专题09 空间点、直线、平面之间的位置关系-高一数学下学期期中期末复习（人教A版必修第二册）

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                      （一）平面平面的概念：平面是一个不加定义，只需理解的原始概念．立体几何里所说的的平面是从现实生活中常见的平面抽象出来的．常见的桌面、平静的水面等都给我们以平面的局部形象．平面是理想的、绝对的平且无大小，无厚度，不可度量．平面的表示方法(1)一个平面：当平面是水平放置的时候，通常把平行四边形的锐角画成45，横边画成邻边的2倍长，如右图．(2)两个相交平面：  画两个相交平面时，通常要化出它们的交线，当一个平面的一部分被另一个平面遮住，应把被遮住部分的线段画成虚线或不画（如下图）   运用集合观点准确使用图形语言、符号语言和文字语言空间图形的基本元素是点、直线、平面从运动的观点看，点动成线，线动成面，从而可以把直线、平面看成是点的集合，因此还可借用集合中的符号语言来表示点、线、面的基本位置关系如下表所示：图形语言符号语言文字语言（读法） 点在直线上 点不在直线上 点在平面内 点不在平面内直线、交于点 直线在平面内 直线与平面无公共点 直线与平面交于点 平面、相交于直线（二）平面的基本性质公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内推理模式：．  如图示：或者：∵，∴公理1的作用：①判定直线是否在平面内；②判定点是否在平面内；③检验面是否是平面．公理2 ：如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线推理模式：如图示：         或者：∵，∴公理2的作用：①判断两个平面是否相交及交线位置；②判断点是否在线上今后所说的两个平面(或两条直线),如无特殊说明,均指不同的平面(直线)．公理3 ：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面推理模式：与重合或者：∵不共线，∴存在唯一的平面，使得.推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面；推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面；推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．(1)以上是确定平面的四个不同的条件，是判断两个平面重合的依据，是证明点线共面的依据，也是作截面、辅助面的依据．(2)“有且只有一个”的含义要准确理解．这里的“有”是说图形的存在，“只有一个”是说图形唯一．因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证．（三）空间两直线的位置关系位置关系共面情况公共点个数相交直线在同一平面内有且只有一个公共点平行直线在同一平面内没有公共点异面直线不同在任何一个平面内没有公共点（四）平行直线公理4：平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行推理模式：．(1)它是判断空间两条直线平行的依据；    (2)它说明平行关系具有传递性等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，且方向相同，那么这两个角相等．（五）异面直线定义：不在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线(1)异面直线既不平行，也不相交，永远不存在一个平面能同时包含这两直线；(2)不能把异面直线误认为：分别在不同平面内的两条直线为异面直线(3)异面直线一般是对两条直线而言的，没有三条异面直线的说法．异面直线的画法：画异面直线时，为了充分显示不共面的特点，常常需要以辅助平面为衬托，以加强直观性．  异面直线判定定理：过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线   推理模式：直线与直线是异面直线（六）异面直线所成的角定义：已知，是两条异面直线，经过空间任意一点作直线，我们把直线和所成的锐角（或直角）叫做异面直线，所成的角．(1)异面直线所成的角与点的位置无关．(2)如果两条异面直线所成角是直角，则说这两条异面直线互相垂直，记作．(3)异面直线所成角的范围是．求异面直线所成角的步骤：（1）恰当选点，由平移构造出一个交角；（2）证平行关系成立；（3）把角放入三角形或其它平面图形中求出；（4）作结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角才是所求异面直线所成的角．（七）直线、平面的位置关系空间直线与平面的位置关系有以下三种：(1)直线在平面内：如果一条直线a与平面α有两个不同的公共点，那么这条直线就在这个平面内，记作a⊂α.(2)直线与平面相交：直线a与平面α只有一个公共点A，叫做直线与平面相交，记作a∩α＝A，公共点A叫做直线a与平面α的交点．(3)直线与平面平行：如果一条直线a与平面α没有公共点，叫做直线与平面平行，记作a∥α.