专题15 独立性检验——2022-2023学年高二数学下学期期末专题复习学案+期末模拟卷（人教A版2019）.1

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专题15 独立性检验
【考点预测】
1、列联表
设，为两个变量，它们的取值分别为和，其样本频数列联表(列联表)如下：



总计








总计



2、独立性检验
基于小概率值的检验规则是：
当时，我们就推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过；
当时，我们没有充分证据推断H0不成立 ，可以认为X和Y独立．
这种利用的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验（test of independence）．
下表给出了χ2独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值

0．1
0．05
0．01
0．005
0．001

2．706
3．841
6．635
7．879
10．828
3、应用独立性检验解决实际问题的大致步骤
（1）提出零假设：X和Y相互独立，并给出在问题中的解释；
（2）根据抽样数据整理出2×2列联表，计算的值，并与临界值比较；
（3）根据检验规则得出推断结论；
（4）在X和Y不独立的情况下，根据需要，通过比较相应的频率，分析X和Y间的影响规律．
【典型例题】
例1．（2023·山东烟台·高二统考期中）1.两个分类变量X和Y，其2×2列联表如表，对同一样本，以下数据能说明X与Y有关联的可能性最大的一组为（    ）．
X
Y
合计



3
6
9

m
8

合计

14

A． B． C． D．

例2．（2023·山西大同·高二山西省浑源中学校考期中）利用独立性检验来考察两个分类变量和是否有关系时，通过查列联表计算得4.964，那么认为与有关系，这个结论错误的可能性不超过（    ）

0.100
0.050
0.010
0.005
0.001

2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
A．0.001 B．0.005 C．0.01 D．0.05

例3．（2023·湖南长沙·高二长沙麓山国际实验学校校考期中）为了发展学生的兴趣和个性特长，培养全面发展的人才．某学校在不加重学生负担的前提下．提供个性、全面的选修课程．为了解学生对于选修课《学生领导力的开发》的选择意愿情况，对部分高二学生进行了抽样调查，制作出如图所示的两个等高条形图，根据条形图，下列结论正确的是（    ）

A．样本中不愿意选该门课的人数较多
B．样本中男生人数多于女生人数
C．样本中女生人数多于男生人数
D．该等高条形图无法确定样本中男生人数是否多于女生人数

例4．（2023·山西太原·高二统考期中）某校高二年级为研究学生数学成绩与语文成绩的关系，采取有放回的简单随机抽样，从高二学生中抽取样本容量为200的样本，将所得数学成绩与语文成绩的样本观测数据整理如下：

语文成绩
合计
优秀
不优秀
数学成绩
优秀
50
30
80
不优秀
40
80
120
合计
90
110
200
(1)根据的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？
(2)在人工智能中常用表示在事件发生的条件下事件发生的优势，在统计中称为似然比.现从该校学生中任选一人，表示“选到的学生语文成绩不优秀”，表示“选到的学生数学成绩不优秀”.请利用样本数据，估计的值.
附：.

0.05
0.01
0.001

3.841
6.635
10.828




例5．（2023·浙江宁波·高二宁波市北仑中学校考期中）数学兴趣小组为研究本校学生数学成绩与语文成绩的关系，采取有放回的简单随机抽样，从学校抽取样本容量为200的样本，将所得数学成绩与语文成绩的样本观测数据整理如下：

语文成绩
合计
优秀
不优秀
数学成绩
优秀
50
30
80
不优秀
40
80
120
合计
90
110
200
(1)根据的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？
(2)根据列联表的信息，表示“选到的学生语文成绩不优秀”，表示“选到的学生数学成绩不优秀”，求的值；
(3)现从数学成绩优秀的样本中，按分层抽样的方法选出8人组成一个小组，从抽取的8人里再随机抽取3人参加数学竞赛，求这3人中，语文成绩优秀的人数的概率分布列及数学期望.
附：.












例6．（2023·河南南阳·高二校联考期中）清明节是我国的传统节日，某企业计划在清明节组织员工活动，准备从“参观烈士陵园”和“植树”两个活动方案中确定一个，为此随机调查了200名员工，让他们选择自己倾向的活动方案，调查结果按照员工的年龄分类，得到下面的列联表：

参观烈士陵园
植树
35岁以下的员工
34
66
35岁及以上的员工
56
44
(1)求倾向植树的员工中年龄在35岁以下的概率；
(2)是否有99%的把握认为该公司员工对清明节活动的倾向与年龄有关？
附：．

0.1
0.05
0.01

2.706
3.841
6.635




例7．（2023·河南南阳·高二校联考期中）被赞誉为“波士顿比利”的美国知名跑者比尔·罗杰斯曾经说过：“跑步是全世界最棒的运动.”坚持跑步可以增强体质、提高免疫力、改善精神状态.某数学兴趣小组从某地大学生中随机抽取200人，调查他们是否喜欢跑步，得到的数据如下表所示.

