专题12 四大分布：两点分布、超几何分布、二项分布、正态分布——2022-2023学年高二数学下学期期末专题复习学案+期末模拟卷（人教A版2019）

专题12 四大分布：两点分布、超几何分布、二项分布、正态分布

【考点预测】

1．两点分布

对于只有两个可能结果的随机试验，用表示“成功”，表示“失败”，定义如果，则，那么的分布列如表所示

我们称X服从两点分布或0－1分布．

2．超几何分布

（1）超几何分布模型是一种不放回抽样

在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则事件发生的概率为，，1，2，…，，其中，且，，，，，称分布列为超几何分布列．如果随机变量的分布列为超几何分布列，则称随机变量服从超几何分布．

（2）超几何分布的期望

（p为N件产品的次品率）．

（3）超几何分布的特征：

①样本总体分为两大类，要么类，要么类；

②超几何分布是组合问题，分组或分类，有明显的选次品的意思；

③超几何分布是将随机变量分类，每一类之间是互斥事件；

④超几何分布的随机变量的确定，只需搞清楚最少和最多两种情况，其他的在最少和最多之间．

3．二项分布

一般地，在次独立重复试验中，用表示事件发生的次数，设每次试验中事件发生的概率为，不发生的概率，那么事件恰好发生次的概率是（，，，…，）

于是得到的分布列

由于表中第二行恰好是二项式展开式

各对应项的值，称这样的离散型随机变量服从参数为，的二项分布，记作，并称为成功概率．

若，则，．

4．正态分布的期望与方差

若，则，．

正态变量在三个特殊区间内取值的概率

（1）；

（2）；

（3）．

在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取中的值，这在统计学中称为原则．

【典型例题】

例1．（2023春·高二单元测试）某医药开发公司实验室有瓶溶液，其中瓶中有细菌，现需要把含有细菌的溶液检验出来，有如下两种方案：

方案一：逐瓶检验，则需检验次；

方案二：混合检验，将瓶溶液分别取样，混合在一起检验，若检验结果不含有细菌，则瓶溶液全部不含有细菌；若检验结果含有细菌，就要对这瓶溶液再逐瓶检验，此时检验次数总共为.

(1)假设，采用方案一，求恰好检验3次就能确定哪两瓶溶液含有细菌的概率；

(2)现对瓶溶液进行检验，已知每瓶溶液含有细菌的概率均为.

若采用方案一.需检验的总次数为,若采用方案二.需检验的总次数为.

(i)若与的期望相等.试求关于的函数解析式;

(ii)若,且采用方案二总次数的期望小于采用方案一总次数的期望.求的最大值.

参考数据：

例2．（2023·云南昆明·昆明市第三中学校考模拟预测）某商场为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放10个大小相同的小球，其中5个为红色，5个为白色.抽奖方式为：每名顾客进行两次抽奖，每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球.如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖，两个小球颜色不同即为不中奖.

(1)若规定第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，求中奖次数的分布列和数学期望.

(2)若规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，求中奖次数的分布列和数学期望.

(3)如果你是商场老板，如何在上述问两种抽奖方式中进行选择？请写出你的选择及简要理由.

例3．（2023春·北京·高二校考阶段练习）地区期末进行了统一考试，为做好本次考试的评价工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按照分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图．

(1)求频率分布直方图中的值；

(2)在这50名学生中用分层抽样的方法从成绩在的三组中抽取了11人，再从这11人中随机抽取3人，记为3人中成绩在的人数，求的分布列和数学期望；

(3)转化为百分制后，规定成绩在的为A等级，成绩在的为B等级，其它为C等级．以样本估计总体，用频率代替概率．从所有参加考试的同学中随机抽取3人，求获得等级的人数不少于2人的概率.

例4．（2023春·江苏南京·高二南京市第十三中学校考阶段练习）一盒子中有8个大小完全相同的小球，其中3个红球，4个白球，1个黑球.

(1)若不放回地从盒中连续取两次球，每次取一个，求在第一次取到红球的条件下，第二次也取到红球的概率；

(2)若从盒中有放回的取球3次，求取出的3个球中白球个数的分布列和数学期望.

例5．（2023春·北京朝阳·高二校考阶段练习）端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，白粽8个，这两种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个．

(1)求既有豆沙粽又有白粽的概率；

(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．

例6．（2023春·江苏连云港·高二校考阶段练习）某校为校级元旦晚会选拔主持人，现有来自高一年级的参赛选手5名，其中男生2名：高二年级的参赛选手5名，其中男生3名.从这10名参赛选手中随机选择4人组成搭档参赛.

(1)设事件A为“选出的4人中恰有2名男生，且这2名男生来自同一个年级”，求事件A发生的概率；

(2)设为选出的4人中男生的人数，求随机变量的分布列.

