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四川省高考数学复习 专题02 三角函数与解三角形（文科）解答题30题专项提分计划
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四川省高考数学复习 专题2
三角函数与解三角形（文科）解答题30题专项提分计划
1．（2022·四川宜宾·统考模拟预测）设内角所对边分别为，已知，．
(1)若，求的周长；
(2)若边的中点为，且，求的面积．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用正弦定理将角化边，结合的边长，即可求得，以及三角形周长；
（2）根据已知条件，结合余弦定理求得，再根据三角形的中线的向量表示，求得，结合三角形面积公式即可求得结果.
【详解】（1）∵，∴，∴，
因为，故，即，
解得（舍）或；则，故△的周长为.
（2）由（1）知，，又，故，
又，则；
因为边的中点为，故，故，
即，即；
联立与可得，
故△的面积.
2．（2022·四川泸州·统考一模）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求A；
(2)已知，若是锐角三角形，求a的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理与余弦定理化简求解，
（2）由正弦定理求解，
【详解】（1）由正弦定理化简得，即，
而，得，而，得，
（2）由是锐角三角形，故，
则，
而，，解得，
3．（2022·四川成都·四川省成都市第八中学校校考模拟预测）在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答下面两个问题.
(1)求角；
(2)在中，内角的对边分别是，若已知，求的值.
【答案】(1)选择①，；选择②③，；
(2)若选①，；选择②③，.
【分析】（1）根据正余弦定理，结合选择的条件，进行边角互化，即可容易求得结果；
（2）根据（1）中所求，结合三角形面积公式，以及余弦定理，即可求得结果.
【详解】（1）若选①：因为 ，由正弦定理得，
因为 ，所以，故可得
即，所以，
因为 ，所以；
若选②：因为，
由正弦定理可得，
所以
因为 ， 所以， 所以，
因为， 所以
若选③：因为，可得，
由余弦定理可得，
因为， 所以.
（2）若选①，由（1）可得，
，所以，
由余弦定理得：，
所以；
若选②③，由（1）可得，
， 解得，
由余弦定理得 ，
所以.
4．（2022·四川泸州·四川省泸县第二中学校联考模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．．
(1)求的值；
(2)若，，，求c和面积S的值．
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）利用辅组角公式可得，结合题意可得；（2）利用正弦定理求得，结合题意可求，分析并利用面积公式求解．
(1)
在中，，即，
而，故或，
则或，因为，故，所以
(2)
由正弦定理得：，，则，
由知：，，故，则，
所以，
5．（2022·四川泸州·统考模拟预测）如图，在平面四边形ABCD中，对角线平分的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知.
(1)求B；
(2)若，且________，求线段的长.从下面①②中任选一个，补充在上面的空格中进行求解.①△ABC的面积；②.
【答案】(1)；
(2)选①；选②.
【分析】（1）利用正弦定理边化角，再根据三角恒等变换化简，求出，进而求出角.
（2）选①：利用面积公式先求出的长，再利用余弦定理求出，即求出，进而求出；选②：首先利用余弦定理求出，再利用正弦定理求出，即求出，进而确定是直角三角形，即可求出.
（1）因为，所以，所以，所以，因为，所以，所以，所以.
（2）选①，因为的面积，所以，即，，由余弦定理得所以，所以，因为平分，所以，所以，选②，因为，在中，由余弦定理：，即，所以，因为，所以，因为平分，所以，因为，，由正弦定理得，，所以 ，又，所以，所以是直角三角形，且，所以.
6．（2022·四川遂宁·射洪中学校考模拟预测）已知向量，记函数．
(1)求的对称轴和单调递增区间；
(2)在锐角中，角A，B，C的对边为a，b，c，若，求的取值范围．
【答案】(1)对称轴为，
(2)
【分析】（1）根据向量的数量积、二倍角公式、辅助角公式得，从而可求对称轴方程及单调递增区间；
（2）先求得，再由正弦定理及两角和与差的正弦公式及辅助角公式可得，根据三角函数可求得范围.
【详解】（1）由题意
，
所以的对称轴为，即，
单调递增区间满足，解得，
所以单调递增区间为．
（2）由得，，所以，
所以，
因为为锐角三角形，故，得，
所以，即的取值范围为．
7．（2022·四川遂宁·四川省遂宁市第二中学校校考模拟预测）已知向量，且，
(1)求函数在上的值域；
(2)已知的三个内角分别为，其对应边分别为，若有，，求面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据向量的数量积为求得解析式进而求得值域.
（2）利用余弦定理和基本不等式即可求得面积的最大值.
【详解】（1）由已知，，所以
所以，又因为
所以，所以，即
在上的值域为
（2）由（1）知：所以
，又
所以，所以，又因为 由余弦定理可得：
，所以
所以 ，当且仅当时取“=”
故面积的最大值为
8．（2022·四川广安·广安二中校考模拟预测）在中，角所对的边分别为，，，已知，，且.
