专题17 事件的相互独立性-高一数学下学期期中期末复习（人教A版必修第二册）

1.相互独立事件：事件A（或B）是否发生，对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样两个事件叫做相互独立事件．

2.相互独立事件同时发生的概率公式：

将事件A和事件B同时发生的事件即为A•B，若两个相互独立事件A、B同时发生，则事件A•B发生的概率为：P（A•B）＝P（A）•P（B）

推广：一般地，如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率之积，即：P（A1•A2…An）＝P（A1）•P（A2）…P（An）

3.区分

互斥事件和相互独立事件是两个不同的概念：

（1）互斥事件：两个事件不可能同时发生；

（2）相互独立事件：一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．

考点1 相互独立事件的判断

【例1】．下列各对事件不是相互独立事件的是 　（2）　（只填序号）．

（1）甲组3名男生，2名女生，乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；

（2）容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”；

（3）掷一枚质地均匀的骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”．

解：（1）甲组3名男生，2名女生，乙组2名男生，3名女生，

从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，

“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”两个事件间发生与否相互没有影响，是相互独立事件；

（2）容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，

“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”，

两个事件间发生与否有影响，不是相互独立事件；

（3）掷一枚质地均匀的骰子一次，

设事件A＝“出现偶数点”，事件B＝“出现3点或6点”，

P（A）＝，P（B）＝，P（AB）＝，

∵P（AB）＝P（A）P（B），∴两个事件是相互独立事件．

故答案为：（2）．

变式训练

【变1-1】．一袋中装有5只白球，3只黄球，在有放回地摸球中，用A1表示第一次摸得白球，A2表示第二次摸得白球，则事件A1与是（　　）

A．相互独立事件 B．不相互独立事件 

C．互斥事件 D．对立事件

解：由题意可得 表示第二次摸到的不是白球，即 表示第二次摸到的是黄球，由于采用有放回地摸球，

故每次是否摸到黄球互不影响，故事件A1与是相互独立事件．

故选：A．

【变1-2】（多选）下列描述正确的是（　　）

A．若事件A，B满足P（A）+P（B）＝1，则A与B是对立事件 

B．若，，，则事件A与B相互独立 

C．掷两枚质地均匀的骰子，“第一枚出现奇数点”与“第二枚出现偶数点”是对立事件 

D．一个袋子中有2个红球，3个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出两球第二次取到红球的概率是

解：对于A，当A事件表示“抛掷一枚骰子，出现奇数点朝上”，则P（A）＝，事件B表示“抛掷一枚硬币，正面朝上”，则P（B）＝，此时P（A）+P（B）＝1，但A与B不是对立事件，故A错误；

对于B，若，，则P（A）＝，，则事件A与B相互独立，故B正确；

对于C，掷两枚质地均匀的骰子，“第一枚出现奇数点”与“第二枚出现偶数点”是相互独立事件，不是对立事件，故C错；

对于D，一个袋子中有2个红球，3个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出两球第二次取到红球的概率是＝，故D正确；

故选：BD．

考点2 相互独立事件的概率

【例2】．设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响，已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125．

（Ⅰ）求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少；

（Ⅱ）计算这个小时内至少有一台需要照顾的概率．

解：（Ⅰ）记甲、乙、丙三台机器在一小时需要照顾分别为事件A、B、C，

则A、B、C相互独立，

由题意得：

P（AB）＝P（A）P（B）＝0.05

P（AC）＝P（A）P（C）＝0.1

P（BC）＝P（B）P（C）＝0.125

∴P（A）＝0.2；P（B）＝0.25；P（C）＝0.5

∴甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是0.2、0.25、0.5

（Ⅱ）∵A、B、C相互独立，

∴相互独立，

∴甲、乙、丙每台机器在这个小时内都不需要照顾的概率为

∴这个小时内至少有一台需要照顾的概率为

．

变式训练

【变2-1】．某零件的加工共需四道工序，设第一、二、三、四道工序的次品率分别为2%，3%，5%，3%，假设各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率约为（　　）

A．22.5% B．15.5% C．15.3% D．12.4%

解：加工出来的零件为次品的对立事件为零件是正品，而零件是正品需要四道工序全部是正品．

由对立事件公式得，加工出来的零件的次品率为：

P＝1﹣（1﹣2%）（1﹣3%）（1﹣5%）（1﹣3%）≈12.4%．

故选：D．

【变2-2】．甲、乙两同学进行投篮比赛，每一局每人各投两次球，规定进球数多者该局获胜，进球数相同则为平局．已知甲每次投进的概率为，乙每次投进的概率为，甲、乙之间的投篮相互独立．