例7．（2023春·湖南湘潭·高二湘潭县一中校考阶段练习）公司检测一批产品的质量情况，共计1000件，将其质量指标值统计如下所示．

(1)求a的值以及这批产品质量指标的平均值x，

(2)若按照分层抽样的方法在质量指标值为的产品中随机抽取5件再从这5件中任取3件，求至少有2件产品的质量指标在的概率．

例8．（2023春·江苏南通·高二江苏省如皋中学校考阶段练习）某市举行全国两会知识竞赛，从参与者中随机抽取400名幸运者，对他们的成绩进行分析，把他们的得分分成以下7组：，，，，，，，统计得到各组的频数之比为1：6：8：10：9：4：2．

(1)试用组中值估计这400名幸运者成绩的平均值﹔

(2)若此次知识竞赛得分，对参与者制定如下奖励方案：得分不超过80分的可获话费10元，得分超过80分不超过95分的可获话费20元，超过95分可获话费100元，试估计任意一名参与者获得话费的数学期望．

参考数据：，，．

例9．（2023·全国·高二专题练习）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，整理测量结果得到如下频率分布直方图：

(1)求这500件产品质量指标值的样本平均值和样本方差（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）；

(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标Z服从正态分布，其中近似为样本平均数近似为样本方差．

（ⅰ）利用该正态分布，求；

（ⅱ）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间的产品件数．利用（ⅰ）的结果，求．

附：；若，则．

【过关测试】

一、单选题

1．（2023·江苏·高二专题练习）已知集合A={1，2，3，4}，B={1，2，3，4，5}，从集合A中任取3个不同的元素，其中最小的元素用a表示，从集合B任取3个不同的元素其中最大的元素用b表示，记X=b-a，则P（X=3）为（    ）

A． B． C． D．4

2．（2023春·高二课时练习）已知的分布列如表所示，其中a，b都是非零实数，则的最小值是（    ）

A．12 B．6 C． D．

3．（2023春·黑龙江哈尔滨·高二哈九中校考阶段练习）下图是一块高尔顿板示意图：在一块木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为用表示小球落入格子的号码，则下面计算错误的是（    ）

A． B．

C． D．

4．（2023春·江西南昌·高二南昌市铁路第一中学校考阶段练习）已知，且，则下列说法不正确的有（    ）

A．

B．

C．

D．

5．（2023·全国·高二专题练习）某班级要从名男生，名女生中随机选取人参加学校组织的学习小组活动，设选取的女生人数为，则（    ）

A． B． C． D．

6．（2023·全国·高二专题练习）数学老师从6道习题中随机抽3道让同学检测，规定至少要解答正确2道题才能及格．某同学只能求解其中的4道题，则他能及格的概率是（    ）

A． B． C． D．

7．（2023春·内蒙古赤峰·高二校考阶段练习）下列命题中不正确的为（    ）

①随机变量服从二项分布，若，则；

②将一组数据中的每个数据都扩大为原来的2倍后，则方差也随之扩大为2倍；

③随机变量服从正态分布，若，则；

④某人在10次射击中，击中目标的次数为，则当时概率最大.

A．② B．②③ C．②④ D．②③

8．（2023·全国·高二专题练习）已知两个连续型随机变量X，Y满足条件，且服从标准正态分布．设函数，则的图像大致为（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

9．（2023春·江西南昌·高二南昌县莲塘第一中学校考阶段练习）下列说法正确的是（    ）

A．随机变量服从两点分布，若，则

B．随机变量，若，则

C．随机变量服从正态分布，且，则

D．随机变量服从正态分布，且，则随机变量服从正态分布

10．（2023春·浙江宁波·高二余姚中学校考阶段练习）下列结论正确的是（    ）

A．若随机变量服从二项分布，则

B．若随机变量服从正态分布，则

C．若随机变量服从两点分布，，则

D．若随机变量的方差，则

11．（2023春·山西太原·高二太原师范学院附属中学校考阶段练习）若随机变量服从两点分布，其中，，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

12．（2023·全国·高二专题练习）已知10件产品中存在次品，从中抽取2件，记次品数为，，，则下列说法正确的是（    ）

A．这10件产品的次品率为20% B．次品数为8件

C． D．

三、填空题

13．（2023·全国·高二专题练习）某袋中装有大小相同质地均匀的黑球和白球共5个．从袋中随机取出3个球，已知恰全为黑球的概率为，若记取出3个球中黑球的个数为，则__．

14．（2023·全国·高二专题练习）小明与另外2名同学进行“手心手背”游戏，规则是：3人同时随机等可能选择手心或手背中的一种手势，规定相同手势人数多者每人得1分，其余每人得0分．现3人共进行了4次游戏，记小明4次游戏得分之和为X，则X的均值为________．

15．（2023·高二课时练习）在2021年6月某区的高二期末质量检测考试中，学生的数学成绩服从正态分布．已知参加本次考试的学生约有9450人，如果某学生在这次考试中数学成绩为108分，那么他的数学成绩大约排在该区的名次是______．附:若,则，.

16．（2023春·北京·高二北京市第一六六中学校考阶段练习）如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为1，2，3，……，6，用表示小球落入格子的号码，则下面结论中正确的是______.