喜欢跑步
不喜欢跑步
总计
男生

50
120
女生
30


总计


200
(1)分别估计该地男、女大学生喜欢跑步的概率；
(2)能否有的把握认为该地大学生是否喜欢跑步与性别有关？
参考公式：，其中.
参考数据：

0.10
0.05
0.010
0.001

2.706
3.841
6.635
10.828




例8．（2023·安徽芜湖·高二校考期末）某初中为了了解学生对消防安全知识的掌握情况，开展了网上消防安全知识考试．对参加考试的男生、女生各随机抽查40人，根据考试成绩，得到如下列联表：

男生
女生
合计
考试成绩合格
30
20
50
考试成绩不合格
10
20
30
合计
40
40
80
(1)根据上面的列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为考试成绩是否合格与性别有关；
(2)在考试成绩不合格的30人中按性别利用按比例分配的分层抽样的方法随机抽取6人，再从这6人中随机抽取3人，记这3人中男生的人数为，求的分布列和数学期望．
附：，其中．

0.1
0.05
0.01
0.005
0.001

2.706
3.841
6.635
7.879
10.828




例9．（2023·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考期末）第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月在中国北京张家口举行.为调查不同地域青少年对冰雪运动的了解情况，某机构抽样调查了北京、天津、上海、重庆等四个城市的部分高中学生，调查问卷共20个题目.
(1)若某个参加调查的同学能确定其中10个题目的答案，其余10个题目中，有5个题目他能够答对的概率均为0.6，另外5个题目他能够答对的概率均为0.2，求该同学答对题目个数的均值；
(2)将重庆和上海并为“南方组”，北京和天津并为“北方组”，通过调查得到如下列联表：
地域
了解程度
合计
不了解
非常了解
南方组
53
112
165
北方组
96
139
235
合计
149
251
400
请在参考数据②中选择一个，根据的独立性检验，分析受调群体中对冰雪运动的了解程度是否存在南北差异.
参考公式:
参考数据：①，，
.
②独立性检验常用小概率值和相应临界值:
a
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001

2.706
3.841
6.635
7.879
10.0828




例10．（2023·辽宁铁岭·高二昌图县第一高级中学校考期末）2022年新型冠状“奥密克戎”病毒肆虐，冠状肺炎感染人群年龄大多数是50岁以上的人群．该病毒进入人体后有潜伏期，潜伏期是指病原体侵入人体至最早出现临床症状的这段时间．潜伏期越长，感染到他人的可能性越高，现对200个病例的潜伏期（单位：天）进行调查，统计发现潜伏期中位数为5，平均数为7.1，方差为5.06．如果认为超过8天的潜伏期属于“长潜伏期”，按照年龄统计样本，得到下面的列联表：
年龄
潜伏期
合计
长潜伏期
非长潜伏期
50岁以上
30
110
140
50岁及50岁以下
20
40
60
合计
50
150
200
(1)依据小概率值的独立性检验，可否认为“长潜伏期”与年龄有关？
(2)假设潜伏期Z服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差．现在很多省份对入境旅客一律要求隔离14天，请用概率的知识解释其合理性；
(3)以题日中的样本频率估计概率，设1000个病例中恰有个属于“长潜伏期”的概率是，当k为何值时，取得最大值？
附：．

0.1
0.05
0.01

2.706
3.841
6.635
若随机变量Z服从正态分布，则，，，．




【过关测试】
一、单选题
1．（2023·山西太原·高二统考期中）某市对机动车单双号限行进行了调查，在参加调查的2748名有车人中有1760名持反对意见，2652名无车人中有1400名持反对意见，在运用这些数据说明“拥有车辆”与“反对机动车单双号限行”是否相关时，用下列哪种方法最有说服力（    ）
A．平均数 B．方差 C．独立性检验 D．回归直线方程
2．（2023·河南南阳·高二校联考期中）已知两个分类变量X，Y的可能取值分别为和，通过随机调查得到样本数据，再整理成如下的2×2列联表：




