专题08 基本立体图形及线线关系——2022-2023学年高一数学下学期期末知识点精讲+训练学案+期末模拟卷（苏教版2019必修第二册）

专题8 基本立体图形及线线关系

（一）        多面体

1.棱柱、棱锥、棱台

2.多面体：由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体．

（二）        旋转体

1.圆柱、圆锥、圆台和球

2.旋转面：一条平面曲线绕它所在平面的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面.

旋转体：封闭的旋转面围成的空间图形称为旋转体，这条定直线叫做旋转体的轴．

（三）直观图的斜二测画法

简单几何体的直观图常用斜二测画法来画，基本步骤是：

(1)画几何体的底面

在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴、y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°或135°，已知图形中平行于x轴、y轴的线段，在直观图中平行于x′轴、y′轴．已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半．

(2)画几何体的高

在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面，在直观图中对应的z′轴，也垂直于x′O′y′平面，已知图形中平行于z轴的线段，在直观图中仍平行于z′轴且长度不变．

（四）平面的基本性质

1.平面的基本性质

(1)基本事实1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内)．

(2) 基本事实2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)．

(3) 基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线．

推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．

推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．

推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．

2.点、线、面的位置关系的表示

A是点，l，m是直线，α，β是平面.

（五）空间两直线的位置关系

1.直线与直线的位置关系的分类

2.基本事实4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．

符号表示：

3.等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行且方向相同，那么这两个角相等．

4.异面直线

（1）异面直线所成的角

①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角（或直角）叫作异面直线a，b所成的角(或夹角)．若异面直线所成的角是直角，则称异面直线互相垂直，记作

②范围：.

异面直线的判定方法：

（2）定理：过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线；

符号表示：若则直线与是异面直线

题型一  空间几何体的结构特征

【典例1】（2022春·江苏苏州·高一江苏省沙溪高级中学校考期中）下列说法中，正确的个数为（    ）

（1）有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱

（2）有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台；

（3）底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；

（4）棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是正六棱锥.

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

【典例2】【多选题】（2023·全国·高一专题练习）下列说法正确的是（　　）

A．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体

B．圆锥用平行于底面的平面截去一个小圆锥后剩余的部分是圆台

C．圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线

D．过球面上任意两不同点的大圆有且只有一个

【典例3】（2021·高一课时练习）一直棱柱有个顶点，其所有的侧棱长的和为，则每条侧棱长为___________.

【总结提升】

解决与空间几何体结构特征有关问题的技巧

(1)关于空间几何体的结构特征辨析关键是紧扣各种空间几何体的概念，要善于通过举反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只需举一反例即可．

(2)圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上，解题时要注意用好轴截面中各元素的关系．

(3)既然棱(圆)台是由棱(圆)锥定义的，所以在解决棱(圆)台问题时，要注意“还台为锥”的解题策略．

题型二  空间几何体的直观图

【典例4】（2022春·江苏无锡·高一江苏省太湖高级中学校考期中）已知正三角形的边长为4，那么的直观图的面积为（    ）

A． B． C． D．

【典例5】（2021·高一课时练习）如图，正方形的边长为1，它是一个水平放置的平面图形的直观图，则原图形的周长为________．

【总结提升】

1. 用斜二测画法画直观图，关键是掌握水平放置的平面图形的直观图的画法，而画水平放置的平面图形的关键是确定多边形的顶点．因为多边形顶点的位置一旦确定，依次连接这些顶点就可画出多边形．

2. 用斜二测画法画几何体的直观图时，与画水平放置的平面图形的直观图相比，只是多画一个与x轴、y轴都垂直的z轴，并且平行于z轴的线段的平行性和长度都不变，在直观图中，平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和z′O′x′表示直立平面．

题型三  平面的基本性质

【典例6】（2022春·江苏扬州·高一校考阶段练习）工人师傅在检测椅子的四个“脚”是否在同一个平面上时，只需连接对“脚”的两条线段，看它们是否相交，就知道它们是否合格.工人师傅运用的数学原理是（    ）

A．两条相交直线确定一个平面

B．两条平行直线确定一个平面

C．四点确定一个平面

D．直线及直线外一点确定一个平面

【典例7】（2019·河南高三月考（文））如图，是平行六面体，O是的中点，直线交平面于点M，则下列结论正确的是（　　）

A.不共面 B.三点共线

C.不共面 D.共面

【典例8】（2021春·江苏扬州·高一校考阶段练习）如图，四边形和四边形都是梯形，且，且，，分别为的中点．

(1)求证：四边形是平行四边形．

(2)四点是否共面？为什么？

【总结提升】

1.基本事实1是判断一条直线是否在某个平面的依据；

2.基本事实2及其推论是判断或证明点、线共面的依据；

3.基本事实3是证明三线共点或三点共线的依据．要能够熟练用文字语言、符号语言、图形语言来表示公理．

4.证明四点共面的基本思路：一是直接证明，即利用公理或推论来直接证明；二是先由其中不共线的三点确定一个平面，再证第四个点也在这个平面内即可．

5.要证明点共线或线共点的问题，关键是转化为证明点在直线上，也就是利用基本事实3，即证点在两个平面的交线上．或者选择其中两点确定一直线,然后证明另一点也在直线上. 证明多点共线的方法：(一)选择两点确定一条直线，然后证明其它点在这条直线上；(二)证明这些点都在两个平面内，而两平面相交，因此这些点都在两平面的交线上．

题型四  两直线的位置关系

【典例9】（2022春·江苏徐州·高一校考阶段练习）如图所示，用符号语言可表述为（　　）

A．，，

B．

C．

D．

【典例10】（2022·高一课时练习）如图，在正方体中，M，N分别为棱的中点，则以下四个结论中，正确的有（　　）

A．直线AM与是相交直线

B．直线BN与是异面直线

C．AM与BN平行

D．直线与BN共面

【典例11】（2022春·江苏扬州·高一校考阶段练习）已知直线，和平面满足，，则与的位置关系为______．

【总结提升】

1. 判断空间两直线位置关系的思路方法

(1)判断空间两直线的位置关系一般可借助正方体模型，以正方体为主线直观感知并准确判断．

(2)异面直线的判定方法

①反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面．

②定理法：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．

2.对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、平行公理及线面平行与面面平行的性质定理.

