专题08 证明不等式——2022-2023学年高二数学下学期期末专题复习学案+期末模拟卷（人教A版2019）

专题08 证明不等式

【考点预测】

利用导数证明不等式问题，方法如下：

（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；

（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；

（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.

（4）对数单身狗，指数找基友

（5）凹凸反转，转化为最值问题

（6）同构变形

【典型例题】

例1．（2023春·安徽合肥·高二校联考阶段练习）已知函数.

(1)求函数的零点个数；

(2)若，且，求证：.

【解析】（1）由得，

设，且，

当时，，在上单调递减，

当时，，在上单调递增，

故，即，仅当时取等号，

故时R上的单调增函数，

又，

故在上有唯一的零点，即在R上有唯一的零点，

即函数的零点个数为1个.

（2）因为，

故要证明：，，

即，

只需证：，即需证：，

即证：，

由（1）可知为R上的单调增函数，

故当时，，即，即，

故 ，即，

令，即，

故成立.

例2．（2023春·河南·高二校联考期末）已知函数，．

(1)讨论的单调性；

(2)当时，证明．

【解析】（1）函数的定义域为，

．

若，则当时，，故在上单调递减；

若，则当时，当时，

故在上单调递减，在上单调递增.

（2）由（1）知，当时，在处取得最小值，

所以等价于，即．

设，则．

当时，，当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

故当时，取得极小值且为最小值，最小值为．

所以当时，．

从而当时，，即．

例3．（2023春·重庆永川·高二重庆市永川北山中学校校考阶段练习）已知函数，曲线与在点处有相同的切线.

(1)求､的值；

(2)证明：.

【解析】（1）因为函数，，

所以，，

由曲线与在点处有相同的切线，得，，

即，，

所以，；

（2）由，可得，

因为，所以原问题即证.

令，则，

由，可得，由，可得，

所以的单调递减区间为，单调递减区间为，

故在处取得极小值，也是的最小值，

所以，

故.

例4．（2023·上海·高二专题练习）已知函数为常数，是自然对数的底数），曲线在点处的切线与轴平行.

(1)求的值；

(2)求的单调区间；

(3)设，其中为的导函数.证明：对任意，.

【解析】（1）由题意可得：，，

∵在,处的切线与轴平行，即，

.

（2）由（1）得：，，

令，，

当时，则，故；

当时，则，；

∵，

则时，；时，；

故的单调递增为，单调递减为.

（3）由，即，，

对，，等价于对，，

由（2）对于，，则，，

当时，；当时，；

可得在上单调递增，在上单调递减，

故，即，

设，则对恒成立，

故在上单调递增，则，即；

综上：，故，，得证.

例5．（2023春·重庆北碚·高二西南大学附中校考阶段练习）已知函数.

(1)讨论的单调性；

(2)已知为自然对数的底数，证明：对.参考公式：

【解析】（1）由题意可得：的定义域为，且，

注意到，则有：

①当时，，

令，解得；令，解得；

故在上单调递增，在上单调递减；

②当时，令，解得或，

若，即时，令，解得或；令，解得；

故在上单调递增，在上单调递减；

若，即时，则在定义域内恒成立；

故在上单调递增；

若，即时，令，解得或；令，解得；

故在上单调递增，在上单调递减；

综上所述：

当时，在上单调递增，在上单调递减；

当时，在上单调递增，在上单调递减；

当时，在上单调递增；

当时，在上单调递增，在上单调递减.

（2）由（1）可知：当时，在上单调递增，

则时，，即对恒成立，

故，

则

，

即，

∵，则，即，

∴，

故，

∴得证.

例6．（2023春·宁夏吴忠·高二青铜峡市高级中学校考阶段练习）已知函数.

(1)讨论的单调性；

(2)证明：当时，.

【解析】（1）函数的定义域为，

，

记，则，

所以当时，，函数单调递减，

当时，，函数单调递增，

所以，

所以，

所以函数在上单调递增；

（2）原不等式为，即，

即证在上恒成立，

设，则，

所以，当时，，单调递增；当时，，单调递减，

所以，

令，

当时，，单调递增；当时，，单调递减，

所以，所以，

且在上有，所以可得到，即，

所以在时，有成立.

【过关测试】

1．（2023春·山东菏泽·高二统考阶段练习）已知函数．

(1)当a=0时，求函数的最小值；

(2)当的图像在点处的切线方程为y=1时，求a的值，并证明：当时，．

【解析】（1）当a=0时，．

定义域为，

令，则，故在上单调递增.

