第九章 统计——2022-2023学年高一数学期末复习重难点专项学案+期末模拟卷（人教A版2019必修第二册）

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第九章 统计（重难点专题复习）



【题型1 抽样方法的选取】
【方法点拨】
根据几种抽样方法的特点和优缺点，结合具体的样本，选取合适的抽样方法.
【例1】（2023·全国·高一专题练习）某公司有160名员工，其中研发部120名，销售部16名，客服部24名，为调查他们的收入情况，从中抽取一个容量为20的样本，较为合适的抽样方法是（    ）
A．简单随机抽样 B．系统抽样
C．分层抽样 D．其他抽样
【解题思路】根据员工明显来自三个不同的部门可以选择适当的抽样方法．
【解答过程】由题意员工来自三个不同的部门，因此采取分层抽样方法较合适．
故选：C．
【变式1-1】（2023·全国·高一专题练习）某校为了了解高二学生的身高情况，打算在高二年级12个班中抽取3个班，再按每个班男女生比例抽取样本，正确的抽样方法是（    ）
A．简单随机抽样 B．先用分层抽样，再用随机数表法
C．分层抽样 D．先用抽签法，再用分层抽样
【解题思路】利用抽样方法求解．
【解答过程】解：在高二年级12个班中抽取3个班，这属于简单随机抽样中的抽签法，
按男女生比例抽取样本属于分层抽样，所以是先用抽签法，再用分层抽样．
故选：D．
【变式1-2】（2023·全国·高一专题练习）现要完成下列3项抽样调查：
①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查；②科技报告厅有32排，每排有40个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，需要请32名听众进行座谈；③某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，拟抽取一个容量为200的样本．较为合理的抽样方法分别是（    ）
A．①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样
B．①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样
C．①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样
D．①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样
【解题思路】根据简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的定义和特点，以及适用范围，判断即可．
【解答过程】对于①，总体中的个体数较少，宜用简单随机抽样；
对于②，总体中的个体数较多，而且容易分成均衡的若干部分，
要选32名听众而刚好有32排，每排选一人，宜用系统抽样；
对于③，总体中的个体数较多，又是由差异明显的两部分组成，宜用分层抽样．
故选：B．
【变式1-3】（2023·广东·高三统考学业考试）现要完成下列2项抽样调查：
①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查；
②东方中学共有160名教职工，其中教师120名，行政人员16名，后勤人员24名．为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本．
较为合理的抽样方法是（    ）
A．①抽签法，②分层随机抽样 B．①随机数法，②分层随机抽样
C．①随机数法，②抽签法 D．①抽签法， ②随机数法
【解题思路】根据已知条件，结合抽签法和分层随机抽样的定义，即可求解
【解答过程】①总体较少，宜用抽签法；②各层间差异明显，宜用分层随机抽样．
故选：A．


