数学（人教A版2019A卷）——2022-2023学年高一下学期期末模拟测试卷

2022-2023学年高一下学期期末考前必刷卷

数学·全解全析

一、单选题

1．设复数z满足，则（    ）

A． B．1 C．2 D．4

【答案】C

【详解】因为复数z满足，则，

由共轭复数的概念可知，，

所以，

故选：C.

2．已知平面向量，，且，则（   ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】由可得，

解得，

所以，

故选：C

3．在中，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】因为，所以，

又因为，所以.

故选：D.

4．数据，，，，，，，的30%分位数为（    ）

A．8.2 B．8.24 C．8.25 D．8.3

【答案】D

【详解】数据已从小到大排列，共8个数，

，

即该组数据的第30百分位数是从左往右第三个数，

故选：D.

5．如图所示，在中，在线段上，，，则边的长为（    ）

A．2 B．

C． D．

【答案】D

【详解】在三角形中，所以为等边三角形，所以，则，

在三角形中，由正弦定理得，

所以.

故选：D

6．已知直三棱柱的各顶点都在球的球面上，且，．若球的体积为，则这个直三棱柱的体积等于（    ）

A． B． C．2 D．

【答案】B

【详解】设球的半径为，∵球的体积为，∴，解得.

∵，，所以，

又，所以，所以，

∴外接圆的半径，解得.

设球心到底面的距离为，则，

∴这个直三棱柱的体积.

故选：B.

7．某校有男教师160人，女教师140人，为了调查教师的运动量的平均值(通过微信步数)，按性别比例分配进行分层随机抽样，通过对样本的计算，得出男教师平均微信步数为12500步，女教师平均微信步数为8600步，则该校教师平均微信步数为（    ）

A．12500 B．10680

C．8600 D．10550

【答案】B

【详解】因为分层随机抽样是按比例分配，所以根据公式得该校教师平均微信步数为

×12500＋×8600＝10680.

故选：B

8．著名的古希腊数学家阿基米德一生最为满意的一个数学发现就是“圆柱容球”定理：把一个球放在一个圆柱形的容器中，如果盖上容器的上盖后，球恰好与圆柱的上、下底面和侧面相切（该球也被称为圆柱的内切球），那么此时圆柱的内切球体积与圆柱体积之比为定值，则该定值为（    ）．

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】设圆柱的母线长为l，内切球的半径为r，如图所示，

则其轴截面如图所示，

则，

所以圆柱的内切球体积为，圆柱体积为，

所以圆柱的内切球体积与圆柱体积之比为.

故选：D.

二、多选题

9．下列调查中，适合采用抽样调查的是（    ）

A．每隔5年进行一次人口普查

B．调查某商品的质量优劣

C．某网站对某个事情进行舆论调查

D．高考考生的体检

【答案】BC

【详解】A选项：人口普查属于全面调查.

B选项：调查某商品的质量优劣可采用抽样调查.

C选项：对某个事情进行舆论调查只能采用抽样调查．

D选项：高考考生的体检属于全面调查.

故选：BC.

10．下列条件中可以证明三点共线的是（     ）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【详解】对于A，，

因为，所以，所以，

又因为公共端点，所以三点共线；

对于B，因为，

所以，

所以三点共线；

对于C，由，得，

所以，

又因为公共端点，所以三点共线；

对于D，由，得，

所以，且为相反向量，

但不能证明三点共线，如图所示.

故选：ABC.

11．口袋里装有2红，2白共4个形状相同的小球，从中不放回的依次取出两个球，事件“取出的两球同色”，“第一次取出的是红球”，“第二次取出的是红球”，“取出的两球不同色”，下列判断中正确的（    ）

A．A与B相互独立. B．A与D互为对立. C．B与C互斥. D．B与D相互独立；

【答案】ABD

【详解】由题可得，，，

，，

所以，，

所以 A 与 B 相互独立，B 与 D 相互独立，故AD正确；

对于B，由题意知，取出两个球要么颜色相同，要么颜色不同，即 A 与 D 互为对立事件，故B正确；

对于C， “第1次取出的是红球”，“第2次取出的是红球”， C 与 D 可能同时发生，故C错误.

故选：ABD.

12．东汉末年的数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”，根据面积关系给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”如图，它由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．我们通过类比得到图，它是由三个全等的钝角三角形与一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，对于图，下列结论正确的是（    ）

A．这三个全等的钝角三角形不可能是等腰三角形

B．若，，则

C．若，则

D．若是的中点，则三角形的面积是三角形面积的倍

【答案】ABD

【解答】根据对称性，所以，故A正确；

在中，，而，

所以，

，

由正弦定理得，解得，

又因为，所以，故B正确

不妨设，，

由余弦定理，解得，

所以，故C错误；

若是的中点，，

所以,故D正确.

故选：ABD．

三、填空题

13．在矩形中，，，点和点分别在线段和上，且，，则的值为______.

【答案】

【详解】如图建立平面直角坐标系，

因为，，，，所以，，

所以，

则.

故答案为：

14．如图所示，在长方体中，，，点E，F，G分别是，，的中点，则异面直线与所成的角是_____.

【答案】

【详解】连接，，，点E，F，G分别是，，的中点，

，，

，四边形为平行四边形，

则，故或其补角即为与所成的角，

易得，，

，所以，所以.

故答案为：.

15．已知三角形ABC中，点G、O分别是的重心和外心，且，，则边的长为________.

