1）侧面积
①求法：侧面展开（如图）；
②公式：（其中为底面周长，为斜高）；
（2）表面积：侧面积＋底面积.
5、正棱台的侧面积与全面积
（1）侧面积
①求法：侧面展开（如图）；
②公式：（其中、为底面周长，为斜高）；
（2）表面积：侧面积＋两底面积.
6、正棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积公式间的内在联系：
正棱台侧面积公式：
正棱柱侧面积公式：
正棱锥侧面积公式：











B、旋转体的表面积
1、圆柱的侧面积与全面积
（1）侧面积：
①求法：侧面展开（如图）；
②公式：（为两底半径，为母线长）；




（2）表面积：.
2、圆锥的侧面积与表面积
（1）侧面积
①求法：侧面展开（如图）；
②公式：；
（2）表面积：（为两底半径，为母线长）.







事实上：圆锥侧面展开图为扇形，扇形弧长为，半径为圆锥母线，故面积为.
3、圆台的侧面积与表面积
（1）侧面积
①求法：侧面展开（如图）；
②公式：；
事实上：圆台侧面展开图为扇环，扇环的弧长分别为、，半径分别为、，故圆台侧面积为
，∵，∴.
（2）表面积：.（、分别为上、下底面半径，为母线长）
4、圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式间的内在联系：

圆台侧面积公式：
圆柱侧面积公式：
圆锥侧面积公式：





（五）柱体、锥体、台体的体积
A、棱柱、棱锥、棱台的体积
1、棱柱体积公式：（为高，为底面面积）；
2、棱锥体积公式：（为高，为底面面积）；
3、棱台体积公式： （为高，、分别为两底面面积）.




事实上：设小棱锥高为，则大棱锥高为.于是.
∵，
∴.


圆台侧面积公式：
圆柱侧面积公式：
圆锥侧面积公式：



4、棱柱、棱锥、棱台体积公式间的内在联系：




B、圆柱、圆锥、圆台的体积
1、圆柱的体积：（为高，为底面半径）.
2、圆锥的体积：（为高，为底面半径）.





3、圆台的体积：（、分别为上、下底半径，为高）.
事实上：设小圆锥高为，则大圆锥高为（如图）.
于是.
∵，∴.
圆台体积公式：
圆柱体积公式：
圆锥体积公式：


4、圆柱、圆锥、圆台体积公式间的内在联系：




（六）球的体积与表面积
1、球的体积：.
2、球的表面积：.
3、球面距离：在球面上，两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度。我们把这个弧长叫做两点的球面距离．
（七）祖暅原理：幂势既同，则积不容异
这就是说，夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．应用祖暅原理可说明：等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等．
例题分析

考点1 空间几何题的机构特征
【例1】．有下列命题：
①有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱；
②有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱；
③有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱；
④用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台．
⑤有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．
其中正确的命题的个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
解：由棱柱的概念“有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱”知，③正确，排除①②；
用平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台，故④错误；
如果一个多面体的一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，那么这个多面体叫做棱锥棱锥，故⑤错误．
综上所述，正确的命题的个数为1个．
故选：B．
Ø变式训练
【变1-1】．如图，能推断这个几何体可能是三棱台的是 　③　．
①A1B1＝2，AB＝3，B1C1＝3，BC＝4；
②A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝3；
③A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝4；
④AB＝A1B1，BC＝B1C1，CA＝C1A1．

解：若几何体A1B1C1﹣ABC是三棱台，则三条侧棱必交于一点O，
且平面A1B1C1∥平面ABC，
∴A1B1∥AB，B1C1∥BC，A1C1∥AC，
∴＝，
∴＝＝＜1，
显然，只有③满足条件，
故答案为：③．

【变1-2】．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝3，AA1＝4，M为AA1的中点，P是BC上一点，且由点P沿棱柱侧面经过棱CC1到M的最短路线长为，设这条最短路线与CC1的交点为N，则该三棱柱的侧面展开图的对角线长为 　　；PC的长为 　2　．

解：因为正三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面展开图是一个长为9，宽为4的矩形，其对角线长＝；
如图，将侧面BB1C1C绕棱CC1旋转120°使其与侧面AA1C1C在同一平面上，点P运动到点P1的位置，连接MP1，
则MP1就是由点P沿棱柱侧面经过棱CC1到点M的最短路线
设PC＝x，则P1C＝x，在Rt△MAP1中，由勾股定理得（3+x）2+22＝29
求得x＝2
∴PC＝P1C＝2；
故答案为：，2．

