专题07 二项分布、超几何分布与正态分布——2022-2023学年高二数学下学期期末知识点精讲+训练学案+期末模拟卷（苏教版2019选择性必修第二册）

07 二项分布、超几何分布与正态分布

知识点1  伯努利试验

只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验；将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验．

知识点2  二项分布

一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.

如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)．

知识点3  两点分布与二项分布的均值、方差

(1)若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．

(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．

知识点4  超几何分布

一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件(不放回)，

用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为

P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，

其中，n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，

r＝min{n，M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布．

知识点5  正态分布

1．定义

若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)＝·，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，

则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)．

2．正态曲线的特点

(1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交．当|x|无限增大时，曲线无限接近于x轴．

(2)曲线与x轴之间的区域的面积为1．

(3)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称．

(4)曲线在x＝μ处达到峰值(最大值)．

(5)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移．

(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，当σ较小时，峰值高，曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；当σ较大时，峰值低，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散．

3．3σ原则

(1)P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7；

(2)P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5；

(3)P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.

4．正态分布的均值与方差

若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2.

5．正态曲线的几何意义

随机变量X落在区间(a，b]的概率为P(a<X≤b)，即由正态曲线过点(a，0)和点(b，0)的两条x轴的垂线及x轴所围成的平面图形的面积．

如图所示，X取值不超过x 的概率P(X≤x)为图中区域A的面积，而P(a≤X≤b)为区域B的面积．

考点1  二项分布

【例1】(2022·武汉联考)在一次国际大型体育运动会上，某运动员报名参加了其中3个项目的比赛．已知该运动员在这3个项目中，每个项目能打破世界纪录的概率都是，那么在本次运动会上：

(1)求该运动员至少能打破2项世界纪录的概率；

(2)若该运动员能打破世界纪录的项目数为X，求X的分布列及均值．

【总结】判断某随机变量是否服从二项分布的关键点

(1)在每一次试验中，事件发生的概率相同．

(2)各次试验中的事件是相互独立的．

(3)在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生．

【变式1-1】出租车司机从饭店到火车站途中经过六个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是.

(1)求这位司机遇到红灯前，已经通过了两个交通岗的概率；

(2)求这位司机在途中遇到红灯数X的均值与方差．

【变式1-2】某公司为了解会员对售后服务(包括退货、换货、维修等)的满意度，从下半年的会员中随机调查了20个会员，得到会员对售后服务满意度评分的雷达图如图所示．规定评分不低于80分为满意，否则为不满意．

(1)求这20个会员对售后服务满意的频率；

(2)以(1)中的频率作为所有会员对该公司售后服务满意的概率，假设每个会员的评价结果相互独立，现从下半年的所有会员中随机选取3个会员．

①求只有1个会员对售后服务不满意的概率；

②记这3个会员中对售后服务满意的会员的个数为X，求X的均值与标准差(标准差的结果精确到0.1)．

【变式1-3】已知随机变量ξ～B(12，p)，且E(2ξ－3)＝5，则D(3ξ)等于(　　)

A.  B．8  C．12  D．24

【变式1-4】袋中装有标号分别为1,2,3,4,5,6的六个相同小球，现有一款摸球游戏，从袋中一次性摸出三个小球，记下号码并放回，如果三个号码的和是3的倍数，则获奖，若有4人参与摸球游戏，则恰好2人获奖的概率是(　　)

A.  B.  C.  D.

【变式1-5】如图，在网格状小地图中，一机器人从A(0,0)点出发，每秒向上或向右行走1格到相应顶点，已知向上的概率是，向右的概率是，则6秒后到达B(4,2)点的概率为(　　)

A.  B.  C.  D.

【变式1-6】(多选)袋子中有2个黑球，1个白球，现从袋子中有放回地随机取球4次，取到白球记0分，黑球记1分，记4次取球的总分数为X，则(　　)

A．X～B   B．P(X＝2)＝

C．E(X)＝   D．D(X)＝

【变式1-7】(2021·天津)甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为和，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为________，3次活动中，甲至少获胜2次的概率为________．

【变式1-8】“石头、剪刀、布”是一种广泛流传于我国民间的古老游戏，其规则：用三种不同的手势分别表示石头、剪刀、布，两个玩家同时出示各自手势1次记为1次游戏，“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”．双方出示的手势相同时，不分胜负．假设玩家甲、乙双方在游戏时出示三种手势是等可能的．

