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四川省高考数学复习 专题06 立体几何（文科）解答题30题专项提分计划
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四川省高考数学复习
专题6立体几何（文科）解答题30题专项提分计划
1．（四川省成都市温江区2022届高考适应性考试数学（文）试题）如图，四棱锥中，四边形为直角梯形，在底面内的射影分别为，．
(1)求证：；
(2)求到平面的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由题意可证、，则可得面，即可知，又则可得面，即可证.
（2）分别计算出与，再利用等体积法即可求出答案.
（1）
因为在底面内的射影为，所以面面，
又因为，面面，面
所以面，
又因面因此，
同理，
又,面,面
所以面，
又面,所以，
连接，易得，，又，
故，
又,面,面
因此面，
又面
即；
（2）
在中.
在中.
把到平面的距离看作三棱锥的高h，
由等体积法得，，
故，即，
故到平面的距离为．
2．（四川省攀枝花市2022届高三第三次统一考试文科数学试题）如图，四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面ABCD，，E、F分别为AD、SC的中点，且平面SBC．
(1)求AB；
(2)若，求点E到平面SCD的距离．
【答案】(1)2；
(2).
【分析】（1）由题可得≌，进而即得；
（2）利用，结合条件即得.
(1)
连接，
∵平面SBC，平面SBC，
∴，
∵E、F分别为AD、SC的中点，
∴，
∵平面ABCD，平面ABCD，
∴，又，
∴≌，
∴；
(2)
设点E到平面SCD的距离为，
∵平面ABCD，平面ABCD，
∴，
又，
∴平面，
∴，，
由，可得
，即，
∴.
3．（2023·四川南充·校考模拟预测）如图，，，为圆柱底面圆周上的三个不同的点，，，分别为圆柱的三条母线，且底面圆的半径为
(1)若是底面圆的一条直径，证明：.
(2)若，且四边形的周长为，求三棱锥体积的最大值.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）通过证明平面来证得.
（2）结合锥体体积公式以及圆柱的几何性质求得三棱锥体积的最大值.
【详解】（1）因为是底面圆的一条直径，所以，
因为为圆柱的一条母线，所以底面，
又底面，所以，
因为平面，所以平面，
因为平面，
所以；
（2）易知四边形为矩形，且平面底面圆，
因为，且四边形的周长为，所以
到平面的距离的最大值是，
故，
故三棱锥体积的最大值为.
4．（四川省乐山市2022届高三三模数学（文）试题）如图，四棱锥P－ABCD的底面为菱形，，AB＝AP＝2，PA⊥底面ABCD，E是线段PB的中点，G，H分别是线段PC上靠近P，C的三等分点．
(1)求证：平面AEG∥平面BDH；
(2)求点A到平面BDH的距离．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）根据三角形中位线定理，结合线面平行的判定定理和面面平行的判定定理进行证明即可；
（2）利用三棱锥的体积等积性进行求解即可.
【详解】（1）连接AC，交BD于点O，连接OH，△PBH中，E，G分别为PB，PH的中点，所以EG∥BH，又因为平面BDH，平面BDH，
所以EG∥平面BDH，同理：AG∥平面BDH，因为AG，平面AEG，，
所以平面AEG∥平面BDH．
（2）记点A，H到平面BDH，平面ABD的距离分别为，，，
因为PA⊥平面ABCD，PA＝2，，所以，
在△PBC中，，
在△BCH中，，
同理，，又因为O为BD中点，所以OH⊥BD．
在△BDH中，，，
因为，所以．
5．（四川省南充高级中学2023届高考模拟检测七文科数学试题）如图， 在平行六面体 中，分别是的中点， 侧面平面．
(1)求证：平面;
(2)试求三棱锥 体积．
【答案】(1)答案见解析；
(2)答案见解析；
【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明即可；
（2）根面面垂直的性质定理结合等体积计算即可.
【详解】（1）取的中点为，连接．
在和中， 因为分别是的中点，
所以 ，且，
又在平行六面体中，，所以，
因此四边形为平行四边形，所以，
又因平面平面， 所以平面．
（2）由（1）知 平面知， 点到平面的距离相等，
所以 ，
在三角形 中，
过点作于，因侧面平面，
所以 平面， 因， 所以平面，
因此点 到平面的距离相等， 则的长为点到平面的距离，，
所以.
6．（四川省乐山市高中2023届高三第一次调查研究考试文科数学试题）如图，在四棱锥中，平面，底面满足，且，，三角形的面积为
(1)画出平面和平面的交线，并说明理由
(2)求点到平面的距离
【答案】(1)答案见解析；
(2)
【分析】（1）延长交于点，连接，进而根据点线面关系说明即可；
（2）根据题意证明，进而结合求解即可.
【详解】（1）解：延长交于点，连接，则即为平面和平面的交线，
理由如下：
因为，平面，平面，
所以平面，平面，
所以平面平面，
因为平面，平面，
所以平面平面，
所以，为平面与平面的交线.
（2）解：因为平面，平面，所以，
因为，三角形的面积为
所以，解得，
因为，
所以，即，
因为，
所以，
所以
因为，，
设点到平面的距离为，
所以，解得
所以点到平面的距离为
7．（四川省达州市普通高中2023届高三第一次诊断性测试文科数学试题）如图，四棱锥的底面是梯形，为延长线上一点，平面是中点.
(1)证明：；
(2)若，三棱锥的体积为，求点到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取的中点，连接，先证明平面，得，从而得，利用已知正切值得，由直角三角形得，从而又得线面垂直后得出线线垂直；
（2）由得出的长，再由得出点到平面的距离．
【详解】（1）连接，
平面平面，同理，，，
.
又平面,平面.
平面.
取的中点，连接为的中点，
，.
，
，
为的中点，
.
又平面，平面.
平面.
（2）.
，且四边形为矩形，即，
又由（1），平面，，
平面.
∴.
连接，中，中.
为中点，点到平面的距离中，.
由（1）知面，
在中，，
中，
∴，
.
设点到平面的距离为，则即，
解得.所以点到平面的距离为.
8．（四川省雅安市2023届高三零诊考试数学（文）试题）如图①，为边长为6的等边三角形，E，F分别为AB，AC上靠近A的三等分点，现将沿EF折起，使点A翻折至点P的位置，满足，如图②所示．
(1)若H为PC上靠近P的一个三等分点，求证：直线平面PBE；
(2)求四棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）由面面平行或线线平行证明线面平行，证平面平面PBE或证即可.
（2）棱锥的底面为等腰梯形，证明面面垂直作出棱锥的高，分别计算棱锥的底面积和高即可.