【变1-3】．正四棱锥的高为，侧棱长为，求侧面上斜高（棱锥侧面三角形的高）为多少？

解：如图所示，
∵正四棱锥S﹣ABCD中高OS＝，侧棱SA＝SB＝SC＝SD＝，
∴在Rt△SOA中，OA＝＝2，
∴AC＝4．
∴AB＝BC＝CD＝DA＝2．
∵作OE⊥AB于E，则E为AB中点．连接SE，则SE即为斜高．
∴在Rt△SOE中，
∵OE＝BC＝，SO＝，
∴SE＝，即侧面上的斜高为

【变1-4】．用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台的上、下底面的面积之比为1：16，截去的圆锥的母线长是3cm，求圆台的母线长．

解：设圆台的上下底面半径分别为r，R，圆台母线长为l，
∴＝，∴∴＝，解得l＝9 （cm）．
考点2 立体图形的直观图
【例2】．如图，A′B′C′D′是边长为1的正方形，又知它是某个四边形按斜二测画法画出的直观图，请画出该四边形的原图形，并求出原图形面积．

解：由已知中A′B′C′D′是边长为1的正方形，又知它是某个四边形按斜二测画法画出的直观图，
可得该四边形的原图形，如下图所示：

这是一个底边长2，高的平行四边形，
故原图的面积为：2

Ø变式训练
【变2-1】．如图所示，四边形OABC是上底为1，下底为3，底角为45°的等腰梯形，由斜二测画法，画出这个梯形的直观图O′A′B′C′，在直观图中的梯形的高为（　　）

A． B． C． D．
解：∵四边形OABC是上底为1，下底为3，底角为45°的等腰梯形，
故OABC的高为1，面积S＝×（1+3）×1＝2，
故其直观图的面积S′＝2×＝，
设直观图的高为h，则×（1+3）×h＝，
解得：h＝，
故选：A．
【变2-2】（多选）．水平放置的△ABC的直观图如图所示，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝，那么△ABC是（　　）

A．等边三角形 B．直角三角形
C．三边互不相等的三角形 D．面积为的三角形
解：由已知中△ABC的直观图中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝，
∴△ABC中，BO＝CO＝1，AO＝，
由勾股定理得：AB＝AC＝2，
又由BC＝2，
故△ABC为等边三角形，其面积为：2×＝，
故选：AD．
【变2-3】．如图所示是利用斜二测画法画出的水平放置的△ABC的直观图，已知A'C'∥y'轴，B'C'∥x'轴且2A'C'＝B'C'＝2，则△ABC的周长为 　　．

解：先由斜二测画法得AC⊥BC，AC＝BC＝2，即可求解．
由题意得，AC⊥BC，且AC＝BC＝2，则，则△ABC的周长为．
故答案为：．

【变2-4】．用斜二测画法画出如图所示的水平放置的四边形OBCD的直观图．

解：（1）过点C作CE⊥x轴，垂足为E，如图①所示；
（2）画出相应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°，如图②所示；
在x′轴上取点B′、E′，使得O′B′＝OB，O′E′＝OE，
在y′轴上取点D′，使得O′D′＝OD；
过点E作E′C′∥y′轴，使得E′C′＝EC；
（3）连接B′C′、C′D′，擦去x′轴与y′轴及其其他一些辅助线，如图③所示；
所以四边形O′B′C′D′就是所求的直观图．

考点3 棱柱、棱锥、棱台的表面积
【例3】．已知正四棱锥底面正方形的边长为4cm，高与斜高的夹角为30°，求正四棱锥的侧面积和表面积．
解：如图，正四棱锥的高PO，斜高PE，底面边心距OE组成直角△POE．
∵OE＝2cm，∠OPE＝30°，
∴斜高PE＝＝4（cm），
∴S正棱锥侧＝Ch′＝×4×4×4＝32（cm2），
S正棱锥全＝42+32＝48（cm2）．

Ø变式训练
【变3-1】．正方体的八个顶点中，有四个顶点恰好是正四面体的顶点，则这个正方体的表面积与正四面体的表面积之比是（　　）
A． B．：1 C．：1 D．2：
解：设正方体的棱长为a，则正方体的表面积是 6a2，
以正方体的顶点为顶点作正四面体，棱长为a，
它的表面积是4××（a）2＝2a2
正方体的表面积与正四面体的表面积之比为：1．
故选：C．

【变3-2】．如图（1）所示，已知正方体面对角线长为a，沿阴影面将它切割成两块，拼成如图（2）所示的几何体，那么此几何体的表面积为（　　）

A．（1+2）a2 B．（2+）a2 C．（3+2）a2 D．（4+）a2
解：拼成的几何体比原正方体的表面增加了两个截面，减少了原来两个正方形面．
由于截面为矩形，长为a，宽为a，所以面积为a2，
所以拼成的几何体表面积为4×（a）2+2×a2＝（2+）a2
故选：B．
【变3-3】．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2，AB＝3，∠ABC＝60°，将此梯形以AD所在直线为轴旋转一周，所得几何体的表面积是　23π　．

