数学（青岛卷）-学易金卷：中考第二次模拟考试卷

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中考数学第二次模拟考试卷
数学·全解全析
第Ⅰ卷
1
2
3
4
5
6
7
8
A
C
D
B
A
C
B
B
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．(本题3分)下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，根据定义判断即可．
【详解】解：A．既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键．

2．(本题3分)如图，数轴上的点A，B，C分别表示有理数a，b，c，则下列结论错误的是（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】根据数轴上点的位置得出三个数的大小关系、正负情况、绝对值大小情况，再依据有理数的乘法法则、加法法则、去绝对值法则、除法法则判断即可求解．
【详解】解：根据数轴上点的位置得：，，
，，，，
，
选项错误，不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题考查了数轴，以及有理数运算法则，弄清数轴上点表示数的特征是解本题的关键．

3．(本题3分)为完善城市轨道交通建设，提升城市公共交通服务水平，济南市城市轨道交通2020~2025年第二期建设规划地铁总里程约为米．把数字“”用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【详解】解：∵，
∴把数字“”用科学记数法表示为．
故选：D
【点睛】本题考查了用科学记数法表示绝对值较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解本题的关键．

4．(本题3分)如图的一个几何体，其俯视图是（    ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】根据简单几何体的三视图的意义，画出俯视图即可作出判断．
【详解】解：从上面看该几何体，所得到的图形如下：

故选：B．
【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，掌握“能看见的轮廓线用实线表示，看不见的轮廓线用虚线表示”是正确判断的关键．

5．(本题3分)如图，在直角坐标系中，边长为2个单位长度的正方形绕原点O逆时针旋转，再沿y轴方向向上平移1个单位长度，则点的坐标为（    ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】过作轴于，连接，根据边长为2个单位长度的正方形绕原点O逆时针旋转，得，即知，可得，又再沿轴方向向上平移1个单位长度，故点的坐标为．
【详解】解：过作轴于，连接，如图，

边长为2个单位长度的正方形绕原点逆时针旋转．




再沿轴方向向上平移1个单位长度，
．
故选：A．
【点睛】此题考查了坐标与图形变化-旋转与平移，解题关键是掌握旋转性质和坐标平移变化规律．

6．(本题3分)如图，分别与相切于A、B，，C为上一点，则的度数为（    ）

A．110° B．120° C．125° D．130°
【答案】C
【解析】
【分析】在右侧取点，连接，根据切线的性质得出，然后根据四边形内角和为即可得出，再由圆周角定理求出，根据圆内接四边形的性质得出的度数即可．
【详解】解：在右侧取点，连接，

∵分别与相切于，
∴，
∴，
∴，
∴
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，同弧或等弧所对圆心角和圆周角的关系，切线的性质等知识点，读懂题意，熟练掌握以上基础知识点是解本题的关键．

7．(本题3分)如图，在矩形纸片中，，，点在上，将沿折叠，点恰落在边上的点处；点在上，将沿折叠，点恰落在线段上的点处，；∽；；则下列结论正确的有（  ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】根据矩形的性质得出，根据折叠得出，，根据勾股定理求出，再逐个判断即可．
【详解】解：根据矩形的性质得出
由折叠的性质得，，，
∴，故①正确；
由折叠的性质得，，，
∴
在中，，设，则，在中，，解得，∴，∴，
同理在中，，，由得，
∴，
∴，
∴与不相似，故②不正确；
∵，，
∴，即，故③正确；
∵，，，
∴，故④正确．
正确的有①③④
故选：B
【点睛】本题考查了勾股定理，折叠的性质，矩形的性质、相似三角形的判定等知识点，能灵活运用定理进行推理和计算是解此题的关键．

8．(本题3分)二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ）

A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次函数的图象开口向上，得出，与y轴交点在y轴的负半轴，得出，利用对称轴，得出，进而对照四个选项中的图象即可得出结论．
【详解】解：因为二次函数的图象开口向上，得出，与y轴交点在y轴的正半轴，得出，利用对称轴，得出，
所以一次函数经过一、二、三象限，反比例函数经过一、三象限，
故选：B
【点睛】本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象以及二次函数的图象，根据二次函数图象，得出是解题的关键．

第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．(本题3分)已知a＝－1，b＝＋1，则的值为______
【答案】
【解析】
【分析】先求解再把分解因式，再整体代入求值即可．
【详解】解：∵a＝－1，b＝＋1，
∴
∴
故答案为：
【点睛】本题考查的是利用因式分解求代数式的值，二次根式的加减运算，乘法运算，掌握“利用因式分解进行简便运算”是解本题的关键．
10．(本题3分)小明参加校园歌手比赛，唱功得85分，音乐常识得95分，综合知识得90分，学校如果按如图所示的权重计算总评成绩，那么小明的总评成绩是______分．