10
a

b
30
若样本容量为75，且，则当判断X与Y有关系的把握最小时，a的值为（    ）
A．5 B．10 C．15 D．17
3．（2023·河南南阳·高二校联考期中）在易怒与患心脏病这两个变量的计算中，有以下结论：①当由独立性检验可知有90%的把握认为易怒与患心脏病有关时，那么在100个易怒的人中有90人患心脏病；②由的观测值得到有90%的把握认为易怒与患心脏病有关系，是指有10%的可能性使得推断出现错误；③由独立性检验可知有90%的把握认为易怒与患心脏病有关，是指在犯错误的概率不超过10%的前提下，可以认为某人是否患心脏病与是否易怒有关，其中正确结论的个数是（    ）
A．3 B．2 C．1 D．0
4．（2023·上海黄浦·高二上海市大同中学校考期末）某地政府调查育龄妇女生育意愿与家庭年收入高低的关系时，随机调查了当地3000名育龄妇女，用独立性检验的方法处理数据，并计算得，则根据这一数据以及临界值表，判断育龄妇女生育意愿与家庭年收入高低有关系的可信度（    ）
参考数据如下：，.
A．低于 B．低于 C．高于 D．高于
5．（2023·河南焦作·高二焦作市第一中学校联考期中）北京冬奥会的举办掀起了一阵冰雪运动的热潮．某高校在本校学生中对“喜欢滑冰是否与性别有关”做了一次调查，参与调查的学生中，男生人数是女生人数的倍，有的男生喜欢滑冰，有的女生喜欢滑冰．若根据独立性检验的方法，有的把握认为是否喜欢滑冰和性别有关，则参与调查的男生人数可能为（     ）
参考公式：，其中．
参考数据：










A． B． C． D．
6．（2023·湖北武汉·高二湖北省武昌实验中学校考期末）某医疗研究所为了检查新研发的疫苗对某种病毒的预防作用，把1000只已注射疫苗的小白鼠与另外1000只未注射疫苗的小白鼠的感染记录作比较，提出原假设：“这种疫苗不能起到预防该病毒传染的作用.”并计算得，则下列说法正确的是（　　）
A．这种疫苗对预防该病毒传染的有效率为1%
B．若某人未使用疫苗，则他有99%的可能性传染该病毒
C．有99%的把握认为“这种疫苗能起到预防该病毒传染的作用”
D．有1%的把握认为“这种疫苗能起到预防该病毒传染的作用”
7．（2023·山东滨州·高二统考期末）针对时下的“短视频热”，某高校团委对学生性别和喜欢短视频是否有关联进行了一次调查，其中被调查的男生､女生人数均为人，男生中喜欢短视频的人数占男生人数的，女生中喜欢短视频的人数占女生人数的.零假设为：喜欢短视频和性别相互独立.若依据的独立性检验认为喜欢短视频和性别不独立，则的最小值为（    ）
附：，附表：

0.05
0.01

3.841
6.635
A．7 B．8 C．9 D．10
二、多选题
8．（2023·全国·高二期末）为了解阅读量多少与幸福感强弱之间的关系，一个调查机构根据所得到的数据，绘制了如下的2×2列联表（个别数据暂用字母表示）：

幸福感强
幸福感弱
总计
阅读量多

18
72
阅读量少
36

78
总计
90
60
150
计算得：，参照下表：

0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
对于下面的选项，正确的为（    ）
A．根据小概率值的独立性检验，可以认为“阅读量多少与幸福感强弱无关”
B．
C．根据小概率值的独立性检验，可以在犯错误的概率不超过0.5%的前提下认为“阅读量多少与幸福感强弱有关”
D．
9．（2023·山东青岛·高二统考期末）为了解阅读量多少与幸福感强弱之间的关系，一个调查机构根据所得到的数据，绘制了如下的列联表（个别数据暂用字母表示）：

幸福感强
幸福感弱
总计
阅读量多

18
72
阅读量少
36

78
总计
90
60
150
计算得：，参照下表：

0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
对于下面的选项，正确的为（    ）
A．根据小概率值的独立性检验，可以认为“阅读量多少与幸福感强弱无关”
B．
C．根据小概率值的独立性检验，可以在犯错误的概率不超过0.5%的前提下认为“阅读量多少与幸福感强弱有关”
D．
10．（2023·河南南阳·高二校联考期中）某机构为了调查某地中学生是否喜欢数学课与性别之间的关系，通过抽样调查的方式收集数据，经过计算得到，由，可知下列结论正确的是（    ）
A．有95%的把握认为该地中学生是否喜欢数学课与性别无关
B．有95%的把握认为该地中学生是否喜欢数学课与性别有关
C．在犯错误的概率不超过5%的前提下，可以认为该地中学生是否喜欢数学课与性别无关
D．在犯错误的概率不超过5%的前提下，可以认为该地中学生是否喜欢数学课与性别有关
11．（2023·山西吕梁·高二校联考期中）卡塔尔足球世界杯比赛于2022年11月揭开战幕，随机询问100人是否喜欢足球，得到如下的列联表：