【题型2 抽签法的应用】
【方法点拨】
一个抽样能否用抽签法，关键看两点：一是制作号签是否方便，二是号签是否容易被搅拌均匀.一般地，当
总体容量和样本容量都较少时可用抽签法，然后按照抽签法的步骤进行抽样即可.
【例2】（2023·全国·高一专题练习）某高校共有50名志愿者被选中参加某志愿服务活动，暑假期间，该校欲从这50名志愿者中选取8人组成志愿服务小组，请用抽签法设计抽样方案．
【解题思路】根据抽签法的步骤即可求解.
【解答过程】(1)将50名志愿者编号，号码分别是1，2，…，50.
(2)将号码分别写在外观、质地等无差别的小纸片上作为号签．
(3)将小纸片放入一个不透明的盒子里，充分搅匀．
(4)从盒子中不放回地逐个抽取8个号签，使与号签上编号对应的志愿者进入样本，组成志愿服务小组．
【变式2-1】（2023·全国·高一专题练习）某社区为丰富老年人的业余文化生活，要从老年合唱团的20位老年人中随机抽取3位去参观学习.请采用抽签法进行抽样，写出抽样过程.
【解题思路】按简单随机抽样中抽签法步骤，即可写出过程.
【解答过程】步骤如下：
（1）将20位老年人随机编号，号码是01，02，…，20；
（2）将号码分别写在形状、大小均相同的纸条上，揉成团，制成号签；
（3）将制成的号签放入一个不透明的袋子中，并搅拌均匀；
（4）从袋子中依次不放回地抽取3个号签，并记录上面的号码；
（5）与所记录号码对应的3位老年人就是要抽取的对象.
【变式2-2】（2022·高一课时练习）某电视台举行颁奖典礼，邀请20名港台､内地艺人演出，其中从30名内地艺人中随机选出10人，从18名香港艺人中随机选出6人，从10名台湾艺人中随机选出4人，试用抽签法确定选中的艺人，并确定他们的表演顺序.
【解题思路】根据简单的随机抽样的方法，即可求解.
【解答过程】第一步先确定艺人：①将30名内地艺人从01到30编号，然后用相同的纸条做成30个号签，在每个号签上写上这些编号，然后放入一个不透明箱中摇匀，从中抽出10个号签，
则相应编号的艺人参加演出；
②运用相同的方法分别从10名台湾艺人中抽取4人，从18名香港艺人中抽取6人.
第二步确定演出顺序：确定了演出人员后，再用相同的纸条做成20个号签，上面写上1到20这20个数字，代表演出的顺序，让每个演员抽一个，每人抽到的号签上的数字就是这位演员的演出顺序，再汇总即可.
【变式2-3】（2023·全国·高一专题练习）某单位拟从40名员工中选1人赠送电影票，可采用下面两种选法：
选法一：将这40名员工按1至40进行编号，并相应地制作号码为1至40的40个号签，把这40个号签放在一个暗箱中搅匀，最后随机地从中抽取1个号签，与这个号签编号一致的员工是幸运人选；
选法二：将39个白球与1个红球（除颜色外，其他完全相同）混合放在一个暗箱中搅匀，让40名员工逐一从中不放回地摸取1个球，则摸到红球的员工是幸运人选．试问：
(1)这两种选法是否都是抽签法，为什么？
(2)这两种选法中每名员工被选中的可能性是否相等？
【解题思路】（1）根据抽签法的特征，分析即得解
（2）由于选法一中抽取每个签和选法二中摸到每个球都是等可能的，分析即得解
【解答过程】（1）选法一满足抽签法的特征，是抽签法．选法二不是抽签法，因为抽签法要求所有的号签编号互不相同，而选法二中的39个白球无法相互区分；
（2）由于选法一中抽取每个签和选法二中摸到每个球都是等可能的，
因此选法一中抽取1个号签的概率和选法二中摸到红球的概率相等，均为140
故这两种选法中每名员工被选中的可能性相等，均为140．
【题型3 随机数法的应用】
【方法点拨】
随机数法的步骤：(1)编号；(2)产生随机数；(3)选号；(4)确定样本.
【例3】（2023·全国·高一专题练习）现有一批编号为10，11，…，99，100，…，600的元件，打算从中抽取一个容量为6的样本进行质量检验．如何用随机数表法设计抽样方案？
【解题思路】调整编号将元件按三位数编号；确定在随机数表中抽取的起始位置，然后向右每次读取三位数，去掉不在010～600的三位数，依次可得到所要取得样本的编号，即可得到样本．
【解答过程】第一步，将元件的编号调整为010,011,012,…,099,100,…,600.
第二步，在随机数表中任选一数作为开始,任选一方向作为读数方向.比如，选第6行第7个数9.
第三步，从数9开始，向右读且每次读取三位数，对于不在010～600中的三位数不要取，前面已经出现的三位数也不要取，依次可得到的三位数分别为544,354,378,520,384,263.
第四步，取出与以上这6个号码对应的6个元件即可得到所要抽取的样本.
【变式3-1】（2023·全国·高一专题练习）从100件电子产品中抽取一个容量为25的样本进行检测，试用随机数表法抽取样本．
【解题思路】先将电子产品进行编号，再从随机数表定开始位，然后依次按规则开始选取编号数，超过或重复的去掉，最后保留25个数即可.
【解答过程】第一步，将所有100件电子产品编号：00，01，02，⋯⋯，98，99.
第二步，选定随机数表中的第一个数作为开始.
第三步，从选定的数字开始，按两个数字一组向右读下去，一行读完时转下一行自左向右继续读，不在00至99之间的数跳过，已读过的重复数字去掉，直到取足25个数字为止.
以上25个数字编号对应产品作为抽取的样本.
【变式3-2】（2022·高一课时练习）某高一（1）班共有35名同学，学号为01，02，…，35．根据下面的随机数表，用随机数法抽出一个样本量为8的样本．
034743738        369647366        469863716        332616845        601114109
