专题11 条件概率公式、全概率公式、贝叶斯公式、乘法公式——2022-2023学年高二数学下学期期末专题复习学案+期末模拟卷（人教A版2019）

专题11 条件概率公式、全概率公式、贝叶斯公式、乘法公式

【考点预测】

1、条件概率的概念

条件概率揭示了，，三者之间“知二求一”的关系

一般地，设A，B为两个随机事件，且，我们称为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率．

2、概率的乘法公式

由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若，则．我们称上式为概率的乘法公式．

3、条件概率的性质

设，则

（1）；

（2）如果B与C是两个互斥事件，则；

（3）设和B互为对立事件，则．

4、全概率公式

在全概率的实际问题中我们经常会碰到一些较为复杂的概率计算，这时，我们可以用“化整为零”的思想将它们分解为一些较为容易的情况分别进行考虑

一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，，且，i＝1，2，…，n，则对任意的事件，有．

我们称上面的公式为全概率公式，全概率公式是概率论中最基本的公式之一．

5、贝叶斯公式

设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，，且，i＝1，2，…，n，则对任意事件，，

有，

6、在贝叶斯公式中，和分别称为先验概率和后验概率．

【典型例题】

例1．（2023春·山西太原·高二太原五中校考阶段练习）有7件产品，其中4件正品，3件次品，现不放回从中取2件产品，每次一件，则在第一次取得次品的条件下，第二次取得正品的概率为（    ）

A． B． C． D．

例2．（多选题）（2023春·河北邯郸·高二校考阶段练习）已知事件A，B，且，，，则（    ）

A． B．

C． D．

例3．（2023春·江苏连云港·高二校考阶段练习）设甲袋中有3个白球和4个红球，乙袋中有1个白球和2个红球，现从甲袋中任取1球放入乙袋，再从乙袋中任取2球，则取出的全是红球的概率为________________.

例4．（2023春·江西南昌·高二南昌市铁路第一中学校考阶段练习）某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有如下的数据:

假设这三家元件制造厂的产品在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志.现在仓库中随机取一个元件，则它是次品的概率是__________.

例5．（2023春·贵州·高二遵义一中校联考阶段练习）某超市为了调查顾客单次购物金额与年龄的关系，从年龄在内的顾客中，随机抽取了100人，调查结果如表：

(1)为了回馈顾客，超市准备开展对单次购物金额满188元的每位顾客赠送1个环保购物袋的活动.若活动当日该超市预计有5000人购物，由频率估计概率，预计活动当日该超市应准备多少个环保购物袋？

(2)在上面抽取的100人中，随机依次抽取2人，已知第1次抽到的顾客单次购物金额不满188元，求第2次抽到的顾客单次购物金额满188元的概率.

例6．（2023春·福建南平·高二校考阶段练习）某同学买了7个盲盒，每个盲盒中都有一个礼物，有4个装小兔和3个装小狗．

(1)依次不放回地从中取出2个盲盒，求第1次、第2次取到的都是小兔盲盒的概率；

(2)依次不放回地从中取出2个盲盒，求第2次取到的是小狗盲盒的概率．

例7．（2023春·重庆沙坪坝·高二重庆一中校考阶段练习）随机抽取100名男学生，测得他们的身高（单位：cm），按照区间，，，，分组，得到样本身高的频率分布直方图如图所示

(1)求身高在170cm及以上的学生人数；

(2)估计该校100名学生身高的75%分位数.

(3)据统计，身高在，，时，体重超过70kg概率分别为、、.现在从身高在[170，185]的学生中任选一个学生，估计其体重超过70kg的概率.

【过关测试】

一、单选题

1．（2023春·重庆沙坪坝·高二重庆一中校考阶段练习）将甲、乙、丙、丁4名志愿者随机派往①，②，③三个社区进行核酸信息采集，每个社区至少派1名志愿者，A表示事件“志愿者甲派往①社区”；B表示事件“志愿者乙派往①社区”；C表示事件“志愿者乙派往②社区”，则（    ）

A．事件A、B同时发生的概率为

B．事件A发生的条件下B发生的概率为

C．事件A与B相互独立

D．事件A与C为互斥事件

2．（2023春·江西南昌·高二校考阶段练习）目前，国际上常用身体质量指数来衡量成人人体胖瘦程度以及是否健康．某公司对员工的值调查结果显示，男员工中，肥胖者的占比为；女员工中，肥胖者的占比为．已知该公司男、女员工的人数比例为，为了解员工肥胖原因，现从该公司中任选一名肥胖的员工，则该员工为男性的概率为（    ）

A． B． C． D．

3．（2023春·北京·高二北京市陈经纶中学校考阶段练习）从分别标有的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则在抽取第1张为偶数的前提条件下，抽到第2张卡片上的数也为偶数的概率为（    ）

A． B． C． D．

4．（2023春·北京·高二校考阶段练习）小智和电脑连续下两盘棋，已知小智第一盘获胜的概率是，小智连续两盘都获胜的概率是，那么小智在第一盘获胜的条件下，第二盘也获胜的概率是（    ）

A． B． C． D．

5．（2023春·重庆渝中·高二重庆巴蜀中学校考阶段练习）央视评价重庆是“最宠游客的城市.”现有甲､乙两位游客慕名来到重庆旅游，准备从洪崖洞､磁器口､长江三峡､大足石刻和天生三桥五个著名旅游景点中随机选择一个景点游玩，记事件A为“甲和乙至少一人选择洪崖洞”，事件B为“甲和乙选择的景点不同”，则（    ）

A． B． C． D．

6．（2023春·陕西西安·高二校联考阶段练习）统计假设成立时，以下判断：①，②，③，其中正确的命题个数是（    ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