【详解】（1）方法1，在BC上取靠近B的三等分点Q，连接FQ，HQ，
，则，
又平面PBE，平面PBE，所以平面PBE，
又知，所以，
又平面PBE，平面PBE，所以平面PBE，
平面FHQ，平面FHQ，，
所以，平面平面PBE，平面FHQ，
所以，直线平面PBE．
方法2，连接AP，则AP是平面PAB与平面PAC的交线，
可知，所以，
又平面PBE，平面PBE，
所以，直线平面PBE．
（2）取BC中点G，连接AG，并交EF于点D，连接PD，
为等边三角形，，∴，，
平面PDG，平面PDG，，
可知平面PDG，平面，∴平面平面PDG．
由余弦定理，，
则，可知，为等边三角形，边长为．
作于O，则平面BCFE，
可得，即四棱锥的高．
设四棱锥的体积为V，
则．
9．（四川省广安市2023届高三零诊文科数学试题）如图，四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，其中，，面面ABCD，且，点M在棱AE上．
(1)若，求证：平面BDM．
(2)当平面MBC时，求点E到平面BDM的距离．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）连接与交于点，证明后可得线面平行；
（2）由题得是中点，然后利用等积法即得.
（1）
连接AC与BD交于点N，连接MN，
∵，，
∴，
∴，
又因为，
∴，
∴，
又∵平面BDM，平面BDM，
∴平面BDM．
（2）
∵平面MBC，平面MBC，
∴，
∴，
∴M是AE的中点，
∵平面平面ABCD，
∴点E到平面ABCD的距离为，
在中，，，，
∴，
∴
∴点E到平面BDM的距离满足，
所以距离．
10．（四川省凉山州2022届高三第三次诊断性检测数学（文科）试题）如图，在直三棱柱中，，，E，F为线段，的中点．
(1)证明：EF⊥平面；
(2)若直线EA与平面ABC所成的角大小为，求点C到平面的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取的中点，连结，可得，通过证明平面可得；
（2）利用等体积关系可得.
(1)
证明：取的中点，连结，
∵在中，、分别为、的中点，∴且，
又在直三棱柱中，E是的中心，
∴且，∴且，
∴四边形BEFM为平行四边形，∴，
∵在中，M为AC的中点，且，
∴，且，
∵平面，平面，∴，
又，∴平面，∴平面；
(2)
由（1）知，，，
因为直线与平面所成的角大小为，，
因为中，，，
，，
，
设点到平面的距离为，
，，
即，解得.
11．（四川省射洪市2022届高三下学期高考模拟测试文科数学试题）如图，平面五边形中，∠B=∠BAD=∠E=∠CDE=90°，，将沿折叠，得四棱锥．
(1)证明：；
(2)若平面平面，求点到平面的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取的中点，构造平面，证明平面即可；
（2）根据等体积法，，即可求出点到平面的距离．
（1）
证明：取的中点，连结，，
因为，即，所以，，
因为，即，，所以，又，所以，因为，平面，平面，所以平面，因为平面，所以．
（2）
因为平面平面，平面平面，平面，，所以，又，则，连接，三棱锥体积，，是正三角形，，设点到平面的距离为，由，得可求得.
12．（四川省成都市2022届高三第三次诊断考试文科数学试题）如图，在等腰梯形ADEF中，，，，．在矩形ABCD中，．平面平面ABCD．
(1)证明：；
(2)求多面体ABCDEF的体积．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）过点F作AD的垂线，垂足为M，连接MB，MC，由面面垂直的性质可得平面ABCD，再利用勾股定理得出即可证明；
（2）多面体可分割为1个四棱锥与1个三棱锥，利用求解即可.
(1)
如图，过点F作AD的垂线，垂足为M，连接MB，MC．
∵四边形ADEF为等腰梯形，，，，
∴，．
∵平面平面ABCD，平面平面，
平面ADEF，，
∴平面ABCD．
∴，．
∵四边形ABCD为矩形，，，
∴，，，．
∵，∴．
(2)
如图，连接AC．
∵四边形ABCD为矩形，∴．
∵平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD，
∴平面ADEF．
结合（1）可知
．
∴．
13．（四川省眉山市2022届高中第三次诊断性考试数学（文史类）试题）如图，已知在三棱柱中，，，F是线段BC的中点，点O在线段AF上，.D是侧棱中点，.
(1)证明：平面；
(2)F，E，三点在同一条直线上吗？说明理由，求的值.
【答案】(1)证明见解析；
(2)在；.
【分析】（1）由题可得是的重心，然后利用线面平行的判定定理即得；
（2）由题可得四点共面，进而可得点在平面与平面的交线上，结合条件即得.
（1）连接，并延长交于，连接，∵，，F是线段BC的中点，∴，又，∴是的重心，∴，又D是侧棱中点，∴，∴，又平面，平面，∴平面；
（2）连接，则，，∴四点共面，又，∴，平面，又平面，∴平面，又平面平面，∴，即三点在一条直线上，所以
14．（四川省遂宁市2022届高三下学期三诊考试数学（文）试题）在等腰梯形ABCD中，，，，E、O、F分别为AD、BE、DE中点（如图1），将沿BE折起到的位置，使得（如图2）．
(1)证明：平面；
(2)求B到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）先证平面BCDE，由此可得，再由菱形及中位线得出，即可得证；
（2）利用等体积法由求解即可.
(1)
连接，如图，
如图1，在等腰梯形ABCD中，，，，E为AD中点，为等边三角形，∵O为BE的中点 , 即，
如图2，，又，平面BCDE，
平面BCDE，又EC平面BCDE，.
，所以四边形EBCD为菱形，,
O、F分别为BE、DE中点, ,,
平面，
平面
(2)
在中，,
,
平面，平面，，
在中，
平面, 到平面的距离为，
设B到平面的距离为，
由可得，
，.
点B到平面的距离为.
15．（四川省德阳市2022届高三“三诊”数学（文科）试题）如图所示，平面平面是等腰直角三角形，，四边形是直角梯形，，，，分别为的中点.
(1)试判断直线与平面的位置关系，并说明理由；
(2)求四面体的体积.
【答案】(1)平面，理由见解析；
(2).
【分析】（1）根据已知条件及三角形的中位线定理，再利用平行的传递性及平行四边形的判定，再结合线面平行的判定即可求解；
（2）根据已知条件得出点到平面的距离，进而得到点到平面的距离，再求出面积，结合三棱锥的体积公式即可求解.
【详解】（1）直线与平面平行，理由如下
如图所示，
取中点为，连接，
因为为的中点，为的中点，
所以.
又 ，，所以，
所以，
所以四边形为平行四边形.则.
又平面，平面，
所以平面.
（2）因为是等腰直角三角形，，为的中点.
所以,，，
因为平面平面，，
平面平面，
所以平面，平面，所以，，
又，所以平面，
所以点到平面的距离为，因为为的中点.
即点到平面的距离为，
因为为的中点，所以，
又因为四边形是直角梯形，，，，
所以
，
所以四面体ODME的体积为
.