977424676        428114572        425332373        270736075        245179897
【解题思路】根据随机数表法读取可得答案.
【解答过程】答案不唯一，
假设从第1行第1列的数字0开始向右读取，即可抽取一个样本量为8的样本，如下：03  32  11  14  10  24  25  33.
【变式3-3】（2023春·全国·高一专题练习）选择合适的抽样方法抽样，写出抽样过程.
（1）现有一批电子元件600个，从中抽取6个进行质量检测；
（2）有甲厂生产的30个篮球，其中一箱21个，另一箱9个，抽取3个入样.
【解题思路】（1）由于总体中个体数较大，则采用随机数法，再写出步骤即可；
（2）由于总体中个体数较小，则采用抽签法，再写出步骤即可.
【解答过程】（1）总体中个体数较大，用随机数法.
第一步，给元件编号为1，2，3，…，99，100，…，600；
第二步，用随机数工具产生1～600范围内的整数随机数，把产生的随机数作为抽中的编号，使与编号对应的电子元件进入样本；
第三步，依次操作，如果生成的随机数有重复，则剔除并重新产生随机数，直到样本量达到6；
第四步，以上这6个号码对应的元件就是要抽取的对象.
（2）总体中个体数较小，用抽签法.
第一步，将30个篮球，编号为1，2，…，30；
第二步，将以上30个编号分别写在外观、质地等无差别的小纸条上，揉成小球状，制成号签；
第三步，把号签放入一个不透明的盒子中，充分搅拌；
第四步，从盒子中不放回地逐个抽取3个号签，并记录上面的号码；
第五步，找出和所得号码对应的篮球.
【题型4 分层随机抽样中的相关运算】
【方法点拨】
在分层随机抽样中，确定抽样比k是抽样的关键.一般地，按抽样比(N为总体容量，n为样本容量)
在各层中抽取个体，就能确保抽样的公平性.注意在每层抽样时，应灵活采用简单随机抽样的方法.
【例4】（2023·全国·高一专题练习）为研究病毒的变异情况，某实验室成功分离出贝塔毒株、德尔塔毒株、奥密克戎毒株共130株，其数量之比为7:2:4，现采用按比例分配的分层抽样的方法从中抽取一个容量为26的样本，则奥密克戎毒株应抽取（    ）株
A．4 B．6 C．8 D．14
【解题思路】根据分层抽样的性质运算求解.
【解答过程】由题意可得：奥密克戎毒株应抽取26×47+2+4=8株.
故选：C.
【变式4-1】（2023·陕西西安·校联考一模）某社区有1500名老年居民、2100名中青年居民和1800名儿童居民．为了解该社区居民对社区工作的满意度，现采用分层抽样的方法从这些居民中抽取一个容量为n的样本，若中青年居民比老年居民多抽取20人，则n=（    ）
A．120 B．150 C．180 D．210
【解题思路】根据分层抽样的方法计算即可.
【解答过程】由题可知21001500+2100+1800−15001500+2100+1800×n=20，
解得n=180．
故选：C.
【变式4-2】（2023·全国·高三专题练习）2021年12月9日15时40分，“天宫课堂”第一课开始，神舟十三号乘组航天员翟志刚、王亚平、叶光富在中国空间站进行太空授课.某中学组织全校学生观看了此次授课，三位太空老师介绍展示了中国空间站的工作生活场景，演示了微重力环境下细胞学实验、物理运动、液体表面张力等现象，并与地面课堂进行了实时交流，极大地激发了学生探索科学的兴趣.为了解同学们对“天宫课堂”这种授课模式的兴趣，此校决定利用分层抽样的方法从高一、高二、高三学生中随机抽取90人进行调查，已知该校学生共有3600人，若抽取的学生中高二年级有30人，则该校高二年级学生共有（    ）
A．800人 B．1000人 C．1200人 D．1400人
【解题思路】根据题意求出抽样比，再结合抽取的学生中高二年级有30人，即可得出答案.
【解答过程】由题意可得，抽样比为903600=140，
所以设高二年级学生共有n人，则30n=140⇒n=1200.
故选：C.
【变式4-3】（2023·河南濮阳·校考模拟预测）某高中高一学生从物化生政史地六科中选三科组合，其中选物化生组合的学生有600人，选物化地组合的学生有400人，选政史地组合的学生有250人，现从高一学生中选取25人作样本调研情况．为保证调研结果相对准确，下列判断错误的是（    ）
A．用分层抽样的方法抽取物化生组合的学生12人
B．用分层抽样的方法抽取政史地组合的学生5人
C．物化生组合学生小张被选中的概率比物化地组合学生小王被选中的概率大
D．政史地组合学生小刘被选中的概率为150
【解题思路】根据分层抽样，计算各层抽取的人数以及抽样比，即可得出答案.
【解答过程】对于A项，用分层抽样的方法抽取物化生组合的学生为 25×600600+400+250=12人，故A项正确；
对于B项，用分层抽样的方法抽取政史地组合的学生为25×250600+400+250=5，故B项正确；
对于C项，根据分层抽样的特征知，每位同学被选中的概率相等，均为25600+400+250=150，故C项错误；
对于D项，由C知，每位同学被选中的概率均为150，故D项正确.
故选：C.
【题型5 频率分布直方图的相关计算问题】
【方法点拨】
由频率分布直方图进行相关计算时，需掌握下列关系式：
(1)小长方形的面积=组距×=频率；
(2)各小长方形的面积之和等于1；
(3)=频率，此关系式的变形为=样本容量，样本容量×频率=频数.
【例5】（2023·全国·高一专题练习）为了解我校今年报考飞行员的学生的体重情况．将所得的数据整理后，作出了频率分布直方图(如图)组距已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，第1小组的频数为4，则我校报考飞行员的学生总人数是（    ）

