专题02 向量的数量积与三角恒等变换（专题练习）——高一数学下学期期末专项复习学案+期末模拟卷（人教B版2019）

专题02 向量的数量积与三角恒等变换【专项训练】

一、单选题

1．已知，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

由题得，

.

2．如图，在等边中，，向量在向量上的投影向量为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】

由题知D点是BC的四等分点，设三角形边长为a，

则，

，，

则向量在向量上的投影向量为：

，

故选：D

3．已知，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

由已知条件可得，，

因此，.

故选：A.

4．黄金比又称黄金律，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值约为，即长段为全段的0.618．0.618被公认为最具有审美意义的比例数字、宽与长的比为的矩形叫做黄金矩形它广泛的出现在艺术、建筑、人体和自然界中，在黄金矩形ABCD中，，那么的值为（    ）

A． B． C．4 D．

【答案】C

【详解】

由黄金矩形的定义，可得，，

在矩形ABCD中，，

则，

故选：C.

5．已知，则（    ）

A． B． C． D．5

【答案】B

【详解】

因为，

所以，

所以，

故选：B

6．设平面向量，，若，则|（    ）

A． B． C． D．5

【答案】B

【详解】

因为，，，所以，解得

所以，所以

故选：B

7．设为单位向量，满足，设的夹角为，则的可能取值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

因为为单位向量，

不妨设，且，

所以，

又因为，

所以，

化简得，

所以，

，

，

当时，，

8．已知向量，，则在上的投影向量为 （    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

，∴，

又∵向量，

∴向量在的投影为，

所以，向量在方向上的投影向量为.

二、多选题

9．称为两个向量，间的“距离”.若向量，满足：①；②；③对任意的，恒有，则下列结论正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【详解】

解：如图：，

的终点在单位圆上，

用表示，用表示，用表示，

设，

，，

由恒成立得，

所以恒成立，

，，

所以在方向的投影即为，所以

故选：．

10．下列选项中，与的值相等的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【详解】

，

A. ，故错误；

B. ，故正确；

C. ，故正确；

D. ，故错误；

故选：BC

11．下列关于平面向量的说法中正确的是（    ）

A．已知均为非零向量，若，则存在唯一的实数，使得

B．已知非零向量，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是

C．若且，则

D．若平面内有四个点A、B、C、D，则必有

【答案】AD

【详解】

对于选项A： 由向量共线定理知选项A正确；

对于选项B：，若与的夹角为锐角，则

解得，当与共线时，，解得：，此时，，此时夹角为，不符合题意，所以实数的取值范围是，故选项B不正确；

对于选项C：若，则，因为，则或与垂直，

故选项C不正确；

对于选项D：对于平面内四个点A、B、C、D，有，

，则，则必有，故选项D正确.

12．下列说法正确的是（    ）

A．若点是的重心，则

B．已知，，若，则

C．已知A，B，C三点不共线，B，C，M三点共线，若，则

D．已知正方形的边长为1，点M满足，则

【答案】AD

【详解】

对于A，点D是边BC的中点，由平面向量加法的平行四边形法则可得在中，

若，故A正确；

对于B，因为，，

所以，解得，故B错误；

对于C，若B，C，M三点共线，则存在实数，使得，

所以即，

又，所以，

所以，故C错误；

对于D，在正方形中，，由可得，

所以

，

故D正确.

三、解答题

13．已知向量．

（1）若与的夹角为，求；

（2）若与垂直，求与的夹角．

【详解】

解：(1)，

.

(2) ，，即，即，

，又，所以与的夹角为.

14．已知．

（1）求函数的最小正周期及单凋递减区间；

（2）求函数在区间的值域．

【详解】

，

，

，

．

（1）函数的最小正周期，

令，

解得，

所以函数的单凋递减区间是；

（2）因为，

所以，则，

所以，

所以函数的值域是．

15．在①函数的图象向左平移个单位长度得到的图象，的图象关于原点对称：②向量，，，；③函数这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题.已知________，函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为．

（1）若，且，求的值；

（2）求函数在上的单调递减区间.

（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）

【详解】

（1）选条件①时，

∵的图象相邻两条对称轴之间的距离为，

∴，而，∴，，

∵的图象向左平移个单位长度得到的图象，

∴，

∵的图象关于原点对称，

∴，∴，

∵，∴，

∴，

∵，且，∴，

∴.

选条件②时，

，

∵的图象相邻两条对称轴之间的距离为，

∴，而，∴，，

∴，以下同①；

选条件③时，

，以下同①.

（2）由，，

解得，，

令，；

令，.

∴函数在上的单调递减区间为，.