（1）求一局比赛甲进两球获胜的概率；

（2）求一局比赛的结果不是平局的概率．

解：（1）设“一局比赛甲进两球获胜”为事件A，

则P（A）＝•[+2•＝．  …（6分）

（2）设“一局比赛出现平局”为事件B，则事件B包括“甲乙都进2个球”，“甲乙都进1个球”，“甲乙都进0个球”，

三种情况．

则P（B）＝•+2•••2•+•＝．…（10分）

所以 P（）＝1﹣P（B），即一局比赛的结果不是平局的概率为 ．…（12分）

考点3 相互独立事件的综合应用

【例3】．甲、乙两人组成“梦之队”参加猜谜语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个谜语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为p．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．若“梦之队”在第一轮活动中猜对1个谜语的概率为．

（1）求p的值；

（2）求“梦之队”在两轮活动中猜对3个谜语的概率．

解：（1）∵“梦之队”在第一轮活动中猜对1个谜语的概率为，

∴＝，

解得p＝．

（2）若“梦之队”在两轮活动中猜对3个谜语，则第一轮活动猜对2个，第二轮活动猜对1个，或第一轮活动猜对1个，第二轮活动猜对2个，

∴所求概率为P＝×＝．

变式训练

【变3-1】．如图，某系统由A，B两个零件组成，零件A中含1个元件，零件B中含2个元件，每个零件中的元件只要有一个能正常工作，该零件就能正常工作；两个零件都正常工作，该系统才能正常工作，每个元件能正常工作的概率都是，且各元件是否正常工作相互独立，则该系统能正常工作的概率为（　　）

A． B． C． D．

解：零件B不能正常工作的概率是，

所以零件B能正常工作的概率是，

零件A能正常工作的概率为，

该系统能正常工作的概率为．

故选：B．

【变3-2】．高一年级某同学参加了学校“数学社”“物理社”“话剧社”三个社团的选拔，该同学能否成功进入这三个社团是相互独立的．假设该同学能够进入“数学社”“物理社”“话剧社”三个社团的概率分别为m，n，，该同学进入两个社团的概率为，且三个社团都进不了的概率为，则m+n＝（　　）

A． B． C． D．

解：由题意可知，该同学可以进入两个社团的概率为，则mn（1﹣）+m（1﹣n）×+（1﹣m）n×＝，①

又三个社团都进不了的概率为，则（1﹣m）（1﹣n）（1﹣）＝②，

由①②可得，m+n＝．

故选：A．

1．某校进行定点投篮训练，甲、乙、丙三个同学在固定的位置投篮，投中的概率分别，已知每个人投篮互不影响，若这三个同学各投篮一次，至少有一人投中的概率为，则p＝（　　）

A． B． C． D．

解：由题意可知，解得．

故选：D．

2．某学校冰壶队举行冰壶投掷测试，规则为：

①每人至多投3次，先在点M处投第一次，冰壶进入营垒区得3分，未进营垒区不得分；

②自第二次投掷开始均在点A处投掷冰壶，冰壶进入营垒区得2分，未进营垒区不得分；

③测试者累计得分高于3分即通过测试，并立即终止投掷．

已知投掷一次冰壶，甲得3分和2分的概率分别为0.1和0.5．则甲通过测试的概率为（　　）

A．0.1 B．0.25 C．0.3 D．0.35

解：由题知甲得3分和2分的概率分别为0.1和0.5，

甲若通过测试，则有以下可能：

点M处进入营垒区，两次点A处投掷中，前一次进，投掷结束，

概率为：0.1×0.5＝0.05；

点M处进入营垒区，两次点A处投掷中，前一次不进，后一次进，

则概率为：0.1×0.5×0.5＝0.025；

点M处未进营垒区，两次点A处投掷中，进入两次，

则概率为：0.9×0.5×0.5＝0.225，

故甲通过测试的概率为：0.05+0.025+0.225＝0.3．

故选：C．

3．甲、乙、丙三人打靶，他们的命中率分别为p1，p2，，若三人同时射击一个目标，甲、丙击中目标而乙没有击中目标的概率为，乙击中目标而丙没有击中目标的概率为．已知“甲击中目标”，“乙击中目标”，“丙击中目标”是相互独立事件，则p1，p2的值分别为（　　）

A．p1＝，p2＝ B．p1＝，p2＝ 

C．p1＝，p2＝ D．p1＝，p2＝

解：由题意可知，，解得p1＝，p2＝．

故选：C．

4．小刚参与一种答题游戏，需要解答A，B，C三道题．已知他答对这三道题的概率分别为a，a，，且各题答对与否互不影响，若他恰好能答对两道题的概率为，则他三道题都答错的概率为（　　）

A． B． C． D．

解：记小刚解答A，B，C三道题正确分别为事件D，E，F，且D，E，F相互独立，

且，

恰好能答对两道题为事件，且两两互斥，

所以＝＝，整理得，他三道题都答错为事件，

故．

故选：C．

5．近年来，部分高校根据教育部相关文件规定开展基础学科招生改革试点（也称强基计划），假设甲、乙、丙三人通过强基计划的概率分别为，那么三人中恰有两人通过强基计划的概率为（　　）