(1)求的面积；
(2)若是线段的中点，求的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，利用余弦定理即可得到，进而得到角A，再利用三角形面积公式即可得解；
（2）由平面向量中点的性质得，再利用平面向量的数量积运算法则即可得解.
【详解】（1）因为，所以，
在中，由余弦定理得，
因为，所以，又，，
故的面积.
（2）因为是线段的中点，
所以，则，
所以，
所以，即的长为.
9．（2022·四川遂宁·统考一模）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，．
(1)若，求的周长；
(2)若，求的面积．
【答案】(1)18
(2)
【分析】（1）由正弦定理边化角可求出，结合余弦定理，由代换，求得，进而得解；
（2）由正弦定理，代换得，求出，可解得，由正弦面积公式即可求解.
【详解】（1）因为，所以．
又，所以，即．又，所以．
，
解得，则．故的周长；
（2）因为，所以．
由，，得，解得，．
故的面积．
10．（2022·四川雅安·统考一模）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
(1)求角A的大小；
(2)若，且的面积为，求的周长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知等式可得，结合正弦定理与三角形内角关系可求得，即可得角A的大小
（2）由三角形得面积公式可得，又结合余弦定理得，从而得的周长.
【详解】（1）解：由题意有，
即有，
由正弦定理得：，
又，所以，则，所以；
（2）解：由（1）知，因为，且的面积为，
由得：，所以，
由余弦定理得：，所以，
所以的周长为.
11．（2022·四川达州·统考一模）的内角的对边分别为的面积边上的中线长为.
(1)求；
(2)求外接圆面积的最小值.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用三角形面积结合已知求出，再借助向量数量积运算律、余弦定理求解作答.
（2）利用正弦定理及（1）中信息，结合均值不等式求出外接圆半径最小值即可计算作答.
【详解】（1）的面积，又，于是得，而，即，因此，
令边的中点为，则线段是的中线，有，
因此，即有，解得，
由余弦定理得，即，解得，
所以.
（2）设外接圆半径为，由正弦定理得，即有，
由（1）知，当且仅当时取等号，
而，于是得，有，
因此，当且仅当，即时取等号，
所以外接圆面积最小值为.
12．（2022·四川乐山·统考一模）设函数
(1)求函数的最大值和最小正周期；
(2)在锐角中，角所对的边分别为，为的面积.若且，求的值.
【答案】(1)，最小正周期为
(2)
【分析】（1）由题知，再根据三角函数性质求解即可；
（2）根据题意，结合（1）得，进而根据正弦定理与面积公式得，根据得，进而代入即可得答案.
【详解】（1）解：，
所以，，
最小正周期为.
（2）解：因为，所以，
因为为锐角三角形，所以，
因为
所以，
因为，，
所以，
所以
所以，
13．（2023·四川内江·统考一模）已知函数，．
(1)已知，求的值；
(2)已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，c＝3，若向量与垂直，求的周长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先变形得到，再利用计算即可；
（2）先通过求出，再利用向量垂直求出，则也可得出，再通过正弦定理求角所对的边即可求出周长.
【详解】（1），
，
；
（2）由（1）得，
则，
，又，
，
又向量与垂直，
，
即，又
，则，
由正弦定理，
则，
的周长为.
14．（2022·四川绵阳·校考模拟预测）在锐角中，角所对的边为，且.
(1)证明:
(2)若，求的取值范围.
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由正弦定理化简可得，即可证明.
（2）因为△ABC为锐角三角形，可求出的范围，即可求出的范围，由正弦定理化简，可求出的取值范围.
【详解】（1）∵，
由正弦定理，得，
即，
∴，
∴或（舍），即，
（2）由锐角△ABC，可得，，．
即， ∴．
由正弦定理可得：，
所以.
所以的取值范围为：.
15．（2022·四川成都·统考一模）已知锐角三角形的内角A，B，C所对的边分别记作a，b，c，满足，且．
(1)求；
(2)若点，分别在边和上，且将分成面积相等的两部分，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据二倍角公式、正弦定理和得到，，再利用同角三角函数基本公式得到，利用和差公式得到，即可得到；
（2）利用三角形面积公式得到，然后利用余弦定理和基本不等式即可得到的最小值.
【详解】（1）因为，
所以，因为，所以，
又，且为锐角，所以，
所以．
因为．所以．所以．
（2）设，，根据题设有，
所以，可得，
所以，
当且仅当时等号成立．
所以的最小值为．
16．（2022·四川雅安·统考模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求角A的大小；
(2)若的面积为，求周长l的最小值．
【答案】(1)
(2)12
【分析】（1）利用正弦定理、余弦定理化简已知条件，求得，进而求得.