解：由题意知，将此梯形以AD所在直线为轴旋转一周，所得几何体是圆台，
则圆台的上底圆的半径是2，下底圆的半径是3，高是，则母线长是2，
∴此圆台的表面积是4π+9π+π（2+3）×2＝23π，
故答案为：23π．
考点4 棱柱、棱锥、棱台的体积
【例4】．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为棱AA1的中点．若截面△BC1D是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为　8　．

解：设AC＝a，CC1＝b，截面△BC1D是面积为6的直角三角形，
则由（a2+b2）×2＝a2+b2，
得b2＝2a2，又×a2＝6，
∴a2＝8，∴V＝×8×4＝8．
故答案为：8

Ø变式训练
【变4-1】．三棱台ABC﹣A1B1C1中，A1B1：AB＝1：2，则三棱锥A1﹣ABC，A1﹣B1C1B，A1﹣C1BC的体积之比为（　　）

A．1：1：1 B．2：1：1 C．4：2：1 D．4：1：2
解：∵三棱台ABC﹣A1B1C1中，A1B1：AB＝1：2，
设点A1到平面ABC的距离为h，
∴三棱锥A1﹣ABC的体积V1＝，
三棱锥A1﹣B1C1B的体积V2＝＝，
三棱锥A1﹣C1BC的体积V3＝2V2，
∴三棱锥A1﹣ABC，A1﹣B1C1B，A1﹣C1BC的体积之比为4：1：2．
故选：D．

【变4-2】．棱台的体积为76cm3，高为6cm，一个底面面积为18cm2，则另一个底面面积为　8　．
解：设另一个底面面积为S，
则由棱台体积公式可得：V＝，
即，解得或（舍）．
∴S＝8．
故答案为：8．
考点5 圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积
【例5】．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的表面积与侧面积的比是（　　）
A． B． C． D．
解：设圆柱的底面半径为r，圆柱的高为h，
∵圆柱的侧面展开图是一个正方形，
∴2πr＝h，即r＝．
∴圆柱的侧面积为2πrh＝4π2r2，
圆柱的两个底面积为2πr2，∴圆柱的表面积为2πr2+2πrh＝2πr2+4π2r2，
∴圆柱的表面积与侧面积的比为：＝，
故选：B．
Ø变式训练
【变5-1】．圆锥的高h和底面半径r之比h：r＝2：1，且圆锥的体积V＝18π，则圆锥的表面积为（　　）
A．18π B．9（1+2）π C．9π D．9（1+）π
解：圆锥的高h和底面半径r之比h：r＝2：1，
∴h＝2r，
又圆锥的体积V＝18π，
即πr2h＝＝18π，
解得r＝3；
∴h＝6，
母线长为l＝＝＝3，
则圆锥的表面积为
S＝πrl+πr2＝π•3•3+π•32＝9（1+）π．
故选：D．

【变5-2】．将一定量的水倒入底面半径为4cm的圆柱形器皿中，量得水面高度为8cm，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是　　cm．
解：设倒圆锥形器皿中水面的高度为h（cm），则水面圆的半径为htan30°＝（cm）．
则由，得h＝（cm）．
故答案为：．

考点6 球的表面积和体积
【例6】．已知球心到过球面上A，B，C三点的截面的距离等于球的半径的一半，且AC＝BC＝6，AB＝4，求球的表面积．
解：在△ABC中，AC＝BC＝6，AB＝4，可得cosB＝＝，所以sinB＝，
设△ABC的外接圆的半径为r，可得2r＝＝，可得r＝，
设外接球的半径为R，由题意可得R2＝（）2+r2，
可得R2＝，
所以外接球的表面积S＝4πR2＝4π•＝54π．