(1)求在1次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率；

(2)若玩家甲、乙双方共进行了3次游戏，其中玩家甲胜玩家乙的次数记作随机变量X，假设每次游戏的结果互不影响，求X的分布列和方差．

【变式1-9】(多选)某渔业养殖场新进1 000尾鱼苗，测量其体长(单位：毫米)，将所得数据分成6组，其分组及频数情况如下表：

已知在按以上6个分组作出的频率分布直方图中，[95,100]分组对应小矩形的高为0.01，则下列说法正确的是(　　)

A．m＝250

B．鱼苗体长在[90,100]上的频率为0.16

C．鱼苗体长的中位数一定落在区间[85,90)内

D．从这批鱼苗中有放回地连续抽取50次，每次一条，则所抽取鱼苗体长落在区间[80,90)上的次数的均值为30

考点2  超几何分布

【例2】2021年5月30日清晨5时01分，天舟二号货运飞船在成功发射约8小时后，中国航天器的“浪漫之吻”再度在太空上演，天舟二号货运飞船与中国空间站天和核心舱顺利实现了快速交会对接．据航天科技集团五院的专家介绍，此次天舟货运飞船携带的物资可以供3名航天员在太空中生活3个月，这将创造中国航天员驻留太空时长新的记录．如果首次执行空间站的任务由3名航天员承担，在3名女性航天员(甲、乙、丙)和4名男性航天员(丁、戊、己、庚)共7名航天员中产生．

(1)求所选的3名航天员既有男航天员又有女航天员的概率；

(2)求所选的3名航天员中女航天员人数X的分布列及均值．

【总结】　(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布．

(2)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其本质是古典概型．

【变式2-1】为庆祝建军节的到来，某校举行“强国强军”知识竞赛．该校某班经过层层筛选，还有最后一个参赛名额要在A，B两名学生中产生，该班委设计了一个选拔方案：A，B两名学生各自从6个问题中随机抽取3个问题作答．已知这6个问题中，学生A能正确回答其中的4个问题，而学生B能正确回答每个问题的概率均为.A，B两名学生对每个问题回答正确与否都是相互独立的．

(1)分别求A，B两名学生恰好答对2个问题的概率；

(2)设A答对的题数为X，B答对的题数为Y，若让你投票决定参赛选手，你会选择哪名学生？请说明理由．

【变式2-2】阳澄湖大闸蟹又名金爪蟹，产于江苏苏州，蟹身青壳白肚，体大膘肥，肉质膏腻，营养丰富，深受消费者喜爱．某水产品超市购进一批重量为100千克的阳澄湖大闸蟹，随机抽取了50只统计其重量，得到的结果如下表所示：

(1)若同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，试估计该批大闸蟹有多少只？(所得结果四舍五入保留整数)

(2)某顾客从抽取的10只特大蟹中随机购买了4只，记重量在区间[260,280]上的大闸蟹数量为X，求X的分布列和均值．

【变式2-3】一个袋中装有4个红球，3个黑球，小明从袋中随机取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球，则小明得分大于6分的概率是(　　)

A.  B.  C.  D.

【变式2-4】一袋中有除颜色不同，其他都相同的2个白球，2个黄球，1个红球，从中任意取出3个球，有黄球的概率是________，若ξ表示取到黄球的个数，则E(ξ)＝________.

【变式2-5】面对新一轮科技和产业革命带来的创新机遇，某企业对现有机床进行更新换代，购进一批新机床．设机床生产的零件的直径为X(单位：mm)．

(1)现有旧机床生产的零件10个，其中直径大于124 mm的有3个．若从中随机抽取4个，记ξ表示取出的零件中直径大于124 mm的零件的个数，求ξ的分布列及均值E(ξ)；

(2)若新机床生产的零件直径X～N(120,4)，从生产的零件中随机取出10个，求至少有一个零件直径大于124 mm的概率．

参考数据：若X～N(μ，σ2)，则P(|X－μ|≤σ)≈0.682 7，P(|X－μ|≤2σ)≈0.954 5，P(|X－μ|≤3σ)≈0.997 3，0.977 2510≈0.794 4,0.954 510≈0.627 7.

