专题12 点、直线、平面之间位置关系的综合问题-高一数学下学期期中期末复习（人教A版必修第二册）

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            要点一：平面基本性质    公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内．作用：是判定直线是否在平面内的依据．    公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．作用：提供确定平面最基本的依据．    公理3：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线．作用：是判定两个平面交线位置的依据．    公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．作用：是判定空间直线之间平行的依据．要点二：空间的平行与垂直关系    （1）空间中的平行关系    如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．    如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和两平面的交线平行．    如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．    如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行．    （2）空间中的垂直关系    如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．    如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则两个平面互相垂直．    如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．    解决空间问题的重要思想方法：等价转化——化空间问题为平面问题．空间平行、垂直关系证明的基本思想方法——转化与联系，如图所示．        要点三、直线与平面所成的角1．直线与平面所成角的定义一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线.过斜线上斜足外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.要点诠释：(1)直线与平面平行，直线在平面上的射影是一条直线. (2)直线与平面垂直时射影是点.(3)斜线上任一点在平面内的射影一定在斜线的射影上.2．直线与平面所成的角的范围：     直线和平面平行或直线在平面内，=0°。．直线和平面所成角的范围是0°≤≤90°．3．求斜线与平面所成角的一般步骤：    (1)确定斜线与平面的交点即斜足；    (2)经过斜线上除斜足外任一点作平面的垂线，确定垂足，进而确定斜线在平面内的射影；(3)解由垂线、斜线及其射影构成的直角三角形，求出线面角．要点四、二面角1.二面角定义平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面. 表示方法：棱为、面分别为的二面角记作二面角.有时为了方便，也可在内(棱以外的半平面部分)分别取点，将这个二面角记作二面角.如果棱记作，那么这个二面角记作二面角或. 2.二面角的平面角(1) 二面角的平面角的定义：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则这两条射线构成的角叫做二面角的平面角.(2)二面角的平面角的范围：0°≤≤180°．当两个半平面重合时，=0°；当两个半平面相交时，0°＜＜180°；当两个半平面合成一个平面时，=180°．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角.(3) 二面角与平面角的对比 角二面角图形定义从半面内一点出发的两条射线（半直线）所组成的图形从空间内二直线出发的两个半平面所组成的图形表示法由射线、点（顶点）、射线构成，表示为∠AOB由半平面、线（棱）、半平面构成，表示为二面角(4) 二面角的平面角的确定方法    方法1：（定义法）在二面角的棱上找一特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如右图，在二面角的棱a上任取一点O，在平面内过点O作OA⊥a，在平面内过点O作BO⊥a，则∠AOB为二面角的平面角．     方法2：（垂面法）过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．    如下图（左），已知二面角，    过棱上一点O作一平面，使，且，。∴，，且⊥OA，⊥OB，∴∠AOB为二面角的平面角．            方法3：（垂线法）过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角，此种方法通常用于求二面角的所有题目，具体步骤：一找，二证，三求．    如上图（右），已知二面角A-BC-D，求作其平面角．    过点A作AE⊥平面BCD于E，过E在平面BCD中作EF⊥BC于F，连接AF．    ∵AE⊥平面BCD，BC平面BCD，∴AE⊥BC．    又EF⊥BC，AE∩EF=E，    ∴BC⊥平面AEF，∴BC⊥AF由垂面法可知，∠AFE为二面角A-BC-D的平面角。考点1 空间点、线、面之间的垂直、平行、异面关系【例1】．已知α、β是两个不同的平面，m、n是两条不同的直线，给出下列命题：①若m⊥α，m⊂β，则α⊥β；②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；③如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n与α相交；④若α∩β＝m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β．其中正确的命题是（　　）A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 变式训练【变1-1】．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则能得出a⊥b的是（　　）A．a⊥α，b∥β，α⊥β B．a⊥α，b⊥β，α∥β C．a⊂α，b⊥β，α∥β D．a⊂α，b∥β，α⊥β 【变1-2】．若直线 l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（　　）A．l与l1，l2都不相交 B．l与l1，l2都相交 C．l至多与l1，l2中的一条相交 D．l至少与l1，l2中的一条相交 【变1-3】．在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝CD＝2AB＝2，M为PC的中点．（Ⅰ）求证：BM∥平面PAD；（Ⅱ）平面PAD内是否存在一点N，使MN⊥平面PBD？若存在，确定点N的位置；若不存在，请说明理由．    考点2 几何体体积、空间距离问题【例2】．如图四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥面ABCD，（Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面BED；（Ⅱ）若∠ABC＝120°，AE⊥EC，且△AEC的面积为3，求三棱锥D﹣AEC的体积．     变式训练【变2-1】．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BCD＝60°，AB＝2AD，PD⊥平面ABCD，点M为PC的中点．