Ø变式训练
【变6-1】．已知正方体、球、底面直径与母线相等的圆柱，它们的表面积相等，则它们的体积的大小关系是（　　）
A．V正方体＝V圆柱＝V球 B．V正方体＜V圆柱＜V球
C．V正方体＞V圆柱＞V球 D．V圆柱＞V正方体＞V球
解：设球的直径为d，正方体的棱长为a，圆柱的底面半径是r，
所以球的表面积为：πd2，正方体的表面积为：6a2，圆柱的表面积为：6πr2；
故πd2＝6a2＝6πr2显然d＞a；
而球的体积为：＝，正方体的体积是：a3，圆柱的体积为：2πr3
因为πd2＝6a2，所以d2＝，
所以
因为πd2＝6πr2，所以d2＝6r2，
所以
因为6a2＝6πr2，所以a2＝πr2，
所以
故V正方体＜V圆柱＜V球，
故选：B．
【变6-2】．已知H是球O的直径AB上一点，AH：HB＝1：2，过点H的平面截球O所得截面圆的圆心为点H，且截面圆的面积为4π，则球O的表面积为　18π　．
解：设球的半径为 R，
∵AH：HB＝1：2，
∴ 平面 α 与球心的距离为 R，
∵α 截球O所得截面的面积为4π，
∴ 截面圆的半径r＝2，
故 ，∴，
∴球的表面积S＝4πR2＝18π．
故答案为：18π．
考点7 球的切、接问题
【例7】．有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比．
解：设正方体的棱长为2，第一个球内切于正方体，半径r1＝1，其表面积S1＝4π×12＝4π．
第二个球与这个正方体各条棱相切，半径r1＝＝，其表面积S1＝4π×＝8π．
第三个球过这个正方体的各个顶点，半径r3＝，其表面积S1＝4π×＝12π．
∴这三个球的表面积之比为：1：2：3．
Ø变式训练
【变7-1】．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上．若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的直径为　13　．
解：因为三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，
所以三棱柱的底面是直角三角形，侧棱与底面垂直，
△ABC的外心是斜边的中点，上下底面的中心连线垂直底面ABC，其中点是球心，
即侧面B1BCC1，经过球的球心，球的直径是侧面B1BCC1的对角线的长，
因为AB＝3，AC＝4，BC＝5，BC1＝＝13，
所以球的直径为：13．
故答案为：13
【变7-2】．已知体积为的正三棱锥V﹣ABC的外接球的球心为O，满足，则该三棱锥外接球的体积为　　．
解：正三棱锥D﹣ABC的外接球的球心O满足 ，
说明三角形ABC在球O的大圆上，并且为正三角形，
设球的半径为：R，棱锥的底面正三角形ABC的高为：
底面三角形ABC的边长为：R
正三棱锥的体积为：××（R）2×R＝
解得R3＝4，则该三棱锥外接球的体积为 ＝．
故答案为：．
考点8 组合体的表面积和体积
【例8】．现需要设计一个仓库，由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P﹣A1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1（如图所示），并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍．
（1）若AB＝6m，PO1＝2m，则仓库的容积是多少？
（2）若正四棱锥的侧棱长为6m，当PO1为多少时，下部的正四棱柱侧面积最大，
最大面积是多少？

解：（1）∵PO1＝2m，正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍．
∴O1O＝8m，
答：仓库的容积V＝×62×2+62×8＝312m3，
（2）若正四棱锥的侧棱长为6m，设PO1＝xm，
则O1O＝4xm，A1O1＝m，A1B1＝m，
∴正四棱柱侧面积S＝4•4x•＝（0＜x＜6），
∴S≤＝，
当且仅当x＝，即x＝时，，
答：当PO1＝m时，正四棱柱侧面积最大，最大为．
Ø变式训练
【变8-1】．《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论述，比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小；以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺，问这块圆柱形木料的直径是多少？长为0.5丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示（阴影部分为镶嵌在墙体内的部分）．已知弦AB＝1尺，弓形高CD＝1寸，估算该木材镶嵌墙内部分的体积约为 　317　．（注：一丈＝10尺＝100寸，π≈3.14，sin22.5，答案四舍五入，只取整数）

解：如图，设半径为r寸，连接OA，OD，
已知AD＝AB＝5，OD＝OC﹣CD＝r﹣1，
在Rt△ADO中，AD2+OD2＝OA2，即52+（r﹣1）2＝r2，解得r＝13．
由sin，得∠AOD＝22.5°，∴∠AOB＝45°，
图中阴影部分的面积为S＝S扇形﹣S△AOB＝≈6.3325（平方寸）．
镶嵌在墙体中木材是以阴影部分为底面，以锯道长为高的柱体．
∴其体积为V＝Sh≈6.3325×50≈317（立方寸）．
故答案为：317．

【变8-2】．如图所示，一个正方体的棱长为2，以相对两个面的中心连线为轴，钻一个直径为1的圆柱形孔，则所得几何体的表面积为　24+1.5π　．

解：几何体的表面积为
S＝6×22﹣π×（0.5）2×2+2π×0.5×2＝24﹣0.5π+2π＝24+1.5π．
考点9 空间几何体展开图的应用
【例9】．如图，圆台上、下底面半径分别为5cm，10cm，母线长为20cm，从母线AB的中点M拉一条细绳，围绕圆台侧面转至下底面的点B，求B，M间细绳的最短长度．