7．（2023春·江西新余·高二新余市第一中学校考阶段练习）在不透明的盒子中放有大小、形状完全相同的6张卡片，上面分别标有编号1，2，3，4，5，6，现从中不放回地抽取两次卡片，每次抽取一张，只要抽到的卡片编号大于4就可以中奖，已知第一次抽到卡片中奖，则第二次抽到卡片中奖的概率为（    ）

A． B． C． D．

8．（2023春·黑龙江哈尔滨·高二哈九中校考阶段练习）在概率论中，全概率公式指的是：设为样本空间，若事件两两互斥，，则对任意的事件，有．若甲盒中有2个白球、2个红球、1个黑球，乙盒中有个白球、3个红球、2个黑球，现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，若从甲盒中取出的球和从乙盒中取出的球颜色相同的概率大于等于，则的最大值为（    ）

A．4 B．5 C．6 D．7

二、多选题

9．（2023春·山东·高二校联考阶段练习）甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以，，表示由甲箱中取出的是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C．事件B与事件相互独立 D．、、两两互斥

10．（2023春·浙江杭州·高二学军中学校考阶段练习）2022年高考结束后小明与小华两位同学计划去老年公寓参加志愿者活动．小明在如图的街道E处，小华在如图的街道F处，老年公寓位于如图的G处，则下列说法正确的个数是（    ）

A．小华到老年公寓选择的最短路径条数为4条

B．小明到老年公寓选择的最短路径条数为35条

C．小明到老年公寓在选择的最短路径中，与到F处和小华会合一起到老年公寓的概率为

D．小明与小华到老年公寓在选择的最短路径中，两人并约定在老年公寓门口汇合，事件A：小明经过F，事件B：从F到老年公寓两人的路径没有重叠部分（路口除外），则

11．（2023春·浙江宁波·高二余姚中学校考阶段练习）甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以和表示由甲箱取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以表示由乙箱取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（    ）

A．事件与事件相互独立 B．

C． D．

12．（2023春·辽宁·高二校联考阶段练习）甲袋中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙袋中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，分别以表示由甲袋取出的球是红球，白球，黑球的事件；再从乙袋中随机取出一球，以B表示由乙袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（    ）

A． B．

C． D．

三、填空题

13．（2023·全国·高二专题练习）投掷3枚骰子，记事件A：3枚骰子向上的点数各不相同，事件B：3枚骰子向上的点数中至少有一个3点，则___________.

14．（2023·全国·高二专题练习）一个盒子中有4个产品，其中3个一等品，1个二等品，从中无放回地取产品两次，每次任取一个，则在第一次取出一等品产品的条件下第二次也取出一等品产品的概率是______．

15．（2023春·高二课时练习）甲、乙两个箱子，甲箱中装有两个白球，一个黑球；乙箱中装有一个白球，两个黑球．现从甲箱中任取一球放入乙箱，再从乙箱中任取一球，则该球是白球的概率是______．

16．（2023春·高二课时练习）某同学连续两次投篮，已知第一次投中的概率为0.8，在第一次投中的情况下，第二次也投中的概率为0.7，且第一次投不中，第二次投中的概率为0.5，则在第二次投中的条件下，第一次也投中的概率为______．

四、解答题

17．（2023春·山西太原·高二太原师范学院附属中学校考阶段练习）条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质.故试着证明条件概率的性质（1）和（2）．设，则

(1)；

(2)如果B和C是两个互斥事件，则；

18．（2023春·山东烟台·高二莱州市第一中学校考阶段练习）甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有“关怀老人”、“环境检测”、“图书义卖”这三个项目，每人都要报名且限报其中一项．记事件A为“恰有两名同学所报项目相同”，事件B为“只有甲同学一人报‘关怀老人’项目”．求

(1)“每个项目都有人报名”的报名情况种数；

(2)“四名同学最终只报了两个项目”的概率；

(3)．

19．（2023·江苏·高二专题练习）甲、乙、丙、丁进行乒乓球比赛，比赛规则如下：

第一轮：甲和乙进行比赛，同时丙和丁进行比赛，两个获胜者进入胜者组，两个败者进入败者组；

第二轮：胜者组进行比赛，同时败者组进行比赛，败者组中失败的选手淘汰；

第三轮：败者组的胜者与胜者组的败者进行比赛，失败的选手淘汰；

第四轮：第三轮中的胜者与第二轮中胜者组的胜者进行决赛，胜者为冠军．

已知甲与乙、丙、丁比赛，甲的胜率分别为；乙与丙、丁比赛，乙的胜率分别为；丙与丁比赛，丙的胜率为任意两场比赛之间均相互独立．

(1)求丙在第二轮被淘汰的概率；

(2)在丙在第二轮被淘汰的条件下，求甲所有比赛全胜并获得冠军的概率．

20．（2023·全国·高二专题练习）某班从6名班干部（其中男生4人，女生2人）中选3人参加学校学生会的干部竞选.

(1)求女生乙被选中的概率；

(2)在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率.

21．（2023·全国·高二专题练习）甲、乙、丙三台机床各自独立加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率是，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为．

(1)求甲、乙、丙三台机床各自独立加工的零件是一等品的概率；

(2)已知丙机床加工的零件数等于乙机床加工的零件数的，甲机床加工的零件数等于乙机床加工的零件数的2倍，将三台机床加工的零件混合到一起，从中任意抽取4件检验，求一等品不少于3件的概率．（以事件发生的频率作为相应事件发生的概率）

22．（2023春·高二课时练习）如图，A地到火车站共有两条路径和，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在各时间段内的频率如下表：

现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站.

(1)为了尽可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？

(2)根据第（1）问中选择的路径，求甲、乙两人中恰有一人在允许的时间内能赶到火车站的概率.