因，，则在上有唯一零点，即.则在上，，即，在单调递减.

在上，，即，在上单调递增.

故，又，

则.即函数的最小值为0；

（2）由题，，，则a=1；

即，则

故在上单调递增，在上单调递递减，则.

则当时，，即.

取，其中 ，则.

则.

又注意到

.故.

2．（2023春·浙江嘉兴·高二平湖市当湖高级中学校考阶段练习）已知函数．

(1)求的最小值；

(2)已知，证明：；

【解析】（1）函数的定义域为，

，

当时，，当时，，

所以函数在上递减，在上递增，

所以；

（2）由（1）可得，当且仅当时，取等号，

则当时，，

所以，

即.

3．（2023春·重庆渝中·高二重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知函数.

(1)若，

（i）求的极值.

（ii）设，证明：.

(2)证明：当时，有唯一的极小值点，且.

【解析】（1）（i）若，则，

由，得.

当时，；当时，.

的单调递减区间为，单调递增区间为.

故的极小值为无极大值.

（ii）由（i）可知，的极值点为在上单调递减，在上单调递增，当时，，又，

不妨设，则若，则，

设，则.

设，则为增函数，则.

，则在上为增函数，，

即.

，又在上单调递减，

，即.

（2），记，，

记，当时，，

当在单调递减，

当在单调递增，

，

在单调递增，即在单调递增，

，

使，

当在单调递减，

当在单调递增，

所以当时，有唯一的极小值点，且

令，

在单调递减，

即.

4．（2023春·天津和平·高二校考阶段练习）已知函数．

(1)求的单调区间；

(2)证明：当时，．

【解析】（1）的定义域是，

，

设，

，所以在区间递减，

在区间递增，

所以，

所以，所以的单调递增区间是和，无减区间.

（2）当时，要证，

即证，即证.

设，，

令，则，

所以在区间递减；在区间递增.

所以，即，

所以单调递增，而，所以，

即.

综上所述，当时，．

5．（2023春·安徽亳州·高二安徽省亳州市第一中学校考阶段练习）已知函数，求证：当时，.

【解析】证明：

，函数定义域为，

，当时，，

∴在上是增函数.

于是当时，．

6．（2023秋·山西临汾·高二统考期末）已知.

(1)当，证明；

(2)讨论的单调性；

(3)利用（1）中的结论，证明：.

【解析】（1）当时，，令，解得，

当在之间变化时，及的变化情况如下表：

因此当时，取得最大值，故；

（2），所以，令，解得，

①当时，方程的解为，且，

在之间变化时，及的变化情况如下表：

在单调递增，在单调递增，

②当时，方程无解，此时恒成立，故在单调递增，

③当时，方程的解为，但，当时，恒成立，故在单调递增，

综上所述：

当时，在单调递增，在单调递减，

当时，在单调递减；

（3）由（1）知，，其中“=”当且仅当时成立，

当时，且，故，

即，

于是当时，依次有，，，，

，

相加得，

即

7．（2023春·河南信阳·高二淮滨高中校考阶段练习）已知函数.

(1)若曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求实数的值；

(2)证明：若，则.

【解析】（1），切点为，则切线方程为，当时，

在中，分别令得该切线分别与两坐标轴交于两点，故三角形面积为，

因此，解得，

当时，，显然该直线与两坐标轴围不成三角形，

综上所述：；

（2）①当，所以；

②当，要证，即证，令，，令，

，所以在上单调递增.取，

使得，即，则，

又，所以由零点存在定理知存在唯一零点，

即有唯一的极值点且为极小值点.又，

即，故，令，，所以在上单调递减，

所以，所以.

综上所述，当，则.

8．（2023春·广东东莞·高二校考阶段练习）已知函数．

(1)证明函数有唯一极小值点；

(2)若，求证：．

【解析】（1）函数的定义域为，．

对于方程，．

解方程，

可得，，

当时，；当时，，

所以函数在上单调递减，在上单调递增．

所以函数有唯一极小值点．

（2）要证明，

即证，

即证，即证．

令，其中，则，

当时，，此时函数单调递减；

当时，，此时函数单调递增．

所以．

构造函数，其中，，

则．

当时，，此时函数单调递增；

当时，，此时函数单调递减．

所以，则，

所以．

故原不等式得证．

9．（2023·全国·高二专题练习）已知函数．

(1)若在上恒成立，求实数a的值；

(2)证明：当时，．

【解析】（1）当时，，当时，，不符合题意；

当时，，又时，，不符合题意；

当时，，令，解得：，令，解得：，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，令，

则，当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以，又因为，所以.