16．（四川省泸州市2022届高三第三次教学质量诊断性考试文科数学试题）已知直三棱柱中，D为的中点．
(1)若，，，求点C到平面ABD的距离；
(2)从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①；②；③．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用等体积法求点到平面距离，，先由已知条件可判断是直角三角形，可得到，根据直棱柱的性质可知点到平面的距离为，则可得到，再分别求得，，可判断是等腰三角形，即可求得，进而求解；
（2）选择①②为条件，证明③成立：连接，易知平面，则，结合直棱柱的性质可得，则平面，即，进而由中线与高线重合即可证明结论；
选择①③为条件，证明②成立：连接，易知，结合直棱柱的性质可得，则平面，即，结合①可得平面，即可证明结论；
选择②③为条件，证明①成立：连接，易知，结合直棱柱的性质可得，则平面，即，结合②可得平面，即可证明结论.
(1)
解：因为，，
所以，即是直角三角形，，
所以，
因为直棱柱，所以平面，则点到平面的距离为，
连接，平面，所以，
因为为的中点，即，
所以在中，，
所以，
同理，，则，
所以是等腰三角形，则，
设点C到平面ABD的距离为，
因为，即，
解得，
故点C到平面ABD的距离为.
(2)
选择①②为条件，证明③成立：
证明：连接，
因为，，，平面，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
又直棱柱，所以平面，
因为平面，所以，
因为，平面，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
因为为的中点，所以.
选择①③为条件，证明②成立：
证明：连接，因为，为的中点，所以，
因为直棱柱，所以平面，
因为平面，所以，
因为，平面，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
又，，平面，平面，
所以平面，
因为平面，
所以.
选择②③为条件，证明①成立：
证明：连接，因为，为的中点，所以，
因为直棱柱，所以平面，
因为平面，所以，
因为，平面，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
又，，平面，平面，
所以平面，
因为平面，
所以.
【点睛】
17．（四川省绵阳市2022届高三第三次诊断性考试文科数学试卷）在四棱锥中，底面ABCD为梯形，已知，，，△PBC是以BC为斜边的等腰直角三角形．
(1)证明：平面PBC；
(2)Q为棱AB上一点，且三棱锥的体积为，求的大小．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）连接，由平行线、等腰三角形的性质可得，结合已知易知△为等边三角形，进而有，若为中点，连接，由勾股定理有，由平行四边形性质有，即有，最后根据线面垂直的判定证明结论.
（2）由（1）结论，结合面面垂直的判定可得面面，再由面面垂直的性质易知是的体高，利用棱锥体积公式求得，根据已知条件即可求.
(1)
连接，由知：，又，则，
所以，而，故，
所以△为等边三角形，即，
在△中，，易知：，即，
所以，
若为中点，连接，则，，又，即，
所以，又且，则为平行四边形，故，
所以，又，面PBC，则平面PBC；
(2)
由（1）知：平面PBC，又面，则面面，
又，面，面面，则面，
在是的体高，且，可得，
在△中，，，则，故.
18．（四川省达州市2022届高三第二次诊断性测试数学（文科）试题）已知三棱柱的棱长均为，平面，为的中点.
(1)证明：平面；
(2)求多面体的体积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）记，根据正方形性质和等腰三角形三线合一性质可分别证得、，由线面垂直判定可证得结论；
（2）取中点，利用线面垂直判定可证得平面，由棱锥和棱柱体积公式可分别求得和，作差即可得到所求多面体体积.
(1)
记，连接，
三棱柱的棱长均为，平面，
四边形和为全等的两个正方形，且为中点；
，，，，
，，
又平面，，平面.
(2)
取中点，连接，
为等边三角形，；
平面，平面，，又，，
又平面，，平面，
；
又，
多面体的体积.
19．（四川省攀枝花市2022届高三第二次统一考试文科数学试题）如图1，在直角梯形中，，，点为的中点，点在，将四边形沿边折起，如图2.
(1)证明：图2中的平面；
(2)在图2中，若，求该几何体的体积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取中点，连接，分别证得和，结合面面平行的判定定理，证得平面平面，即可证得平面.
（2）由，得到，证得，连接，把该几何体分割为四棱锥和三棱锥，结合锥体的体积公式，即可求解.
【详解】（1）证明：取中点，连接，
因为，所以四边形是平行四边形，
所以且，
所以四边形是平行四边形，所以，
因为平面，且平面，所以平面，
同理可知：四边形是平行四边形，所以，证得平面，
因为平面，且，平面，
所以平面平面，
因为平面，所以平面.
（2）解：若，
因为，，则，故，
所以两两垂直，
连接，该几何体分割为四棱锥和三棱锥，
则，
因为平面平面，故，
所以该几何体的体积为.
20．（四川省宜宾市2022届高三第二次诊断测试数学（文）试题）如图，在四棱锥中，，，，，，为线段的中点，且．
(1)求证：平面；
(2)若过三点的平面将四棱锥分成上，下两部分，求上面部分的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由直线与平面的判定定理证明
（2）分别两个三棱锥体积后求和
【详解】（1）
证明：连接，
，
……
，
……
.
（2）作的中点，连接
为的中点， ．
平面
，
21．（四川省南充市2022届高考适应性考试（二诊）文科数学试题）如图所示，四边形为菱形，，平面平面，点是棱的中点.
(1)求证：；
(2)若，求三棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）设点是棱的中点，连接，可证平面，从而得到.
（2）利用等积转化和体积公式可求三棱锥的体积.
(1)
如图所示，设点是棱的中点，连接，
由及点是棱的中点，可得，
又因为平面平面，平面平面，
平面，故平面，
又因为平面，所以，
又因为四边形为菱形，所以，
而是的中位线，所以，可得，
又由，且平面平面，所以平面，
又因为平面，所以.
(2)
，
由于菱形，故，故，
故三角形为正三角形，且三角形为正三角形，
故，由于平面，
22．（四川省内江市2022届高三第二次模拟考试数学文科试题）如图所示，已知是边长为6的等边三角形，点M、N分别在，上，，O是线段的中点，将沿直线进行翻折，A翻折到点P，使得平面平面，如图所示.
(1)求证：；
(2)若，求点M到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）由，证得，利用面面垂直的性质，证得平面，进而证得；
（2）设点到平面的距离为，结合，求得的值，结合平面，利用点到平面的距离与点到平面的距离相等，即可求解.
【详解】（1）证明：因为是边长为6的等边三角形，且，
在中，可得，
又因为点是线段的中点，所以，
因为平面平面，且平面，平面平面，
所以平面，
又因为平面，所以.
（2）解：由是边长为6的等边三角形，可得的高为，
因为,，可得，,
则的面积为，
又由平面，且，
所以三棱锥的体积为，
在直角中，，可得，
所以的面积为，
设点到平面的距离为，
因为，可得，解得，
又由，且平面，平面，所以平面，
则点到平面的距离与点到平面的距离相等，
所以点到平面的距离为.