A．40 B．32 C．28 D．24
【解题思路】求解后两个组频率，再根据前3个小组的频率之比为1：2：3可得前三组的频率，进而根据第1小组的频数为4求解即可.
【解答过程】由图可知后两个组频率为(0.013+0.037)×5=0.25，从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，
所以第1小组的频率为(1−0.25)×11+2+3=0.125，第1小组的频数为4，
所以报考飞行员的学生人数是4÷0.125=32.
故选：B.
【变式5-1】（2023·四川南充·校考模拟预测）校园环境对学生的成长是重要的，好的校园环境离不开学校的后勤部门.学校为了评估后勤部门的工作，采用随机抽样的方法调查100名学生对校园环境的认可程度（100分制），评价标准如下：
中位数m
m≥85
80≤m<85
70≤m<80
m<70
评价
优秀
良好
合格
不合格
2023年的一次调查所得的分数频率分布直方图如图所示，则这次调查后勤部门的评价是（    ）

A．优秀 B．良好 C．合格 D．不合格
【解题思路】根据频率分布直方图求解中位数即可得答案.
【解答过程】解：由频率分布直方图可知，前3组的频率分别为0.1,0.1,0.2，第4组的频率为0.4
所以，中位数m=80+0.10.4×10=82.5，即m满足80≤m<85，对应的评价是良好.
故选：B.
【变式5-2】（2023·天津·校联考二模）某学校组建了演讲，舞蹈，航模，合唱，机器人五个社团，全校所有学生每人都参加且只参加其中一个社团，校团委在全校学生中随机选取一部分学生（这部分学生人数少于全校学生人数）进行调查，并将调查结果绘制了如下不完整的两个统计图，则（    ）

A．选取的这部分学生的总人数为1000人
B．选取的学生中参加机器人社团的学生数为80人
C．合唱社团的人数占样本总量的40%
D．选取的学生中参加合唱社团的人数是参加机器人社团人数的2倍
【解题思路】根据题图数据分析选取人数、合唱社团占比、机器人社团占比及其人数，并判断两社团人数数量关系，即可得答案.
【解答过程】由题图知：选取人数为50÷10%=500人，故合唱社团占比为200500×100%=40%，
所以，机器人社团占比为1−20%−15%−10%−40%=15%，故该社团人数为500×15%=75人，
所以合唱社团的人数是参加机器人社团人数的20075=83倍.
综上，A、B、D错，C对.
故选：C.
【变式5-3】（2023·上海·高三专题练习）在某区高三年级举行的一次质量检测中，某学科共有3000人参加考试．为了解本次考试学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（成绩均为正整数，满分为100分）作为样本进行统计，样本容量为n．按照50,60，60,70，70,80，80,90，90,100的分组作出频率分布直方图（如图所示）．已知成绩落在50,60内的人数为16，则下列结论正确的是（    ）

A．样本容量n=1000
B．图中x=0.025
C．估计全体学生该学科成绩的平均分为70.6分
D．若将该学科成绩由高到低排序，前15%的学生该学科成绩为A等，则成绩为78分的学生该学科成绩肯定不是A等
【解题思路】由频率分布直方图区间50,60的概率确定样本总容量，由频率和为1求x，根据频率分布直方图估计均值，确定78分前所占比例从而判断各选项．
【解答过程】由频率分布直方图可得：50,60，60,70，70,80，80,90，90,100的频率依次为0.16,10x,0.4,0.1,0.04.
对于A：∵成绩落在50,60内的人数为16，则16n=0.16，
解得n=100，故A错误；
对B：由频率可得0.16+10x+0.4+0.1+0.04=1，解得x=0.030，故B错误；
对C：由选项B可得：成绩落在60,70的频率为10x=0.3，
估计全体学生该学科成绩的平均分0.16×55+0.3×65+0.4×75+0.1×85+0.04×95=70.6分，故C正确；
对D：设该学科成绩为A等的最低分数为m，
∵70,80，80,90，90,100的频率依次为0.4,0.1,0.04，即0.1+0.04=0.14<0.15<0.54=0.4+0.1+0.04，
可知m∈70,80，则80−m×0.04+0.1+0.04=0.15，解得m=79.75，
虽然79.75>78，但79.75是估计值，有可能出现没有学生考到79分的情况（学生成绩均为正整数），
这种情况下成绩为78分的学生该学科成绩可以是A等，D错误；
故选：C.
【题型6 统计图的综合应用问题】
【方法点拨】
条形图可以直观地表示各个项目的具体数量，扇形图能够清晰地显示各个项目占总体的百分比，折线图可
以清楚地看到数据变动趋势，解决统计类问题时常需将若干种统计图结合，不能孤立分开.
【例6】（2023春·高一课时练习）某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图，90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论错误的是（    ）

注：90后指1990年及以后出生，80后指1980−1989年之间出生，80前指1979年及以前出生.
A．互联网行业从业人员中从事技术和运营岗位的人数占总人数的三成以上
B．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%
C．互联网行业中从事运营岗位的人数90后一定比80前多
D．互联网行业中从事技术岗位的人数90后一定比80后多
【解题思路】根据整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图，对四个选项逐一分析，即可得出正确选项.
【解答过程】对于选项A，因为互联网行业从业人员中，“90后”占比为56%，
其中从事技术和运营岗位的人数占的比分别为39.6%和17%，
则“90后”从事技术和运营岗位的人数占总人数的56%×39.6%+17%≈31.7%.
“80前”和“80后”中必然也有从事技术和运营岗位的人，则总的占比一定超过三成，
故选项A正确；
对于选项B，因为互联网行业从业人员中，“90后”占比为56%，
其中从事技术岗位的人数占的比为39.6%，
则“90后”从事技术岗位的人数占总人数的56%×39.6%≈22.2%.
“80前”和“80后”中必然也有从事技术岗位的人，则总的占比一定超过20%，故选项B正确；
对于选项C，“90后”从事运营岗位的人数占总人数的比为56%×17%≈9.5%，
大于“80前”的总人数所占比3%，故选项C正确；
选项D，“90后”从事技术岗位的人数占总人数的56%×39.6%≈22.2%，
“80后”的总人数所占比为41%，条件中未给出从事技术岗位的占比，故不能判断，所以选项D错误.
故选：D.
【变式6-1】（2023·全国·高一专题练习）某调查机构对我国若干大型科技公司进行调查统计，得到了从事芯片、软件两个行业从业者的年龄分布的饼形图和“90后”从事这两个行业的岗位分布雷达图，则下列说法中不一定正确的是（    ）