喜欢足球
不喜欢足球
总计
男
35
15
50
女
25
25
50
总计
60
40
100
参考公式（其中）
常用小概率值和临界值表：

0.05
0.010
0.005

3.841
6.635
7.879
参照临界值表，下列结论正确的是（    ）
A．根据小概率值的独立性检验，有95%的把握认为“喜欢足球与性别无关”
B．根据小概率值的独立性检验，有95%的把握认为“喜欢足球与性别有关”
C．根据小概率值的独立性检验，认为“喜欢足球与性别有关”
D．根据小概率值的独立性检验，认为“喜欢足球与性别无关”
三、填空题
12．（2023·天津南开·高二天津四十三中校考期中）某学校对全校进行统计抽查，抽出50名学生进行了作业量多少的调查，数据如下表：

认为作业多
认为作业不多
总数
喜欢玩电脑游戏
18
9
27
不喜欢玩电脑游戏
8
15
23
总数
26
24
50
根据表中数据得到.
则在犯错误的概率不超过______的前提下，认为“玩电脑游戏与认为作业多少”有关系
参考数据表：

0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
13．（2023·上海黄浦·高二上海市向明中学校考期末）针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关“作了一次调查，其中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的，若有的把握认为中学生追星与性别有关，则女生至少有_____人．
参考数据及公式如下：

0.050
0.010
0.001

3.841
6.635
10.828
，．
14．（2023·北京·高二北理工附中校考期末）某市政府调查市民收入增减与旅游需求的关系时，采用独立性检验法抽查了人，计算发现，根据这一数据，市政府断言市民收入增减与旅游需求有关的可信度是______．
附：常用小概率值和临界值表：














15．（2023·江苏·高二期末）为了了解司机开车时礼让斑马线行人的情况，交警部门调查了100名机动车司机，得到以下统计数据：

礼让斑马线行人
不礼让斑马线行人
男性司机人数
40
15
女性司机人数
20
25
若以为统计量进行独立性检验，则的值是__________.（结果保留2位小数）
参考公式
四、解答题
16．（2023·湖南·高二校联考期中）甲、乙两地到某高校实施“优才计划”，即通过笔试，面试，模拟技能这3项考核程序后直接签约一批优秀毕业生，已知3项程序分别由3个考核组独立依次考核，当3项考核程序均通过后即可签约．2022年，该校数学系100名毕业生参加甲地“优才计划”的具体情况如下表（不存在通过3项程序考核放弃签约的情况）：
人数性别
参加考核但未能签约的人数
参加考核并能签约的人数
男生
35
15
女生
40
10
今年，该校数学系毕业生小明准备参加两地的“优才计划”，假定他参加各程序的结果相互不影响，且他的辅导员作出较客观的估计：小明通过甲地的每项程序的概率均为，通过乙地的各项程序的概率依次为，，．
(1)依据小概率值的独立性检验，判断这100名毕业生去年参加甲地“优才计划”能否签约与性别是否有关联？
(2)若小明通过甲、乙两地的程序的项数分别记为X，Y，分别求出X与Y的数学期望．
参考公式与临界值表：，．

0.10
0.05
0.010

2.706
3.841
6.635




17．（2023·江西·高二校联考期中）某校为普及安全知识，随机抽取了400名学生开展一次校园安全知识答题活动.满分100分，计分分为两类：60分及以上为合格，60分以下为不合格.统计结果如下：

合格
不合格
男生
40%
15%
女生
25%
20%
(1)判断能否有的把握认为“校园安全知识答题合格与性别有关”；
(2)现从答题不合格的学生中按性别分层抽样抽取7人，再从7人中任选4人进行安全知识学习，求恰好抽到一名女生的概率.
附：列联表参考公式：，其中.
临界值表：