解：如图所示，画出圆台的侧面展开图，并还原成圆锥展开的扇形，

设扇形的圆心为O，则绳子的最短距离为侧面展开图中MB'的长度，
设 OA＝l，∠AOA′＝n°，
则根据弧长公式得 ，
，
解得 n＝90，l＝20cm，
∴OB′＝40cm，OM＝30cm
∴，
即绳子的最短长度为50cm．
Ø变式训练
【变9-1】．我国古代数学专著《九章算术》中有这样一个问题：“今有木长二丈，围之三尺．葛生其下，缠木七周，上与木齐．问葛长几何？”其意思为：“圆木长2丈，圆周长为3尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木7周，顶部刚好与圆木平齐，问葛藤长为多少？”若1丈＝10尺，则葛藤最少长（　　）
A．29尺 B．24尺 C．26尺 D．30尺
解：如图，圆木的侧面展开图是矩形ABFE，圆木长为
AB＝20尺，圆周长为BE＝3尺，
则葛藤绕圆木7周后最少长为
BD＝（尺），
故选：A．

【变9-2】．已知正三棱锥P﹣ABC的底面边长为4，侧棱长为8，E，F分别是PB，PC上的点，求△AEF的周长最小值．

解：沿三棱锥P﹣ABC的侧棱PA剪开后再展开，如图，

原图中△AEF的周长最小，也就是展开图中的AA′，
在△PAB中，因为PA＝PB＝8，AB＝4，
设∠APB＝α，则＝．
∠APA′＝3α，
由cos3α＝4cos3α﹣3cosα＝＝．
在△APA′中，由余弦定理得：
AA′2＝PA2+PA′2﹣2PA•PA′cos3α
＝
＝121．
所以，AA′＝11．
所以，△AEF的周长最小值为11．
考点10 割补法求几何体的体积
【例10】．如图，已知底面半径为r的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为a，最小值为b，那么圆柱被截后剩下部分的体积是多少？

解：过B做平行于底面的截面，将剩下的几何体分为两部分，
下部分是底面为r，高为b的圆柱，其体积V1＝πr2b，
将上半部分补成圆柱，这样上部分的体积为补成圆柱体积的一半，其体积V2＝r2（a﹣b），
所以圆柱被截后剩下部分的体积V＝V1+V2＝r2（a+b）．

Ø变式训练
【变10-1】．如图所示，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若E，F分别为AB，AC的中点，平面EB1C1F将三棱柱分成体积分别为V1，V2的两部分，那么V1：V2等于多少？

解：如图，延长A1A到A2，B1B到B2，C1C到C2，
且A1A＝AA2，B1B＝BB2，C1C＝CC2，连接A2B2，B2C2，A2C2，
则得到三棱柱ABC﹣A2B2C2，且．
延长B1E，C1F，则B1E与C1F相交于点A2，
∵A2A：A2A1＝1：2，∴，
连接A2B，A2C，则＝
＝．
∴．
故V1：V2＝7：（12﹣7）＝7：5．

考点11 等体积法求棱锥的体积
【例11】．如图，已知E，F分别是三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱BB1和CC1上的点，且B1E＝CF，三棱柱的体积为m，求四棱锥A﹣BEFC的体积．

解：如图所示，

连接AB1，AC1．因为B1E＝CF，
所以梯形BEFC的面积等于梯形B1EFC1的面积．
又四棱锥A﹣BEFC的高与四棱锥A﹣B1EFC1的高相等，
所以＝，设棱柱ABC一A1B1C1的高为h
又，，所以，
所以．
即四棱锥ABEFC的体积是．
Ø变式训练
【变11-1】．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为平行四边形，CE＝2EP，若三棱锥P﹣EBD的体积为V1，三棱锥P﹣ABD的体积为V2，则的值为（　　）

A． B． C． D．
解：设四棱锥P﹣ABCD的高为h，底面ABCD的面积为S
则，
∵CE＝2EP，∴PE＝，
∴＝
＝．
∴．
故选：B．

考点12 有关球体的计算问题
【例12】．如图，圆锥型容器内盛有水，水深3dm，水面直径2dm放入一个铁球后，水恰好把铁球淹没，则该铁球的体积为　　dm

解：如图，

设铁球的半径为r，则放入铁球后水深为3r，上底面半径为，
此时铁球与水的体积和为．
原来水的体积为，铁球的体积为，
则，解得．
∴铁球的体积V＝．
故答案为：．
Ø变式训练
【变12-1】．已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相切，若这个球的体积是，则这个三棱柱的体积是（　　）
A．96 B．16 C．24 D．48
解：由球的体积公式，得πr3＝，
∴r＝2，
∴正三棱柱的高为h＝2r＝4；
设正三棱柱的底面边长为a，
则其内切圆的半径为：
r＝OD＝AD＝×a＝2，如图所示