23．（四川省凉山州2022届高三第二次诊断性检测数学（文科）试题）如图，在棱长为2的正方体中，E，F，G，H分别是所在棱的中点．
(1)求证：E，F，G，H四点共面；
(2)求三棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)1
【分析】（1）证明：连接HE，，GF，证明出，即可证明E，F，G．H四点共面；
（2）利用三棱锥等体积法即可证明.
(1)
（1）证明：连接HE，，GF
∵在正方体中，GF分别是棱、BC的中点
∴且
∴四边形是平行四边形
∴
又在中，H，E分别是，AB的中点
∴，∴
∴E，F，G．H四点共面
(2)
在底面ABCD中，
.
又由点G到平面DEF的距离为2，所以.
所以.
24．（四川省2022届高三诊断性检测文科数学试题）如图，在三棱柱中，，，，平面平面ABC.
(1)求证：；
(2)若M是线段的中点，N是线段上一点，且平面，求四棱锥与三棱柱的体积之比.
【答案】(1)证明见解析
(2)1∶3
【分析】(1)连与交于点D，根据面面垂直的性质可得平面，结合线面垂直的性质和判定定理即可证明；
(2)根据题意可得，进而可知N是线段的中点，结合四棱锥和三棱柱的体积公式计算即可.
(1)
连与交于点D.
由已知平面平面ABC，平面平面，，
又平面ABC，∴平面.
而平面，∴.又由已知四边形为菱形，
∴，又，则平面，
又平面，故.
(2)
∵平面，面，平面面，
∴.∵M是线段的中点，∴N是线段的中点，
∴，
故，
∴四棱锥与三棱柱的体积之比为1∶3.
25．（四川省成都市第七中学2022-2023学年高三下学期入学考试数学（文）试题）如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，其中，，，，平面ABCD，且，点M在棱PD上（不包括端点），点N为BC中点．
(1)若，求证：直线平面PAB；
(2)已知点M满足，求异面直线MN与AD所成角．
【答案】(1)证明见解析
(2)90°．
【分析】（1）取PA的一个靠近点P的三等分点Q，连接MQ，QB，由题意可证得，再由线面平行的判定定理即可证明；
（2）过点M作，交AD于K，连接KN，由线面垂直的判定定理证明面MNK，即可得出，即可得出答案.
【详解】（1）取PA的一个靠近点P的三等分点Q，连接MQ，QB，
因为，所以且，
又因为，且，点N为BC中点，
所以且，则四边形MQBN为平行四边形，
所以，平面PAB，平面PAB，
所以直线平面PAB．
（2）过点M作，交AD于K，连接KN，
可知面ABCD，因为面ABCD，所以，
又因为，所以．
∵∴，∴，，
所以四边形AKNB为平行四边形，，
又因为，所以，
又，∴面MNK，因为面MNK，
∴，
所以异面直线MN与AD成角为90°．
26．（2023·四川成都·统考一模）如图①，在等腰直角三角形中，分别是上的点，且满足．将沿折起，得到如图②所示的四棱锥．
(1)若为的中点，平面平面，求四棱锥的体积；
(2)设平面平面，证明：平面．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据面面垂直的性质定理推出平面，再根据棱锥的体积公式可求出结果；
（2）根据线面平行的判定定理和性质定理推出，再根据线面垂直的判定定理可证结论正确.
【详解】（1）由题意得．
平面平面平面，平面平面，
平面．
为的中点，
．
．
四棱锥的体积为．
（2），平面平面，
平面．
平面，平面平面，
．
由图①，得，
．
平面，平面，，
平面．
27．（四川省宜宾市2022-2023学年高三上学期12月第一次模拟数学（文）试题）如图，在直三棱柱中，是等边三角形，,是棱的中点.
(1)证明：平面平面.
(2)求点到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由题意证明平面，根据面面垂直的判定定理即可证明结论.
（2）求得三棱锥的体积，设点到平面的距离为，表示出三棱锥的体积，利用等体积法,即可求得答案.
【详解】（1）证明：由直三棱柱的定义可知平面.
因为平面，所以；
因为是等边三角形，，且是棱的中点，所以.
因为平面，且，所以平面.
因为平面，所以平面平面.
（2）连接，
由题意可得的面积.
因为是边长为4的等边三角形，且是棱的中点，所以.
由（1）可知平面，则三棱锥的体积
因为是棱的中点，且，所以，则.
由（1）可知平面,平面 ，则，
从而的面积.
设点到平面的距离为，则三棱锥的体积.
因为，所以，解得，
即点到平面的距离为.
28．（广西2023届高三上学期西部联考数学（文）试题）如图，在三棱柱中，平面平面，四边形是菱形，是的中点.
(1)证明：平面；
(2)若点到平面的距离为，求.
【答案】(1)证明见解析
(2)2
【分析】（1）连接，先根据面面垂直的性质可得平面，再根据线面垂直的性质与判定证明即可；
（2）设，根据等体积法求解即可.
【详解】（1）证明：连接，因为四边形是菱形，所以，
因为，所以为等边三角形，所以，
因为平面平面，平面平面平面，
所以平面，
平面，所以，
因为，即，所以，
又，平面，所以平面；
（2）设，可得，
由为正三角形，可得，
在中，，
在Rt中，，可得Rt的面积为，
又由，有，解得，
故.
29．（陕西省西安市第八十九中学2021-2022学年高三上学期第四次模拟文科数学试题）如图，已知四棱锥的顶点A，B，P在同一半圆上，且为该半圆的直径，平面平面，底面是直角梯形，且.
(1)求证：；
(2)若，Q是的中点，求四棱锥被平面截得的两部分体积之比（求出小于1的值）.
【答案】(1)证明见详解
(2)
【分析】（1）要证可证平面，易证，再由面面垂直性质可证，进而得证；
（2）由于被切割后的两棱锥高相同，故体积之比等价于底面积之比，结合面积公式即可求解.
【详解】（1）（1）因为平面平面，平面平面，底面是直角梯形，所以，所以平面，又平面，所以；
因为A，B，P在同一半圆上，且为该半圆的直径，所以，
因为，所以平面，又因为平面，所以；
（2）
如图，连接，则四棱锥被平面切割为和两部分，因为两棱锥高相同，故，
因为Q是的中点，，所以，，，
所以，.
30．（四川省内江市2022届高三第三次模拟考试数学（文）试题）如图，在多面体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，，平面平面，
(1)证明：平面；
(2)求三棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）过作交于，连接､，设交于点，连接，易知为平行四边形，可证为平行四边形，则为中位线有，根据线面平行的判定证结论.
（2）由（1）易知，由面面垂直的性质可得面，即为体高，最后利用棱锥的体积公式求体积.
(1)
如图，过作交于，连接､，设交于点，连接.
由，，则四边形为平行四边形，
所以，而且，则且，
所以四边形为平行四边形，则为线段的中点，又，
在△中为中位线，故，又平面，平面，
所以平面.
(2)
由（1）知：平面，
故到平面的距离与点到平面的距离相等.
所以.