（2）利用的面积求得，结合基本不等式求得周长l的最小值．
【详解】（1）由，
根据正弦定理，得，
即，则有，
由于，所以．
（2）由题，，则．
又由（1）知，
则周长，
当且仅当取“”，同时解得，
所以，周长l的最小值为12．
17．（2022·四川绵阳·盐亭中学校考模拟预测）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量，满足，，且．
(1)求角A；
(2)若是锐角三角形，且，求的取值范围．
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）由可得，由正弦定理可得，即可结合角的范围求出角A；
（2）是锐角三角形，，，结合正弦定理得，由三角恒等变换得，根据B的范围讨论值域即可
（1）
因为，，且，所以，即．
在中，由正弦定理得，而，所以，又，所以或．
（2）
因为是锐角三角形，所以，所以，又，且，所以．
由及正弦定理得，则，，
所以，
而，则，故，
所以的取值范围．
18．（2022·四川·校联考模拟预测）△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．
(1)求B；
(2)若△ABC的面积为，且，求△ABC的周长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先对已知等式利用正弦定理统一成边的形式，化简后再利用余弦定理可求出角，
（2）由三角形的面积可求出，再利用余弦定理结合已知条件可求出和的值.
【详解】（1）因为，
所以由正弦定理得，
展开得，所以，
因为，所以．
（2）由（1）知，解得，
因为，
由余弦定理得，
即，解得，，
所以△ABC的周长为．
19．（2022·四川·模拟预测）在 中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，现有下列四个条件：①；②;③；④．
(1)③④两个条件可以同时成立吗？请说明理由；
(2)已知同时满足上述四个条件中的三个．请选择使有解的三个条件，求的面积．
【答案】(1)不能同时成立，理由见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）由③利用二倍角余弦公式推得，由④利用余弦定理可得，即可三角形内角和可得结论；
（2）确定满足三角形有解的所有组合为①②③或①②④．若选①②③，则可由正弦定理求得B，即可由三角形面积公式求得答案；若选①②④，可由余弦定理求得c，再求得，即可求得三角形面积.
（1）
由条件③，可得．
解得或（因为,舍去），
因为，所以；
由条件④，可得，
因为，且，
而在上单调递减，所以．
若条件③④能同时成立，
则与矛盾，
所以③④两个条件不能同时成立．
（2）
因为 同时满足题目条件中的三个，不能同时满足③④，
则满足三角形有解的所有组合为①②③或①②④．
若选择①②③：由（1）知，由，
可得，
因为，所以，所以△ABC为直角三角形，
所以，所以的面积．
若选择①②④：由（1）知，
由，得，
即，解得（负值舍去）．
因为，所以，
所以的面积．
20．（2022·四川泸州·统考三模）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．
(1)求；
(2)若D为边AC上一点，且，，，求的长．
【答案】(1)；
(2)或.
【分析】（1）根据已知条件和内角和定理及正弦定理，再结合同角三角函数的商数关系及角的范围即可求解；
（2）根据余弦定理求出，再结合已知条件即可求解.
(1)
由及内角和定理，得
，由正弦定理，得
，，
所以，即，
.
(2)
由（1）知，，
在中，由余弦定理，得
，即，
于是，得，解得或，
当时，，所以；
当时，，所以；
所以的长为或.
21．（2022·四川内江·统考三模）如图，在中，，，是边上一点.
(1)若是以为斜边的等腰直角三角形，求的长；
(2)若是边的中点，的面积为，求的长.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由题设可得，，，再应用正弦定理求的长；
（2）由三角形面积公式可得，再由及向量数量积的运算律求模长，即可得的长.
（1）
由，，是以为斜边的等腰直角三角形
所以，，，
则.
在△中，由正弦定理知，则.
（2）
由，则.
又是边的中点，
所以，
则，
故.
22．（2022·四川内江·四川省内江市第六中学校考模拟预测）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．从下列①②这两个条件中选择一个补充在横线处，并作答．
①O为的内心；②O为的外心．
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
(1)求A；
(2)若，________，求的面积．
【答案】(1)
(2)选①，；选②，．
【分析】（1）由正弦定理化边为角，由三角函数恒等变换求得角；
（2）选①，由余弦定理求得，由面积公式求得三角形面积，再结合内切圆半径表示三角形面积求得内切圆半径，即可求面积；选②，由余弦定理求得，由正弦定理求得三角形外接圆半径，由圆周角定理和圆心角定理求得，直接由面积公式计算出面积．
（1）因为，由正弦定理得，，，三角形中，，所以，，则，所以，；
（2）选①O为的内心，如图，分别是内切圆在各边上的切点，，，设内切圆半径为，则，，所以；选②O为的外心，在外部，如图，外接圆上，由（1），所以，又，，，．
23．（2022·四川遂宁·统考模拟预测）在①；②；从①②中选取一个作为条件，补充在下面的划线处，并解决该问题．
已知△ABC中的内角A、B、C所对的边分别是a、b、c．若______．
(1)求内角A的大小；
(2)设，，求△ABC的面积．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)；
(2)或﹒
【分析】(1)若选①，结合，利用正弦定理边化角即可求出tanA，从而求出A；若选②，结合，利用正弦定理边化角和三角恒等变换即可求出A；
(2)根据正弦定理即可求出sinB，从而求出B，根据A和B求出C，根据即可求出三角形面积．
(1)
若选①：
由正弦定理及得，，
则
得．
∵，∴．
若选②：
由和正弦定理得，得．
∵在三角形内，，∴．
即，
∵，∴，∴，
∴．
(2)
由正弦定理得，即，则，
∵，则或，
若，则，则；
若，则，则．
∴△ABC的面积为或．
24．（2022·四川宜宾·统考二模）在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答．
问题：在中，角的对边分别为，______．
(1)求；
(2)，求的边上的中线的长．
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）选①，由余弦的二倍角公式和诱导公式变形后可求得；选②，由正弦定理化边为角后可求得；
（2）利用中线向量公式，平方后结合数量积的运算可得．
(1)
选①，即，得,
，或，
；
选②，即，由正弦定理得，
， ；
(2)
是的边上的中线，
．
25．（2022·四川内江·四川省内江市第六中学校考模拟预测）在平面四边形中，已知，，平分.