解得a＝4；
∴该正三棱柱的体积为：
V＝S底•h＝•a•a•sin60°•h＝•（4）2•4＝48．
故选：D．
【变12-2】．已知圆柱的上底面圆周经过正三棱锥P﹣ABC的三条侧棱的中点，下底面圆心为此三棱锥底面中心O．若三棱锥P﹣ABC的高为该圆柱外接球半径的2倍，则该三棱锥的外接球与圆柱外接球的半径之比为（　　）
A．2：1 B．7：4 C．3：1 D．5：3
解：设正三棱锥P﹣ABC的底面边长为2a，高为h，如图所示：

则圆柱高为，底面圆半径为，
利用勾股定理，可求得圆柱外接球半径．
由h＝2R，可求得．
设正三棱锥P﹣ABC的外接球的半径为r，
则球心到底面距离为h﹣r，，
利用勾股定理，
可得，故，
故选：B．

【变12-3】．农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽花，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原，如图所示，平行四边形形状的纸片是由六个边长为的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为 　　；若该六面体内有一球，则该球体积的最大值为 　　．

解：该六面体是由两个全等的正四面体组合而成，正四面体的棱长为，如图所示，在棱长为的正四面体S﹣ABC中，取BC中点D，连接SD，AD，作SO⊥平面ABC，垂足O在AD上，
则，，，
∴该六面体的；
当该六面体内有一球，且该求体积取最大值时，
球心为O，且该球与SD相切，过球心O作OE⊥SD，
则OE就是球的半径，，
∴该球半径，（等体积法更简单）
该球体积的最大值为．
故答案为：；．




1．已知等边△ABC的直观图△A'B'C'的面积为，则△ABC的面积为（　　）
A． B． C．2 D．4
解：由于原图和直观图面积之间的关系，
可得：×＝，
那么△ABC的面积为．
故选：D．
2．已知一个圆锥的底面积为π，侧面积为2π，则该圆锥的体积为（　　）
A． B． C． D．
解：设圆锥的底面半径、高、母线长分别为r，h，l，
则解得所以．
圆锥的体积
故选：C．
3．如图所示的是一个四边形用斜二测法画出的直观图，它是一个底角为45°，腰和上底边长都为2的等腰梯形，则原四边形的面积为（　　）

A． B． C． D．
解：根据题意，等腰梯形A′B′C′D′中，底角为45°，腰和上底边长都为2，
则C′D′＝2+2×2×cos45°＝2+2，a
原图中，AB＝2，CD＝2+2，高BC＝4，
则原四边形的面积S＝（AB+CD）×BC＝8+4，
故选：B．
4．如图所示，△A'B'C'是水平放置的△ABC的斜二测直观图，其中O'C'＝O'A'＝2O'B'＝2，则以下说法正确的是（　　）

A．△ABC是钝角三角形
B．△ABC的面积是△A'B'C'的面积的2倍
C．B点的坐标为
D．△ABC的周长是
解：根据题意，将△A'B'C'还原成原图，如图，
依次分析选项：
对于A，△ABC中，有OC＝OA＝OB＝2，易得BC＝AB＝2，AC＝4，
故△ABC是等腰直角三角形，A错误；
对于B，△ABC的面积是△A'B'C'的面积的2倍，B错误；
对于C，B的坐标为（0，2），C错误；
对于D，△ABC的周长为BC+AB+AC＝4+4，D正确；
故选：D．

5．已知正三棱柱的侧棱长为l，底面边长为a，若该正三棱柱的外接球体积为，当l+a最大时，该正三棱柱的体积为（　　）
A． B． C． D．
解：因为正三棱柱外接球的体积为，所以R＝2，
设球心为O，底面外接圆圆心为O'，由正三棱锥可得，底面外接圆半径，
所以由勾股定理得，
设l+a＝m，当直线l+a＝m与曲线相切时，m最大，
联立方程组，得7a2﹣6ma+3m2﹣48＝0，
由Δ＝0，得或（舍去），此时，，
所以正三棱柱的体积，
故选：B．

6．如图，已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AD⊥CD，且AD＝2BC＝4，，P，O，E分别为A1D1，AD，PC的中点，△PAD为正三角形，则三棱锥E﹣POB的体积为（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1
解：因为P，O分别为A1D1，AD的中点，
所以由直棱柱的性质知PO⊥平面ABCD，
又△PAD为正三角形，AD＝4，
所以PO＝AD＝2．
连接CO，如图，