面面，面面，，面，
所以面.
则.
四川省高考数学复习
专题6立体几何（文科）解答题30题专项提分计划
1．（四川省成都市温江区2022届高考适应性考试数学（文）试题）如图，四棱锥中，四边形为直角梯形，在底面内的射影分别为，．
(1)求证：；
(2)求到平面的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由题意可证、，则可得面，即可知，又则可得面，即可证.
（2）分别计算出与，再利用等体积法即可求出答案.
（1）
因为在底面内的射影为，所以面面，
又因为，面面，面
所以面，
又因面因此，
同理，
又,面,面
所以面，
又面,所以，
连接，易得，，又，
故，
又,面,面
因此面，
又面
即；
（2）
在中.
在中.
把到平面的距离看作三棱锥的高h，
由等体积法得，，
故，即，
故到平面的距离为．
2．（四川省攀枝花市2022届高三第三次统一考试文科数学试题）如图，四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面ABCD，，E、F分别为AD、SC的中点，且平面SBC．
(1)求AB；
(2)若，求点E到平面SCD的距离．
【答案】(1)2；
(2).
【分析】（1）由题可得≌，进而即得；
（2）利用，结合条件即得.
(1)
连接，
∵平面SBC，平面SBC，
∴，
∵E、F分别为AD、SC的中点，
∴，
∵平面ABCD，平面ABCD，
∴，又，
∴≌，
∴；
(2)
设点E到平面SCD的距离为，
∵平面ABCD，平面ABCD，
∴，
又，
∴平面，
∴，，
由，可得
，即，
∴.
3．（2023·四川南充·校考模拟预测）如图，，，为圆柱底面圆周上的三个不同的点，，，分别为圆柱的三条母线，且底面圆的半径为
(1)若是底面圆的一条直径，证明：.
(2)若，且四边形的周长为，求三棱锥体积的最大值.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）通过证明平面来证得.
（2）结合锥体体积公式以及圆柱的几何性质求得三棱锥体积的最大值.
【详解】（1）因为是底面圆的一条直径，所以，
因为为圆柱的一条母线，所以底面，
又底面，所以，
因为平面，所以平面，
因为平面，
所以；
（2）易知四边形为矩形，且平面底面圆，
因为，且四边形的周长为，所以
到平面的距离的最大值是，
故，
故三棱锥体积的最大值为.
4．（四川省乐山市2022届高三三模数学（文）试题）如图，四棱锥P－ABCD的底面为菱形，，AB＝AP＝2，PA⊥底面ABCD，E是线段PB的中点，G，H分别是线段PC上靠近P，C的三等分点．
(1)求证：平面AEG∥平面BDH；
(2)求点A到平面BDH的距离．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）根据三角形中位线定理，结合线面平行的判定定理和面面平行的判定定理进行证明即可；
（2）利用三棱锥的体积等积性进行求解即可.
【详解】（1）连接AC，交BD于点O，连接OH，△PBH中，E，G分别为PB，PH的中点，所以EG∥BH，又因为平面BDH，平面BDH，
所以EG∥平面BDH，同理：AG∥平面BDH，因为AG，平面AEG，，
所以平面AEG∥平面BDH．
（2）记点A，H到平面BDH，平面ABD的距离分别为，，，
因为PA⊥平面ABCD，PA＝2，，所以，
在△PBC中，，
在△BCH中，，
同理，，又因为O为BD中点，所以OH⊥BD．
在△BDH中，，，
因为，所以．
5．（四川省南充高级中学2023届高考模拟检测七文科数学试题）如图， 在平行六面体 中，分别是的中点， 侧面平面．
(1)求证：平面;
(2)试求三棱锥 体积．
【答案】(1)答案见解析；
(2)答案见解析；
【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明即可；
（2）根面面垂直的性质定理结合等体积计算即可.
【详解】（1）取的中点为，连接．
在和中， 因为分别是的中点，
所以 ，且，
又在平行六面体中，，所以，
因此四边形为平行四边形，所以，
又因平面平面， 所以平面．
（2）由（1）知 平面知， 点到平面的距离相等，
所以 ，
在三角形 中，
过点作于，因侧面平面，
所以 平面， 因， 所以平面，
因此点 到平面的距离相等， 则的长为点到平面的距离，，
所以.
6．（四川省乐山市高中2023届高三第一次调查研究考试文科数学试题）如图，在四棱锥中，平面，底面满足，且，，三角形的面积为
(1)画出平面和平面的交线，并说明理由
(2)求点到平面的距离
【答案】(1)答案见解析；
(2)
【分析】（1）延长交于点，连接，进而根据点线面关系说明即可；
（2）根据题意证明，进而结合求解即可.
【详解】（1）解：延长交于点，连接，则即为平面和平面的交线，
理由如下：
因为，平面，平面，
所以平面，平面，
所以平面平面，
因为平面，平面，
所以平面平面，
所以，为平面与平面的交线.
（2）解：因为平面，平面，所以，
因为，三角形的面积为
所以，解得，
因为，
所以，即，
因为，
所以，
所以
因为，，
设点到平面的距离为，
所以，解得
所以点到平面的距离为
7．（四川省达州市普通高中2023届高三第一次诊断性测试文科数学试题）如图，四棱锥的底面是梯形，为延长线上一点，平面是中点.
(1)证明：；
(2)若，三棱锥的体积为，求点到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取的中点，连接，先证明平面，得，从而得，利用已知正切值得，由直角三角形得，从而又得线面垂直后得出线线垂直；
（2）由得出的长，再由得出点到平面的距离．
【详解】（1）连接，
平面平面，同理，，，
.
又平面,平面.
平面.
取的中点，连接为的中点，
，.
，
，
为的中点，
.
又平面，平面.
平面.
（2）.
，且四边形为矩形，即，
又由（1），平面，，
平面.
∴.
连接，中，中.
为中点，点到平面的距离中，.
由（1）知面，
在中，，
中，
∴，
.
设点到平面的距离为，则即，
解得.所以点到平面的距离为.
8．（四川省雅安市2023届高三零诊考试数学（文）试题）如图①，为边长为6的等边三角形，E，F分别为AB，AC上靠近A的三等分点，现将沿EF折起，使点A翻折至点P的位置，满足，如图②所示．
(1)若H为PC上靠近P的一个三等分点，求证：直线平面PBE；
(2)求四棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）由面面平行或线线平行证明线面平行，证平面平面PBE或证即可.
（2）棱锥的底面为等腰梯形，证明面面垂直作出棱锥的高，分别计算棱锥的底面积和高即可.