A．芯片、软件行业从业者中，“90后”占总人数的比例超过50%
B．芯片、软件行业中从事技术、设计岗位的“90后”人数超过总人数的25%
C．芯片、软件行业从事技术岗位的人中，“90后”比“80后”多
D．芯片、软件行业中，“90后”从事市场岗位的人数比“80前”的总人数多
【解题思路】根据题意，由两个图表的数据，对选项逐一判断，即可得到结果.
【解答过程】对于选项A，芯片、软件行业从业者中“90后”人数占总人数的55%，故选项A正确；
对于选项B，芯片、软件行业中从事技术、设计岗位的“90后”人数占总人数的37%+13%×55%=27.5，故选项B正确；
对于选项C，芯片、软件行业中从事技术岗位的“90后”人数占总人数的37%×55%=20.33%，“80后”人数占总人数的40%，但从事技术岗位的“80后”人数占总人数的百分比不知道，无法确定二者人数多少，故选项C错误；
对于选项D，芯片、软件行业中从事市场岗位的“90后”人数占总人数14%×55%=7.7%，“80前”人数占总人数的5%，故选项D正确．
故选:C.
【变式6-2】（2023·全国·高二专题练习）2021年3月，树人中学组织三个年级的学生进行“庆祝中国共产党成立100周年”党史知识竞赛.经统计，得到前200名学生分布的饼状图（如图）和前200名中高一学生排名分布的频率条形图（如图），则下列命题错误的是（    ）

A．成绩前200名的200人中，高一人数比高二人数多30人
B．成绩第1-100名的100人中，高一人数不超过一半
C．成绩第1-50名的50人中，高三最多有32人
D．成绩第51-100名的50人中，高二人数比高一的多
【解题思路】根据饼状图和条形图提供的数据判断．
【解答过程】由饼状图，成绩前200名的200人中，高一人数比高二人数多200×(45%−30%)=30，A正确；
由条形图知高一学生在前200名中，前100和后100人数相等，因此高一人数为200×45%×12=45<50，B正确；
成绩第1-50名的50人中，高一人数为200×45%×0.2=18，因此高三最多有32人，C正确；
第51-100名的50人中，高二人数不确定，无法比较，D错误．
故选：D．
【变式6-3】（2022秋•成都期末）新冠肺炎疫情的发生，我国的三大产业均受到不同程度的影响，其中第三产业中的各个行业都面临着很大的营收压力.2020年7月国家统计局发布了我国上半年国内经济数据，如图所示，图1为国内三大产业比重，图2为第三产业中各行业比重．
下列关于我国上半年经济数据的说法正确的是（　　）

A．第一产业的生产总值与第三产业中“其他服务业”的生产总值基本持平
B．第一产业的生产总值超过第三产业中“金融业”的生产总值
C．若“住宿和餐饮业”生产总值为7500亿元，则“房地产”生产总值为22500亿元
D．若“金融业”生产总值为41040亿元，则第二产业生产总值为166500亿元
【解题思路】利用国内三大产业比重和第三产业中各行业比重统计图，能求出结果．
【解答过程】解：对于A，第一产业的生产总值占比6%，
第三产业中“其他服务业”的生产总值占比57%×32%＝18.24%，
∴第一产业的生产总值与第三产业中“其他服务业”的生产总值差距明显，故A错误；
对于B，对于A，第一产业的生产总值占比6%，
第三产业中“金融业”的生产总值占比57%×16%＝9.12%，
∴第一产业的生产总值没有超过第三产业中“金融业”的生产总值，故B错误；
对于C，若“住宿和餐饮业”生产总值为7500亿元，
则“房地产”生产总值为：75003%×13%=32500亿元，故C错误；
对于D，若“金融业”生产总值为41040亿元，
则第二产业生产总值为4104016%×57%×37%=166500亿元，故D正确．
故选：D．
【题型7 百分位数的求解】
【方法点拨】
根据计算一组数据的第p百分位数的步骤，结合具体问题，进行求解即可.
【例7】（2023春·江西景德镇·高一校考期中）数据7.0，8.2，8.3，8.4，8.6，8.7，9.0，9.1的30%分位数为（    ）
A．8.2 B．8.24 C．8.25 D．8.3
【解题思路】利用百分位数定义求解.
【解答过程】数据已从小到大排列，共8个数，
8×30%=2.4，
即该组数据的第30百分位数是从左往右第三个数8.3，
故选：D.
【变式7-1】（2023·辽宁沈阳·校考模拟预测）某校高三年级一共有1200名同学参加数学测验，已知所有学生成绩的第80百分位数是103分，则数学成绩不小于103分的人数至少为（    ）
A．220 B．240 C．250 D．300
【解题思路】因为第80百分位数是103分，所以小于103分的学生占总数最多为80%，即成绩不小于103分的人数至少为总数的20%.
【解答过程】由1200×80%=960人，所以小于103分学生最多有960人，所以大于或等于103分的学生有1200−960=240人.
故选：B.
【变式7-2】（2023·全国·高三专题练习）下图是根据某班学生在一次体能素质测试中的成绩画出的频率分布直方图，则由直方图得到的80%分位数为（    ）