在直角梯形ABCD中，易知S△BCO＝BC•BO＝×2×2＝2．
因为E为PC的中点，
所以VE﹣POB＝VC﹣POB＝VP﹣BOD＝××S△BOD×PO＝×2×2＝2，
故选：C．
7．中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作，提出“幂势既同，则积不容异”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高．详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．上述原理在中国被称为祖暅原理．一个上底面边长为1，下底面边长为2高为2的正六棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为（　　）

A．16 B．16 C．18 D．21
解：由祖暅原理可知，该不规则几何体的体积与正六棱台的体积相等，
∵正六棱台的上下底面边长分别为1和2，
则，，
故V＝＝．
故选：D．
8．“阿基米德多面体”是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”．若该多面体的棱长为，则其体积为（　　）

A． B．5 C． D．
解：如图所示，该正多面体是由棱长为2的正方体
沿各棱中点截去8个三棱锥所得到的，
∴该几何体的体积为：V＝，
故选：D．

9．已知圆锥SO的母线长为，侧面展开图的圆心角为，则该圆锥外接球的表面积为（　　）
A． B．24 C．36π D．48
解：根据圆锥SO的母线长为，侧面展开图的圆心角为，设圆锥的底面半径为r，
所以圆锥的底面周长为满足2πr＝2，解得r＝2；
设圆锥的外接球的半径为R，
如图所示：

故圆锥的高为h＝；
设外接球的半径为R，
所以，
解得R＝3；
所以 ．
故选：C．

10．三棱锥P﹣ABC的侧棱PA、PB、PC两两垂直，且侧面面积分别为4，4，8，则该三棱锥内切球的半径为（　　）
A．4 B． C． D．
解：设三棱锥P﹣ABC的侧棱PA、PB、PC两两垂直，
设PA＝x，PB＝y，PC＝z，侧面面积分别为4，4，8，
故，解得，
设三棱锥的内切球的半径为r，
利用等体积转换法：，
解得：．
故选：D．
11．已知一个四棱锥的高为3，其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个边长为1的正方形，则此四棱锥的体积为 　2　．
解：∵底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个边长为1的正方形，面积为1，
∴四棱锥的底面面积为2，
∴此四棱锥的体积为＝2．
故答案为：2．
12．如图，在三棱锥A﹣PBC中，已知，，PA⊥AC，PB⊥BC，平面PAC⊥平面PBC，三棱锥A﹣PBC的体积为，若点P，A，B，C都在球O的球面上，则球O的表面积为 　4π　．

解：因为在三棱锥P﹣ABC中，，，PA⊥AC，PB⊥BC，
所以△PAC和△PBC均为直角三角形，且斜边均为PC，
所以PC为球O的直径，PC的中点为球心O，所以AO⊥PC，
设PA＝a，则AC＝a，，，，AO＝，

因为平面PAC⊥平面PBC，AO⊥PC，平面PAC∩平面PBC＝PC，
所以AO⊥平面PBC，
所以AO即为三棱锥的高，
因为三棱锥A﹣PBC的体积为，
所以球半径，
所以球O的表面积为S＝4πR2＝4π×12＝4π．
故答案为：4π．

13．如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA1＝12．若侧面AA1B1B水平放置时，液面恰好过AC，BC，A1C1，B1C1的中点．当底面ABC水平放置时，液面高为 　9　．

解：当侧面AA1B1B水平放置时，水的形状为四棱柱形，底面是梯形，
设△ABC的面积为S，则S梯形＝S，
水的体积V水＝S×AA1＝9S，
当底面ABC水平放置时，水的形状为三棱柱形，设水面高为h，
则有V水＝Sh＝9S，得h＝9，
即当底面ABC水平放置时，液面高为9．
故答案为：9．
14．在棱长为6的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是BC的中点，点P是正方体表面DCC1D1（即正方形及其内部）的动点，且满足∠APD＝∠MPC，则三棱锥P﹣BCD的体积最大值是　12　．
解：∵在棱长为6的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是BC的中点，
点P是面DCC1D1所在的平面内的动点，
且满足∠APD＝∠MPC，
∴Rt△ADP∽△Rt△PMC，
∴＝＝2，
即PD＝2PC，
设DO＝x，PO＝h，作PO⊥CD，
∴＝2，化简得：3h2＝﹣3x2+48x﹣144，0≤x≤6，
根据函数单调性判断：x＝6时，3h2最大值为36，
h大＝2，
∵在正方体中PO⊥面BCD，
∴三棱锥P﹣BCD的体积最大值：＝12．
故答案为：12．