【答案】88.5
【解析】
【分析】利用加权平均数按照比例即可求得小明的总评成绩．
【详解】解：小明的总评成绩是：（分），
故答案为：88.5．
【点睛】本题考查了加权平均数的计算方法，在进行计算的时候注意权的分配，另外还应细心，否则很容易出错．
11．(本题3分)已知反比例函数的图象与直线交于，两点，若，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的对称性以及勾股定理进行计算即可．
【详解】解：如图，过点作轴，垂足为，

设点，由题意得，，，
∴，
解得或（不合题意，舍去），
∴，
，且点、关于原点对称，
，
在中，由勾股定理得，，
∴，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数综合，反比例函数图象上点的坐标特征，勾股定理等知识．掌握反比例函数的性质以及勾股定理是解决问题的关键．
12．(本题3分)在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则称该点为“黎点”．例如，都是“黎点”．若抛物线（为常数）上有且只有一个“黎点”，当时，的取值范围是______．
【答案】或
【解析】
【分析】抛物线（为常数）上有且只有一个“黎点”，推出方程有且只有一个解，即，即可得出结论．
【详解】解：∵抛物线上有且只有一个“黎点”，
∴方程有且只有一个解，
方程整理可得，
即有，
解得，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题．
13．(本题3分)如图，在正方形ABCD的边长为6，以D为圆心，4为半径作圆弧．以C为圆心，6为半径作圆弧．若图中阴影部分的面积分别为S1、S2，时，则S1﹣S2＝_____．（结果保留π）

【答案】13π﹣36或﹣36+13π
【解析】
【详解】解：由图可知，

，
，

即，
故答案为：．
【点睛】本题考查扇形面积的计算、正方形的性质，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
14．(本题3分)如图，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上（AE∠2，且∠1和∠2互补，求∠1的度数；
(2)在△ABC中，∠ACB＝90°，AE是角平分线．
①如图1，过点C作AB的平行线CM，射线CN平分∠BCM，且与射线AE交于点N．若∠ANC与∠ABC互为“伙伴角”，则∠ABC＝______；
②如图2，过点C作AB的垂线，垂足为D，AE、CD相交于点F．若∠FCE与∠CEF互为“伙伴角”，求∠ABC的度数．
【答案】(1)105°
(2)①75°或15°，②50°或10°
【解析】
【分析】对于（1），根据伙伴角的定义，再结合补角的定义即可解答；
对于（2）①，先设∠ABC=x，表示∠BAC，再根据平分线的定义表示∠NAC，根据平行线的性质得∠BCM，由平分线的定义得∠BCN，进而求出∠ANC，然后根据伙伴角的定义得出答案；
对于②，分∠FEC＞∠FCE时，设∠FCE=x，表示∠FEC，∠DAC，再根据平分线的定义表示∠EAC，然后根据∠EAC+∠FEC=90°，列出关于x的方程，求出即可；再根据∠FCE＞∠FEC时，仿照①列出方程求出解即可．
【详解】（1）∵∠1与∠2互为“伙伴角”，∠1＞∠2，
∴∠1-∠2=30°．
∵∠1+∠2=180°，
∴∠2+30°+∠2=180°，
解得∠2=75°，
∴∠1=30°+75°=105°；
（2）①设∠ABC=x．
∵∠ACB=90°，
∴∠BAC=90°-∠ABC=90°-x．
∵AN平分∠BAC，
∴．
∵，
∴∠BCM=∠ABC=x．
∵CN平分∠BCM，
∴，
∴∠ANC=180°-∠NAC-∠ACB-∠BCN=．
∵∠ABC-∠ANC=30°或∠ANC-∠ABC=30°，
∴∠ABC=75°或15°；
故答案为：75°或15°；
②当∠FEC＞∠FCE时，则∠FEC-∠FCE=30°．
设∠FCE=x，则∠FEC=30°+x．
∵∠ACB=∠CDA=90°，
∴∠DAC+∠ACD=∠ACD+∠DCB=90°，
∴∠DAC=∠DCB=x．
∵AE平分∠BAC，
∴．
∵∠EAC+∠FEC=90°，
∴，
解得，
∴∠FCE=40°，
∴∠ABC=90°-∠FCE=50°．
当∠FCE＞∠FEC时，则∠FCE-∠FEC=30°，
设∠FCE=x，则∠FEC=x-30°，
∵AE平分∠BAC，
∴．
∴，
解得，
∴∠FCE=80°，
∴∠ABC=90°-∠FCE=10°．
综上所述，∠ABC的度数为50°或10°．
【点睛】这是一道关于新定义的问题，考查了角平分线定义，平行线的性质，三角形内角和定理等，注意分情况讨论．


23．(本题6分)已知：如图，在平行四边形中，分别为边的中点，连接，作交的延长线于．
（1）求证：∆ADE∆CBF；
（2）若四边形是矩形，则四边形是什么特殊四边形？证明你的结论．