A．75 B．77.5 C．78 D．78.5
【解题思路】根据百分位数计算规则计算可得.
【解答过程】因为0.016+0.03+0.04×10=0.86>0.8,
所以第80%分位数位于70,80之间，设为x，则0.016+0.03×10+x−70×0.04=0.8，
解得x=78.5，所以第80%分位数为78.5.
故选：D.
【变式7-3】（2023·全国·高三专题练习）为做好“甲型流感”传染防控工作，某校坚持每日测温报告，以下是高三一班，二班各10名同学的体温记录（从低到高）：
高三一班：36.1，36.2，m，36.4，36.5，36.7，36.7，36.8，36.8，37.0（单位：℃），
高三二班：36.1，36.1，36.3，36.3，36.4，36.4，36.5，36.7，n，37.1（单位：℃）
若这两组数据的第25百分位数、第90百分位数都分别对应相等，则n−m为（    ）
A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3
【解题思路】根据题意结合百分位数的概念分析运算.
【解答过程】由10×0.25=2.5，可得第25百分位数分别为m和36.3，则m=36.3；
由10×0.9=9，可得第90百分位数分别为36.8+37.02=36.9和n+37.12，
则n+37.12=36.9，解得n=36.7；
故n−m=36.7−36.3=0.4.
故选：C.
【题型8 众数、中位数、平均数的应用】
【方法点拨】
中位数、众数分别反映了一组数据的“中等水平”、“多数水平”，平均数反映了数据的平均水平，我们需根
据实际需要选择使用.
【例8】（2023春·全国·高一专题练习）某篮球运动员练习罚篮，共20组，每组50次，每组命中球数如下表：
命中球数
46
47
48
49
50
频数
2
4
4
6
4
则这组数据的中位数和众数分别为（    ）
A．48，4 B．48.5，4 C．48，49 D．48.5，49
【解题思路】根据中位数和众数的定义即可求解.
【解答过程】数据总个数为20个，
因此中位数是第10个与第11个数据的中位数，即48+492=48.5，
众数为出现最多的数据，即数据49（出现6次），
故选：D.
【变式8-1】（2023·四川攀枝花·统考三模）攀枝花昼夜温差大，是内陆地区发展特色农业的天然宝地，干热河谷所孕育的早春蔬菜为大家送去新鲜优质的维生素和膳食纤维.下图为攀枝花2023年3月6日至12日的最高气温与最低气温的天气预报数据，下列说法错误的是（     ）

A．这7天的单日最大温差为17度的有2天
B．这7天的最高气温的中位数为29度
C．这7天的最高气温的众数为29度
D．这7天的最高气温的平均数为29度
【解题思路】确定这7天的单日最大温差为17度的日期，可判断A选项；利用中位数的定义可判断B选项；利用众数的概念可判断C选项；利用平均数公式可判断D选项.
【解答过程】对于A选项，这7天的单日最大温差为17度为3月10日、3月11日，共2天，A对；
对于B选项，这7天的最高气温由小到大依次为：28、28、29、29、29、30、31（单位：∘C），
故这7天的最高气温的中位数为29度，B对；
对于C选项，这7天的最高气温的众数为29度，C对；
对于D选项，这7天的最高气温的平均数为28×2+29×3+30+317=2047>29，D错.
故选：D.
【变式8-2】（2023·全国·高一专题练习）某科技攻关青年团队共有20人，他们的年龄分布如下表所示：
年龄
45
40
36
32
30
29
28
人数
2
3
3
5
2
4
1
下列说法正确的是（    ）
A．29.5是这20人年龄的一个25%分位数 B．29.5是这20人年龄的一个75%分位数
C．36.5是这20人年龄的一个中位数 D．这20人年龄的众数是5
【解题思路】分别计算25%，75%分位数得到A正确，B错误，再计算中位数和众数得到CD错误，得到答案.
【解答过程】对选项A：20×25%=5，25%分位数为29+302=29.5，正确；
对选项B：20×75%=15，75%分位数为40+362=38，错误；
对选项C：这20人年龄的中位数是32+322=32，错误；
对选项D：这20人年龄的众数是32，错误；
故选：A.
【变式8-3】（2023·海南海口·校考模拟预测）气象意义上从春季进入夏季的标志为“连续5天，每天的日均气温都不低于22℃”．已知甲，乙，丙，丁四个地区某连续5天日均气温的数据特征如下：
甲地
中位数为27℃，平均数为26℃．
乙地
第60百分位数为24℃，众数为22℃．
丙地
最高气温为31℃，平均数为25℃，标准差为3℃．
丁地
下四分位数为23℃，上四分位数为28℃，极差为7℃．
则可以肯定进入夏季的地区是（    ）
A．甲地 B．乙地 C．丙地 D．丁地
【解题思路】根据中位数，平均数，百分位数及极差的定义举出反例即可判断甲乙丁三地，根据标准差利用反证法即可判断丙地.
【解答过程】对于甲地，中位数为27℃，平均数为26℃，
若5天气温的数据为21,26,27,28,28，则甲地没有进入夏季；
对于乙地，第60百分位数为24℃，众数为22℃，
5×60%=3，则第60百分位数为第三个数与第四个数的平均数，
若5天气温的数据为21,22,22,26,27，则乙地没有进入夏季；
对于丙地，最高气温为31℃，平均数为25℃，标准差为3℃，
设前面四个数据为x1,x2,x3,x4x1≤x2≤x3≤x4，
则15x1−252+x2−252+x3−252+x4−252+31−252=32，
故x1−252+x2−252+x3−252+x4−252=9，
所以x1−252≤9，
若x1<22，则x1−252>9，这与x1−252≤9矛盾，
所以22≤x1≤x2≤x3≤x4，所以丙地肯定进入夏季；
对于丁地，下四分位数为23℃，上四分位数为28℃，极差为7℃，
由5×14=54,5×34=154，
得下四分位数为按从小到大排列得第2个数据，上四分位数为按从小到大排列得第4个数据，
若5天气温的数据为21,23,22,28,28，则丁地没有进入夏季.
故选：C.
【题型9 方差、标准差的求解及应用】
【方法点拨】
根据方差、标准差的概念和计算公式，进行求解即可.
【例9】（2023·甘肃·模拟预测）如图，一组数据x1，x2，x3，…，x9，x10的平均数为x1，方差为s12，去除x9，x10这两个数据后，平均数为x2，方差为s22，则（    ）