题型五  等角定理及应用

【典例12】（2023春·全国·高一专题练习）如图，正方体中，E，F，G分别是棱，及的中点，，则______

【典例13】（2023春·全国·高一专题练习）如图，在棱长为a的正方体中，M、N分别是棱CD、AD的中点．

(1)判断四边形的形状，并说明理由；

(2)证明：．

【规律方法】

求证角相等：一是用等角定理；二是用三角形全等或相似．

题型六  异面直线所成的角

【典例14】（2022·江苏·高一开学考试）在四面体ABCD中，，且异面直线AB与CD所成的角为70，M，N分别是边BC，AD的中点，则异面直线MN和AB所成的角为（    ）

A．35 B．55 C．35或55 D．20或70

【典例15】（2022春·江苏扬州·高一校考阶段练习）如图所示，在正方体中，异面直线与所成的角为________．

【典例16】（2022春·江苏常州·高一校联考期中）三棱锥中，所有棱长都相等，E为AD中点，则异面直线与所成角的余弦值为_________

【规律方法】

1.求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行．

平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：

①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；

②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；

③计算：求该角的值，常利用解三角形；

④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．

2.提醒：求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围．

一、单选题

1．（2020春·江苏南京·高一校考阶段练习）空间中，如果一个角的两边和另一个角的两边分别对应平行，那么这两个角的大小关系为（    ）

A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．互余

2．（2021春·江苏无锡·高一江苏省太湖高级中学校考期中）已知∠BAC=30°，ABA′B′，ACA′C′，则∠B′A′C′=（    ）

A．30° B．150° C．30°或150° D．大小无法确定

3．（2022·高一课时练习）若，，则直线，的位置关系是（    ）

A．平行或异面 B．平行或相交 C．相交或异面 D．平行、相交或异面

4．（2022春·江苏无锡·高一江苏省南菁高级中学校考阶段练习）下列结论中正确的是（    ）

A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥

B．以三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥

C．当正棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等时该棱锥可能是六棱锥

D．圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线

5.（2022·高一课时练习）若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是（    ）

A．l1⊥l4

B．l1∥l4

C．l1与l4既不垂直也不平行

D．l1与l4的位置关系不确定

6．（2022春·江苏连云港·高一统考期末）若a，b为两条异面直线，，为两个平面，，，，则下列结论中正确的是(    )

A．l至少与a，b中一条相交

B．l至多与a，b中一条相交

C．l至少与a，b中一条平行

D．l必与a，b中一条相交，与另一条平行

7．（2022春·江苏苏州·高一苏州中学校考期中）如图，在中，，若的水平放置直观图为，则的面积为（    ）

A． B．

C． D．

二、多选题

8．（2022春·江苏无锡·高一江苏省天一中学校考期中）下列叙述错误的是（    ）

A．已知直线l和平面，若点，点且，则

B．若三条直线两两相交，则三条直线确定一个平面

C．若直线和不平行，且，则l至少与中的一条相交

D．若直线l不平行于平面，且，则内的所有直线与l都不相交

9．（2021春·江苏无锡·高一校考阶段练习）如图.正方体ABCD-A1B1C1D1中，若E，F.G分别是BC，CC1，B1C1的中点，O1，O2分别是四边形ADD1A1， A1B1C1D1的中心，则（ ）

A．A，C，O1，D1四点共面 B．D，E，C，F四点共面

C．A，E，F，D1四点共面 D．E，G，O1，O2四点共面

10．（2022春·江苏南京·高一南京市中华中学校考期中）如图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD各边上的点（不与各边的端点重合），且AE：EB=AH：HD=m，CF：FB=CG：GD=n，AC⊥BD，AC=4，BD=2.下列结论正确的是（　　）

A．E，F，G，H一定共面

B．若直线EF与GH有交点，则交点不一定在直线AC上

C．AC∥平面EFGH

D．当m=n时，四边形EFGH的面积有最大值2

三、填空题

11．（2022·高一课时练习）一个正方体纸盒展开后如图，在原正方体纸盒中有下列结论：①  ②与成  ③与是异面直线  ④，其中正确的是_________．

12．（2022春·江苏盐城·高一盐城市伍佑中学校考期中）如图，在正方体中，M，N分别为棱，的中点，有以下四个结论：

①直线与AD是异面直线；

②直线AM与BN是异面直线；

③直线BN与是平行直线；

④直线AM与是相交直线．

其中正确的结论为______．（填序号）

13.（2022·全国·高一专题练习）过正方体的顶点在空间作直线，使与平面和直线所成的角都等于，则这样的直线共有______条．

14．（2022春·江苏镇江·高一江苏省镇江中学校考阶段练习）在长方体中，已知，则直线和直线所成角的余弦值是___________.

四、解答题

15．（2022·高一课时练习）利用正方体的顶点，根据等角定理，画出一个与大小相等的角，要求角的顶点与平面不共面．

16．（2023·全国·高一专题练习）如图，在正方体中，E，F，G分别是棱，，的中点．求证：

(1)；

(2)．