（1）求证：PA∥平面BMD；（2）求证：AD⊥PB；（3）若AB＝PD＝2，求点A到平面BMD的距离．   【变2-2】．如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，BC⊥CD，平面SCD⊥平面ABCD，SC＝CD＝SD＝AD＝2AB＝2，M，N分别为SA，SB的中点，E为CD的中点，过M，N作平面MNPQ分别与交BC，AD于点P，Q．（Ⅰ）当Q为AD中点时，求证：平面SAE⊥平面MNPQ；（Ⅱ）当时，求三棱锥Q﹣BCN的体积．                  【变2-3】．如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，，点E为AC中点，将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D﹣ABC，如图2所示．（1）求证：DA⊥BC；（2）在CD上找一点F，使AD∥平面EFB；（3）求点A到平面BCD的距离．                                            1．若直线l不平行于平面α，则下列结论成立的是（　　）A．α内的所有直线都与l异面 B．α内不存在与l平行的直线 C．α内的所有直线都与l相交 D．直线l与平面α有公共点  2．已知不重合的直线l，m，n和不重合的平面α，β，下列说法中正确的是（　　）A．若m⊂α，n⊂β，m⊥n，则α⊥β B．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β C．若α⊥β，l⊥β，则l∥α D．若α∩β＝l，m⊂α，n⊂β，m∥n，则m∥l  3．如图，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线MN∥平面ABC的是（　　）A． B． C． D． 4．在气象观测中，用降水量表示下雨天气中雨量的大小．降水量的测量方法是从天空降落到地面上的雨水，在未蒸发、渗透、流失的情况下，在水平面上积聚的雨水深度．降水量以mm为单位，一般取一位小数．现某地10分钟的降雨量为13.1mm，小王在此地此时间段内用底面半径为5cm的圆柱型量筒收集的雨水体积约为（其中π≈3.14）（　　）A．1.02×103mm3 B．1.03×103mm3 C．1.02×105mm3 D．1.03×105mm3   5．“阿基米德多面体”是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”．若该多面体的棱长为，则其体积为（　　）A． B．5 C． D．   6．甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为V甲和V乙．若，则＝（　　）A． B． C． D．   7．如图，圆锥的轴截面为正三角形，点P为顶点，点O为底面圆心，过轴PO的三等分点O1（靠近点P）作平行底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，此圆柱的下底面在圆锥的底面上，则所得圆柱的体积与原圆锥的体积之比为（　　）A．1：9 B．2：9 C．1：27 D．2：27   8．已知正三棱柱的侧棱长为l，底面边长为a，若该正三棱柱的外接球体积为，当l+a最大时，该正三棱柱的体积为（　　）A． B． C． D．   9．转子发动机采用三角转子旋转运动来控制压缩和排放．如图，三角转子的外形是有三条侧棱的曲面棱柱，且侧棱垂直于底面，底面是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆构成的曲面三角形，正三角形的顶点称为曲面三角形的顶点，侧棱长为曲面棱柱的高，记该曲面棱柱的底面积为S，高为h，已知曲面棱柱的体积V＝Sh，若，h＝1，则曲面棱柱的体积为（　　）A． B． C． D．  10．中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作，提出“幂势既同，则积不容异”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高．详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．上述原理在中国被称为祖暅原理．一个上底面边长为1，下底面边长为2高为2的正六棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为（　　）A．16 B．16 C．18 D．21  11．如图，在三棱锥A﹣PBC中，已知，，PA⊥AC，PB⊥BC，平面PAC⊥平面PBC，三棱锥A﹣PBC的体积为，若点P，A，B，C都在球O的球面上，则球O的表面积为 　    ．  12．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M是AD的中点，动点P在底面ABCD内（不包括边界），若B1P∥平面A1BM，则C1P的最小值是　　    ．  13．如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是AB1，BC1的中点，则下列结论不成立的是 　   　．①EF与BB1垂直；②EF与BD垂直；③EF与CD异面；④EF与A1C1异面．   14．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1，∠ABC＝60°，AC＝2，侧棱长为，点P是侧面ACC1A1内一点．当|AB|+|BC|最大时，过B、B1、P三点的截面面积的最小值为 　   　．   15．我国古代数学名著《九章算术》对立体几何也有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥．现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱ABC﹣A1B1C1，其中AC⊥BC，若AA1＝AB＝1，当“阳马”即四棱锥B﹣A1ACC1，体积最大时，“堑堵”即三棱柱ABC﹣A1B1C1的表面积为 　　          ． 16．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且，则下列结论中正确的结论序号是               ．①AC⊥BE；②EF∥平面ABCD；③异面直线AE，BF所成的角为定值；④直线AB与平面BEF所成的角为定值；⑤ABEF为顶点的四面体的体积不随EF位置的变化而变化．  17．已知四面体A﹣BCD中，AB＝2，AC＝3，AD＝4，G为底面△BCD的重心，且∠BAC＝∠DAC＝∠BAD＝60°．（1）求线段AG的长；（2）求三棱锥A﹣BCD的体积VA﹣BCD．             18．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC＝AA1＝1，，，P为线段BC1上的动点．（1）当P为线段BC1上的中点时，求三棱锥B﹣PAC的体积；（2）当P在线段BC1上移动时，求AP+CP的最小值．      19．如图，在正三棱锥P﹣ABC中，有一半径为1的半球，其底面圆O与正三棱锥的底面贴合，正三棱锥的三个侧面都和半球相切．设点D为BC的中点，∠ADP＝α．（1）用α分别表示线段BC和PD长度；（2）当时，求三棱锥的侧面积S的最小值．      20．如图，三棱锥A﹣BCD中，侧面△ABD是边长为4的正三角形，AC＝2CD＝4，平面ABD⊥平面BCD，把平面ACD沿CD旋转至平面PCD的位置，记点A旋转后对应的点为P（不在平面BCD内），M，N分别是BD、CD的中点．（1）求证：CD⊥MN；（2）当三棱锥C﹣APD的体积最大值时，求三棱锥P﹣BMN的体积．