【详解】（1）方法1，在BC上取靠近B的三等分点Q，连接FQ，HQ，
，则，
又平面PBE，平面PBE，所以平面PBE，
又知，所以，
又平面PBE，平面PBE，所以平面PBE，
平面FHQ，平面FHQ，，
所以，平面平面PBE，平面FHQ，
所以，直线平面PBE．
方法2，连接AP，则AP是平面PAB与平面PAC的交线，
可知，所以，
又平面PBE，平面PBE，
所以，直线平面PBE．
（2）取BC中点G，连接AG，并交EF于点D，连接PD，
为等边三角形，，∴，，
平面PDG，平面PDG，，
可知平面PDG，平面，∴平面平面PDG．
由余弦定理，，
则，可知，为等边三角形，边长为．
作于O，则平面BCFE，
可得，即四棱锥的高．
设四棱锥的体积为V，
则．
9．（四川省广安市2023届高三零诊文科数学试题）如图，四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，其中，，面面ABCD，且，点M在棱AE上．
(1)若，求证：平面BDM．
(2)当平面MBC时，求点E到平面BDM的距离．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）连接与交于点，证明后可得线面平行；
（2）由题得是中点，然后利用等积法即得.
（1）
连接AC与BD交于点N，连接MN，
∵，，
∴，
∴，
又因为，
∴，
∴，
又∵平面BDM，平面BDM，
∴平面BDM．
（2）
∵平面MBC，平面MBC，
∴，
∴，
∴M是AE的中点，
∵平面平面ABCD，
∴点E到平面ABCD的距离为，
在中，，，，
∴，
∴
∴点E到平面BDM的距离满足，
所以距离．
10．（四川省凉山州2022届高三第三次诊断性检测数学（文科）试题）如图，在直三棱柱中，，，E，F为线段，的中点．
(1)证明：EF⊥平面；
(2)若直线EA与平面ABC所成的角大小为，求点C到平面的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取的中点，连结，可得，通过证明平面可得；
（2）利用等体积关系可得.
(1)
证明：取的中点，连结，
∵在中，、分别为、的中点，∴且，
又在直三棱柱中，E是的中心，
∴且，∴且，
∴四边形BEFM为平行四边形，∴，
∵在中，M为AC的中点，且，
∴，且，
∵平面，平面，∴，
又，∴平面，∴平面；
(2)
由（1）知，，，
因为直线与平面所成的角大小为，，
因为中，，，
，，
，
设点到平面的距离为，
，，
即，解得.
11．（四川省射洪市2022届高三下学期高考模拟测试文科数学试题）如图，平面五边形中，∠B=∠BAD=∠E=∠CDE=90°，，将沿折叠，得四棱锥．
(1)证明：；
(2)若平面平面，求点到平面的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取的中点，构造平面，证明平面即可；
（2）根据等体积法，，即可求出点到平面的距离．
（1）
证明：取的中点，连结，，
因为，即，所以，，
因为，即，，所以，又，所以，因为，平面，平面，所以平面，因为平面，所以．
（2）
因为平面平面，平面平面，平面，，所以，又，则，连接，三棱锥体积，，是正三角形，，设点到平面的距离为，由，得可求得.
12．（四川省成都市2022届高三第三次诊断考试文科数学试题）如图，在等腰梯形ADEF中，，，，．在矩形ABCD中，．平面平面ABCD．
(1)证明：；
(2)求多面体ABCDEF的体积．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）过点F作AD的垂线，垂足为M，连接MB，MC，由面面垂直的性质可得平面ABCD，再利用勾股定理得出即可证明；
（2）多面体可分割为1个四棱锥与1个三棱锥，利用求解即可.
(1)
如图，过点F作AD的垂线，垂足为M，连接MB，MC．
∵四边形ADEF为等腰梯形，，，，
∴，．
∵平面平面ABCD，平面平面，
平面ADEF，，
∴平面ABCD．
∴，．
∵四边形ABCD为矩形，，，
∴，，，．
∵，∴．
(2)
如图，连接AC．
∵四边形ABCD为矩形，∴．
∵平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD，
∴平面ADEF．
结合（1）可知
．
∴．
13．（四川省眉山市2022届高中第三次诊断性考试数学（文史类）试题）如图，已知在三棱柱中，，，F是线段BC的中点，点O在线段AF上，.D是侧棱中点，.
(1)证明：平面；
(2)F，E，三点在同一条直线上吗？说明理由，求的值.
【答案】(1)证明见解析；
(2)在；.
【分析】（1）由题可得是的重心，然后利用线面平行的判定定理即得；
（2）由题可得四点共面，进而可得点在平面与平面的交线上，结合条件即得.
（1）连接，并延长交于，连接，∵，，F是线段BC的中点，∴，又，∴是的重心，∴，又D是侧棱中点，∴，∴，又平面，平面，∴平面；
（2）连接，则，，∴四点共面，又，∴，平面，又平面，∴平面，又平面平面，∴，即三点在一条直线上，所以
14．（四川省遂宁市2022届高三下学期三诊考试数学（文）试题）在等腰梯形ABCD中，，，，E、O、F分别为AD、BE、DE中点（如图1），将沿BE折起到的位置，使得（如图2）．
(1)证明：平面；
(2)求B到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）先证平面BCDE，由此可得，再由菱形及中位线得出，即可得证；
（2）利用等体积法由求解即可.
(1)
连接，如图，
如图1，在等腰梯形ABCD中，，，，E为AD中点，为等边三角形，∵O为BE的中点 , 即，
如图2，，又，平面BCDE，
平面BCDE，又EC平面BCDE，.
，所以四边形EBCD为菱形，,
O、F分别为BE、DE中点, ,,
平面，
平面
(2)
在中，,
,
平面，平面，，
在中，
平面, 到平面的距离为，
设B到平面的距离为，
由可得，
，.
点B到平面的距离为.
15．（四川省德阳市2022届高三“三诊”数学（文科）试题）如图所示，平面平面是等腰直角三角形，，四边形是直角梯形，，，，分别为的中点.
(1)试判断直线与平面的位置关系，并说明理由；
(2)求四面体的体积.
【答案】(1)平面，理由见解析；
(2).
【分析】（1）根据已知条件及三角形的中位线定理，再利用平行的传递性及平行四边形的判定，再结合线面平行的判定即可求解；
（2）根据已知条件得出点到平面的距离，进而得到点到平面的距离，再求出面积，结合三棱锥的体积公式即可求解.
【详解】（1）直线与平面平行，理由如下
如图所示，
取中点为，连接，
因为为的中点，为的中点，
所以.
又 ，，所以，
所以，
所以四边形为平行四边形.则.
又平面，平面，
所以平面.
（2）因为是等腰直角三角形，，为的中点.
所以,，，
因为平面平面，，
平面平面，
所以平面，平面，所以，，
又，所以平面，
所以点到平面的距离为，因为为的中点.
即点到平面的距离为，
因为为的中点，所以，
又因为四边形是直角梯形，，，，
所以
，
所以四面体ODME的体积为
.