0.100
0.050
0.025
0.010
0.001

2.706
3.841
5.024
6.635
10.828




18．（2023·山东青岛·高二校考期中）老旧小区改造一头连着民生，一头连着发展，是百姓看得见、摸得着的贴心工程，包括多层住宅加装电梯、外墙保温等工程. 为积极推动现有多层住宅加装电梯工作，促进居民意见统一与达成共识，某市城建局制定了《既有多层住宅加装电梯不同楼层业主出资指导区间方案》（以下简称《方案》）并广泛征求居民意见. 工作人员随机调研了某小区多幢五层楼的居民，得到如下数据：
楼层
1楼
2楼
3楼
4楼
5楼
意见
同意
不同意
同意
不同意
同意
不同意
同意
不同意
同意
不同意
户数
8
12
9
11
11
9
12
8
16
4
然后依据小概率值的独立性检验进行判断；
(1)完成列联表，并说明能否据此推断同意《方案》与居住楼层高于三层有关；

同意《方案》
不同意《方案》
合计
四层或五层户数



一、二、三层户数



合计



(2)如果表中的数据都扩大为原来的10倍，在相同的检验标准下，再用独立性检验推断同意《方案》与居住楼层高于三层之间的关联性，结论还一样吗？请你试着解释其中的原因.
附：.

0.050
0.010
0.001

3.841
6.635
10.828




零假设为：同意《方案》与居住楼层高于三层无关，

因此依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
因此可以认为成立，即同意《方案》与居住楼层高于三层没有关系
（2）如果表中的数据都扩大为原来的10倍，经计算得
依据小概率值的独立性检验，可以推断不成立，
因此可以认为不成立，即同意《方案》与居住楼层高于三层有关，此推断犯错误的概率不大于0.01
原因是每个数据都扩大为原来的10倍，相当于样本量变大为原来的10倍，导致推断结论发生了变化.
19．（2023·山东滨州·高二统考期中）根据交管部门有关规定，驾驶电动自行车必须佩戴头盔，保护自身安全，某市去年上半年对此不断进行安全教育.下表是该市某主干路口去年连续5个月监控设备抓拍到的电动自行车驾驶员不戴头盔的统计数据：
月份
1
2
3
4
5
不戴头盔人数
120
100
90
75
65
(1)请利用所给数据求不戴头盔人数与月份之间的回归直线方程；
(2)交管部门统计连续5年来通过该路口的电动车出事故的100人，分析不戴头盔行为与事故是否伤亡的关系，得到下表，能否有95%的把握认为不戴头盔行为与事故伤亡有关？

不戴头盔
戴头盔
伤亡
15
10
不伤亡
25
50
参考数据和公式：，














20．（2023·山东烟台·高二统考期中）为贯彻落实全民健身国家战略，增强全民自我健身意识，某社区组织开展“我运动，我健康，我快乐”全民健身月活动，并在月末随机抽取了300名居民并统计其每天的平均锻炼时间，得到的数据如下表，并将日均锻炼时间在内的居民评为“阳光社员”．
日均锻炼时间（分钟）






总人数
15
60
90
75
45
15
(1)请根据上表中的统计数据填写下面2×2列联表，并根据小概率值的独立性检验，判断是否能认为“该社区居民的日均锻炼时间与性别有关”；
性别
居民评价
合计
非阳光社员
阳光社员
男



女

60
90
合计



(2)从上述非阳光社员的居民中，按性别利用比例分配的分层随机抽样的方法抽取15名居民，再从这15名居民中随机抽取4人，调查他们锻炼时间偏少的原因．记所抽取的4人中男性的人数为X，求X的分布列和数学期望；
(3)将上述调查所得到的频率视为概率来估计全市居民的情况．现在从该市的居民中抽取5名居民，求其中恰有2名居民被评为“阳光社员”的概率；
参考公式：，其中．
参考数据：．




21．（2023·湖南张家界·高二慈利县第一中学校考期中）溺水、校园欺凌、食品卫生、消防安全、道路交通等与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视．学校安全工作事关学生的健康成长，关系到千万个家庭的幸福和安宁，关系到整个社会的和谐稳定．为了普及安全教育，某市准备组织一次安全知识竞赛．某学校为了选拔学生参赛，按性别采用分层抽样的方法抽取200名学生进行安全知识测试，根据200名同学的测试成绩得到如下表格：
性别
了解安全知识的程度
得分不超过85分的人数
得分超过85分的人数
男生
20
100
女生
30
50
(1)现从得分超过85分的学生中根据性别采用分层随机抽样抽取6名学生进行安全知识培训，再从这6名学生中随机抽取3名学生去市里参加竞赛，求这3名学生中有至少一名女生的概率；
(2)根据小概率值的独立性检验，能否推断该校男生和女生在了解安全知识的程度与性别有关？
附：参考公式，其中．
下表是独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值
a
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001

2.706
3.841
6.635
7.879
10.828