A． B． C． D．

解：∵甲、乙、丙三人通过强基计划的概率分别为，

∴三人中恰有两人通过强基计划的概率为××（1﹣）+×（1﹣）×+（1﹣）××＝，

故选：C．

6．根据统计，某篮球运动员在1000次投篮中，命中的次数为560次，则该运动员（　　）

A．投篮命中的频率为0.56 

B．投篮10次至少有5次命中 

C．投篮命中的概率为0.56 

D．投篮100次有56次命中

解：某篮球运动员在1000次投篮中，命中的次数为560次，则该运动员的投篮命中的频率为0.56，故A正确，

而投篮命中是随机事件，故BCD错误，

故选：A．

7．某种疾病可分为两种类型：第一类占70%，可由药物A治疗，其每一次疗程的成功率为70%，且每一次疗程的成功与否相互独立；其余为第二类，药物A治疗方式完全无效．在不知道患者所患此疾病的类型，且用药物A第一次疗程失败的情况下，进行第二次疗程成功的概率最接近下列哪一个选项（　　）

A．0.25 B．0.3 C．0.35 D．0.4

解：用药物A第一次疗程失败的概率为0.7×0.3+0.3＝0.51，

用药物A第一次疗程失败第二次疗程成功的概率为0.7×0.3×0.7＝0.3×0.49，

所以药物A第一次疗程失败的情况下，进行第二次疗程成功的概率为，

故选：B．

8．甲射击命中目标的概率是，乙命中目标的概率是，丙命中目标的概率是，现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为（　　）

A． B． C． D．

解：目标被击中的概率等于1减去甲、乙、丙三人都没有击中目标的概率，

所以目标被击中的概率是 1﹣（1﹣）（1﹣）（1﹣）＝．

故选：D．

9．（多选）甲、乙两人进行1次投篮，已知他们命中的概率分别为和，且他们是否命中相互独立，则（　　）

A．恰好有1人命中的概率为 

B．恰好有1人命中的概率为 

C．至少有1人命中的概率为 

D．至少有1人命中的概率为

解：甲、乙两人进行1次投篮，命中的概率分别为和，且是否命中相互独立，

所以恰好有1人命中的概率为1﹣×﹣（1﹣）×（1﹣）＝，则选项A正确，B错误；

至少有1人命中的概率为1﹣（1﹣）×（1﹣）＝，所以选项C正确，D错误．

故选：AC．

10．（多选）中国篮球职业联赛（CBA）中，某运动员在最近几次比赛中的得分情况如下表：

记该运动员在一次投篮中，投中两分球为事件A，投中三分球为事件B，没投中为事件C，且事件A，B，C是否发生互不影响，用频率估计事件A，B，C发生的概率P（A），P（B），P（C），下述结论中正确的是（　　）

A．P（A）＝0.65 B．P（B）＝0.16 

C．P（C）＝0.19 D．P（B+C）＝0.65

解析：根据频率＝频数÷试验总数，用频率估计事件发生的概率，

故P（A）＝0.65，P（B）0.16，P（C）＝＝0.19，故ABC正确，

对于D：P（B+C）表示事件B发生或事件C发生P（B+C）＝P（B）+P（C）＝0.65+0.16＝0.81．D错，

故选：ABC．

11．甲、乙两人约定进行乒乓球比赛，采取三局两胜制（在三局比赛中，优先取得两局胜利的一方获胜，无平局），乙每局比赛获胜的概率都为，则最后甲获胜的概率是 　　．

解：因为乒乓球比赛的规则是三局两胜制（无平局），由题意知甲每局比赛获胜的概率都为，

因此甲获胜的情况为前两局胜或第一局胜第二局输第三局胜或第一局输第二局胜第三局胜，

所以最后甲获胜的概率．

故答案为：．

12．高三某位同学准备参加物理、化学、政治科目的等级考．已知这位同学在物理、化学、政治科目考试中达A+的概率分别为、、，假定这三门科目考试成绩的结果互不影响，那么这位同学恰好得2个A+的概率是 　　．

解：这位同学在物理、化学、政治科目考试中达A+的概率分别为、、，这三门科目考试成绩的结果互不影响，

则这位同学恰好得2个A+的概率是＝．

故答案为：．

13．某位同学参加物理、化学、政治科目的等级考，依据以往成绩估算该同学在物理、化学、政治科目等级中达A+的概率分别为、、，假设各门科目考试的结果互不影响，则该同学等级考至多有1门学科没有获得A+的概率为 　　．

