期末模拟测试卷05-2022-2023学年高一数学下学期期末模拟测试卷（苏教版2019必修第二册）（原卷版+解析版）

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2022-2023学年高一数学下学期期末考试仿真模拟试卷05一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．采用简单随机抽样的方法，从含有6个个体的总体中抽取1个容量为2的样本，则某个个体被抽到的概率为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】由于每个个体被抽到的概率相等，所以每个个体被抽到的概率是.故选：B2．若复数为纯虚数，则实数（    ）A.  B.  C. 6 D. 【答案】D【解析】依题意，，因为复数是纯虚数，且，则且，解得，所以.故选：D3．在中，为上一点，且，则（    ）A.  B. C.  D. 【答案】D【解析】因为在中，为上一点，且，所以，故选：D.4．已知，是两个不重合的平面，，是两条不同的直线，则下列命题正确的是（    ）A 若，，，则B. 若，，，则C. 若，，，则D. 若，，，则【答案】A【解析】对于A，若，，，可将平移至相交直线，由公理3推论2，确定一个平面，由线面垂直的性质可得的交线垂直于平面，进而得到垂直于和的交线，且和的交线与或其平行线能围成矩形，由面面垂直的定义，可得，则A正确；对于B，若，，，当都平行于的交线，则条件满足，则相交成立，则B错；对于C，若，，，则可能平行、可能异面、可能相交，所以C错；对于D，若，，，则可能平行、可能异面、可能相交，所以D错.故选：A.5．已知，与是方程的两个根，则（    ）A.  B.  C.  D. 或【答案】C【解析】∵ 与是方程的两个根，∴+，∴，，∴，∴，∵，又∴.故选: C6．如图(1)，正方体的棱长为1，若将正方体绕着体对角线旋转，则正方体所经过的区域构成如图(2)所示的几何体，该几何体是由上、下两个圆锥和单叶双曲面构成，则其中一个圆锥的体积为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】因为正方体的棱长为1，所以由题意可得圆锥的底是边长为的等边三角形的外接圆，所以外接圆的半径为，圆锥的母线长为正方体的边长，即，所以圆锥的高为，所以圆锥的体积为，故选：A7．在中，已知边上的两条中线相交于点，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】因为所以，所以,又因为,所以三角形为直角三角，建立如图所示的坐标系，则有：,因为分别为中点，所以,所以,,所以==.故选：B.8．动点在正方体从点开始沿表面运动，且与平面的距离保持不变，则动直线与平面所成角正弦值的取值范围是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】  连接，容知，,所以平面平面M与平面的距离保持不变，点M的移动轨迹为三角形的三条边，当M为中点时，直线与平面所成角正弦值最大，  取的中点，设正方体的棱长为2，所以，，，所以,所以为直角三角形，  所以直线与平面所成角正弦值为,当M为C点时，当M为中点时，直线与平面所成角的正弦值最小，此时，，，  所以，.直线与平面所成角正弦值的取值范围是，故选：A.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．某校对参加高校综合评价测试的学生进行模拟训练，从中抽出名学生，其数学成绩的频率分布直方图如图所示．已知成绩在区间内的学生人数为2人．则（    ）  A. 值为0.015，的值为40B. 平均分为72，众数为75C. 中位数为75D. 已知该校共1000名学生参加模拟训练，则不低于90分的人数一定为50人【答案】AB【解析】①由图可知，，，，，，，由频率之和为1可得，故；②因为，所以；③由图可知，众数为75；④平均数为；⑤，所以中位数位于区间，设中位数为，则，解得；综上所述，AB正确，而C错误；样本可以估计总体，但是不能通过样本直接确定总体，样本与总体之间总是存在一定的偏差，故选项D错误.故选：AB10．下列条件中，一定能推出三角形ABC为等腰三角形的有（    ）A.  B. C.  D. 且【答案】AD【解析】,所以，三角形为等腰三角形，A正确；，整理得，除能得出外还可得出，即三角形为直角三角形，不一定能得出等腰三角形，B错；由得，，，或，所以或，三角形不一定是等腰三角形，C错；由得，又，所以，则，即，所以，三角形为等边三角形，也属于等腰三角形.故选：AD.11．如图，在三棱柱中，是边长为2的正三角形，，，P，Q分别为棱，BC的中点，则（    ）  A. 平面 B. 平面平面C. 三棱柱的侧面积为 D. 三棱锥的体积为【答案】BD【解析】记AC中点为D，连接，记交点为E，连接EQ，则，四点共面，因为P，D分别为的中点，所以E为的重心，即E为PC的三等分点，又Q为BC中点，所以不平行，因为平面PBC，平面平面，所以由线面平行性质定理可知与平面不平行，A错误；连接，因为所以因为Q为BC中点，所以，又平面，所以平面，又平面，所以平面平面，B正确；因为平面，平面，所以，又，所以，所以四边形为矩形，面积为，又因为，所以三棱柱的侧面积为，C错误；  记的中点为H，连接，因为，平面，平面，所以平面，所以点P，A到平面的距离相等，四点共面，又，Q为BC中点，所以因为平面，平面，所以BQ三棱锥的高，且因为，所以所以，所以所以，故D正确.故选：BD12．甲箱中有3个红球､3个黄球，乙箱中有4个红球､2个黄球（12个球除颜色外，大小､形状完全相同），先从甲箱中随机取出1个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出一个球，记事件“在甲箱中取出球是红球”，事件“在甲箱中取出的球是黄球”，事件“从乙箱中取出的球是红球”，则（    ）A. 与互斥 B. 与独立C.  D. 【答案】ACD【解析】摸一个球，红球与黄球不可能同时出现，与是互斥事件，A正确；发生了，则，没发生，则，因此发生与否对的概率有影响，它们不独立，B错；，C正确；，D正确；故选：ACD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知复数，则__________．