A．x2>x1，s12>s22 B．x2 C．x2=x1，s12s22
【解题思路】根据平均数的定义可得i=110xi=10x1，根据x9=1，x10=2x1−1，结合平均数定义求x2，再结合方差的意义判断s12,s22的大小关系，由此判断正确选项.
【解答过程】由题意，得110i=110xi=x1，则i=110xi=10x1，
又x9=1，x10=2x1−1，
故x2=18i=18xi =18i=110xi−x9−x10=1810x1−1−2x1+1=x1，
∵x9，x10是波动幅度最大的两个点的值，
则去除x9，x10这两个数据后，整体波动性减小，
故s12>s22.
故选：D.
【变式9-1】（2023·全国·高一专题练习）某校为了解高一学生一周课外阅读情况，随机抽取甲，乙两个班的学生，收集并整理他们一周阅读时间（单位：h），绘制了下面频率分布直方图.根据直方图，得到甲，乙两校学生一周阅读时间的平均数分别为x1,x2，标准差分别为s1,s2，则于（    ）

A．x1>x2，s1>s2 B．x1 C．x1=x2，s1>s2 D．x1=x2，s1 【解题思路】根据频率分布直方图求出平均数与方差，即可判断.
【解答过程】根据频率分布直方图可知x1=1.5×0.1+2.5×0.2+3.5×0.4+4.5×0.2+5.5×0.1=3.5，
x2=1.5×0.1+2.5×0.3+3.5×0.2+4.5×0.3+5.5×0.1=3.5，
s12=1.5−3.52×0.1+2.5−3.52×0.2+3.5−3.52×0.4+4.5−3.52×0.2+4.5−3.52×0.1=1.2 s22=1.5−3.52×0.1+2.5−3.52×0.3+3.5−3.52×0.2+4.5−3.52×0.3+4.5−3.52×0.1=1.4，
所以x1=x2，s1 故选：D.
【变式9-2】（2023·四川成都·三模）一次数学考试后，某班级平均分为110分，方差为s12．现发现有两名同学的成绩计算有误，甲同学成绩被误判为113分，实际得分为118分；乙同学成绩误判为120分，实际得分为115分．更正后重新计算，得到方差为s22，则s12与s22的大小关系为（    ）
A．s12=s22 B．s12>s22 C．s12 【解题思路】根据已知平均分不变，根据方差公式计算更正前后的方差，比较大小可得结论．
【解答过程】设班级人数为n，因为113+120=118+115，所以更正前后平均分不变，
且(113−110)2+(120−110)2>(118−110)2+(115−110)2，
所以s12>s22.
故选：B.
【变式9-3】（2023春·高一课时练习）在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”，根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增病例数据，一定符合该标志的是（    ）
A．甲地：总体均值为3，中位数为4 B．乙地：总体均值为2，总体方差为3
C．丙地：总体均值为1，总体方差大于0 D．丁地：中位数为2.5，总体方差为3
【解题思路】利用平均数、中位数、方差的计算公式以及含义，对四个选项逐一分析判断即可
【解答过程】对于A，例如：10天病例数为0,0,0,0,4,4,4,4,6,8总体均值为3，中位数为4
但是某一天的病例超过了7，故选项A错误；
对于B，设连续10天，每天新增疑似病例分别为：x1,x2,x3,⋯,x10,
假设第一天超过了7人，设为8人，则
s2=110×8−22+x2−22+⋯+x10−22>3，
因为总体方差为3，所以说明连续10天，每天新增疑似病例不超过7人，
故选项B正确；
对于C，对于C，例如： 10天病例数为：0,0,0,0,0,0,0,0,2,8，总体均值为1，
方差大于0，但是存在大于7人的数，故选项C错误；
对于D，例如：10天病例数为2,2,2,2,2,3,3,3,3,8
中位数为2+32=2.5，平均数为2+2+2+2+2+3+3+3+3+810=3，
均值为s2=1105×2−32+4×3−32+8−32=3，
但是在大于7的数，故选项D错误．
故选：B．
【题型10 频率分布直方图中的集中趋势参数】
【方法点拨】
(1)平均数：用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积(即该小组的频率)的乘积之和近似代替平均数.
(2)中位数：根据中位数左边和右边的直方图的面积相等列式求中位数.
(3)众数：可以用最高小矩形底边中点的横坐标来近似代替众数.
【例10】（2023·天津·校联考模拟预测）少年强则国强，少年智则国智．党和政府一直重视青少年的健康成长，出台了一系列政策和行动计划，提高学生身体素质．为了加强对学生的营养健康监测，某校在3000名学生中，抽查了100名学生的体重数据情况．根据所得数据绘制样本的频率分布直方图如图所示，则下列结论正确的是（    ）