(1)若，，求四边形的面积；
(2)若，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理与面积公式求解
（2）根据正弦定理与三角比有关知识求解
【详解】（1），则，
在中，由正弦定理可知，则，
则.
（2）设，在中，由正弦定理可知，即，即，在中，由正弦定理可知，即，
即，即，则，解得.
26．（2022·四川·四川师范大学附属中学校考二模）锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求角C的值；
(2)若，D为AB的中点，求中线CD的范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理化简可得出，结合角为锐角可求得结果；
（2）由余弦定理可得出，利用平面向量的线性运算可得出，由平面向量数量积的运算可得出，利用正弦定理结合正弦型函数的基本性质可求得的取值范围，可得出的取值范围，即可得解
【详解】（1）由，
，
，，，．
（2），，，
由余弦定理有：，，
所以，，
由正弦定理，，，，
，
，因为为锐角三角形，所以且，
则，,则，．
27．（2022·四川南充·统考二模）在①；②；这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答.
问题：在中，内角的对边分别为，且___________.
(1)求角；
(2)在中，，求周长的最大值.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）选择①：由正弦定理化边为角即可求出；选择②：利用面积公式和数量积关系化简可得出；
（2）利用余弦定理结合基本不等式即可求出.
(1)
选择①：条件即，
由正弦定理可知，，
在中，，所以，
所以，且，即，所以；
选择②：条件即，
即，.
在中，，所以，则，
所以，所以.
(2)
由（1）知，
由余弦定理知：
所以得
所以，当且仅当时，等号成立
所以求周长的最大值为.
28．（2022·四川凉山·统考二模）中，角的对边分别是，.
(1)求角；
(2)若为边的中点，且，求的最大值.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用正弦定理角化边，整理后可求得，由此可得；
（2）由，利用余弦定理可得，结合（1）中，可得，利用基本不等式可求得最大值.
【详解】（1）由正弦定理可得：，，，
，；
（2）
由（1）知：，即；
在中，由余弦定理得：；
在中，由余弦定理得：；
，，
，整理可得：；
，即，
（当且仅当时取等号），，
即的最大值为.
29．（2022·四川绵阳·统考一模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b， c，从以下三个条件中任选一个：①；②；③，解答如下的问题.
(1)求角C的大小；
(2)若△ABC 为锐角三角形，且，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）选①，根据切化弦，再利用正弦定理，将边化为角，即可求解；选②，由正弦定理将边化为角，再结合三角恒等变换，求得答案；选③，利用余弦定理再结合正弦定理，化边为角，经三角恒等变换，求得答案.
（2）由可得，结合正弦定理，化边为角，利用三角恒等变换化简，解得答案.
(1)
选择条件①： 由，得，
由正弦定理可得，，
∵，∴，
∴，
∴，
∵，∴，
∴，又，∴．
选择条件②：由正弦定理可得，，
又，
∴，
化简整理得，由，故，
又，∴．
选择条件③：由已知得，，
由余弦定理，得，
∵，
∴，
∵，∴，
由正弦定理，有，
∵，∴.，
又，∴．
(2)
∵，
∴．
∵△ABC为锐角三角形，∴ ,
则，
∴,
∴．
30．（2023·四川凉山·统考一模）在锐角中，角A，，所对的边分别为．
(1)求A；
(2)若，求面积的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理化边为角后，由诱导公式及两角和的正弦公式变形，然后结合同角关系可得角；
（2）由（1）及已知得角范围，利用正弦定理把表示为的三角函数，从而得出的范围，再由三角形面积公式得面积范围．
【详解】（1）因为，
由正弦定理得，
即，
所以，
因为，所以，由得．
（2）因为，
由正弦定理得，
由可得，
所以，则，故，
所以的面积．
即面积的取值范围为．
四川省高考数学复习 专题2
三角函数与解三角形（文科）解答题30题专项提分计划
1．（2022·四川宜宾·统考模拟预测）设内角所对边分别为，已知，．
(1)若，求的周长；
(2)若边的中点为，且，求的面积．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用正弦定理将角化边，结合的边长，即可求得，以及三角形周长；
（2）根据已知条件，结合余弦定理求得，再根据三角形的中线的向量表示，求得，结合三角形面积公式即可求得结果.