【答案】6

【详解】如图，延长交于，连接，作于，则分别是的中点，

，

同理，

，

，

，

又，

即，，

所以，即，

所以，

故答案为：6．

16．已知圆锥底面圆的直径为2，高为，在该圆锥内放置一个棱长为的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则的最大值为__________．

【答案】/

【详解】依题意，正四面体可以在圆锥内任意转动，则该正四面体棱长最大时内接于这个圆锥的内切球，

设圆锥内切球球心为，球的半径为，圆锥的底面圆半径为，

作出圆锥的轴截面，截圆锥得等腰，其中，截圆锥内切球得球的大圆，该圆是的内切圆，如图；

其中为切点，，则，即为正三角形，

于是是的中心，连接，则平分，有，

即有，则，设半径的球的内接正四面体棱长为，

正四面体可以从正方体中截得，如图：

从图中可以得到，当正四面体的棱长为时，截得它的正方体的棱长为，

而正四面体的四个顶点都在正方体上，于是正四面体的外接球即为截得它的正方体的外接球，

因此，即，

所以的最大值为﹒

故答案为：

四、解答题

17．已知复数（是虚数单位，），且为纯虚数（是的共轭复数）

(1)求实数及；

(2)设复数，且复数对应的点在第二象限，求实数的取值范围．

【答案】(1)，

(2)

【详解】（1）∵，∴，

，

为纯虚数，

，解得，

故，则

（2），

，

复数所对应的点在第二象限，

，解得，

故实数的取值范围为.

18．向量是解决数学问题的有力工具，我们可以利用向量探究的面积问题：

(1)已知，，，求的面积；

(2)已知不共线的两个向量，，探究的面积表达式；

(3)已知，若抛物线上两点、满足，求面积的最小值．

【答案】(1)3

(2)

(3)

【详解】（1）由平面向量的数量积可得，则为锐角，

故，

因此，;

（2）

（3）由已知可得，，

，

故当时，的面积取到最小值.

19．某区为了全面提升高中体育特长生的身体素质，开设“田径队”和“足球队”专业训练，在学年末体育素质达标测试时，从这两支队伍中各随机抽取100人进行专项体能测试，得到如下频率分布直方图：

(1)估计两组测试的平均成绩，

(2)若测试成绩在90分以上的为优秀，从两组测试成绩优秀的学生中按分层抽样的方法选出7人参加学校代表队，再从这人中选出2人做正，副队长，求正、副队长都来自“田径队”的概率．

【答案】(1)“田径队”的平均成绩为73，“足球队”的平均成绩为71

(2)

【详解】（1）由田径队的频率分布直方图得：，

解得，同理可得．

其中“田径队”的平均成绩为：

，

“足球队”的平均成绩为：

.

（2）“田径队”中90分以上的有（人），

“足球队”中90分以上有（人）．

所以抽取的比例为，在“田径队”抽取 （人），记作a，b，c，d；

在“足球队”抽取 （人）．记作A，B，C．

从中任选2人包含的基本事件有：

ab，ac，ad，aA，aB，aC；bc，bd，bA，bB，bc；cd，cA，cB，cC；dA，dB，dC；AB，AC；BC，共21个，

正、副队长都来自“田径队”包含的基本事件有ab，ac，ad，bc，bd，cd共6个，

故正、副队长都来自“田径队”的概率为．

20．一个盒中装有红、白两种颜色的玻璃球，其中红球3个，白球2个．

(1)若一次从盒中随机取出2个玻璃球，求至少取到一个白色球的概率；

(2)依次从盒中随机取球，每次取一个，取后不放回．当某种颜色的球全部取出后即停止取球．求最后一次取出的是红色玻璃球的概率．

【答案】(1)；

(2).

【详解】（1）记3个红球为，2个白球为，

从盒中一次取出2个玻璃球，不同结果有：，共10个，

至少取到一个白色球的不同结果有：，共7个，

所以至少取到一个白色球的概率.

（2）依题意，红球全部取出后停止取球有：取球三次有1种方法；取球四次，则前三次取白球一次，有3种方法，

因此，红球全部取出后停止取球的不同方法有4种，

白球全部取出后停止取球有：取球两次有1种方法；取球三次，则前两次取红球一次，有2种方法；

取球四次，则前三次取红球两次，有3种方法，因此，白球全部取出后停止取球的不同方法有6种，

从而，当某种颜色的球全部取出后即停止取球的不同取法数是10，

所以，最后一次取出的是红色玻璃球的概率.

21．如图，在直角梯形中，，，，，以边所在的直线为轴，其余三边旋转一周所形成的面围成一个几何体．

(1)求该几何体的表面积；

(2)一只蚂蚁在形成的几何体上从点绕着几何体的侧面爬行一周回到点，求蚂蚁爬行的最短距离．

【答案】(1)

(2)

【详解】（1）

如图所示，满足题意的直角梯形，以边所在的直线为轴，其余三边旋转一周，

形成一个上底面半径为，下底面半径，母线长的圆台，

其表面积为.

（2）

将圆台的侧面沿母线展开，得到如图所示的一个扇环，

∵圆台上下底面半径的关系为，∴，∴，

又∵，∴，，

设，则的弧长，∴，

连接，取线段中点，连接，则，

在中，，，∴，

∴蚂蚁从点绕着圆台的侧面爬行一周回到点的最短路径即为线段，

.

∴蚂蚁爬行的最短距离为．

22．如图，在四棱锥中，侧面底面ABCD，且，，8，.

(1)求证：；

(2)求二面角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【详解】（1）取CD中点O，连接PO，AO，BO，证明

因为，所以，

又平面平面ABCD，平面PCD，平面平面，

所以平面ABCD，

而平面ABCD，所以；

因为4且，所以四边形ABOD为平行四边形，

又4，所以平行四边形ABOD为菱形，

因此，

因为，平面POA，平面POA，

所以平面POA，

因为平面POA，所以；

（2）设AO与BD交与M点，连接，

由（1）知平面POA，

而且平面POA，平面POA，

所以，

所以是二面角的平面角

又所以

所以

所以在P中，.

即二面角的余弦值为.