A．样本的众数为65 B．样本的第80百分位数为72.5
C．样本的平均值为67.5 D．该校学生中低于65kg的学生大约为1000人
【解题思路】根据众数，百分位数，平均数的定义判断A，B，C，再求低于65kg的学生的频率，由此估计总体中体重低于65kg的学生的人数，判断D.
【解答过程】由频率分布直方图可得众数为67.5，A错误；
平均数为57.5×0.15+62.5×0.25+67.5×0.3+72.5×0.2+77.5×0.1=66.75，C错误；
因为体重位于55,60,60,65,65,70,70,75的频率分别为0.15,0.25,0.3,0.2，
因为0.15+0.25+0.3+0.2>0.8，
所以第80百分位数位于区间70,75内，设第80百分位数为x，
则0.15+0.25+0.3+x−70×0.04=0.8，
所以x=72.5，即样本的第80百分位数为72.5，B正确；
样本中低于65kg的学生的频率为0.15+0.25=0.4，
所以该校学生中低于65kg的学生大约为3000×0.4=1200，D错误；
故选：B.
【变式10-1】（2023·山东滨州·统考二模）某组样本数据的频率分布直方图如图所示，设该组样本数据的众数、平均数、第一四分位数分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是（注：同一组中数据用该组区间中点值近似代替）（    ）

A．x3 【解题思路】根据频率分布直方图中众数、平均数及百分位数计算规则计算即可判断.
【解答过程】由频率分布直方图可知众数为2+32=2.5，即x1=2.5，
平均数x2=0.2×1.5+0.24×2.5+0.2×3.5+0.16×4.5+0.12×5.5+0.04×6.5+0.04×7.5=3.54，
显然第一四分位数位于2,3之间，则0.2+x3−2×0.24=0.25，解得x3≈2.208，
所以x3 故选：A.
【变式10-2】（2023·天津和平·统考二模）为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党､知史爱国的热情，某校举办了“学党史､育文化”暨“喜迎党的二十大”党史知识竞赛，并将1000名师生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的（    ）

①a的值为0.005；
②估计成绩低于60分的有25人；
③估计这组数据的众数为75；
④估计这组数据的第85百分位数为86．
A．②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③
【解题思路】由所有组频率之和为1求得a，再根据频率直方图中频数、众数及百分位数的求法可得结果.
【解答过程】对于①，由(a+2a+3a+3a+5a+6a)×10=1，得a=0.005.故①正确；
对于②，估计成绩低于60分的有1000×(2a+3a)×10=50000a=250人.故②错误；
对于③，由众数的定义知，估计这组数据的众数为75.故③正确；
对于④，设这组数据的第85百分位数为m，则(90−m)×5×0.005+0.005×10=1−85%=0.15，解得：m=86，故④正确.
故选：B.
【变式10-3】（2023春·四川南充·高一校考阶段练习）某校随机抽取了100名学生测量体重，经统计，这些学生的体重数据（单位：kg）全部介于45至70之间，将数据整理得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论错误的是（   ）

A．频率分布直方图中a的值为0.07
B．这100名学生中体重低于60kg的人数为70
C．据此可以估计该校学生体重的第78百分位数约为62
D．据此可以估计该校学生体重的平均数约为56.25
【解题思路】运用频率分布直方图中所有频率和为1，求出a值，再根据频率分布直方图中的频率、百分位数、平均数的计算公式进行计算.
【解答过程】对于选项A：因为5×(0.01+0.02+0.04+0.06+a)=1，解得a=0.07，所以A正确.
对于选项B：体重低于60kg的频率为5×(0.01+0.06+0.07)=0.7，所以人数为0.7×100=70，所以B正确.
对于选项C：因为5×(0.01+0.06+0.07)=0.7，5×(0.01+0.06+0.07+0.04)=0.9，
所以体重的第78百分位数位于60,65)之间，设体重的第78百分位数为x，
则(0.01+0.07+0.06)×5+(x−60)×0.04=0.78，解得x=62，所以C正确.
对于选项D：体重的平均数约为0.01×5×47.5+0.07×5×52.5+0.06×5×57.5+0.04×5×62.5+0.02×5×67.5=57.25，
所以D错误.
故选：D.