15．如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为 　10π　．

解：用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，

则圆柱的体积为π×22×5＝20π，
故所求几何体的体积为10π．
故答案为：10π．
16．我国古代数学名著《九章算术》对立体几何也有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥．现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱ABC﹣A1B1C1，其中AC⊥BC，若AA1＝AB＝1，当“阳马”即四棱锥B﹣A1ACC1，体积最大时，“堑堵”即三棱柱ABC﹣A1B1C1的表面积为 　　．

解：由题意可知，平面AA1C1C⊥平面ABC，且平面AA1C1C∩平面ABC＝AC，BC⊥AC，
∴BC⊥平面AA1C1C，
∴四棱锥B﹣A1ACC1的体积V＝＝，
∵AC⊥BC，AB＝1，
∴AC2+BC2＝AB2＝1，
∴AC×BC＝，当且仅当AC＝BC＝时，等号成立，
∴四棱锥B﹣A1ACC1的体积V≤，当且仅当AC＝BC＝时，等号成立，
∴当四棱锥B﹣A1ACC1体积最大时，三棱柱ABC﹣A1B1C1的表面积为1×＝．
故答案为：．
17．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中将底面为矩形的棱台称为刍童．如图所示的某刍童ABCD﹣A1B1C1D1中，O1，O为上、下底面的中心，O1O⊥平面ABCD，A1B1＝A1D1＝2，AB＝AD＝4，侧棱A1A所在直线与直线O1O所成的角为45°，则该刍童ABCD﹣A1B1C1D1的体积为 　　．

解：设四条侧棱延长交于顶点P，连接AO，A1O1，

由题中已知条件可知，底面矩形ABCD中，AB＝AD＝4知，AO＝，
又侧棱A1A所在直线与直线O1O所成的角为45°，
再由线面垂直关系知等腰直角△POA中，，
同理可得，，
又上底面面积S1＝4，下底面面积S＝16，
所以该刍童ABCD﹣A1B1C1D1的体积＝＝．
故答案为：．
18．如图，正三棱锥V﹣ABC中，AB＝BC＝AC＝2，VA＝VB＝VC＝，点M，N分别为VA，BC的中点，一只蚂蚁从点M出发，沿三棱锥侧面爬行到点N，求：
（1）该三棱锥的体积与表面积；
（2）蚂蚁爬行的最短路线长．

解：（1）∵AB＝BC＝AC＝2，VA＝VB＝VC＝，
∴VA2+VB2＝AB2，VB2+VC2＝BC2，VA2+VC2＝AC2，
∴VA⊥VB，VB⊥VC，VA⊥VC，
∵VB∩VC＝V，∴VA⊥平面VBC，
∴三棱锥的体积为VV﹣ABC＝VA﹣VBC＝＝，
三棱锥的表面积为SV﹣ABC＝S△VBC+S△VAB+S△ABC＝＝3+．
（2）情况一，如图，连接MN，线段MN的长度即蚂蚁爬行的最短路线长，

△MCN中，MC＝，CN＝1，，
由余弦定理得MN2＝MC2+CN2﹣2MN•CN•cos，
即MN2＝，解得MN＝；
情况二，如图，连接MN，AN，线段MN的长度即蚂蚁爬行的最短路线长，

∵AM＝，AN＝，，
由余弦定理得MN2＝AM2+AN2﹣2AM•AN•cos，
∵cos＝cos（）＝cos﹣sinsin＝，
∴MN2＝＝，则MN＝，
∵＝＞，
∴蚂蚁爬行的最短路线长为．
19．如图，已知圆锥的底面半径R＝6，高H＝8．
（1）求圆锥的表面积和体积；
（2）如图若圆柱OO1内接于该圆锥，试求圆柱侧面积的最大值．

解：（1）∵圆锥的底面半径R＝6，高H＝8，
∴圆锥的母线长，
则表面积S＝πRL+πR2＝60π+36π＝96π，体积；
（2）作出圆锥、圆柱的轴截面如图所示，

其中SO＝8，OA＝OB＝6，OK＝h（0＜h＜8），
设圆桂底面半径为r，则，即．
设圆柱的侧面积为．
当h＝4时，S有最大值为24π．

20．如图是一个正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的石料，上、下底面的边长分别为20cm和40cm，高30cm．

（1）求四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的表面积；
（2）若要这块石料最大限度打磨为一个圆台，求圆台O﹣O1的体积．
解：（1）AA1＝＝10，
点A1到AB的距离d＝＝10，
∴四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的表面积为：
S＝202+402+4×＝3200（cm2）．
（2）圆台O﹣O1的体积为：
V＝＝＝28000π（cm3）．