【详解】（1）∵，∴，∴，
因为，故，即，
解得（舍）或；则，故△的周长为.
（2）由（1）知，，又，故，
又，则；
因为边的中点为，故，故，
即，即；
联立与可得，
故△的面积.
2．（2022·四川泸州·统考一模）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求A；
(2)已知，若是锐角三角形，求a的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理与余弦定理化简求解，
（2）由正弦定理求解，
【详解】（1）由正弦定理化简得，即，
而，得，而，得，
（2）由是锐角三角形，故，
则，
而，，解得，
3．（2022·四川成都·四川省成都市第八中学校校考模拟预测）在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答下面两个问题.
(1)求角；
(2)在中，内角的对边分别是，若已知，求的值.
【答案】(1)选择①，；选择②③，；
(2)若选①，；选择②③，.
【分析】（1）根据正余弦定理，结合选择的条件，进行边角互化，即可容易求得结果；
（2）根据（1）中所求，结合三角形面积公式，以及余弦定理，即可求得结果.
【详解】（1）若选①：因为 ，由正弦定理得，
因为 ，所以，故可得
即，所以，
因为 ，所以；
若选②：因为，
由正弦定理可得，
所以
因为 ， 所以， 所以，
因为， 所以
若选③：因为，可得，
由余弦定理可得，
因为， 所以.
（2）若选①，由（1）可得，
，所以，
由余弦定理得：，
所以；
若选②③，由（1）可得，
， 解得，
由余弦定理得 ，
所以.
4．（2022·四川泸州·四川省泸县第二中学校联考模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．．
(1)求的值；
(2)若，，，求c和面积S的值．
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）利用辅组角公式可得，结合题意可得；（2）利用正弦定理求得，结合题意可求，分析并利用面积公式求解．
(1)
在中，，即，
而，故或，
则或，因为，故，所以
(2)
由正弦定理得：，，则，
由知：，，故，则，
所以，
5．（2022·四川泸州·统考模拟预测）如图，在平面四边形ABCD中，对角线平分的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知.
(1)求B；
(2)若，且________，求线段的长.从下面①②中任选一个，补充在上面的空格中进行求解.①△ABC的面积；②.
【答案】(1)；
(2)选①；选②.
【分析】（1）利用正弦定理边化角，再根据三角恒等变换化简，求出，进而求出角.
（2）选①：利用面积公式先求出的长，再利用余弦定理求出，即求出，进而求出；选②：首先利用余弦定理求出，再利用正弦定理求出，即求出，进而确定是直角三角形，即可求出.
（1）因为，所以，所以，所以，因为，所以，所以，所以.
（2）选①，因为的面积，所以，即，，由余弦定理得所以，所以，因为平分，所以，所以，选②，因为，在中，由余弦定理：，即，所以，因为，所以，因为平分，所以，因为，，由正弦定理得，，所以 ，又，所以，所以是直角三角形，且，所以.
6．（2022·四川遂宁·射洪中学校考模拟预测）已知向量，记函数．
(1)求的对称轴和单调递增区间；
(2)在锐角中，角A，B，C的对边为a，b，c，若，求的取值范围．
【答案】(1)对称轴为，
(2)
【分析】（1）根据向量的数量积、二倍角公式、辅助角公式得，从而可求对称轴方程及单调递增区间；
（2）先求得，再由正弦定理及两角和与差的正弦公式及辅助角公式可得，根据三角函数可求得范围.
【详解】（1）由题意
，
所以的对称轴为，即，
单调递增区间满足，解得，
所以单调递增区间为．
（2）由得，，所以，
所以，
因为为锐角三角形，故，得，
所以，即的取值范围为．
7．（2022·四川遂宁·四川省遂宁市第二中学校校考模拟预测）已知向量，且，
(1)求函数在上的值域；
(2)已知的三个内角分别为，其对应边分别为，若有，，求面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据向量的数量积为求得解析式进而求得值域.
（2）利用余弦定理和基本不等式即可求得面积的最大值.
【详解】（1）由已知，，所以
所以，又因为
所以，所以，即
在上的值域为
（2）由（1）知：所以
，又
所以，所以，又因为 由余弦定理可得：
，所以
所以 ，当且仅当时取“=”
故面积的最大值为
8．（2022·四川广安·广安二中校考模拟预测）在中，角所对的边分别为，，，已知，，且.