两个平面的位置关系有且只有一下两种：(1)两个平面平行---没有交点(2)两个平面相交---有一条公共直线空间四边形：顺次连接不共面的四点A、B、C、D所构成的图形，叫做空间四边形．这四个点中的各个点叫做空间四边形的顶点；所连接的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边；连接不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线．考点1 点、线、面之间位置关系的表示【例1】．按下列叙述画出图形（不必写出画法）：α∩β＝m，a⊂α，b⊂β，α∩m＝N，M∈m，b∥m．      变式训练【变1-1】．点A在直线l上，直线l在平面α内，用符号表示，正确的是（　　）A．A∈l，l∈α B．A∈l，l∉α C．A⊂l，l⊂α D．A∈l，l⊂α    【变1-2】．下列四个选项中的图形表示两个相交平面，其中画法正确的是（　　）A． B． C． D．  考点2 点、线共面问题【例2】．如图，在下列四个正方体中，A，B，C，D分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，A，B，C，D四点共面的是（　　）A． B． C． D．  变式训练【变2-1】．下列叙述中错误的是（　　）A．若点P∈α，P∈β且α∩β＝l，则P∈l B．三点A，B，C能确定一个平面 C．若直线a∩b＝A，则直线a与b能够确定一个平面 D．若点A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α，则l⊂α【变2-2】．下列结论中不正确的是（　　）A．若两个平面有一个公共点，则它们有无数个公共点 B．若已知四个点不共面，则其中任意三点不共线 C．若点A既在平面α内，又在平面β内，则α与β相交于b，且点A在b上 D．任意两条直线不能确定一个平面  考点3 证明点共线、线共点问题【例3】．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1，对角线A1C与平面BDC1交于点O．AC、BD交于点M、E为AB的中点，F为AA1的中点，求证：（1）C1、O、M三点共线（2）E、C、D1、F四点共面（3）CE、D1F、DA三线共点．         变式训练【变3-1】．在空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，如果EF与HG交于点M，那么（　　）A．M一定在直线AC上 B．M一定在直线BD上 C．M可能在直线AC上，也可能在直线BD上 D．M既不在直线AC上，也不在直线BD上  【变3-2】．已知三个不重合的平面α，β，γ，三条不同的直线a，b，c，若α∩β＝c，β∩γ＝a，γ∩α＝b，且a和b不平行．求证：a，b，c三条直线必过同一点．  考点4 空间中直线与直线的位置关系【例4】．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1的棱所在的直线中，与直线BC1异面的直线的条数为 　     　．  变式训练【变4-1】．已知A，B，C，D是空间四点，命题甲：A，B，C，D四点不共面，命题乙：直线AC和BD不相交，则甲是乙成立的（　　）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变4-2】．已知平面α∥平面β，直线m⊂α，直线n⊂β，则直线m，n（　　）A．平行或相交 B．相交或异面 C．平行或异面 D．平行、相交或异面  考点5 空间中直线与平面的位置关系【例5】．下列命题中正确的是　   　（填序号）．①若直线l与平面α相交，则l与平面α内的任意直线都是异面直线；②若两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条一定与该平面相交；③若直线l与平面α平行，则l与平面α内的直线平行或异面．  变式训练【变5-1】．设a为空间中的一条直线，记直线a与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的六个面所在的平面相交的平面个数为m，则m的所有可能取值构成的集合为（　　）A．{2，4} B．{2，6} C．{4，6} D．{2，4，6}  【变5-2】．给出下列说法：①若直线a在平面α外，则a∥α；②若直线a∥b，b⊂平面α，则a∥α；③若直线a∥平面α，则直线a平行于平面α内的无数条直线；④若直线a平行于平面α内的无数条直线，则a∥α．其中说法正确的个数为（　　）A．0 B．1 C．2 D．310．   考点6 空间平面与平面的位置关系【例6】．在底面为正六边形的六棱柱中，若两个互相平行的面视为一组，则共有　4　组互相平行的面，与其中一个侧面相交的面共有　    　个．    变式训练【变6-1】．如果三个平面把空间分成6个部分，那么这三个平面的位置关系可以是 　   　.（填序号）①三个平面两两平行；②三个平面两两相交，且交于同一条直线；③三个平面两两相交，且有三条交线；④两个平面平行，且都与第三个平面相交．    【变6-2】．平面 α∥平面 β，直线 a⊆α，下列四个说法中，正确的个数是①a与β内的所有直线平行；②a与β内的无数条直线平行；③a与β内的任何一条直线都不垂直；④a与β无公共点．（　　）A．1 B．2 C．3 D．