16．（四川省泸州市2022届高三第三次教学质量诊断性考试文科数学试题）已知直三棱柱中，D为的中点．
(1)若，，，求点C到平面ABD的距离；
(2)从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①；②；③．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用等体积法求点到平面距离，，先由已知条件可判断是直角三角形，可得到，根据直棱柱的性质可知点到平面的距离为，则可得到，再分别求得，，可判断是等腰三角形，即可求得，进而求解；
（2）选择①②为条件，证明③成立：连接，易知平面，则，结合直棱柱的性质可得，则平面，即，进而由中线与高线重合即可证明结论；
选择①③为条件，证明②成立：连接，易知，结合直棱柱的性质可得，则平面，即，结合①可得平面，即可证明结论；
选择②③为条件，证明①成立：连接，易知，结合直棱柱的性质可得，则平面，即，结合②可得平面，即可证明结论.
(1)
解：因为，，
所以，即是直角三角形，，
所以，
因为直棱柱，所以平面，则点到平面的距离为，
连接，平面，所以，
因为为的中点，即，
所以在中，，
所以，
同理，，则，
所以是等腰三角形，则，
设点C到平面ABD的距离为，
因为，即，
解得，
故点C到平面ABD的距离为.
(2)
选择①②为条件，证明③成立：
证明：连接，
因为，，，平面，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
又直棱柱，所以平面，
因为平面，所以，
因为，平面，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
因为为的中点，所以.
选择①③为条件，证明②成立：
证明：连接，因为，为的中点，所以，
因为直棱柱，所以平面，
因为平面，所以，
因为，平面，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
又，，平面，平面，
所以平面，
因为平面，
所以.
选择②③为条件，证明①成立：
证明：连接，因为，为的中点，所以，
因为直棱柱，所以平面，
因为平面，所以，
因为，平面，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
又，，平面，平面，
所以平面，
因为平面，
所以.
【点睛】
17．（四川省绵阳市2022届高三第三次诊断性考试文科数学试卷）在四棱锥中，底面ABCD为梯形，已知，，，△PBC是以BC为斜边的等腰直角三角形．
(1)证明：平面PBC；
(2)Q为棱AB上一点，且三棱锥的体积为，求的大小．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）连接，由平行线、等腰三角形的性质可得，结合已知易知△为等边三角形，进而有，若为中点，连接，由勾股定理有，由平行四边形性质有，即有，最后根据线面垂直的判定证明结论.
（2）由（1）结论，结合面面垂直的判定可得面面，再由面面垂直的性质易知是的体高，利用棱锥体积公式求得，根据已知条件即可求.
(1)
连接，由知：，又，则，
所以，而，故，
所以△为等边三角形，即，
在△中，，易知：，即，
所以，
若为中点，连接，则，，又，即，
所以，又且，则为平行四边形，故，
所以，又，面PBC，则平面PBC；
(2)
由（1）知：平面PBC，又面，则面面，
又，面，面面，则面，
在是的体高，且，可得，
在△中，，，则，故.
18．（四川省达州市2022届高三第二次诊断性测试数学（文科）试题）已知三棱柱的棱长均为，平面，为的中点.
(1)证明：平面；
(2)求多面体的体积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）记，根据正方形性质和等腰三角形三线合一性质可分别证得、，由线面垂直判定可证得结论；
（2）取中点，利用线面垂直判定可证得平面，由棱锥和棱柱体积公式可分别求得和，作差即可得到所求多面体体积.
(1)
记，连接，
三棱柱的棱长均为，平面，
四边形和为全等的两个正方形，且为中点；
，，，，
，，
又平面，，平面.
(2)
取中点，连接，
为等边三角形，；
平面，平面，，又，，
又平面，，平面，
；
又，
多面体的体积.
19．（四川省攀枝花市2022届高三第二次统一考试文科数学试题）如图1，在直角梯形中，，，点为的中点，点在，将四边形沿边折起，如图2.
(1)证明：图2中的平面；
(2)在图2中，若，求该几何体的体积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取中点，连接，分别证得和，结合面面平行的判定定理，证得平面平面，即可证得平面.
（2）由，得到，证得，连接，把该几何体分割为四棱锥和三棱锥，结合锥体的体积公式，即可求解.
【详解】（1）证明：取中点，连接，
因为，所以四边形是平行四边形，
所以且，
所以四边形是平行四边形，所以，
因为平面，且平面，所以平面，
同理可知：四边形是平行四边形，所以，证得平面，
因为平面，且，平面，
所以平面平面，
因为平面，所以平面.
（2）解：若，
因为，，则，故，
所以两两垂直，
连接，该几何体分割为四棱锥和三棱锥，
则，
因为平面平面，故，
所以该几何体的体积为.
20．（四川省宜宾市2022届高三第二次诊断测试数学（文）试题）如图，在四棱锥中，，，，，，为线段的中点，且．
(1)求证：平面；
(2)若过三点的平面将四棱锥分成上，下两部分，求上面部分的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由直线与平面的判定定理证明
（2）分别两个三棱锥体积后求和
【详解】（1）
证明：连接，
，
……
，
……
.
（2）作的中点，连接
为的中点， ．
平面
，
21．（四川省南充市2022届高考适应性考试（二诊）文科数学试题）如图所示，四边形为菱形，，平面平面，点是棱的中点.
(1)求证：；
(2)若，求三棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）设点是棱的中点，连接，可证平面，从而得到.
（2）利用等积转化和体积公式可求三棱锥的体积.
(1)
如图所示，设点是棱的中点，连接，
由及点是棱的中点，可得，
又因为平面平面，平面平面，
平面，故平面，
又因为平面，所以，
又因为四边形为菱形，所以，
而是的中位线，所以，可得，
又由，且平面平面，所以平面，
又因为平面，所以.
(2)
，
由于菱形，故，故，
故三角形为正三角形，且三角形为正三角形，
故，由于平面，
22．（四川省内江市2022届高三第二次模拟考试数学文科试题）如图所示，已知是边长为6的等边三角形，点M、N分别在，上，，O是线段的中点，将沿直线进行翻折，A翻折到点P，使得平面平面，如图所示.
(1)求证：；
(2)若，求点M到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）由，证得，利用面面垂直的性质，证得平面，进而证得；
（2）设点到平面的距离为，结合，求得的值，结合平面，利用点到平面的距离与点到平面的距离相等，即可求解.
【详解】（1）证明：因为是边长为6的等边三角形，且，
在中，可得，
又因为点是线段的中点，所以，
因为平面平面，且平面，平面平面，
所以平面，
又因为平面，所以.
（2）解：由是边长为6的等边三角形，可得的高为，
因为,，可得，,
则的面积为，
又由平面，且，
所以三棱锥的体积为，
在直角中，，可得，
所以的面积为，
设点到平面的距离为，
因为，可得，解得，
又由，且平面，平面，所以平面，
则点到平面的距离与点到平面的距离相等，
所以点到平面的距离为.