(1)求的面积；
(2)若是线段的中点，求的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，利用余弦定理即可得到，进而得到角A，再利用三角形面积公式即可得解；
（2）由平面向量中点的性质得，再利用平面向量的数量积运算法则即可得解.
【详解】（1）因为，所以，
在中，由余弦定理得，
因为，所以，又，，
故的面积.
（2）因为是线段的中点，
所以，则，
所以，
所以，即的长为.
9．（2022·四川遂宁·统考一模）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，．
(1)若，求的周长；
(2)若，求的面积．
【答案】(1)18
(2)
【分析】（1）由正弦定理边化角可求出，结合余弦定理，由代换，求得，进而得解；
（2）由正弦定理，代换得，求出，可解得，由正弦面积公式即可求解.
【详解】（1）因为，所以．
又，所以，即．又，所以．
，
解得，则．故的周长；
（2）因为，所以．
由，，得，解得，．
故的面积．
10．（2022·四川雅安·统考一模）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
(1)求角A的大小；
(2)若，且的面积为，求的周长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知等式可得，结合正弦定理与三角形内角关系可求得，即可得角A的大小
（2）由三角形得面积公式可得，又结合余弦定理得，从而得的周长.
【详解】（1）解：由题意有，
即有，
由正弦定理得：，
又，所以，则，所以；
（2）解：由（1）知，因为，且的面积为，
由得：，所以，
由余弦定理得：，所以，
所以的周长为.
11．（2022·四川达州·统考一模）的内角的对边分别为的面积边上的中线长为.
(1)求；
(2)求外接圆面积的最小值.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用三角形面积结合已知求出，再借助向量数量积运算律、余弦定理求解作答.
（2）利用正弦定理及（1）中信息，结合均值不等式求出外接圆半径最小值即可计算作答.
【详解】（1）的面积，又，于是得，而，即，因此，
令边的中点为，则线段是的中线，有，
因此，即有，解得，
由余弦定理得，即，解得，
所以.
（2）设外接圆半径为，由正弦定理得，即有，
由（1）知，当且仅当时取等号，
而，于是得，有，
因此，当且仅当，即时取等号，
所以外接圆面积最小值为.
12．（2022·四川乐山·统考一模）设函数
(1)求函数的最大值和最小正周期；
(2)在锐角中，角所对的边分别为，为的面积.若且，求的值.
【答案】(1)，最小正周期为
(2)
【分析】（1）由题知，再根据三角函数性质求解即可；
（2）根据题意，结合（1）得，进而根据正弦定理与面积公式得，根据得，进而代入即可得答案.
【详解】（1）解：，
所以，，
最小正周期为.
（2）解：因为，所以，
因为为锐角三角形，所以，
因为
所以，
因为，，
所以，
所以
所以，
13．（2023·四川内江·统考一模）已知函数，．
(1)已知，求的值；
(2)已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，c＝3，若向量与垂直，求的周长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先变形得到，再利用计算即可；
（2）先通过求出，再利用向量垂直求出，则也可得出，再通过正弦定理求角所对的边即可求出周长.
【详解】（1），
，
；
（2）由（1）得，
则，
，又，
，
又向量与垂直，
，
即，又
，则，
由正弦定理，
则，
的周长为.
14．（2022·四川绵阳·校考模拟预测）在锐角中，角所对的边为，且.
(1)证明:
(2)若，求的取值范围.
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由正弦定理化简可得，即可证明.
（2）因为△ABC为锐角三角形，可求出的范围，即可求出的范围，由正弦定理化简，可求出的取值范围.
【详解】（1）∵，
由正弦定理，得，
即，
∴，
∴或（舍），即，
（2）由锐角△ABC，可得，，．
即， ∴．
由正弦定理可得：，
所以.
所以的取值范围为：.
15．（2022·四川成都·统考一模）已知锐角三角形的内角A，B，C所对的边分别记作a，b，c，满足，且．
(1)求；
(2)若点，分别在边和上，且将分成面积相等的两部分，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据二倍角公式、正弦定理和得到，，再利用同角三角函数基本公式得到，利用和差公式得到，即可得到；
（2）利用三角形面积公式得到，然后利用余弦定理和基本不等式即可得到的最小值.
【详解】（1）因为，
所以，因为，所以，
又，且为锐角，所以，
所以．
因为．所以．所以．
（2）设，，根据题设有，
所以，可得，
所以，
当且仅当时等号成立．
所以的最小值为．
16．（2022·四川雅安·统考模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求角A的大小；
(2)若的面积为，求周长l的最小值．
【答案】(1)
(2)12
【分析】（1）利用正弦定理、余弦定理化简已知条件，求得，进而求得.
