专题06 简单几何体的表面积与体积——高一数学下学期期末专项复习学案+期末模拟卷（北师大2019版）

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专题06简单几何体的表面积与体积—高一数学下期期末复习高频考点强化训练（北师大2019版）一、单选题1．一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2，将该三角形分别绕其两个直角边旋转得到的两个圆锥的体积之比为（    ）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】B【分析】可知，直角三角形绕着两条直角边旋转可分别得到两个不同的圆锥，分别求出两个圆锥的体积即可.【详解】如图，在直角三角形中，,则，绕着旋转之后形成一个底面半径为的圆锥，设体积为，绕着旋转之后形成一个底面半径为的圆锥，设体积为，则，，∴两个圆锥的体积之比为.故选：B.【点睛】本题考查旋转体的形成，以及圆锥体积的求法，属于基础题.2．已知圆柱的高为3，且其侧面积是18π，则该圆柱的体积为（    ）A．9π B．18π C．27π D．54π【答案】C【分析】本题先求，再求圆柱的体积即可.【详解】解：设该圆柱的底面圆的半径为，由题意得：，解得：，故该圆柱的体积为.故选：C.【点睛】本题考查圆柱的侧面积公式、圆柱的体积公式，是基础题.3．在四面体中，，，，，则该四面体外接球的表面积为（     ）A． B． C． D．【答案】D【分析】易得，再由，得到，然后利用直角三角形中线定理得到的中点为球的球心求解    .【详解】如图所示：由，，可知.因为，，所以，即.设的中点为，则，即四面体的外接球半径为，外接球表面积为.故选：D【点晴】判断是解题的关键.4．在三棱锥中，的内心O到三边的距离均为1，平面ABC，且的BC边上的高为2，则该三棱锥的内切球的体积为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由三角形内心、侧面的高有面，即，根据已知有，，再根据即可求内切球的半径，进而求体积.【详解】如下图，为的内心，若，则面，面，即有，∴，，若为内切球的球心，且，即内切球的半径为，∴，而，，∴，得，故该三棱锥的内切球的体积.故选：C.5．如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据三视图可得该几何体为一圆台的一半，然后进行计算可得答案.【详解】根据三视图可得该几何体为一圆台的一半，对应圆台的上底面半径，下底面半径，高，则该几何体的体积.故答案为：B.【点睛】关键点点睛：解题的关键是由三视图确定直观图的形状，再利用相应的体积公式求解即可，属于简单题．6．已知圆锥的表面积等于，其侧面展开图是一个半圆，则圆锥底面的半径为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】设圆锥的底面圆的半径为，母线长为，利用侧面展开图是一个半圆，求得与之间的关系，代入表面积公式即可得解.【详解】设圆锥的底面圆的半径为，母线长为，圆锥的侧面展开图是一个半圆，，圆锥的表面积为，， ，故圆锥的底面半径为，故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查圆锥的表面积公式及圆锥的侧面展开图，解题的关键是利用侧面展开图时一个半圆，求得母线长与半径的关系，考查学生的计算能力，属于一般题.7．若轴截面为正方形的圆柱内接于半径为1的球，则该圆柱的体积为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意求出圆柱的高和底面圆的半径，从而可求出圆柱的体积.【详解】解：由题意知，，则圆柱的高为，底面圆的半径为，所以圆柱的体积，故选:B.8．如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积为（    ）A． B．C．2 D．【答案】B【分析】根据三视图还原几何体即可求解.【详解】解：该几何体的直观图为如图所示的三棱锥，底面是等腰直角三角形，高为2，则体积.故选：B. 二、多选题9．一棱长等于1且体积为1的长方体的顶点都在同一球的球面上，则该球的体积可能是（    ）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】设长方体未知的两棱长分别为，，由长方体对角线就是外接球直径得半径，求得体积，并由基本不等式求得体积范围，然后可得正确选项．【详解】设长方体未知的两棱长分别为，则，，设外接球半径为，则，球体积为，，当且仅当时等号成立，所以．故选：BCD．10．已知中，，，为边上的高，且，沿将折起至的位置，使得，则（    ）A．平面平面B．三棱锥的体积为8C．D．三棱锥外接球的表面积为【答案】ACD【分析】根据及翻折前后几何元素的位置关系得到，，从而可得平面平面，A选项正确；先根据已知求出，再求得，然后利用三角形的面积计算公式、锥体的体积计算公式及等体积法求得结果，即可判断B选项；在中利用余弦定理求得的值，即可判断C选项；利用几何直观及三棱锥外接球的球心与侧面的位置关系，结合已知得到部分几何元素的数量关系，从而求得三棱锥外接球的半径，最后根据球的表面积的计算公式求得结果，即可判断D选项．【详解】对于A：因为为边上的高，所以，沿将折起至的位置后，，，所以平面，所以平面平面，所以A选项正确；对于B：因为，，，所以，又，所以，，所以B选项不正确；对于C：在中，，，，由余弦定理可得，所以，所以C选项正确；对于D：如图，记为三棱锥外接球的球心，为外接圆的圆心，连接，则平面，取的中点，的中点，连接，得，又平面，所以平面PDC，故，连接，，易知平面，平面，故，且，则四边形为矩形，连接，，则为外接圆的半径，由正弦定理可得，所以，又，故外接球半径，所以三棱锥外接球的表面积为，所以D选顼正确．故选：ACD．【点睛】方法点睛：三棱锥外接球的球心的一般作法：分别找到两个侧面三角形的外心，再分别过外心作相应平面的垂线，两垂线的交点即三棱锥外接球的球心，通常是找到两个特殊三角形，因为这样易找到外心或易求得外接圆的半径．  三、填空题11．正三棱台上下底面棱长分别为3和6，侧棱长为2，则正三棱台的体积为______.【答案】【分析】将正三棱台补全为三棱锥，有正三棱台的体积，即可求体积.【详解】如下图，正三棱台，将其补全为三棱锥，为其高，∴正三棱台的体积，由题设易知，∴设，则，即三棱锥的高，故的高为1，∴.故答案为：12．已知四棱锥的体积为V，底面是平行四边形，分别为棱的中点，则四棱锥的体积为___________(用V表示).【答案】【分析】连接，然后结合条件得到，即可.【详解】连接，因为分别为棱的中点，所以，所以故答案为：【点睛】关键点睛：解答本题的关键是将该四棱锥分成三部分，然后找出它们体积之间的关系. 四、解答题13．一个几何体由圆锥和圆柱组成，其尺寸如图所示．（1）求此几何体的表面积；（2）如果点在直观图中所示位置，为所在母线中点，为母线与底面圆的交点，求在几何体表面上，从点到点的最短路径长．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根据几何体的组成，应用圆锥、圆柱侧面积及底面积的求法，求几何体的表面积.（2）将所在的平面，延两点所在的母线剪开平展，应用平面图形的性质及勾股定理求到的最短路径长．【详解】（1）由题设，此几何体是一个圆锥加一个圆柱，其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积与圆柱的一个底面积之和．圆锥侧面积；圆柱侧面积；圆柱底面积，∴几何体表面积为．（2）沿点与点所在母线剪开圆柱侧面，展开如图．则．∴、两点间在侧面上的最短路径长为．14．如图，在三棱锥中，底面为直角，，三棱锥的高．（1）求三棱锥的体积；（2）求三棱锥的表面积．【答案】（1）1；（2）9.【分析】（1）利用算出答案即可；（2）分别算出每个面的面积即可.【详解】（1），（2）因为所以，所以所以所以表面积为