【变式2-6】(多选)某人参加一次测试，在备选的10道题中，他能答对其中的5道．现从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，规定至少答对2题才算合格．则下列选项正确的是(　　)

A．答对0题和答对3题的概率相同，都为

B．答对1题的概率为

C．答对2题的概率为

D．合格的概率为

考点3  正态分布

【例3】(2021·新高考全国Ⅱ)某物理量的测量结果服从正态分布N(10，σ2)，下列结论中不正确的是(　　)

A．σ越小，该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大

B．σ越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5

C．σ越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等

D．σ越小，该物理量在一次测量中落在(9.9，10.2)与落在(10,10.3)的概率相等

【总结】解决正态分布问题有三个关键点：(1)对称轴x＝μ；(2)标准差σ；(3)分布区间．利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率．注意只有在标准正态分布下对称轴才为x＝0.

【变式3-1】在某市高三的一次模拟考试中，学生的数学成绩ξ服从正态分布N(105，σ2)(σ>0)，若P(ξ<120)＝0.75，则P(90≤ξ≤120)＝________.

【变式3-2】为了解高三复习备考情况，某校组织了一次阶段考试．若高三全体考生的数学成绩近似服从正态分布N(100,17.52)．已知成绩在117.5分以上(不含117.5分)的学生有80人，则此次参加考试的学生成绩低于82.5分的概率为________；如果成绩大于135分的为特别优秀，那么本次数学考试成绩特别优秀的大约有________人．(若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.68，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.96)

【变式3-3】对一个物理量做n次测量，并以测量结果的平均值作为该物理值的最后结果．已知最后结果的误差εn～N，为使误差εn在(－0.5,0.5)的概率不小于0.954 5，至少要测量________次．(若X～N(μ，σ)，则P(|X－μ|<2σ)＝0.954 5)

【变式3-4】若随机变量X～B(3，p)，Y～N(2，σ2)，若P(X≥1)＝0.657，P(0<Y<2)＝p，则P(Y>4)等于(　　)

A．0.2  B．0.3  C．0.7  D．0.8

【变式3-5】已知随机变量ξ～N(μ，σ2)，有下列四个命题：

甲：P(ξ<a－1)>P(ξ>a＋2)；乙：P(ξ>a)＝0.5；

丙：P(ξ≤a)＝0.5；       丁：P(a<ξ<a＋1)<P(a＋1<ξ<a＋2)．

如果只有一个假命题，则该命题为(　　)

A．甲  B．乙  C．丙  D．丁

【变式3-6】(多选)已知两种不同型号的电子元件(分别记为X，Y)的使用寿命均服从正态分布，X～N(μ1，σ)，Y～N(μ2，σ)，这两个正态分布密度曲线如图所示，则下列选项正确的是(　　)

参考数据：若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤Z≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤Z≤μ＋2σ)≈0.954 5.

A．P(μ1－σ1<X<μ1＋2σ1)≈0.818 6 B．P(Y≥μ2)<P(Y≥μ1)

C．P(X≤σ2)<P(X≤σ1) D．对于任意的正数t，有P(X≤t)>P(Y≤t)

【变式3-7】已知随机变量ξ～N(1，σ2)，且P(ξ≤0)＝P(ξ≥a)，则＋(0<x<a)的最小值为(　　)

A．9  B.  C．4  D．6

【变式3-8】一试验田中的某种作物一株生长的果实个数服从正态分布N(90，σ2)，且P(x<70)＝0.2，从试验田中随机抽取10株，果实个数在[90,110]的株数记作随机变量X，且X服从二项分布，则X的方差为________．

【变式3-9】某工厂为A公司生产某种零件．现准备交付一批(1 000个)刚出厂的该零件，质检员从中抽取了100个，测量并记录了它们的尺寸(单位：mm)，统计结果如下表：

(1)将频率视为概率，设该批零件的尺寸不大于2.06 mm的零件数为随机变量X，求X的均值；

(2)假设该厂生产的该零件的尺寸Y～N(2.069，0.012)．根据A公司长期的使用经验，该厂提供的每批该零件中，Y>m的零件为不合格品，约占整批零件的10%，其余尺寸的零件均为合格品．请估计m的值(结果保留三位小数)．

附：若Y～N(μ，σ2)，令Z＝，

则Z～N(0,1)，且P(Z≤1.28)≈0.9.