（2）利用的面积求得，结合基本不等式求得周长l的最小值．
【详解】（1）由，
根据正弦定理，得，
即，则有，
由于，所以．
（2）由题，，则．
又由（1）知，
则周长，
当且仅当取“”，同时解得，
所以，周长l的最小值为12．
17．（2022·四川绵阳·盐亭中学校考模拟预测）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量，满足，，且．
(1)求角A；
(2)若是锐角三角形，且，求的取值范围．
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）由可得，由正弦定理可得，即可结合角的范围求出角A；
（2）是锐角三角形，，，结合正弦定理得，由三角恒等变换得，根据B的范围讨论值域即可
（1）
因为，，且，所以，即．
在中，由正弦定理得，而，所以，又，所以或．
（2）
因为是锐角三角形，所以，所以，又，且，所以．
由及正弦定理得，则，，
所以，
而，则，故，
所以的取值范围．
18．（2022·四川·校联考模拟预测）△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．
(1)求B；
(2)若△ABC的面积为，且，求△ABC的周长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先对已知等式利用正弦定理统一成边的形式，化简后再利用余弦定理可求出角，
（2）由三角形的面积可求出，再利用余弦定理结合已知条件可求出和的值.
【详解】（1）因为，
所以由正弦定理得，
展开得，所以，
因为，所以．
（2）由（1）知，解得，
因为，
由余弦定理得，
即，解得，，
所以△ABC的周长为．
19．（2022·四川·模拟预测）在 中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，现有下列四个条件：①；②;③；④．
(1)③④两个条件可以同时成立吗？请说明理由；
(2)已知同时满足上述四个条件中的三个．请选择使有解的三个条件，求的面积．
【答案】(1)不能同时成立，理由见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）由③利用二倍角余弦公式推得，由④利用余弦定理可得，即可三角形内角和可得结论；
（2）确定满足三角形有解的所有组合为①②③或①②④．若选①②③，则可由正弦定理求得B，即可由三角形面积公式求得答案；若选①②④，可由余弦定理求得c，再求得，即可求得三角形面积.
（1）
由条件③，可得．
解得或（因为,舍去），
因为，所以；
由条件④，可得，
因为，且，
而在上单调递减，所以．
若条件③④能同时成立，
则与矛盾，
所以③④两个条件不能同时成立．
（2）
因为 同时满足题目条件中的三个，不能同时满足③④，
则满足三角形有解的所有组合为①②③或①②④．
若选择①②③：由（1）知，由，
可得，
因为，所以，所以△ABC为直角三角形，
所以，所以的面积．
若选择①②④：由（1）知，
由，得，
即，解得（负值舍去）．
因为，所以，
所以的面积．
20．（2022·四川泸州·统考三模）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．
(1)求；
(2)若D为边AC上一点，且，，，求的长．
【答案】(1)；
(2)或.
【分析】（1）根据已知条件和内角和定理及正弦定理，再结合同角三角函数的商数关系及角的范围即可求解；
（2）根据余弦定理求出，再结合已知条件即可求解.
(1)
由及内角和定理，得
，由正弦定理，得
，，
所以，即，
.
(2)
由（1）知，，
在中，由余弦定理，得
，即，
于是，得，解得或，
当时，，所以；
当时，，所以；
所以的长为或.
21．（2022·四川内江·统考三模）如图，在中，，，是边上一点.
(1)若是以为斜边的等腰直角三角形，求的长；
(2)若是边的中点，的面积为，求的长.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由题设可得，，，再应用正弦定理求的长；
（2）由三角形面积公式可得，再由及向量数量积的运算律求模长，即可得的长.
（1）
由，，是以为斜边的等腰直角三角形
所以，，，
则.
在△中，由正弦定理知，则.
（2）
由，则.
又是边的中点，
所以，
则，
故.
22．（2022·四川内江·四川省内江市第六中学校考模拟预测）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．从下列①②这两个条件中选择一个补充在横线处，并作答．
①O为的内心；②O为的外心．
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
(1)求A；
(2)若，________，求的面积．
【答案】(1)
(2)选①，；选②，．
【分析】（1）由正弦定理化边为角，由三角函数恒等变换求得角；
（2）选①，由余弦定理求得，由面积公式求得三角形面积，再结合内切圆半径表示三角形面积求得内切圆半径，即可求面积；选②，由余弦定理求得，由正弦定理求得三角形外接圆半径，由圆周角定理和圆心角定理求得，直接由面积公式计算出面积．
（1）因为，由正弦定理得，，，三角形中，，所以，，则，所以，；
（2）选①O为的内心，如图，分别是内切圆在各边上的切点，，，设内切圆半径为，则，，所以；选②O为的外心，在外部，如图，外接圆上，由（1），所以，又，，，．
23．（2022·四川遂宁·统考模拟预测）在①；②；从①②中选取一个作为条件，补充在下面的划线处，并解决该问题．
已知△ABC中的内角A、B、C所对的边分别是a、b、c．若______．
(1)求内角A的大小；
(2)设，，求△ABC的面积．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)；
(2)或﹒
【分析】(1)若选①，结合，利用正弦定理边化角即可求出tanA，从而求出A；若选②，结合，利用正弦定理边化角和三角恒等变换即可求出A；
(2)根据正弦定理即可求出sinB，从而求出B，根据A和B求出C，根据即可求出三角形面积．
(1)
若选①：
由正弦定理及得，，
则
得．
∵，∴．
若选②：
由和正弦定理得，得．
∵在三角形内，，∴．
即，
∵，∴，∴，
∴．
(2)
由正弦定理得，即，则，
∵，则或，
若，则，则；
若，则，则．
∴△ABC的面积为或．
24．（2022·四川宜宾·统考二模）在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答．
问题：在中，角的对边分别为，______．
(1)求；
(2)，求的边上的中线的长．
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）选①，由余弦的二倍角公式和诱导公式变形后可求得；选②，由正弦定理化边为角后可求得；
（2）利用中线向量公式，平方后结合数量积的运算可得．
(1)
选①，即，得,
，或，
；
选②，即，由正弦定理得，
， ；
(2)
是的边上的中线，
．
25．（2022·四川内江·四川省内江市第六中学校考模拟预测）在平面四边形中，已知，，平分.