23．（四川省凉山州2022届高三第二次诊断性检测数学（文科）试题）如图，在棱长为2的正方体中，E，F，G，H分别是所在棱的中点．
(1)求证：E，F，G，H四点共面；
(2)求三棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)1
【分析】（1）证明：连接HE，，GF，证明出，即可证明E，F，G．H四点共面；
（2）利用三棱锥等体积法即可证明.
(1)
（1）证明：连接HE，，GF
∵在正方体中，GF分别是棱、BC的中点
∴且
∴四边形是平行四边形
∴
又在中，H，E分别是，AB的中点
∴，∴
∴E，F，G．H四点共面
(2)
在底面ABCD中，
.
又由点G到平面DEF的距离为2，所以.
所以.
24．（四川省2022届高三诊断性检测文科数学试题）如图，在三棱柱中，，，，平面平面ABC.
(1)求证：；
(2)若M是线段的中点，N是线段上一点，且平面，求四棱锥与三棱柱的体积之比.
【答案】(1)证明见解析
(2)1∶3
【分析】(1)连与交于点D，根据面面垂直的性质可得平面，结合线面垂直的性质和判定定理即可证明；
(2)根据题意可得，进而可知N是线段的中点，结合四棱锥和三棱柱的体积公式计算即可.
(1)
连与交于点D.
由已知平面平面ABC，平面平面，，
又平面ABC，∴平面.
而平面，∴.又由已知四边形为菱形，
∴，又，则平面，
又平面，故.
(2)
∵平面，面，平面面，
∴.∵M是线段的中点，∴N是线段的中点，
∴，
故，
∴四棱锥与三棱柱的体积之比为1∶3.
25．（四川省成都市第七中学2022-2023学年高三下学期入学考试数学（文）试题）如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，其中，，，，平面ABCD，且，点M在棱PD上（不包括端点），点N为BC中点．
(1)若，求证：直线平面PAB；
(2)已知点M满足，求异面直线MN与AD所成角．
【答案】(1)证明见解析
(2)90°．
【分析】（1）取PA的一个靠近点P的三等分点Q，连接MQ，QB，由题意可证得，再由线面平行的判定定理即可证明；
（2）过点M作，交AD于K，连接KN，由线面垂直的判定定理证明面MNK，即可得出，即可得出答案.
【详解】（1）取PA的一个靠近点P的三等分点Q，连接MQ，QB，
因为，所以且，
又因为，且，点N为BC中点，
所以且，则四边形MQBN为平行四边形，
所以，平面PAB，平面PAB，
所以直线平面PAB．
（2）过点M作，交AD于K，连接KN，
可知面ABCD，因为面ABCD，所以，
又因为，所以．
∵∴，∴，，
所以四边形AKNB为平行四边形，，
又因为，所以，
又，∴面MNK，因为面MNK，
∴，
所以异面直线MN与AD成角为90°．
26．（2023·四川成都·统考一模）如图①，在等腰直角三角形中，分别是上的点，且满足．将沿折起，得到如图②所示的四棱锥．
(1)若为的中点，平面平面，求四棱锥的体积；
(2)设平面平面，证明：平面．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据面面垂直的性质定理推出平面，再根据棱锥的体积公式可求出结果；
（2）根据线面平行的判定定理和性质定理推出，再根据线面垂直的判定定理可证结论正确.
【详解】（1）由题意得．
平面平面平面，平面平面，
平面．
为的中点，
．
．
四棱锥的体积为．
（2），平面平面，
平面．
平面，平面平面，
．
由图①，得，
．
平面，平面，，
平面．
27．（四川省宜宾市2022-2023学年高三上学期12月第一次模拟数学（文）试题）如图，在直三棱柱中，是等边三角形，,是棱的中点.
(1)证明：平面平面.
(2)求点到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由题意证明平面，根据面面垂直的判定定理即可证明结论.
（2）求得三棱锥的体积，设点到平面的距离为，表示出三棱锥的体积，利用等体积法,即可求得答案.
【详解】（1）证明：由直三棱柱的定义可知平面.
因为平面，所以；
因为是等边三角形，，且是棱的中点，所以.
因为平面，且，所以平面.
因为平面，所以平面平面.
（2）连接，
由题意可得的面积.
因为是边长为4的等边三角形，且是棱的中点，所以.
由（1）可知平面，则三棱锥的体积
因为是棱的中点，且，所以，则.
由（1）可知平面,平面 ，则，
从而的面积.
设点到平面的距离为，则三棱锥的体积.
因为，所以，解得，
即点到平面的距离为.
28．（广西2023届高三上学期西部联考数学（文）试题）如图，在三棱柱中，平面平面，四边形是菱形，是的中点.
(1)证明：平面；
(2)若点到平面的距离为，求.
【答案】(1)证明见解析
(2)2
【分析】（1）连接，先根据面面垂直的性质可得平面，再根据线面垂直的性质与判定证明即可；
（2）设，根据等体积法求解即可.
【详解】（1）证明：连接，因为四边形是菱形，所以，
因为，所以为等边三角形，所以，
因为平面平面，平面平面平面，
所以平面，
平面，所以，
因为，即，所以，
又，平面，所以平面；
（2）设，可得，
由为正三角形，可得，
在中，，
在Rt中，，可得Rt的面积为，
又由，有，解得，
故.
29．（陕西省西安市第八十九中学2021-2022学年高三上学期第四次模拟文科数学试题）如图，已知四棱锥的顶点A，B，P在同一半圆上，且为该半圆的直径，平面平面，底面是直角梯形，且.
(1)求证：；
(2)若，Q是的中点，求四棱锥被平面截得的两部分体积之比（求出小于1的值）.
【答案】(1)证明见详解
(2)
【分析】（1）要证可证平面，易证，再由面面垂直性质可证，进而得证；
（2）由于被切割后的两棱锥高相同，故体积之比等价于底面积之比，结合面积公式即可求解.
【详解】（1）（1）因为平面平面，平面平面，底面是直角梯形，所以，所以平面，又平面，所以；
因为A，B，P在同一半圆上，且为该半圆的直径，所以，
因为，所以平面，又因为平面，所以；
（2）
如图，连接，则四棱锥被平面切割为和两部分，因为两棱锥高相同，故，
因为Q是的中点，，所以，，，
所以，.
30．（四川省内江市2022届高三第三次模拟考试数学（文）试题）如图，在多面体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，，平面平面，
(1)证明：平面；
(2)求三棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）过作交于，连接､，设交于点，连接，易知为平行四边形，可证为平行四边形，则为中位线有，根据线面平行的判定证结论.
（2）由（1）易知，由面面垂直的性质可得面，即为体高，最后利用棱锥的体积公式求体积.
(1)
如图，过作交于，连接､，设交于点，连接.
由，，则四边形为平行四边形，
所以，而且，则且，
所以四边形为平行四边形，则为线段的中点，又，
在△中为中位线，故，又平面，平面，
所以平面.
(2)
由（1）知：平面，
故到平面的距离与点到平面的距离相等.
所以.
面面，面面，，面，
所以面.
则.
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