4                             1．已知不重合的直线l，m，n和不重合的平面α，β，下列说法中正确的是（　　）A．若m⊂α，n⊂β，m⊥n，则α⊥β B．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β C．若α⊥β，l⊥β，则l∥α D．若α∩β＝l，m⊂α，n⊂β，m∥n，则m∥l 2．一封闭的正方体容器ABCD﹣A1B1C1D1，P，Q，R分别为AD，BB1，A1B1的中点，如图所示．由于某种原因，在P，Q，R处各有一个小洞，当此容器内存水最多时，容器中水的上表面的形状是（　　）边形A．3 B．4 C．5 D．6 3．如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则（　　）A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线   B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线 C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线   D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线4．如图正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P、Q、R、S分别为棱AB、BC、BB1、CD的中点，联结A1S，B1D．空间任意两点M、N，若线段MN上不存在点在线段A1S、B1D上，则称MN两点可视，则下列选项中与点D1可视的为（　　）A．点P B．点B C．点R D．点Q  5．如图是一个长方体的展开图，如果将它还原为长方体，那么线段AB与线段CD所在的直线（　　）A．平行 B．相交 C．是异面直线 D．可能相交，也可能是异面直线  
6．如图所示，一个灯笼由一根提竿PQ和一个圆柱组成，提竿平行于圆柱的底面，在圆柱上下底面圆周上分别有两点A、B，AB与圆柱的底面不垂直，则在圆柱绕着其旋转轴旋转一周的过程中，直线PQ与直线AB垂直的次数为（　　）A．2 B．4 C．6 D．8  7．平行四边形ABCD中，∠ABD＝55°，∠BAD＝85°，将△ABD绕BD旋转至与面BCD重合，在旋转过程中（不包括起始位置和终止位置），有可能正确的是（　　）A．AB∥CD B．AB⊥CD C．AD⊥BC D．AC⊥BD 8．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为A1B1上任一点，则AD1与CM位置关系是 　    　．   9．已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，给出下列四个命题：①若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n．②若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β．③若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β．④若m∥α，n∥β，α∥β则m⊥n．其中正确的命题序号是　    　．10．在空间四边形ABCD中，E，H分别为AD，DC的中点，F，G分别为AB，BC上远离点B的三等分点，则直线FE与GH的位置关系是 　    　．   11．设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列四个命题：①若a⊥b，a⊥α，则b∥α；②若a∥α，α⊥β，则a⊥β；③若a⊥β，α⊥β，则a∥α；④若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β．其中正确的命题序号是　   　．   12．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．其中正确的结论为　③④　（注：把你认为正确的结论的序号都填上）． 13．如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O为DB的中点，直线A1C交平面C1BD于点M，则下列结论错误的序号是　     　．①C1，M，O三点共线；②C1，M，O，C四点共面；③C1，M，O，A四点共面；④D1，D，O，M四点共面．   14．已知四边形ABCD是空间四边形，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形．    15．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为C1D1，B1C1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q，求证：（1）D、B、F、E四点共面；（2）若A1C∩平面DBFE＝R，则P、Q、R三点共线．          16．如图，在三棱锥P﹣ABC中，E，F分别是PA，AB的中点，G，H分别是PC，BC上的点，且＝＝．（1）证明：E，F，G，H四点共面；（2）证明：三条直线EG，FH，AC交于一点．