(1)若，，求四边形的面积；
(2)若，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理与面积公式求解
（2）根据正弦定理与三角比有关知识求解
【详解】（1），则，
在中，由正弦定理可知，则，
则.
（2）设，在中，由正弦定理可知，即，即，在中，由正弦定理可知，即，
即，即，则，解得.
26．（2022·四川·四川师范大学附属中学校考二模）锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求角C的值；
(2)若，D为AB的中点，求中线CD的范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理化简可得出，结合角为锐角可求得结果；
（2）由余弦定理可得出，利用平面向量的线性运算可得出，由平面向量数量积的运算可得出，利用正弦定理结合正弦型函数的基本性质可求得的取值范围，可得出的取值范围，即可得解
【详解】（1）由，
，
，，，．
（2），，，
由余弦定理有：，，
所以，，
由正弦定理，，，，
，
，因为为锐角三角形，所以且，
则，,则，．
27．（2022·四川南充·统考二模）在①；②；这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答.
问题：在中，内角的对边分别为，且___________.
(1)求角；
(2)在中，，求周长的最大值.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）选择①：由正弦定理化边为角即可求出；选择②：利用面积公式和数量积关系化简可得出；
（2）利用余弦定理结合基本不等式即可求出.
(1)
选择①：条件即，
由正弦定理可知，，
在中，，所以，
所以，且，即，所以；
选择②：条件即，
即，.
在中，，所以，则，
所以，所以.
(2)
由（1）知，
由余弦定理知：
所以得
所以，当且仅当时，等号成立
所以求周长的最大值为.
28．（2022·四川凉山·统考二模）中，角的对边分别是，.
(1)求角；
(2)若为边的中点，且，求的最大值.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用正弦定理角化边，整理后可求得，由此可得；
（2）由，利用余弦定理可得，结合（1）中，可得，利用基本不等式可求得最大值.
【详解】（1）由正弦定理可得：，，，
，；
（2）
由（1）知：，即；
在中，由余弦定理得：；
在中，由余弦定理得：；
，，
，整理可得：；
，即，
（当且仅当时取等号），，
即的最大值为.
29．（2022·四川绵阳·统考一模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b， c，从以下三个条件中任选一个：①；②；③，解答如下的问题.
(1)求角C的大小；
(2)若△ABC 为锐角三角形，且，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）选①，根据切化弦，再利用正弦定理，将边化为角，即可求解；选②，由正弦定理将边化为角，再结合三角恒等变换，求得答案；选③，利用余弦定理再结合正弦定理，化边为角，经三角恒等变换，求得答案.
（2）由可得，结合正弦定理，化边为角，利用三角恒等变换化简，解得答案.
(1)
选择条件①： 由，得，
由正弦定理可得，，
∵，∴，
∴，
∴，
∵，∴，
∴，又，∴．
选择条件②：由正弦定理可得，，
又，
∴，
化简整理得，由，故，
又，∴．
选择条件③：由已知得，，
由余弦定理，得，
∵，
∴，
∵，∴，
由正弦定理，有，
∵，∴.，
又，∴．
(2)
∵，
∴．
∵△ABC为锐角三角形，∴ ,
则，
∴,
∴．
30．（2023·四川凉山·统考一模）在锐角中，角A，，所对的边分别为．
(1)求A；
(2)若，求面积的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理化边为角后，由诱导公式及两角和的正弦公式变形，然后结合同角关系可得角；
（2）由（1）及已知得角范围，利用正弦定理把表示为的三角函数，从而得出的范围，再由三角形面积公式得面积范围．
【详解】（1）因为，
由正弦定理得，
即，
所以，
因为，所以，由得．
（2）因为，
由正弦定理得，
由可得，
所以，则，故，
所以的面积．
即面积的取值范围为．
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