（2）由(1)知：时，在上恒成立，即，

所以当时，，即，又当时，，

所以，所以要证，只需证，即证，令，则有，又，所以，所以在上恒成立，即在上单调递减，，

所以当时，.

10．（2023·高二校考课时练习）已知函数．

(1)求曲线的斜率为1的切线方程；

(2)当时，求证：．

【解析】（1），

令，即，解得或，

又，，

所以曲线的斜率为1的切线方程为：与，即与．

（2）证明：令，，

则，，

令，得或，

当变化时，，的变化情况如下：

所以的最小值为，最大值为18，

所以，所以．

11．（2023·全国·高二专题练习）已知函数．

(1)若，求的取值范围；

(2)当时，证明：．

【解析】（1）记．

则恒成立，即．

当，当，

在上单调递增，在上单调递减．

．解得．

实数的取值范围是；

（2）记．

在上单调递增．

令，

则，所以即在上单调递增．

由，知．

．即，

当单调递减；当单调递增．

，

由（*）式，可得．

代入式，得．

由（1）知，当时有，

故．．

由．

故，即，原不等式得证．

（2023·全国·高二专题练习）已知函数，．

(1)判断函数的单调性；

(2)证明：．

【解析】（1）函数在给定区间内单调递减，理由如下：

因为函数，，

所以，

设，则，

所以在区间上单调递减，

故，即，

所以函数在区间上单调递减；

（2），，

先证时，，即，

设，则，

所以在区间上单调递增，

所以，即；

再证时，，即，

设，则，

所以在上单调递增，

所以，

所以；

综上，.

19．（2023秋·山西大同·高二大同一中校考期末）设函数是函数的导函数.

(1)讨论的单调性；

(2)若，且，结合（1）的结论，你能得到怎样的不等式？

(3)利用（2）中的不等式证明：.

【解析】（1）由题意，函数，其中函数的定义域为，

可得，

令，可得或，

若，则当时，，当时，，

所以上单调递减，在上单调递增；

若，则当时，，当时，，

所以在单调递减，在上单调递增.

（2）由函数且，可得，

因为，可得，

解得或（与矛盾，舍去），

故

由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增，

所以在时取得最小值，最小值，即，

故对于任意恒成立，有不等式成立，当且仅当时，“=”成立.

（3）由（2）知当时，有成立，

令，则

整理得，，

所以.

20．（2023·全国·高二专题练习）已知函数．

(1)已知点在函数的图象上，求函数在点P处的切线方程．

(2)当时，求证．

【解析】（1）由解得，

所以，，

所以，，切线方程为，

即所求切线方程为；

（2）证明得定义域为，，

设，则，故是增函数，

当时，，时，，

所以存在，使得①，且时，，单调递减，时，，单调递增，

故②，由①式得③，

将①③两式代入②式，结合

得：，

当且仅当时取等号，结合②式可知，此时，

故恒成立．

21．（2023·全国·高二专题练习）已知函数.

(1)求函数在上的零点个数；

(2)当时，求证：.

（参考数据：）

【解析】（1）由题，，

令，，

则.得在上单调递增.

因，则，

又，则.

又.

得.

又，则.

则，使得，又在上单调递增，

则当，在上单调递减，

当，在上单调递增.

又注意到，

，

则，又，

.

则，

即在上有2个零点.

（2），

令，.

则.

则，

令，，

则.

①当，，

则；

②当，.

则，

得在上单调递增，则

.故在上单调递减，则此时；

③当，，

又此时，则，

得在上单调递增，则.

故在上单调递增，则此时；

④当，，

又此时，则.

得在上单调递增，

又，故在上单调递增.

则.

综上，当时，，即，当且仅当时取等号.

22．（2023·全国·高二专题练习）已知函数，若恒成立，

(1)求实数的取值范围；

(2)当时，证明：.

【解析】（1）由题设在上恒成立，

所以在上恒成立，

令，则，

令，则在上恒成立，

所以在上递增，显然，，

故使，则上，上，

所以上，递增；上，递减；

又，即，则，

综上，.

（2）由（1）知：，

所以且，要使恒成立，

只需证恒成立，只需证恒成立，

当时，若，则，即递增，又也递增，

所以在上递增，故恒成立，

当时，令且，则，即递增，故，

所以在上恒成立，故，

令，则，

所以在上递减，故，即，

综上，在上恒成立，

所以，时得证.