【答案】【解析】因为，所以，，故.故答案为：14.如图，已知菱形的边长为，，，则__________．【答案】【解析】以为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，由题意可知，.设,则，因为，所以，即，解得，，所以，所以.故答案为：.15.若两个锐角，满足，则______.【答案】【解析】因为，所以所以，因为，为锐角，所以有，所以，即，所以，即，因为，为锐角，所以有，即，所以故答案为：16．已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为a的正方形，且平面ABCD，，点M为线段PC上的动点（不包含端点），则当三棱锥的外接球的表面积最小时，CM的长为___________.【答案】【解析】连接MA，由题意可知三棱锥的外接球即四棱锥的外接球，则当三棱锥外接球的表面积最小时，四棱锥外接球的半径最小.设四棱锥外接球的球心为O，半径为R，连接AC与BD交于点.当O与不重合时，连接，易知平面ABCD，则，连接OC，在中，.当O与重合时，，所以当三棱锥的外接球的表面积最小时，O与重合，.设CM的中点为N，连接，易知，则，所以，解得，所以.故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知向量，．（1）求的坐标以及与之间的夹角；（2）当时，求的取值范围．【答案】（1），；（2）.【解析】（1）因，，所以，设与之间的夹角为，则，因为，所以与之间的夹角为.（2），因为，所以，故的取值范围是.18．已知，.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）因为，所以，，；（2）因为，所以，所以，，因此，.19．某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人.（1）根据频率分布直方图，估计这人的平均年龄和第80百分位数；（2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任本市的“中国梦”宣传使者.（i）若有甲（年龄38），乙（年龄40）两人已确定人选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率；（ii）若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为37和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为43和1，据此估计这人中35~45岁所有人的年龄的方差.【答案】（1）32.25岁；37.5；（2）（i）；（ii）10.【解析】（1）设这人的平均年龄为，则（岁）.设第80百分位数为，方法一：由，解得.方法二：由，解得.（2）（i）由题意得，第四组应抽取4人，记为，，，甲，第五组抽取2人，记为，乙，对应的样本空间为：，共15个样本点.设事件“甲、乙两人至少一人被选上”，则，共有9个样本点.所以，.（ii）设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为，，方差分别为，，则，，，，设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为.则，，因此，第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为10，据此，可估计这人中年龄在35~45岁的所有人的年龄方差约为10.20．进行垃圾分类收集可以减少垃圾处理量和处理设备，降低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会､经济､生态等多方面的效益，是关乎生态文明建设全局的大事.为了普及垃圾分类知识，某学校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为，乙同学答对每题的概率都为，且在考试中每人各题答题结果互不影响.已知每题甲，乙同时答对的概率为，恰有一人答对的概率为.（1）求和的值；（2）试求两人共答对3道题的概率.【答案】（1），；（2）.【解析】（1）设{甲同学答对第一题}，{乙同学答对第一题}，则，.设{甲、乙二人均答对第一题}，{甲、乙二人中恰有一人答对第一题}，则，.由于二人答题互不影响，且每人各题答题结果互不影响，所以与相互独立，与相互互斥，所以，.由题意可得即解得或由于，所以，.（2）设{甲同学答对了道题}，{乙同学答对了道题}，，1，2.由题意得，，，，.设{甲乙二人共答对3道题}，则.由于和相互独立，与相互互斥，所以.所以，甲乙二人共答对3道题的概率为.21．已知的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，的面积为S，且满足，．（1）求A和a的大小；（2）若为锐角三角形，求的面积S的取值范围．【答案】（1），；    （2）.【解析】（1）因为，由正弦定理得：所以，所以，因为中，所以，因为，所以，因为，由余弦定理得：，解得，综上，，． （2）由（1）知：，，由正弦定理得：，．因为为锐角三角形，故，得．从而的面积，又，，所以，从而的面积的取值范围为．22．如图，在直四棱柱中，底面是边长为的菱形，，，，分别是线段，上的动点，且.（1）若二面角为，求的长；（2）当三棱锥的体积为时，求与平面所成角的正弦值的取值范围.【答案】（1）；    （2）.【解析】（1）取中点，过点作，交于点，连结.因为底面是边长为的菱形，，所以为等边三角形.由直四棱柱，可得平面，平面，，，，,所以和全等，可得.因为为中点，所以.又因为，所以为二面角的平面角，即.在平面中，，，所以，则有，所以.在中，，，则，解得.（2）因为平面，所以，因为三棱锥的体积为，所以，解得，所以为中点.因为平面，所以.在中，，，所以.设到平面的距离为，在中，，，所以，所以.因为，所以，解得.在中，由余弦定理得，所以.设与平面所成角为.所以.令，则因为，所以，所以，所以与平面所成角正弦的取值范围是