解：根据题意，该同学至多有1门学科没有获得A+，即该同学全部为A+或只有1门不是A+，

当该同学全部为A+时，其概率P1＝××＝，

当该同学只有1门不是A+时，其概率P2＝（1﹣）××+×（1﹣）×+××（1﹣）＝，

则该同学等级考至多有1门学科没有获得A+的概率P＝P1+P2＝+＝；

故答案为：．

14．2022北京冬奥会期间，吉祥物冰墩墩成为“顶流”，吸引了许多人购买，使一“墩”难求．甲、乙、丙3人为了能购买到冰墩墩，商定3人分别去不同的官方特许零售店购买，若甲、乙2人中至少有1人购买到冰墩墩的概率为，丙购买到冰墩墩的概率为，则甲、乙、丙3人中至少有1人购买到冰墩墩的概率为 　　．

解：因为甲乙2人中至少有1人购买到冰墩墩的概率为．

所以甲乙2人均购买不到冰墩墩的概率P1＝1﹣＝．

同理，丙购买不到冰墩墩的概率P2＝1﹣＝．

所以，甲乙丙3人都购买不到冰墩墩的概率P3＝P1•P2＝＝．

于是甲乙丙3人中至少有1人购买到冰墩墩的概率P＝1﹣P3＝．

故答案为：．

15．驾照考试一共有四个科目：科目一（驾驶员理论考试）、科目二（场地驾驶技能考试）、科目三（道路驾驶技能考试）、科目四（安全文明驾驶常识考试）．只有四个科目都通过才能取得驾照．若某学员四个科目通过的概率依次是0.9，0.8，0.8，0.9，且每个科目是否通过相互之间没有影响，则该学员拿到驾照的概率为 　0.5184　．

解：由独立事件的概率乘法公式可得，该学员拿到驾照的概率为0.9×0.8×0.8×0.9＝0.5184，

故答案为：0.5184．

16．某电视台举行冲关直播活动，该活动共有四关，只有一等奖和二等奖两个奖项，参加活动的选手从第一关开始依次通关，只有通过本关才能冲下一关．已知第一关的通过率为0.7，第二关、第三关的通过率均为0.5，第四关的通过率为0.2，四关全部通过可以获得一等奖（奖金为500元），通过前三关就可以获得二等奖（奖金为200元），如果获得二等奖又获得一等奖，奖金可以累加．假设选手是否通过每一关相互独立，现有甲、乙两位选手参加本次活动．

（1）求甲未获得奖金的概率；

（2）求甲和乙最后所得奖金之和为900元的概率．

解：（1）由题意可知，获得二等奖的概率为0.7×0.5×0.5×（1﹣0.2）＝0.14，

获得一等奖的概率为0.7×0.5×0.5×0.2＝0.035，

故甲未获得奖金的概率为1﹣0.14﹣0.035＝0.825；

（2）由（1）可知，获得二等奖的概率为0.14，获得一等奖的概率为0.035，

故甲和乙最后所得奖金之和为900元的概率为0.14×0.035+0.035×0.14＝0.0098．

17．甲、乙两人进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得1分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的人获得冠军．已知甲在三个项目中获胜的概率分别为，p，q（p＜q），各项目的比赛结果相互独立，甲得0分的概率是，甲得3分的概率是．

（1）求p，q的值；

（2）甲乙两人谁获得最终胜利的可能性大？并说明理由．

解：（1）由题意可得，且p＜q，

解得．

（2）甲得2分的概率，

所以甲得2分或3分的概率，

那么乙得2分或3分的概率为，

因为，

所以甲获得最终胜利的可能性大．

18．某射击队派出甲、乙两人参加某项射击比赛，比赛规则如下：开始时先在距目标50米射击，命中则停止射击；第一次没有命中，可以进行第二次射击，此时距目标为100米，若第二次没有命中则停止射击，比赛结束，已知甲在50米．100米处击中目标的概率分别为，．乙在50米，100米处击中目标的概率分别为，．

（1）求甲、乙两人中至少有一人命中目标的概率；

（2）若比赛规定，第一次射击命中目标得4分，第二次射击命中目标得2分，没有命中目标得0分，求该射击队得分不超过4分的概率．

解：（1）根据题意可得甲、乙两人中至少有一人命中目标的概率为：

1﹣（1﹣）（1﹣）•（1﹣）（1﹣）＝；

（2）设甲得分为X，则X＝0，2，4，设乙得分为Y，则Y＝0，2，4，

∴所求概率为P（X+Y≤4）＝P（X＝0，Y＝0）+P（X＝2，Y＝0）+P（X＝0，Y＝2）+P（X＝4，Y＝0）+P（X＝0，Y＝4）+P（X＝2，Y＝2）

＝（1﹣）（1﹣）•（1﹣）（1﹣）+（1﹣）ו（1﹣）（1﹣）+（1﹣）（1﹣）•（1﹣）×+•（1﹣）（1﹣）+（1﹣）（1﹣）•+（1﹣）ו（1﹣）×

＝．