①    ②

③    ④

四、解答题

17．（2023·高二单元测试）年卡塔尔世界杯采用的“半自动越位定位技术”成为本届比赛的一大技术亮点，该项技术的工作原理是将若干个传感器芯片内置于足球中，每个传感芯片都可以高频率定位持球球员，以此判断该球员是否越位．为了研究该技术的可靠性，现从生产的传感芯片中随机抽取个，将抽取到的传感芯片的最高频率（单位：）统计后，得到的频率分布直方图如图所示：

(1)求这批芯片的最高频率的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）和方差；

(2)根据频率分布直方图，可以近似认为这批传感芯片的最高频率服从正态分布．用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，试估计，从这批传感芯片中任取一个，其最高频率大于的概率；

(3)若传感芯片的最高频率大于，则该传感志片是可精确定位的，现给每个足球内置个传感芯片，若每个足球中可精确定位的芯片数不少于一半，则该足球可以满足赛事要求，能够精确判定球员是否越位，否则就需要增加裁判数量，通过助理裁判指证、慢动作回放等方式进行裁定．已知每个传感芯片的生产和维护费用约为万元/场，因足球不可精确定位而产生的一次性人力成本为万元/场，从单场比赛的成本考虑，每个足球内置多少个芯片，可以让比赛的总成本最低？

附：，，．

18．（2023·高二课时练习）一研究机构从某市人口数量在两万人左右的320个社区中随机抽取50个社区，对这50个社区某天产生的垃圾量（单位：吨）进行了调查，得到如下频数分布表，并将人口数量在两万人左右且垃圾数量超过28吨/天的社区确定为“超标”社区．

(1)通过频数分布表估算出这50个社区这一天的垃圾量的平均值；（精确到0.1）

(2)若该市人口数量在两万人左右的社区这一天的垃圾量大致服从正态分布，其中近似为（1）中的样本平均值，近似为样本方差，经计算得，请利用正态分布知识估计这320个社区中“超标”社区的个数；

(3)通过研究样本原始数据发现，抽取的50个社区中这一天共有8个“超标”社区，研究机构决定对这8个“超标”社区的垃圾来源进行跟踪调查．现计划在这8个“超标”社区中任取5个先进行跟踪调查，设为抽到的这一天的垃圾量至少为30.5吨的社区个数，求的分布与数学期望．

19．（2023春·福建三明·高二校考阶段练习）某班有7名班干部，其中男生4人，女生3人，从中任选3人参加学校的义务劳动.

(1)设所选3人中女生人数为，求的分布列和数学期望；

(2)在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率.

20．（2023春·高二课时练习）教育部门最近出台了“双减”政策.即有效减轻义务教育阶段学生过重作业负担和校外培训负担，持续规范校外培训（包括线上培训和线下培训）.“双减”政策的出合对校外的培训机构经济效益产生了严重影响.某大型校外培训机构为了规避风险，寻求发展制定科学方案，工作人员对2021年前200名报名学员的消费金额进行了统计整理，其中数据如表.

该大型校外培训机构转型方案之一是将文化科主阵地辅导培训向音体美等兴趣爱好培训转移，为了深入了解当前学生的兴趣爱好，工作人员利用分层抽样的方法在消费金额为和的学员中抽取了5人，再从这5人中选取3人进行有奖问卷调查，求抽取的3人中消费金额为的人数的分布列和数学期望；

21．（2023·全国·高二专题练习）新疆棉以绒长、品质好、产量高著称于世．现有两类以新疆长绒棉为主要原材料的均码服装，A类服装为纯棉服饰，成本价为120元/件，总量中有30%将按照原价200元/件的价格销售给非会员顾客，有50%将按照8.5折的价格销售给会员顾客．B类服装为全棉服饰，成本价为160元/件，总量中有20%将按照原价300元/件的价格销售给非会员顾客，有40%将按照8.5折的价格销售给会员顾客．这两类服装剩余部分将会在换季促销时按照原价6折的价格销售给顾客，并能全部售完．

(1)设A类服装单件销售价格为元，B类服装单件销售价格为元，分别写出两类服装单件销售价格的分布列，并通过计算比较这两类服装单件收益的期望（收益=售价-成本）的大小；

(2)某服装专卖店店庆当天，全场A，B两类服装均以会员价销售，假设每位来店购买A，B两类服装的顾客只选其中一类购买，每位顾客限购1件，且购买了服装的顾客中购买A类服装的概率均为．已知该店店庆当天这两类服装共售出5件，设X为该店当天所售服装中B类服装的件数，若，求n的所有可能取值．

22．（2023春·江苏连云港·高二校考阶段练习）学校的“智慧”书屋每学年初向高一新生招募30名左右的志愿者.2021学年初，新高一学生报名踊跃，报名人数达到60人.现有两个方案确定志愿者：方案一：用抽签法随机抽取30名志愿者：方案二：将60名报名者编号，用随机数法先从这60个编号中随机抽取45个然后再次用随机数法从这60个编号中随机抽取45个，两次都被抽取到的报名者成为志愿者.

(1)采用方案一或二，分别记报名者甲同学被抽中为事件A和事件，求事件A和事件发生的概率；

(2)不难发现采用方案二确定的志愿者人数不少于方案一的30人.若采用方案二，记两次都被抽取到的人数为，则的可取值是哪些？其中取到哪一个值的可能性最大？