【答案】（1）证明见解析；（2）当四边形是矩形时，四边形是菱形，证明见解析．
【解析】
【分析】（1）先根据平行四边形的性质得出，再根据线段的中点定义、等量代换得出，然后根据三角形全等的判定定理即可得证；
（2）先根据平行四边形的性质、线段中点的定义得出，，再根据平行四边形的判定可得四边形是平行四边形，然后根据矩形的性质、直角三角形的中线性质得出，且与不垂直，由此可得平行四边形是菱形．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形

∵点分别是的中点


在∆ADE和∆CBF中，
∴；
（2）当四边形是矩形时，四边形是菱形．证明过程如下：
四边形是平行四边形
，
∵点分别是的中点
∴

∴四边形是平行四边形
∵四边形是矩形

是直角三角形，不是等腰直角三角形
∵点是的中点
，且与不垂直
∴平行四边形是菱形，不是正方形
故当四边形是矩形时，四边形是菱形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形全等的判定定理、矩形的性质、菱形的判定等知识点，熟练掌握并灵活运用各判定定理与性质是解题关键．




24．(本题10分)平面直角坐标系中，抛物线 与轴交于，，两点，与轴交于点．

(1)求抛物线的解析式，并直接写出点，的坐标；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点，使是直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)如图，点是直线上的一个动点，连接，，是否存在点使最小，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由；
【答案】(1)， ，，
(2)存在，，，，，，，，
(3)存在， ，
【解析】
【分析】（1）将，代入，待定系数法求解析式，进而分别令，解方程即可求解；
（2）根据题意，对称轴为直线，设，根据勾股定理，，，分①当时，②当时，③当时，根据勾股定理建立方程，解方程即可求解；
（3）存在点使最小，作点关于的对称点，连接交于点，连接，求得直线的解析式，直线的解析式为，联立方程即可求解．
【详解】（1）解：将，代入，
即，解得：，
∴，
令，则，
令，则，
解得：，
，，
（2）解：存在是直角三角形，
∵，对称轴为直线，
设，
∵，，
∴，，
①当时，,
∴
解得：
②当时，,
∴
解得：
③当时，,

解得：或.
综上所述：，，，，，，，
（3）存在点使最小，理由如下：
作点关于的对称点，连接交于点，连接，

由对称性可知，，
，
当、、三点共线时，有最小值，
，，，，
，
，
由对称性可知，
，
，，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式，
设直线的解析式为，
，
，
直线的解析式为，
联立方程组，
解得，
，；
【点睛】本题考查了二次函数综合运用，待定系数求解析式，勾股定理，轴对称的性质求线段长的最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．


25．(本题10分)已知：如图，在矩形中，，，对角线，交于点．点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接并延点也长，交于点，过点作，交于点．设运动时间为，解答下列问题：

（1）当时，______；
（2）当为何值时，是等腰三角形?
（3）设五边形的面积为，试确定与的函数关系式；
（4）在运动过程中，是否存在某一时刻，使平分?若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）当为或5时，是等腰三角形；（3）；
（4） 当时，平分．
【解析】
【分析】（1）先利用勾股定理求出矩形的对角线AC，利用证△DQF∽△DCO，由性质，t=2,求出DQ，OC，DC，代入计算即可，
（2）根据等腰三角形的定义分三种情况，再分别根据相似三角形的判定与性质求解即可；
（3）先根据矩形的性质、三角形全等的判定定理与性质得出，从而可得出的面积，再根据矩形的性质、相似三角形的判定与性质得出，从而可得的面积，然后根据五边形的面积等于的面积减去的面积、的面积即可；
（4）过作于，于， OR⊥AD于R，利用面积求出，∠POC的平分线性质，利用勾股定理，
，再利用面积桥，可求PM，在Rt△PDM中，，解方程即可．
【详解】解：（1）∵在矩形中，，，
∴，
∴OC=AC=5cm，
∵，
∴∠DQF=∠DCO，∠DFQ=∠DOC，
∴△DQF∽△DCO，
∴，
，DQ=1×t=2，
，
故答案为：；
（2）由是等腰三角形，分以下三种情况：
①当时，是等腰三角形，
如图1，过作，
∴，
∵，，
∴，
，即，
解得，
∴，

②当时，是等腰三角形，
则，
，

③当时，是等腰三角形，
则，即此时点P与点D重合，
，
（不符题意，舍去），
综上，当为或5时，是等腰三角形；
（3）如图2，过点作交于点，则，
由矩形的性质可知，，，
，
又，
∴，
∴，
则，
∵，
∴，相似比为，
∴，
∵，
∴，
∴，
故与的函数关系式为；

（4）当时，平分．
如图，过作于，于，OR⊥AD于R，
∵S△ACD=，
∴，

∵OD平分∠POC，
∴，，
∵OD=，
，
，
∵PD=8-t，OR=，
，
，
在Rt△PDM中，
，
，
解得：（不合题意，舍去），，
当时，平分．
【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形全等的判定定理与性质、勾股定理，解一元二次方程，二次函数等知识点，习题难度较大，应用知识多，具有较强的分析能力和解题能力．